CHAPITRE IV

Reproduction photographique d’un réseau gravé sur verre.

1 Emploi d’un objectif. — La question a été traitée par Abbe (1), Lord Rayleigh (?) et Porter (®).

Rappelons quelques résultats : Soit un réseau R (fig. 15) éclairé par une onde plane monochromatique parallèle à son plan, l’onde incidente donne naissance aux ondes diffractées

de sorte qu’on obtient dans le plan focal d’une lentille LL' une succession d'images S,, S,, S!, S,, Se formées par l’onde directe et les ondes diffractées ; ces ondes viennent ensuite se réunir au plan R' conjugué de R par rapport à la lentille pour donner l’image du réseau.

() Assez, Leçons rédigées par Lummer,

() Lorp Rayzeien, Phil, Mag., L2 (1896), p. 167 et Œuvres complètes, 1V, p. 235.

(#) Porter, Phil. Mag., 11 (1906), p. 154.

in ni ii. sidéé

Cette image R' peut être considérée comme due à l’interférence des ondes provenant des sources secondaires Spots

S,.... Si tous les spectres fournis par le réseau pouvaient être ainsi représentés dans le plan focal, le calcul montre qu’on aurait en R’ la production exacte du réseau objet.

Prenons par exemple un objectif dont le rapport d’ouverture + soit set plaçons le réseau à la distance 2f de la lentille. Pour un petit élément de réseau placé en R, le dernier spectre qui pénétrera dans l’objectif fera avec l'axe l'angle

ro) : Mae Æ L 3f; Sion se limite au quatrième ordre, l'intervalle s du

p: # réseau est donné par :

d’où, si on fait : À — 0, u 4 ; « — 25 y environ.

Si l’on veut obtenir l’image d’une portion notable du réseau, la limite doit être encore élevée.

Si la condition donnée plus haut n'est pas remplie, c’est-àdire si toutes les ondes diffractées ne concourent pas à la formation de l’image R', celle-ci ne peut reproduire exactement l'objet.

En particulier, si on ne laisse passer que la lumière émanant de l’une des images S,,S,, PH il est bien évident que, si le réseau R est parfaitement tracé, on aura dans le plan R' un éclairement uniforme et on n’observera aucun indice de la structure périodique de l’objet. Cherchons ce qu'on obt'ent dans le cas général.

Nous pouvons faire le calcul en appliquant la méthode de Lord Rayleigh. Supposons d’abord placée en R une fente très étroite éclairée par de la lumière parallèle et l'objectif diaphragmé par une fente, parallèle à la première, de largeur a. Soit £ l’abscisse d’un point du plan R' comptée à partir de l'image géométrique de la fente, f" la distance du

plan R' à la lentille; l’amplitude lumineuse en ce point

vaut :

hp TÈe RENE

QE TE a

\f ou, à un facteur constant près, est exprimée par une quantité

de la forme :

sin w u

Si, en R, on a un réseau formé de fentes identiques régulièrement espacées, l'amplitude due à toutes les sources linéaires supposées en phase sera au même point (£) la somme : :

sin u Sin (0) sin (u — v)

Sr er à D

v exprimant, à un facteur constant près, la distance e' des images géométriques de deux fentes consécutives :

Cette somme, périodique en w peut s’écrire en dévelop-

pant en série :

(72 A(u) — À, + À, cos 2m —- +... À, cos 2rp — +...

avec :

A, =+ f A(u) cos or Le du.

Finalement le calcul donne :

le signe + étant pris si v > 27p, le signe — dans le cas contraire.

On aura donc pour l'amplitude lumineuse au point considéré du plan R':

A(&) = (1 + 2 cos 2r + TS cos 4x + + ;

+ 2 cos ap — + se (1)

la sommation s'arrêtant quand p devient supérieur à :

Or si : est l'intervalle du réseau objet on a :

& pc vAf" : vÀ é-SIN.a — © sin. — .B ou sensiblement — - TA 2T 4 d’où on tire :

à U re 2T Sin...

