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a^l M. BRILLOriN. 12

(|iii (Irprndonl du nombre m de tours de riiélice. (>es périodes diflerent peu. Tune de la prriode d*oscillation d*iin anneau circuluire simple pour une déformalion de rang m, Tautn* de la diirrc <lr rotation de i*un des tubes autour de Tautre.

Dans le cas partiruliiT où \os deux anneaux ont même intensité, on en déduit b = b\ mais d reste indéterminé. 1^ forme d'équilibre de chaque anneau n*esl pas rhélice simple tracée sur le tore : il s'y superpose une hélice de pas moitié moindre, comme le montrent les équations en coordonnées cylindriques

p :=z a ." - vus { tit — m i ) -+- -. — ros aTu/ -t- m y ),

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rapi)c»rtées au plan moyen. Les signes supérieurs se rapportent à Tun desanneaun, les signes inférieurs à Tautre; a correspond à la période d<.' vibration lente.

.\ l\'xception de c«* dernier résultat, poussé au second ordre, tous les calculs de J.-J. Tbom^on (iSS.S) sont cics approximations du premier ordre par rapport à

-1* 7 * P<uir des anneaux dont l'axe est sensiblement circulaire. I>a section droite fi '

rst aussi sensiblement circulaire et la \itesse de rotation > est uniformément répartie. Knfiii il ne s*agit que des fluides incompressibles.

M ffis, Tour(»iiions creux. — Dans les mouvements que nous venons (rexaminer, une petite partie du liquide est animée du mouvement giratoire; pour tout le reste il y a un potentiel des vitesses a\er une constante cyclique. Le caractère du mou\ement produit dépend de Texistence de ces deux parties du liquide, t hr.irri\erait-il si Ton supprimait le tourbillon, tout en conservant a la partie extérieure du liquide une circulation I autour du vide laissé à la place du tourbillon? i^e^t ce que M. Ilicks a examiné dans deux Mémoires, parus en i884 et |SM"», qu'il me reste a analyser.

l'rês dr la surfaec d'un anneau-tourbillon de grande ouverture, dont la section rirculaire a un ra\on A, le mouvement du licpiide se compose d'un mouvement de lran<«latioii égal à < i*lui de Télément voisin du tourbillon, et sen>iblenient unif«>rme, v\ tl un mouvement de rotation autour de Taxe curviligne du tourbillon. Kn un point situé à un<* tli^tanee r de C(*t axe curviligne, la vitesse linéaire du mouve-

meni de rotation est M'nsiblement à l'extérieur : elle prend la valeur maximum

'à Tir ' ■

, à la >urfae«* du tourbillon, tliminue et devient écale à — ti dans Tintérieur si la viteHM» de rotation co - — r- ent uniforme «lans la section. I^a pression en un

iHiinl extérieur à l'anneau est alors />• — 5 . - ;• si le liquide n'est soumis à aucune

autre aetion extérieure qu'une pression uniforme />, aux points où la vitesse est nulle. La présence de Tanneau-tourbillon n'est nullement nécessaire pour que le

mouvement extérieur conserve toutes ses propriétés; nous pouvons supposer qu'il est remplacé par un solide déforraable ou non, ou même par un espace vide dans lequel la pression est nulle. Lorsque ce vide forme un anneau de grande

ouverture, c'est le rayon de la section — 1/ ^"î se conserve dans le mouvement. Le volume du vide varie donc avec la grandeur de l'ouverture. Il en résulte que les conditions de stabilité de l'anneau vide, les périodes vibratoires de sa surface libre et du liquide environnant ne sont pas les mêmes que pour un tourbillon plein de liquide, dont le volume est invariable.

Toutes ces propriétés peuvent être étudiées rigoureusement en défmissant le potentiel des vitesses par un développement en série de fonctions analogues aux (onctions de Laplace, étudiées déjà par M. C. Neumann ('), puis par M. Hicks (i88i) sous le nom de toroïdal. functions. Désignons par a le rayon de la circonférence axiale de l'anneau, et posons

la vitesse de translation de l'anneau creux V, et la vitesse relative U du liquide dans la surface libre de l'anneau onl pour valeurs approchées au second ordre

Enfm la section de l'anneau vide n'est pas tout à fait circulaire; elle prend une forme ovale, allongée dans le sens normal au plan moyen de l'anneau, un peu plus aplatie à l'intérieur de l'anneau qu'à l'extérieur. L'anneau creux reste entouré d'une atmosphère qui se meut avec lui; cette atmosphère est limitée par une surface sphéroïde tant que le rayon du vide n'est -pas extrêmement petit : c'est seulement pour /> <C o, CI 6f environ, que cette surface se creuse au centre et prend, elle aussi, la forme annulaire.

