CHAPITRE I

< Wirbelbcwrpingcn. — Wirbclfa<lcn. -- Rotalional motion. — \'orle\ motion, etc.). Caufhv. — Stoke». — Von Helmbolix. — Sir \V. Thomson. — Kircbhoff. — J.-(I. .Maxwell.

Lamb. — Lf)rfl Ra^lci{;h. — Beltrami.

1. Propriétés analytù/ues. — Les Irois projections //, r, %v «riinc grandeur (liriprc q^ finies et continues, ainsi que leurs dérivées premières, dans toute une région de Tespace, jouissent de certaines propriétés générales indépendantes delà nature de la quantité représentée.

fîrcvn, — Soit ^ une fonction à détermination unique, finie, et continue ainsi que ses dérivées premières à l'intérieur d'une surface fermée S; on a

Les intégrales triples sont étendues à tout le volume; l'intégrale double à toute la surface fermée S ; /, m, /i sont les cosinus directeurs de la normale extérieure à la surface S.

Si les fonctions //, r, ii* changent brusquement de valeur sans cesser d'être finies en tra\ersant une certaine surface I, il faut concevoir la surface S comme formée de deui parties S|, S3, situées de part et d'autre de 1! et complétées respectivenieiil par des surfaces 2I| , £3, infiniment voisines de ï l'une d'un côté, l'autre de l'aulre. Kxcluant des intégrales triples la couche mince comprise entre les surfaces ï,. 1], on est conduit à ajouter au second membre l'intégrale double

«»ii /, ;a. V définissent la direction de la normale qui traverse la surface du coté 1 au côté j.

Stolit\i, — lue courbf fermée simple s limite une aire S qui n'isole aucune portion de l'espace. On a

/'(„••-. . .■1.*\^,..ti ),/,= /Y|/( l'i' - "-!• )^n,("^ - "" ) ..«('"^ - '-li' ,K/S.

J \ ttt ifs à$ ) JJ [ \'fy Os/ \iU itx J V'*x ^ij/i

rintégrale simple est étendue à la courbe fermée, l'intégrale double à Taire limiléc par celle courbe. La direction positive de la normale à la surface S est liée au sens de parcours de la courbe fermée 5, comme la force magnétique au sens d'un courant électrique, par )a règle d'Ampère. L'énoncé général de cette proposition semble dû à Stokes (i845), bien que des cas particuliers aient été fréquemment employés auparavant, notamment par Ampère dans toute la théorie de TÉlectrodjnamique.

Lorsque la courbe fermée s traverse une surface de discontinuité 2 de w, v, iv, il faut la compléter par deux lignes parallèles 7|,<T2 situées dans la surface S de part et d'autre de l'intersection t de S avec S. Excluant de l'intégrale double la bande comprise entre les lignes o-i, 0-2, on doit ajouter à l'intégrale simple le terme

-+- / [("i — i/j)(/nv — lin) -h (^1 — t'j)(nX — v/) -h(wt — «',)(/{jl ~ mX)] d^

Transformations, — On peut remplacer les trois fonctions w, r, w par irois autres d'une signification plus simple. Deux de ces transformations qui servent dans toute la Physique mathématique ont été employées pour la première fois, Tune par Stokes (1849), Tautre par Clebsch (Cre//e, t. LVI, i858) en Hydrodynamique.

Transformation de Stokes-Helmlioltz :

dP ^ ^ "" dx dy àz '

dP ^ ^

~~ dy dz dx

dP dM dL

ôz ôx Oy

et l'on peut assujettir les trois fonctions L, M, N à une condition. On choisit ordinairement la relation

dL aM ^

dx dy dz ~^ '

Transformation de Clebsch ( * ) :

d^ y d^ ^ d(^ -¥■ XrJ») ^ d^ ^ dX

" dx dx " dx dx dx

avec les deux analogues.

(*) CcUc transformation n'est qu'un cas particulier d'une transformation étudiée par M. Hill, en i88i, au Quarterly Journal of Mathematics,

I M. BRIIXOl'l?!. A

Lo» propriclé^ générales i\o ces deux Iransformalions sont exposées inélho(li(|ti«'ment dans la Thcorica délie Forze newtoniane de E. Belli, p. .'ioi-3i3.