4 = | +: di ts 1 op . . x À a condition p ee » S'écrit : Sin a => p—, sous cette

| forme elle signifie que les faisceaux diffractés jusqu’au pième

ordre entrent dans l'objectif et contribuent à la formation de l’image.

Si 0 < 27, il n’entre aucun faisceau diffracté dans l’objec-

tif, on a dans le plan R' un éclairement uniforme.

Si — ne peut prendre que la valeur 1 on obtient :

+7 = (: + 2cos. |

qui représente le résultat de l’interférence des trois sources

Soi Se

On retrouve ainsi, par la méthode plus générale de Lord Rayleigh le résultat de la théorie d’Abbe.

Si on place dans le plan R' une plaque sensible, on obtiendra un réseau image dont la constitution dépendra de l'équation (1). Si on admet que l’amplitude de la vibration qui traverse (ou qui est réfléchie par) le réseau image suit la

même loi périodique que l'intensité de la lumière qui a

servi à faire la photographie, cette amplitude sera représentée par l'équation I(u) — A?(u).

On retrouve ainsi l'égalité que Porter met à la base de ses calculs où l'amplitude lumineuse donnée par un réseau est développée en série de Fourier (!) chaque terme du développement représente l’effet d’un réseau « simple » donnant un seul ordre de spectres, les intervalles fondamentaux des réseaux simples successifs sont les sous multiples entiers de l'intervalle fondamental du réseau considéré.

Le résultat photographique pourrait donc être modifié suivant le nombre des spectres admis dans l'objectif. La figure 16 montre le résultat obtenu d’après Porter pour un réseau dont les traits opaques sont doubles des intervalles

transparents (2) : Il

Les courbes représentent les variations de l'amplitude en fonction de £ suivant le nombre de spectres admis (nombre indiqué en chiffres romains).

Si l’objet photographié au lieu d’être traversé par un faisceau de lumière parallèle peut être considéré-comme lumineux par lui-même (*), le calcul est analogue mais au lieu

(*) Voir aussi Sroxey, Phil. Mag., 2 (1896), p. 335.

(2) Ces courbes figurent l’amplitude lumineuse, la courbe de VPintensité s’en déduit facilement.

(5) Dans ce cas la théorie d’Abbe ne s'applique pas.

d’additionner les amplitudes au plan conjugué, il faut ajouter les intensités :

me sin? y sin? (u + v) Sin? (4 — 0) Res Mer Que up ce:

on obtient de même :

I(u) = I, + I, cos 2m — +. L;0c0s 2rp — +

: 5 ; M re a) la somme étant continuée tant que p est inférieur à le

résultat est donc semblable à celui qu’on a obtenu dans le premier cas ; cependant il faut remarquer que la limite inférieure de v qui était 2x dans le premier cas n’est plus, toutes choses égales d’ailleurs, que r dans le second cas : la « limite de résolution » est deux fois plus petite.

C'est ainsi que Lord Rayleigh fit ses premiers réseaux photographiques en photographiant à l’aide d’un objectif une étoffe rayée.

Il faut remarquer que notre calcul suppose l’objectif géométriquement parfait. Aussi on ne pourra espérer pratiquement obtenir au moyen d’un objectif la reproduction exacte d’un réseau d'intervalle plus petit que le = de millim.

On peut abaisser cette limite en opérant par contact.

IT. Reproduction d’un réseau par contact. — Quelle que soit la pression exercée entre la plaque et le réseau-objet, il n’en subsiste pas moins entre les deux surfaces un léger intervalle. Il s’ensuit que la reproduction n’est pas identique à l'original : certains spectres peuvent être supprimés, d’autres, au contraire, rendus plus intenses.

On peut se rendre compte théoriquement de ces effets en cherchant à calculer la répartition de la lumière qui à traversé un réseau plan sur un plan parallèle à celui du réseau situé à une petite distance de celui-ci.

Le calcul de cette répartition a été fait par Lord Rayleigh

dans sa « Théorie du Son» (t), j’utiliserai ici la méthode donnée par le même auteur dans son article de l'Encyclopédie britannique (Théorie ondulatoire de la lumière) (?). Prenons un réseau dont les traits sont opaques et éclaironsle en lumière parallèle normale au réseau. |