Le mouvement permanent de l'anneau peut être altéré par de petites oscillations, qui changent toujours en même temps son volume. Pour une déformation

à n dents de la section droite de Tanneau, la période est sensiblement

Pour une pulsation simple, (/^ = o), changement de volume accompagné des changements nécessaires de l'ouverture et de la section moyenne mais sans changement de forme, la période est - ^ - .- Ce changement périodique de

volume était impossible dans le cas des anneaux tourbillons à noyau liquide. Le second Mémoire do M. flicksosl relatif au cas plus compliqué où Panneau

(') Théorie i/er /\ /('Ci rnitfi/s uiul WàrmeK'ertheilunî* in einent Hinge. \X^i\.

ati M. BR1LL0U1N. 13

tourbillon est forme par un no^au liquide de densilé difTërenle du milieu environnani, à rinlt^rieur duquel peut se former un anneau vide quand les dimensions de rouverture dépassent une certaine valeur.

Production expérimentale des tourbillons.

1.3. Tout le monde a pu ol)*^crver ces anneaux persistants lanc<^s par les fumeurs dans un air calme, ou ceux que produit la combustion spontanée du phosphure d'hydrof^i'^ne. On les voit flotter lentement dans l'atmosphère, se déformer au moindre souille, s'allonger, puis se rompre el persister longtemps encore, en se dissipant peu à peu par les extrémités disjointes. Souvent aussi, Tanneau ne se forme même pas, et la fumée s'échappe dés le début en longue traînée semblable à un fil de la \ ierge. Ces anneaux sont des anneaux tourbillons; ils persistent « sans se rompre, tant qu'ils se meuvent dans Pair calme où les vitesses varient d*unc manière continue. Atteignent-ils une surface de discontinuité ou plutôt, à cause du frottement de Pair, une région de remous et de variations ra|)ides de la vitesse dus à la rencontre de courants d'air opposés, les anneaux se rompent et leurs extrémités s'écartent. La rotation n'a pas pour cela disparu ; mais la partie du tube située dans la couche de discontinuité est devenue si mince que la fumée n'y est plus \isible (n*' 0).

A l'époqur où llelmholtz fondait la théorie et avant de la connaître, en i858 et i86o, llogers en Amérique, Heuscli en Allemagne ont indiqué le moyen de produire à coup sur des anneaux fermés persistants dans les gaz et dans les liquides; ils ont étudié leurs actions mutuelles.

l'our lancer une masse tje gaz animée d'un mouvement de rotation, on profite du frottement superficiel et interne; pour la rendre \isible, on la charge de fumée. Tait et Thomson ont vulgarisé un appareil formé d'une grande boîte cubique en bois dont une face a été remplacée |>ar de la toile peu tendue; la face opposée, prrcér d'une ouverture, porte extérieurement deux coulisses parallèles qui permettent d'introduire des cartons ou des planches percées d'ouvertures plus petites et de formes variées. On remplit la boîte de fumée, soit en y faisant brûler divers corps, soit en y mettant dfu\ assiettes remplies d'aride clilorhydri<pie et d'ammoniaqur. In coup «ire frappé sur la toile fait sortir un |)etit volume d'air chargé de fumée; le frottement latéral rend la \it«*s>e de translation très faible au bord, grande au centre, et produit un mouvement de rotation autour d'axes parallèles au bord, qui !i'étf*nd d'autant plus loin que celui-ei est plus épais. [N>ur des ouvertures de 'jo à aj centimètres de longueur, un carton de 5 ou 6 millimètres convient très bien. Tout près de la boite, on ne distingue d'abord qu'une masse confuse de fumée; mais, à quelques décimètres, la fumée de la partie centrale est restée en arrière, et Tanncau progresse seul avec une vitesse à peu près uniforme.

Dans une salle de cours dont le fond est occupé par un grand tableau noir, on ferme les rideaux des premières fenêtres latérales et on laisse passer seulement un faisceau solaire renvoyé par Théliostat parallèlement au tableau. On place la boîte en face de Théliostat, de manière que Panneau projeté se meuve le long du faisceau de lumière: il reçoit une vive illumination qui le détache nettement sur le fond sombre, aux yeux de tout un auditoire.