I*arnii les neuf qiianlilés qui définissent les variations de i/, r, ii* en passant d*un point à un point \oisin, certaines sont susceptibles d'expressions simples :

./r r(i> #ii • ^ \ Os^ tiy* i/c' /

.j : . . ^^ AL = i ( — ^. i ) »

a%er le'» expressions analoijues p<»ur » — » ciue nous représentons par

*r,, *!J. I^a direction ;, r.» !J est tangente aux deux familles de surfaces A, y.

pour ta brièveté du langage, \v regarderai dès à présent //, i', ii* comme repré- >entant la vitesse actuelle du lluld** en un point (T,^', z)y suivant la notation dKuler. Si Ton connaît ces trois fonctions des coordonnées et du temps, on aura la position initiale x^. y^, z^ de la masse li(]uide cpii occupe actuellement la position ( .r, >-, 2 K «'u intégrant le svstème d'équations dilTérentit^lles ordinaires du premier <»rdre

<lx <ly flz

7/ • ttf rit '

avec les conditions x r^ j*«, r = Vy, v = r^ pour / = o.

ti. Pour une nia^^se liquid«' dont la forme actuelle est celle d*un cube, à côtés

eles aux axe»* coordonnes, ♦ — ♦ - représentent les vitesses de dilatation • iix oy oz '

linéaire des côtés, h la vit«*sse de dilatation cubiiiue, ■ - -, ... K«s vitesses de

■ Oy ifz

glissement relatif des faces parallèles, et ;, r., IJ les vitesîics de rotation du cubr autour de parallèles aux axes passant par son centre de gra%ité. On peut démontrer faciirment « ' ) cpie les quantités ;. r,. IJ sont les \il«»sses d«» rotation que prendrait tout élément de volume à moments d'inertie égaux s'il était instantanément solidifié; c«» sont aussi les vitesses <le rotation movennes de cet élément, définies conformément au principe des aires, autour de parallèles aux axes, passant |>ar ^oi\ rentre «le gra\ité.

l^ vitesse de rotation t*i, dont les composantes sont $, r,. ÎJ, a donc une signification physique très nette; quand elle est nulle, //, \\ «r sont les déri\ées en r. 1 , z d'une même fonction qu'on appelle \c potentiel des vitesses. I-ii \itessede

l») Stoxc*. Âtath. and ph)i. Papen, t. I. p. K», m: iHJS. — lIcLxnoLTi, Abh., i. I, p. toV

rotation Ç, tj, !^ satisfait toujours identiquement à la condition solénoïdale

Cette condition introduite dans la formule de Green, où Ton fait

montre que la somme des produits de Télément de surface par la composante normale de la vitesse de rotation est nulle pour toute surface fermée. Pour une aire limitée à une courbe fermée, la somme de ces produits est donc indépendante de la forme de la surface; elle ne dépend que delà courbe contour, et sa valeur est, diaprés le théorème de Stokes, égale à la moitié de l'intégrale curviligne

que nous appellerons, avec Sir W. Thomson, circulation le long de la courbe fermée.

Appelons ligne-tourbillon une ligne qui a pour tangente en chaque point la vitesse de rotation (o relative à ce point; il ne passe en général qu'une lignclourbillon par chaque point de l'espace. La surface engendrée par une lignetourbillon qui se déplace le long d'une courbe fermée est un tube-tourbillon clos latéralement, ouvert seulement aux deux bouts. La composante de la vitesse de rotation normale à la surface latérale est nulle par définition; la circulation dans un circuit fermé tracé sur le tube, en rencontrant une fols et une seule chacune des génératrices, est donc la même, en quelque point du tube qu'on transporte ce circuit. Nous appellerons intensité du tube cette valeur commune de la circulation. De là résulte qu'w/i tube ne peut pas se terminer au milieu du fluide; il se ferme sur lui-même en forme d'anneau, ou bien s^étend Jusqu^à la paroi ou jusqiC aux surfaces sur lesquelles //, v^ sv cessent d^étre continues et d^ai'oir des dérivées. Dans ce cas encore on peut concevoir que le tube se ferme dans la surface même (n° 3; n** 6).

Ainsi la partie de l'espace dans laquelle existent des rotations doit être conçue comme divisée en anneaux-tourbillons fermés, d'intensité uniforme dans toute leur longueur. C'est la première partie de la proposition importante établie pour la première fois par M. H. von Helmhoitz dans le cas des fluides incompressibles ( 1 858). La démonstration suppose uniquement la continuité de u, r, iv, mais non celle de Ç, 7., 2^; si la rotation est discontinue, le tube présente au point correspondant un angle fini.

3. Surfaces de discontinuité. — La quantité u, ^, iv peut avoir des valeurs différentes w,, i',, <V|, ^2, ^2, W2J de part et d'autre de certaines surfaces particulières

b M. BRlLKOriN. d

£. La direction )., ;jl, v de la normale à la surraro S traverse celle-ci du côté i au vùir a. La discontinuité est définit» par trois quantités //, — //|, Tj — Ti, iVj — iv,, auxquelles on peut en substituer trois autres analo(;ues aux dilatations et aux rotations et qui permettent de conserver les énoncés généraux déduits des formules de (ireen et de Stokes,

aS rr tl( if, -- «', ) — V(f| --i'i ), U H — V ( fi| — fi| ) — X( H't — U'i \, k'L — X (i'j — i», ) ~ ll( M, - M, ).

soumises à la relation

). 2 -*- uH — vZ - o,

(|ui exprime que la direction H, II, / est tangente à la surface £; elle est en outre perpendiculaire à Paccroissement fini u^ — W|, i'j — i'i, iVj — ii',, de //, r, ii* (Hklmhoi.tz, i8j8).

