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-—.* rr~/» "** tournent avec la vitesse angulaire -^.,- autour du centre de gravité

de leurs intensités en décrivant des cercles égaux ou inégaux sui\ant que les intensités sont égales ou diflerentes. l^ centre de gravité immobile est entre les deux tubes s'ils sont de même signe ; il est en dehors du c«^té du plus intense, s'ils sont de signes contraires. Deux tubes é^aux et de signes contraires ont un mouvement de translation uniforme perpendiculaire à leur plan. I^ mou- \«'nient qu'ils produisent <lans le plan médian est tangent à ce plan, qu'on peut supposer solide. In tube, situé à une distance d d'un plan lixe, se meut donc avec

une\ite!>se 7-^-% parallèlement à ce plan, comme s'il nmiait en sens inverse de sa rotation. Lu ttiurbillon compris entre deux |>an)is planes qui font un angle -

décrit une spirale de (loles rsin/iQ^a. V,î\ tourbillon \oisin d'un c\lindre circulaire tourne tout autour sans s'en écarter, comme on le voit facilement par la méthode des images.

Un assez grand nombre d'autres exemples de mouvements plans, dans le voisinage de parois cylindriques, ont été traités par les géomètres anglais : Basset, Coates, Ferrers, Greenhill, Hill, Hicks, dans le Quarterly Journal^ le Messengev^ les Procecdings of the royal Society of London, et les Proceedings of the Mathematical Society,

a'' Mouvement dans V espace, — Un tourbillon annulaire, plan et circulaire, se propage sans changement de diamètre dans l'espace indéfîni. La vitesse constante normale à son plan dépend de son intensité, de son diamètre et des dimensions transversales du tube annulaire.

Deux anneaux circulaires égaux parallèles et de rotations inverses ne produisent pas de vitesse perpendiculaire au plan de symétrie; leur mouvement n'est pas changé si ce plan est remplacé par une paroi rigide. A la vitesse de propagation propre de chaque anneau, il faut ajouter la vitesse due à l'autre. Celle-ci se compose d'une vitesse de translation généralement inférieure à la vitesse propre des anneaux et de sens contraire, et d'une vitesse d'accroissement ou de diminution du diamètre, suivant que les anneaux se rapprochent ou s'éloignent. Au total l'anneau grandit indéfiniment en se rapprochant du plan de symétrie; son mouvement de translation se ralentit si la rotation est inverse, il s'accélère et diminue progressivement de diamètre en s'éloignant du plan de symétrie. Comme ces deux mouvements correspondent à des rotations inverses, il ne saurait être question de réflexion de l'anneau contre le plan; il doit s'en approcher sans jamais l'atteindre.

On peut analyser de même le mouvement de deux anneaux de même axe, mais inégaux en diamètre et en intensité. Considérons deux anneaux de même signe et peu différents. Pris isolément, ils auraient des vitesses de translation égales pour certaines valeurs de leurs diamètres. Mais les actions mutuelles accélèrent de plus en plus le mouvement de celui qui est en arrière, B, en le rétrécissant ; au contraire, elles dilatent le premier, A, dont la vitesse diminue jusqu'à devenir égale, puis inférieure à celle de B, si bien que l'anneau B traverse l'anneau A et passe devanl. Désormais les rôles sont renversés, l'anneau Bse dilate et se ralentit, l'anneau A se rétrécit et s'accélère et le même jeu se reproduit indéfiniment entre les deux anneaux qui passent tour à tour l'un dans l'autre sans se quitter jamais (Helmhollz, i858). J.-J. Thomson, qui a étudié à fond celte question (i883), a précisé les conditions de ce mouvement, et les relations qui existent entre ses éléments. Considérons deux tores circulaires, engendrés parla révolution de deux circonférences concentriques autour du même axe, et animés de la même vitesse de translation le long de cet axe. Chacun des anneaux décrit la surface de l'un des tores. Le cône variable qui les réunit passe toujours par la circonférence axiale commune. Les intensités des deux anneaux sont sensiblement en raison inverse du diamètre de la

M. BRILLOriN.

section nu^ritlicnno du tore correspondant, pourvu que les volumes des tubes-tourhillons «>irnt les m<}mes.

l)(Mi\ anneaux de même «i\e, mais désignes contraires, marchent Tun versTaulre; le plus |)etit se ralenlit, grandit et traverse Tautre qui s^esl dilaté pour le laisser passer, en se ralentissant s'il n*est pas tr«*s grand, en n'accélérant au contraire s'il e%l lieaueoup plus grand. Après cela, tous les elVets changent di' signe, et les anneaux se >éparent en général. Il ne semhie pourtant pas impossible que Tun des deux, plus intense et plus grand, entraîne Tautre dans son mouvement de translation, ehaeun oscillant autour d\ine |>osition movenne.