14. Le mode de production de Panneau montre sudRsamment qu'il est animé d'un mouvement de rotation, et, comme il parcourt dans un air calme 8 ou 10 mètres sans se briser, il est facile de reconnaître qu'il obéit à toutes les lois que la théorie a indiquées.

I® La vitesse de l'air qui traverse intérieurement l'anneau est moindre que celle de Tanneau lui-même. On s'en assure au moyen de légers drapeaux, de flammes ou simplement de la main, placés sur le trajet de l'anneau. Sur les bords, au moment du passage de Tanneau, un violent remous se produit, avec renversement du sens du vent, qui s'écarte d'abord de l'axe du mouvement et converge ensuite vers cet axe. Ainsi, au centre du tourbillon, l'air dénué de rotation se renouvelle constamment; le tourbillon va san« cesse à la rencontre de nouvelles couches, s'y fraye un chemin, puis les laisse s'écouler en arrière. C'est grâce à cette propriété qu'un court trajet suffit à séparer le tourbillon proprement dit du jet d'air central chargé de fumée, mais dénué de rotation.

2° On peut contrôler l'expérience par l'expérience inverse (Bail, Yeales, 1868). On produit la fumée non plus dans la boîte, mais au dehors, à i mètre en avant, en faisant bouillir dans deux capsules voisines des solutions concentrées d'acide chlorhydrique et d'ammoniaque. L'anneau sort invisible, traverse la fumée, reparaît entouré d'un nuage confus; 1 ou 2 mètres plus loin, la fumée centrale s'est dissipée, il ne reste plus qu'un large tore. En regardant par la tranche, on voit nettement que toute cette fumée environne, sans le pénétrer, un tore de même ouverture dont le cercle méridien apparaît, au milieu de la fumée, comme un double trou sombre de 5 ou 6 centimètres de diamètre. C'est l'anneau-tourbillon proprement dit qui se propage en se conservant intact à travers tous les milieux; il s'en entoure et les entraîne un moment, laisse en arrière presque tout ce qui est dépourvu de rotation et, après quelques mètres de parcours, ne conserve plus qu'une mince enveloppe superficielle qui le dessine et qui a pénétré dans son atmosphère (n'' 9).

3^ Ou{>erture circulaire, — Quand on projette l'anneau normalement contre un mur noir, on le voit s'approcher beaucoup du mur sans grandir notablement. Arrivé à moins d'un décimètre, il s'élargit subitement et s'évanouit avec une rapidité saisissante, dès que son diamètre dépasse i mètre ou i mètre et demi. Si l'incidence est oblique, l'anneau s'aplatit sur le mur en se courbant et finit

28 M. BKILLOCIN. 14

toujours très vite par se détruire. L'intensité et la quantité de matière restant les mêmes, la vitesse de rotation est d*autant plus grande et la section d*autant plus petite que la longueur est plus grande ; faction destructive du frottement interne est d'autant plus énergique et plus rapide.

Tout obstacle placé sur le trajet de Tanneau produit un effet analogue. Pourtant, si rohstarle est en dehors du chemin de Tanneau, celui-ci cesse de se mouvoir en ligne droite. l-.e côté le plus voisin de Tobslacle est ralenti, et le plan général de Tanneau tourne. En même temps il se déforme et se met à vibrer. Une fois Tobstacle dépassé, Tanneau reprend ses dimensions et sa vitesse moyenne, mais sa route a été déviée vers Tobstacle. C'est lout le contraire de ce qu'on a Thabitude d*appeler une réllexion (Sir \V. Thomson, Tail, iHCuj).

4" Kn frappant à une seconde d'intervalle deux coups secs sur la toile, le secrmd un |>eu plus fort, on peut avec un peu d'adresse faire sortir deux anneaux bien formés de même rotation. Le second rejoint le premier, le traverse en se rétrécissant et s'accélérant, tandis que Taulre se ralentit et s'ouvre comme pour rendre le passage plus facile. Quelquefois, quand la différence des vitesses n*est pas trop grande, le même mouvement se reproduit avec interversion des nMes.

:V' Avec deux boites on peut facilement étudiera dans leurs détails les actions mutuelles de deux anneaux quelconques; pour faire celle étude dans les meilleures conditions de précision, il faudrait lancer les tourbillons dans une grande salle ch>se, comme une serre vide, et les regarder du dehors à travers une glace.