Dans rinterprétation livdrodvnamique, on regarde ordinairement la densité superficielle de la matière comme constamment nulle; alors B est nul.

Il n'en serait pas nécessairement ainsi en Électrostatique, ou même en Hydrodynamique à la surface de séparation de deux liquides didérents. Mais la considération de ces dilTérences nous entraînerait trop loin de notre sujet.

Les quantités S, IL % sont de même nature que les produits des quantités ^, 7., !^ par une longueur. I^c produit d'un élément de longueur pris dans la surface S par la composante de HHZ normale à cet élément est une intensité.

Les courbes de la surface ï tangentes en cbaque point à S, H, Z sont des lignes-tourbillons; l'espace compris entre deux lignes-tourbillons est un fuseautourbillon; la surface 2) elle-même une coucbc de tourbillons. Mais Tintensilé d*un fuseau-tourbillon n*est pas nécessairement constante dans toute sa longueur. Soient l|, 1) les intensités des tubes-tourbillons qui découpent sur la surface 1) une longueur finie d'un fuseau-tourbillon, et oJ l'accroissement de l'intensité du fuseau-tourbillon parcouru dans le sens positif; traçons des sections (|uelc<m<|ues des tubes-tourbillons i, u, de part et d'autre de la surface ï. L'intensité totale qui sort du volume ainsi limité est nulle, par le théorème de Stokes; on a donc

oJ -^ 1, — I, —• o.

Ia!S tuhes^tourbiltnns se ferment tous, en partie par une continuation du tube Hr l*ttutre côté t/e la sur/ace ï, en partie par un fuseau situé sur cette surface. Pourtant, si les deux valeurs de la vitesse de rotation normale

sont partout égales de part et d^autre, les fuseaux forment un système superficiel fermé ou indéfini, à intensité uniforme, complètement indépendant des tubes; et ceux-ci traversent la surface sans variation d^intensité. Enfin, si d^un côté de la surface il n'y a pas de rotation, tous les tubes de l'autre côté se ferment par les fuseaux superficiels.

Ce dernier cas se présente en particulier lorsque tout le fluide contenu à l'intérieur de la surface de disconlinuité se meut comme un solide indéformable; les vitesses superficielles du fluide intérieur sont alors identiques aux vitesses que prendrait la surface d'un solide de même forme, dans son mouvement d'ensemble. M. Beltrami a traité en détail (1874) l« cas où la surface de discontinuité appartient au système des surfaces liomofocales du second ordre.

4. Si Von connaît les vitesses de rotation Ç, r,, Ç et la vitesse de dilatation cubique à V intérieur d'une surface fermée, ainsi que la composante normale de la vitesse de translation lu -+- mv 4- mv sur la surface limite, les trois fonctions u, c% iv sont entièrement déterminées dans tout l'intérieur. En eflet, il ne peuty avoir deux solutions différentes i,2.La[diff(érencedesvitesses«/| — Wj, ... a un potentiel V,(5i — vi = o, ...), qui satisfait à AV = o, (0| — 82 = 0), dans tout

l'intérieur, et à -p = o, sur la surface, (lui-\-nn\ 4- mv^ — /wj — mv2 — /i(V2 = o).

On sait, par le théorème de Grcen, que ce potentiel V est constant, et la différence des vitesses nulle, si la région considérée est simple.

Si la région est multiple d'ordre /i -+- i , il faut connaître en outre les valeurs des n constantes cycliques (Thomson, 1869). Une région est multiple lorsque certains circuits fermés ne peuvent pas être réduits à un point sans sortir de la région. La circulation sur un de ces circuits peut avoir une valeur diff'érente de zéro, malgré l'existence d'un potentiel des vitesses; mais, pour tous les circuits réductibles les uns aux autres, la circulation est la même. S'il existe /i circuits irréductibles distincts, la région est multiple d'ordre /i + 1; les n valeurs distinctes de la circulation s'appellent les n constantes cycliques. Tel est un volume sphérique contenant un nombre quelconque de solides pleins, et des solides percés d'un ou plusieurs trous, comme des anneaux, des grillages, etc., de telle sorte que le nombre des trous distincts soit/i. L'extérieur d'un cylindre indéfini, l'extérieur ou l'intérieur d'un tore sont des espaces multiples du deuxième ordre.

Quand les constantes cycliques sont données, la diff*érence des deux solutions a un potentiel uniforme, puisque la circulation est alors nulle dans tous les circuits; le théorème de Grcen (*) montre que les deux solutions sont identiques.

(fx (ly oz On

8 M. BHILLOriN. 4

Il en est de m<ime s*il v a des surfaces de discontinuité, pourvu que Ton connaisse le long de ces surfaces la difierence des valeurs Mj — 1/|, t'a — Ti, iv^ — i^'i.