11. (lliaqu«* tube-tourbillon est accompagné d'une certaine quantité de fluide denur de rotation, qui lui f()rme une sorte d*atmosphcre. Cette atmosphère peut d'ailleurs >e séparer du tube-tourbillon quand il subit unt* variation d'énergie tempor.iire ou permanente par une cause (pielcon(|ue. Sir \V. Thomson en a donné un exeinpit% dans le cas de deux tubes parallèles, égaux et de rotations in\erses { iS<»7M//i.'. i"^. I*a \itesse de translation des tourbillons est moindre que celle

Fip. I. — (W. T«OM»«»^. Proc. H. S. £V/., iHl»;.)

qu*iU produisent entre eux sur une certaine étendue du plan médian; il existe un cylindre, lieu des points où la vitesse* du fluide a une composante // perpendi- ( uLiire au plan des deux tubc^s égale à leur vitesse de translation commune U : c'est ce c\lindre qui limite l'atmosphère ; il entoure les deux tubes. A Tintérieur de rc c\lindre la \itesse u du liquide parallèle à la vitesse de translation des tourbillons est su(>érieure à U; elle est moindre à l'extérieur. Les courbes tracées sur la ligure sont des lignes de flux par rapport aux tourbilhms. I^s lignes extérieure»». (|ui n'ont pas été tracées, sont grossièn*ment parallèles à Taxe île svméirii» dont elles s'écartent |H)ur contourner l'atmosphère des tourbillons mobiles. Les équations de ces lignes sont très faciles à déduire de l'analogie électromagni'lique. Kllc^ sont indépendantes de l'intensité.

Dans le cas des anneaux circulaires, ratmosphère également indépendante de rintensité a beaucoup moins d'étendue; elle est généralement contenue à Tintérieur d'un anneau qui enveloppe le tourbillon; son épaisseur dépend du rapport du volume du tube à son ouverture. C'est seulement quand cette ouverture est

petite (a < q^*'^^*) ^"^ ^^ surface limite coupe l'axe; d'abord concaye au centre, puis convexe, elle s'allonge à mesure que l'anneau-tourbillon se rétrécit.

10. Vibrations des tourbillons, — Dans tous les exemples précédents, le mouvement a un caractère permanent. Mais il importe d'aller plus loin et d'étudier les lois des vibrations des tourbillons, pour savoir quelles sont les formes stables. Les déformations de la ligne axiale du tourbillon d'intensité I peuvent quelquefois être étudiées sans hypothèse sur la distribution de l'intensité dans la section du tube et sur la forme de cette section; mais il n'en est jamais ainsi des variations de forme de la section. On s'est borné jusqu'à présent à l'étude des tourbillons liquides dont l'intensité est uniformément distribuée dans la section droite; cette uniformité de distribution se conserve, quelles que soient les déformations du contour de la section droite, et l'on peut calculer par quadratures les vitesses internes et externes dues au tourbillon déformé.

1^ surface limite du tourbillon est constamment formée des mêmes parties fluides; si on la représente par F(x^yj z, /) = o, à chaque instant on a

ôF OF ôF ÔF

(l) -r- -^ W -T- -+- i> -7- -MP -r- = O.

Ot ùx ôy oz

On choisit d'abord le système de coordonnées géométriques le mieux approprié à la forme particulière du tourbillon, et on prend pour la fonction F un développement en série dont les coefficients seuls dépendent du temps. On en déduit par des quadratures (n" 4, p. 8) les valeurs de w, c, w sur le contour en fonction des valeurs actuelles des coefficients, et on les porte dans l'équation (1). Oll(;-ci se décompose en autant d'équations diflérentielles du premier ordre qu'il en faut pour déterminer tous les coefficients en fonction du temps. Il ne reste plus qu'à intégrer, ce qui présente presque toujours des difficultés insurmontables. Toutefois il est ordinairement assez facile de décider si la forme type adoptée est stable pour toutes les petites déformations, car les équations sont alors linéaires.

Kirchhoffa étudié en détail (Vorles., p. 205) le tube rectiligne à section elliptique. Soient ^ la vitesse angulaire élémentaire, et a, b les deux axes de Tellipse contour :

i" Le contour de la section tourne sans se déformer autour de son centre avec

une vitesse w ecale a — , »