&* M. Bail (1871- 1875) a étudié la loi du mouvement de translation d'un anneau circulaiie de a 5 centimètres de diamètre environ dans un long corridor. Le tourbillon e>t lancé avec une vitesse initiale de 3 mètres par le choc d'un pendule qui tombe toujours de la même hauteur sur la toile d'une grande boite de 70 centimètres de coté. Le commencement de la chute du pendule ouvre un circuit électrique, que referme plus tard le choc de Tanneau contre une large feuille de papier tendue sur un léger cadre de bois que Ton peut suspendre à diverses distances sur le trajet du tourbillon. L'ouverture et la fermeture du courant sont enregistrées par un appareil tournant qui mesure le temps écoulé. La membrane est disposée dans des expériences successi\es à des distances croissant par 2 pieds jusqu'à 7 mètres; pour chaque position, on fait dix mesures dont on prend la moyenne.

.'Vu départ et jusqu'à une distance de i mètre et demi environ, le mouvement e«»t accéléré et iiiétliocremcnt déterminé ; au delà il commence à être nettement retardé, mai?» l'étendue den expériences n'est pas assez grande pour déterminer la loi du retard, ('/est ainsi que, d'après M. Bail, des résistances proportionnelles à la \ite«»^e ou au carré de la \ites>e satisfont également bien aux expériences (*).

( ■ I \(« t'Ii-rjtioni Brgati%e9 : o,3|j«% ou v* l(»gncp i,oSiij

L'une des deux lois conduirait à un arrêt de l'anneau à une distance d'environ 10 mètres, l'autre à une progression indéfinie de plus en plus lente. Dans ces conditions, je laisserai indécise la question de savoir si le ralentissement est dû au frottement de Tair, comme semble l'admettre M. Bail, ou simplement à l'action des parois du corridor dans l'expérience citée, et du mur de fond de la chambre dans une seconde expérience, actions retardatrices dans un fluide parfait, ou enfin à la compressibilité de l'air.

7® Oscillations, — Avec une ouverture allongée, dont la longueur ne dépasse pas deux ou trois fois la largeur, l'anneau se produit encore très bien. Les courbures inverses qu'il prend alternativement sont très faciles à observer en le regardant par la tranche; de face l'ellipse paraît se déformer avec la même période; elle devient un cercle, puis une ellipse orientée à angle droit avec la première, etc.

Des ouvertures quadrangulaires, hexagonales, donnent des résultats analogues, mais il faut les découper dans des cartons d'autant plus minces que le nombre de subdivisions du contour est plus grand, pour la même surface ouverte. 11 convient de diminuer en même temps la quantité d'air chassée de la boîte.

En outre, dans l'air, les anneaux tendent rapidement vers la forme circulaire qui seule est stable. La cause principale d'un aussi rapide amortissement n'est probablement pas le frottement interne de l'air, mais sa compressibilité. Le temps qu'exige la propagation d'une modification quelconque produit une différence de phase entre des actions qui seraient simultanées dans un liquide; il faut ajouter, dans les équations d'un mouvement périodique, un terme proportionnel à la vitesse, dont le coefficient dépend de la période du mouvement et diffère essentiellement parla d'un coefficient de frottement spécifique tout en produisant des effets analogues et souvent très intenses.

Toutes ces expériences sont faciles à répéter sur une échelle beaucoup plus restreinte au moven d'appareils simples, dont plusieurs ont été décrits par M. Guebhardt dans la Nature {\^i\).

lo. Tourbillons dans les liquides. — Toutes les fois qu'une petite quantité de liquide est lancée un peu vivement dans une grande masse immobile, elle y forme un tourbillon annulaire ou une goutte. Ce dernier cas se produit lorsque la tension superficielle est suffisante ; la surface de la goutte est alors une surface de discontinuité non seulement pour les vitesses, mais encore pour les pressions; le mouvement intérieur est certainement tourbillonnaire, mais rien ne le rend sensible aux yeux. D'après J.-J. Thomson (i885), qui a expérimenté sur un grand nombre de liquides, l'anneau ne se produit que si les deux liquides peuvent se diffuser l'un dans Tautre, ce qui confirme une vue théorique de Trowbridge (1877). L'alcool absolu dans la benzine donne des anneaux; additionné d'un millième d*eau, il ne forme plus que des gouttes.

3o M. BRlLLOtlN. 16

(les anneaux ont été étudies d*abord par Kogers (i858) et Reusch (1860). En 1864, Tomlinson a décrit sous le nom de nouvelles figures de cohésion et dessiné les formes très variées des anneaux de divers liquides suivant leur nature et leur dilFusibilité. II se proposait de se servir de ces formes caractéristiques pour discerner le degré de pureté de certaines essences employées en pharmacie.

l'ne condition indispensable de régularité des anneaux est le repos absolu du liquide dans lequel on les forme, ce qui exige une parfaite uniformité de la température. On obtient ce résultat en mettant plusieurs heures d^avance le liquide dans un vase de grandes dimensions posé sur un support bien stable, à l'abri du ravonnement direct du soleil et des poêles. Il est avantageux de choisir un vase de verre à parois parallèles planes : un petit aquarium, le vase ordinairement fourni pour les expériences de Plateau. On éclaire par transparence.