Espace infini, — Les fonctions P, L, M, N peuvent i^tre mises sous forme d*intégrales quand aucune paroi située a distance finie ne limite Tespace (Stokes, 18.(9, On the dvnamical theorv of diffraction , Secl. I) :

I-e< inléj;rales triples sont étendues à tout Tespace; les intégrales doubles aux surfaces de «liscontinuilé. Stokes n'avait pas tenu compte de ces dernières. On suppose (|ue Ç, 7^, ^, 0, Z, 11, Z, H ii*ont de valeurs fmies qu'a distance finie; à rinfini, 1/, i\ iv sont nuls; ;, r,, ^, Z, II, Z doivent d'ailleurs satisfaire aux conditions n" 3.

Analofric rlectromapn^tique. — On prut regarder la %ilesst» en un point comme la résultante de vitesses dues aux dilatations cul)i<|ues h et aux rotations cji dans tout Tcspace; chaque élément de volume (l\ contribue ainsi pour sa part à la production de la vitesse en un point (pielconque. La part due à la dilatation

est identique à la force magnétique duc à une distribution de densité — tz* ^^ M"'

pro\ient de la %itesse de rotation co est identi(pie «1 la force électromagnétique

produite, suivant la loi de I^place, par une distribution de courants électriques

f r " -^. — ^» -—(M. I-a loi générale de distribution de ces forces mas:né'tiques est si

familière au phvsicien, il est si facile de réaliser le spectre magnétique de courants distribu«''S comme on veut, que cette ingénieuse remarque trilclmboltz fournit sans calcul Texplication de bien d<'s phénomènes.

Espace limité simple. — IjA condition à la paroi n'est pas satisfaite par les valeurs de P, L, M, N écrites plus haut ; il faut les compléter. Malheureusement on ne sait pas, jus(pi*a présent, le faire au moven de la seule donnée nécessaire, la

( ' ) Il cft fanlr de %Vn a^^urer co réuDi«%ant »ou4 k mdnie «^ignr d'inlcgrdition lc« ternira trN 4|ur

M. «^M rfN tt\ tt\i

— . -r ■ Cl

Ox Oy Os ity tlz

Dan% la rf|[inn orrap^e par Ic^ courante, rrttc force ricctroniagnëliquc, comme on ^ait, n'a pas de p<»leiiliel ; mai4, dan* l'espace extérieur aui courant*, elle en a un, U\ qui permet de remplacer

' ' T H** '* ' ^^ poleotiel M^ e»l eo f éocral multiple, tandis que le potentiel P e»t «simple.

vitesse normale. M. Bollzmann (1871) a fourni à ce sujet quelques indications que je vais reproduire en les généralisant. Supposons que l'on connaisse les trois composantes de la vitesse sur la surface limite; ce sont des données surabondantes^ on ne saurait donc les prendre au hasard. Remplaçons la surface limite par une surface de discontinuité et la matière située au delà par le fluide lui-même indéfiniment étendu.

Premier cas. — La paroi entière est rigide et immobile, — On peut supposer le fluide extérieur complètement immobile. Les termes complémentaires sont, en faisant u^i v-it (v^ nuls,

1^' est nul dans les applications hydrodynamiques.

Deuxième cas. — La paroi extérieure est rigide et immobile. Les parois internes sont mobiles comme des corps solides. — Les termes complémentaires ont la même forme; ^2? ^'s» ^^'2 sont nuls en dehors de la surface externe; dans les corps solides, U2y i'a, (^2 sont les vitesses superficielles elles-mêmes de ces corps.

Tkoisième cas. — Les parois internes sont mobiles et déformables; elles enferment un volume constant, — On peut se donner arbitrairement les vitesses internes satisfaisant à la condition dMncompressibilité et fournissant les valeurs de la vitesse normale de la paroi; on en déduit les rotations internes ^2» ""^a» ^2^ et les rotations superficielles S, H, Z5 les termes complémentaires comprennent des intégrales superficielles et des intégrales en volume; le terme complémentaire P' est nul. Tel est le plan adopté par M. Boitzmann.

Quatrième cas. — Le volume enfermé par les parois internes varie d'une manière connue. Lm paroi externe est déformable. — La méthode générale consiste à ajouter aux rotations et dilatations connues dans une certaine région des rotations et dilatations étendues à tout le reste de Tespace, en partie arbitraires, mais satisfaisant aux conditions relatives à la paroi, de manière à retomber sur le cas de Stokes. On peut se donner les valeurs u^ Vy w au dehors d^une manière entièrement arbitraire, pourvu qu'on tienne compte des surfaces de discontinuité dans les termes complémentaires. Parmi les conditions qu'on pourrait s^imposer, se trouvent Tuniformité de la dilatation cubique, qui facilite en général le calcul du terme complémentaire P', Tégalité des vitesses normales aux parois qui supprime dans P' l'intégrale superficielle. On pourrait même ajouter que les vitesses aient un potentiel, ce qui achèverait de déterminer le problème, sans le rendre plus facile.

lo M. BMLLOUIN. D

o. lùiuations du mou\*ement d'an corps continu, — Le fluide continu que nous allons étudier dans ces deux premiers Chapitres est supposé absolument dépourvu de diflusibilité. Si a un instant quelconque on trace dans le fluide unr surface fermée, la partie du fluide qui est située d'un côté de cette surface ne se mélangera jamais avec le reste; les parties du fluide qui forment la surface ne «•e>>eront jamais de former une même surface continue qui se nieut et se déforme a%ec le fluide. Kn particulier, on peut diviser le volume entier en éléments «pii enf<*rment toujours les mêmes parties du fluide malgré les changements de •;ran- «leur et de forme (ju'ils éprouvent, et qui se meuvent comme des points matérieU. (llausius a montré dans sa théorie cinéticpie des gaz comment la diflusibilité a pour conséquences la conductibilité calorificpie, et le frottement interne; il en e.>t de même <lans le cas des liquides, mais nous réserverons C4'tle question pour un < Chapitre ultérieur. Suivant les notations (rKuler, nous appelons z/, r, ii' les vitesses

aeluettes du point matériel qui passe en x, >% 5, el jr- la dérivée par rapport au

• temp> d*une fonction relati%e à la masse mobile et non au point x,^, z de Tespace. Oii !»ait qu'on a symboliquement

'ft

djr

0fj'

Les é(|uations du mou\ement d\in fluide parfait sont

ri le> d«*u\ symétriques; p est la pression normale, z la densité et X, Y, Z la force extérieure <|ui agit sur Tunité de masse. On doit \ joindre Téquation de eonser%.v tion de la matière

lu ^

Lnlin il faut exprimer les propriétés plnsi(|ues du fluide (|ue l'on étudie. Les ea*» 1rs plus simples sont ceux où, par suite des conditions particulières du problèuif, on peut re^carder la pression comme une fonction de la densité; c'est ce qui arri\«' hirsque la température du fluide est uniforme dans toute son «'tendue, ou encore lorsqueaucuu échange de chaleur ne se produit entre les éléments de %olume eouti^Mis. (les conditions ne sont jamais remplies qu*approxiniati%ement, et, lorsqu'on \cut serrer de plus près la réalité», on rencontre des difficultés consid<'-rables; au lieu d'une relation finie uni(|ue entre la pression et la densité, on doil écrire plusit'urs étpiations diflerentielles comprenant la température et faisant inter%«'nir la conductibilité calorifique. Ilelmholtz et Kirclihofl* ont abonlé sous cette forme «pielque» problèmes d'acoustique, njerkness a particulièrement

étudié le moyen de conserver une équation finie unique, lorsque les mouvements sonl périodiques (^c/rt mathematica, i884).

Dans un corps quelconque, susceptible de grandes déformations et d'écoulement sans rupture, les forces élastiques ne sont pas nécessairement normales; on doit

remplacer dans les équations d'Euler les termes, tels que — ~> par les groupes de

\t»t \-|i AT*

termes -f-î- 4- -3-^ -f- --^, suivant les notations de Lamé. Reste la difficulté physique ox oy oz I ~ I

de découvrir les relations de compressibilité, de dilatation et de frottement qui

lient les pressions normales et tangentielles à la déformation et à la vitesse de

déformation, ainsi que les relations calorimétriques correspondantes. Lorsque

Télat d'équilibre ne dépend que des pressions normales, on a admis que les actions

tangentielles et les excès des actions normales sur leur moyenne ne dépendent

(jue de la vitesse de déformation et non de la déformation elle-même : c'est ce qui

arrive pour tous les corps gazeux ou franchement liquides; l'expérience a même

montré que, dans des limites fort étendues, ces actions sonl proportionnelles aux

vitesses de déformation. On a alors

Mais il n'en est plus de même pour les cires, les résines liquéfiées, les solides mous sous les pressions employées par M. Tresca. Les oscillations de flexion et de torsion de fils métalliques fins révèlent déjà des actions de ce genre, dont les lois élémentaires sont encore inconnues malgré de nombreuses expériences. La suite de (^et article fera comprendre sur un sujet beaucoup plus simple le genre de difficultés que l'on rencontre, même pour les fluides parfaits, dès que l'amplitude du mouvement exige l'emploi des équations difl^érentielles complètes (Chap. II).

Les forces extérieures X, Y, Z ont généralement un potentiel V; une seule exception importante se présente, quand le liquide est parcouru par des courants électriques.

Enfin il faudrait écrire les équations à la surface : elles comprennent une équation cinématique, exprimant la conservation de la vitesse normale à travers la surface, et une équation statique, exprimant que la diflerence des pressions />i,/>2, de part et d'autre de la surface, est égale au produit de la tension superficielle A par la courbure moyenne c. On néglige généralement l'influence de la tension superficielle quand la courbure de la surface de contact est un peu grande ( ' ).