Deux méthodes principales sont emplo\ées :

I** (lliute d'une goutte toute formée;

'a'' Expulsion d*une petite quantité de liquide par Textrémité d'un tube immergé.

Très peu d'expériences ont été faites avec une ouverture en paroi plane peu épaisse, qui fournit des anneaux si bien formés dans les gaz. On obtient des résultats |)lus compliqués et un peu diflereuts par les deux méthodes; je les passerai en revue séparément.

16. ('hute d^une goutte de liquide. — Ln très bon procédé consiste à mettn» le liquide dans une burette graduée dont on ouvre à peine le robinet; les gouttes se succèdent très régulièrement à |>lusieurs secondes d*intervalle sans se nuire. Pour des gouttes de 4 ^u 5 millimètres de diamètre, une hauteur de chute de a ou 3 centimètres est ordinairement convenable. Lorsque les liquides ont des in<liceH très différents, ou une coloration propre, il ny a besoin d*aucun artifice pour di>cerner Tauneau; mais, |iour des liquides peu différents ou identiques, il faut en général ajouter à celui qui tombe en gouttes une petite quantité de coub'ur d*aniline intense, (|ui n*altère pas sensiblement sa densité. On peut imiter aussi l'expérience du rideau de fumée, en faisant flotter sur la surface libre du liquide récepteur une fine poussière, ou une couche mince d*un liquide non miscible, comme Thuile sur Teau (Trowbridge, 1877). l/anneau incolore s'entoure en descendant ilune en\eloppe de poussière, <|ui le sépare du reste du liquide, et prend p;irt au mouxement tourbillonnaire.

On obtient ainsi de très beaux anneaux bien formés, a\ant 1 ou a centimètres d*ou\erture et qu«*lques millimètres de section dniite. Ils sont persistant^ et leur se^tiiui droite re^te longtemps très étroite. A mesure qu'ils pnigressent, les petites inégalités s'accusent, la se<*tion se renfle en quelques point» isolés, il s'v forme une sorte de nouvelle goutte, qui descend plus vite,

16 CHAPITRE I. — TOUnflILLONS DANS LES FLUIDES PARFAITS. 3l

suivie d'une légère traînée de matière, et par le même phénomène de frottement superficiel donne, elle aussi, naissance à UD nouvel anneau tourbillonnant. Certains liquides projettent fréquemment deux ou trois couronnes d'anneaux décroissants, et dessinent un véritable lustre flottant. Suivant ta dilTusibililé et la tension super-

Fig. 3.

ficielle, ces anneaux sont rattachés les uns aux autres par de simples lils ou par des surfaces complètes formant dame en ogive {fig- 2) : (Fousel oil in paraffin oil, Tomlinson, \%H\fig- 3 : J.-J. Thomson, i885).

Quand l'anneau est bien formé et simple, on peut reproduire facilement toutes les expériences décrites sur les gaz.

En 1875, M. O. Revnolds a fait remarquer que tous ces phénomènes se produisent plus ou moins irrégulièrement quand la pluie tombe à la surface de la mer; quand on lance à travers une pomme d'arrosoir de l'eau colorée dans un baquet, chaque anneau se forme, se meut et ne se détruit qu'à une profondeur de quelques centimètres. Chaque goutte transforme en chaleur, non seulement son énergie cinétique, mais une partie de l'énergie de translation de la mer, avant de s'y mélanger ; c'est ainsi que, d'après M. O. Keynolds, une pluie fine et persistante peut calmer les agitations les plus violentes. Peut-être faudrait-il rapporter à une

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M. BRILLOri:«.

caiisr analo^t"' linfliicnrp connue de l'Iuiilc; ronliniicllcmcnt mêlée i l'eau de U «iirriicr, rlic riirmi-rait une t'initUion c-n fîtivi );niittelfllos ; la production, puis la <)iiru>ioi). par le froitonicnl, ili- li-tir moiiwmcnl lourbillonnaire interne «eraît Ir mt-cnnisine ilc la Iransfurmatinii tit' l'Oncrcie cinvti(iii«> de la mer en chaleur.