(*) Cette manière d'écrire les équations suppose essentiellement qu'il n'y a pas de variation rapide de densité au voisinage de la surface; les équations générales seraient une équation de conservation de la matière avec accroissement de la densité superficielle, comme en électricité statique, et trois

M. BRILLOUi:«. 6

(), Permanence des lahes-touri/il/ons. — (lonsidërons d*abord un fluide sans froUement, soumis à des forces extérieures douées d*un potentiel à valeur uni(|ue en chaque point, dont la pression est une fonction détcnninécde la densité, l. ne combinaison facile des é(|ualions «rKuler donne

TÛJ \ fis *ls iis) X-x^ J p /a'

en tenant compte de la relation

I>( udx) Dm , ,

rintéj^ration est étendue à une p<»rtion finie de courbe, mobile avec le fluide (*) (Thomson, i^(>9). La fonction entre parenthé<^es est uniforme, et le second membre s*annulc quand la courbe est fermée. Ainsi la circulation dans une courbe fermée mobile avec le liquide ne chan^^e pas avec le temps. Il en est de même de lintensitc du tube-tourbillon dont cette courbe est la directrice.

Ihina un espace où les vitesses i/, i', ii* sont continues, un anneau-tourbillon est toujours forme île la même matière et fltair dUine intensité in\'arialfle,

La première démonstration de cette propriété pour les liquides est due à lielmholtz(i8.i8). Dans ses lierons <h*I*h\sique mathématique (i8-- ), Kirchhotra «iéduit le même ré*iultal de la marche même au moven de laquelle (^auchv avait établi, pour la [iremière fois, ri<:oureusement, le principe de la conservation du poteutirldcs vitesses dû à I^agran<;e. I^a métho<le (riletmhottz peut être facilement étendue à tous les fluides ( Nanson. iSS.V). On montre que la vitesse de dilatation linéaire dans la direction de la \itesse de rotation i, r, , ^ est propoitionnelte à ta

%itt'ssr d*accroissement du rapport ~ tie la vitesse de rotation à la den-iité; ce qui

équixaut à la conser\ation de TinteuNité, si Ton tient compter de la couNcrvation th* la ni.Kse dans un élément de tube-tourbillon.

ri|uati«iti% il« iijmi<|ti«'« tir iii<Mi\i*iiirnt d** cfllr murhc ••ii|»rrfirirllc «^ou^ rififlu«Mi<"«' •l**'» f»irrr^ «]iii \é «••11m ilriit. 1^ fi»r«i' ti«»riii4lf' j lj *urf4i'c c»! p^ — /',"*" <* ^' '**** f«»n'CH tjng«MitK*IIc> "»»>ni Iri variation^

•Ir \jt tiMioiofi «uiMTlii H'ilr — I -—I lit>«'H jui \ari4lion<» <1<* lj <l«*OHiic «up^rGrirlIi' iMr uni' riiiutinn <lf'

' o* itt I r I

r4i«%<-nt l'^tr* If^ «Iriiii ^onitiii'^ *\r% «iir%«r«ilu li<|iii«lf* rt <lr U |>ari»i ro r(»ntart.

I ( rjtil *\nr u, t'. li' «nul r»iiitinii«-«. un** iiMirlM* iiii»l»il«* j«er \r llunlr ne poiii pJ^ «tr pimprc; un

tulK*. iinr «urfair frriii* •* rufcniKiil ti»uji»ur« la fti«''iiir iiiatii-rr; il r«*%uitr du Vlriiioirr d«* M. Ilill (iH^i)

I** l'iii; «lu tulx*. ri t{ui m* rtiuikcr^r daii« le iu«>u«cnirnl, jouant aïo^i un r<Mc analogue a celui de

1 uiten«iie.

7 CHAPITRE I. — TOURBILLONS DANS LES FLUIDES PARFAITS. l3

Cas où il y a des surfaces de discontinuité S. — Les trois démonstrations montrent que toute la partie du tube-tourbillon qui reste d^un même côté de la surface de discontinuité conserve son intensité. Deux tubes-tourbillons qui découpaient le même élément é/2 cessent aussitôt de se correspondre : on ne peut même plus les supposer réunis par un fuseau-tourbillon pris sur la surface; car la direction de leur déplacement relatif (wa — W|, v^ — v^^ ^v^ — ^V\) est précisément orthogonale à la direction du fuseau S, H, Z. On doit donc renoncer à la conception de tubes-tourbillons qui se ferment à travers la surface de discontinuité, et regarder deux tubes-tourbillons, situés de part et d'autre de cette surface, comme entièrement indépendants; il convient de distinguer, sur la surface Y,^ deux couches situées Tune du côté (i), l'autre du côté (2), se mouvant Tune avec la vitesse W|, v^^ w^^ l'autre avec la vitesse W2, ^^2? <^'2î ^^ fermant respectivement les tubes-tourbillons correspondants.

Un tube-tourbillon qui aboutit à une surface de discontinuité mobile avec le fluide reste toujours composé des mêmes masses ( ' ).

7. Exceptions dues aux forces extérieures. — La conservation de rinlensilé des tubes-tourbillons est en défaut si les forces extérieures n'ont pas de potentiel ou si ce potentiel n'est pas uniforme. Cela se produira si le liquide tout entier est sillonné de courants électriques permanents ou variables, soumis à leurs actions mutuelles et placés dans un champ magnétique. Soient a, ^, y les composantes de ces courants, a, 6, clés composantes de la force magnétique totale; on a

et il faut, au lieu de V^ — V^, mettre dans le second membre de r«*qiiation (i)

cette intégrale n'est pas nulle, en général, pour un circuit fermé, comni«» on

(') Si la surface de discontinuité se déplace par rapport au tluidc, les tubes-tourbillons (|ui v aboutissent ne restent pas formés des mêmes masses fluides : ils peuvent se former et devenir libres: des annraux peuvent au contraire rencontrer la surface, s'y ouvrir et s'y détruire; pour la matière d'un tube qui passe d'un côté à l'autre de la surface de discontinuité, l'intensité chan^îc do valeur. Mais ce cas est ordinairement exclu : la masse de fluide qui traverse la surfaoe doit y subir un chanjjement fini de vitesse tangentielle, ce qui exijçe l'action d'une force tan;;entielle finie par unit»'- <lo surface, que la capillarité ne peut produire; il existe pourtant dos actions physiques capables do fjroduire de pareilles forces : le frottement superficiel, les actions électroslati<mos sur une c<iuchc superficielle d'électricité non en équilibre, les actions magnétiques sur une couche mince dos courants électriques. Ces cas exceptés, une surface de discontinuité sépare deux masses de fluides a jamais distinctes.

l/| M. BRILLOnrt. 7

s'en assure fucllemont mit un exemple simple. Donc, dans un fluide parcouru par des courants éleclri(|ues :

1** La circulation n'est pas invariahie dans un circuit fermé qui se meut avec le (luidr. Il en est de même de l*intensité relative à une portion de surface limitée. Klle peut croître indrfiniment si le mouvement maintient la mt^me disposition f;éom<'trique dt'S lif^nes-tourbillons par rapport aux lignes de force magnétique et aux courants.

•4** In tuluMourhillon ne se meut pas avec le fluide, il n'est pas lié indéfiniment à la matirre dont il est formé à une certaine époque.

(«Iiarun sait en efl^et comment on produit la rotation électromagnétique des liqui<lrs dans des e\(>ériences classitjues. (lomme ce mode de génération du mou- Moment rotatoire n\i pas été jusipilci utilisé pour Télude même des tourliillons, je nrn parlerai pas davantage.

.le ne parle pas non plus d'un corps doué de magnétisme permanent; la réalité pinsique semble appartenir non à la masse magnéti(pie, mais au moment magnétit|ue; rt'xislenee du magnétisme |)ermanent n\rst possible (|ue dans un corps dont les réactions élastiqut>s pourraient donner sur un ét«'nient de volume un roupie proportionnel au volume. Aueune des théories actuelles de Télasticité ne s'applique à ces corps ; les transformer ici m'entraînerait trop loin; d'ailleurs une aimantalion permanente semble incompatible avec l'état fluide parfait.

/ixrrptions durs tiiijr rrtictions élastiffucs, — Pour un fluide élastique quelronijue, b* terme / -^ est renqdacé par

«Ml Ton iloit tenircomptr des lois de compressibilité. Cette intégrale s'annule pour un rontour fermé queleontpie, lorscpjc la (piantité inlégré'e e>l difli'rentielle f\act«' : cela n'arrive <pie pour certaines lois «le mouvemrnt parliculiér»»s à chaque nature de fluid«* élastiqu<'. Pour h>s fluides |>arfaits eux-mêmes, il faut que la pression soit unr fonclidu <le la densité seule, ce <jui est loin d'être le cas général.

Il e«»t anse/, dillieilr de s«* rendrr compte sans calcul de ta nécessité de ces dixer^es condition^. |)ans un fluitle parfait. Ifs priassions produisent ^ur un élément de %olume un«* [lous^ro normale aux surfaces dégale densité. I)an< un corps <inlinaire. b's réarlit>ns élastiques .\, T [>roduisent au>si sur un élément de %obime une résultant«* uniqn**. mais dont la direction n'est pas liée aux surfaces d'égale di-iiHiti*. L'i vrndde être toute la «liflérence; pourtant, en v reganlanl <le prés, on reconnaît qut-, <lans un fluide parfait, la résullantr des pressions e>t toujours ap-

pHquée rigoureusement au centre de gravité du fluide contenu dans Félément de volume tout comme la force extérieure, el l'inertie de la matière. Au contraire, dans un corps à forces tangentiellcs, la résultante des actions élastiques ne passe qu'approximativement par le centre de gravité de l'élément; pour l'y transporter, il faut ajouter un couple de Tordre du produit de la résultante par le carré des dimensions linéaires de l'élément, et qui dépend des dérivées secondes des N et des T. Pour un cube ce couple ne s'annule que si trois relations entre ces dérivées secondes sont satisfaites : ce sont précisément celles qui expriment que l'intégrale (2) est indépendante de la ligne d'intégration. Quand il n'est pas nul ce couple est du cinquième ordre, c'est-à-dire de l'ordre du moment d'inertie de l'élément de volume : il peut donc imprimer à cet élément une accélération angulaire finie, et par suite altérer son mouvement de rotation autour du centre de gravité (*).

Ces considérations me paraissent indiquer dans quelle direction il convient de chercher la raison élémentaire de la remarquable propriété des fluides parfaits découverte par Helmholtz.

Le mouvement qui prend naissance à partir du repos dans un fluide sans frottement est doué d'un potentiel des vitesses, sous les conditions énoncées phis haut. 11 en est de même pour un fluide naturel, au moins au début du mouvement; mais, si le mouvement se prolonge, le frottement interne, quelque faible qu'il soil, donne naissance à des vitesses de rotation qui croissent avec le temps. Celles-ci peuvent donc avoir une valeur finie dans le mouvement permanent d'un fluide, même assez dépourvu de viscosité pour qu'on puisse entièrement négliger les termes qui en dépendent dans les équations diflerentielles. C'est ce (ju'on verra plus nettement au Chapitre II.

(') Déâîgnons par A, B, C, D, E, F les six composaotcs du moment d'inertie géométrique d'un petit volume quelconque, c'est-à-dire les intégrales de x*, y*, z'^yz^zx, xy. Appelons (0^^, (j*^, \ les vitesses de dilatation linéaire, de glissement et de rotation, et A^, T^, £ des quantités formées au

moyen des forces élastiques par unité de volume -^ h — — ^ h — — '» • • • , • . . , comme (Jt),, ^1' , ; le

•' T r ^jj Oy ÔZ xy ory ^

iont en i/, Vy tv. Le moment de la quantité de mouvement d'un petit volume autour de l'axe Ox est le produit de p par l'expression

(B -t- C)Ç - Fïi - E; 4- D (dO.- (0 ) -h(B - C) Ç,4- Ff,;- E(,\,

et le moment des forces élastiques a la même expression en fonction de A, F, 1. Cela est d'ailleurs évident si l'on se souvient que l'équilibre de translation d'un élément de volume assure réquiliLre complet d'un volume fini quelconque. Dans le cas particulier du cube ( A = B = C ; D = E = F = o), les équations des moments donnent séparément les variations de la vitesse de rotation Ç, t„ (^ d'ilelmholtz. Les conditions S = H = Z = o, qui expriment que la circulation est constante, expriment aussi que la vitesse de rotation d'un élément de volume symétriq.ue est invariable avec le temps.

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Problèmes particuliers.

8. L'analo*;io l'Ieclromagnélîqiie (n" i, p. 8) |>crmct d'étudier facilement quel- <|ues cas importants du mouvement tourbillonnaire dans un liquide indéfini. A un moment quelconque Tintensité et la forme des tourbillons déterminent entièrement la distribution des \itesses Uj r, iv : la vitesse est en chaque point égale à la force é]ectroma^néti(|ue que produiraient des courants électriques avant même intensité et même forme que les tourbillons. Pour se rendre compte de la directitm de la force électromagnétique en un point du courant lui-même, il faut ronsidérer la forer électrod\namique que IVIément de courant subirait par les lois dWmpère, et en déduire la force électromagnétique correspondante. Ayant ainsi déterminé la \itesse de translation d'un élément du tourbillon, il <levient fiieile de reconnaître comment se meut le tourbillon dans son ensemble, s*il subit des df'formations périodiques ou constamment croissantes.

r* A/oUiCmcnt plan, — Vu tube-tourbillon recliligne, de section invariable, d'intensité I, produit autour de lui un mouvement circulaire; chaque c\lindre de

ra\on r tourne avec une vitesse ani^ulaire .; le (îlet reste immobile.

In nombre quelconque de tubes parallèles se déforme et se déplace, de manière que l«* centre de gravi té des intensités reste immobi le (Ilelmhollz, i858;^lt/i.» I,ia3). KirchliofFa montré Texistence d'autres intégrales du mou\ement {Varies,, '*%). J*e\aniinerai seulement ici le cas de deux tubes parallèles.

Deux tubes parallèles conservent une distance invariable d\ chacun d'eux

communique à l'autre une \itesse perpendiculaire au plan commun et égale à