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M. DRILI.OriN. 10

*" In point intériiMir (Xo,^>'o), situé sur une ollipsc d'axes Xtt, Kh, liomolhéli(jur au contour, ilccrit a\cc la vitesse anf^ulaire «o une circonférenoc de ravon

\ Kift — A) <lonl le rentre est au point -.r,,, -- Vo par rapport aux axes de

relli|i>c prise dans sa po^iititin initiale.

Le< résultats de Kireliliofl' se prêtent à un énoncé beaucoup plus clair à mon. a\is, et qui tlonnc la physionomie générale du mouvement dans tous les cas. I)ans la section droit** tournant tout entière avec la \itesse angulaire o), traçons les ellipses liomotliétitpies au contour. <Ilia(pie ellipse mobile reste constamment formée des m«^mes particules lluiden, <pii la parcourent conformément à la loi des aires tiansie sens du mouvement ;;énéral a\ec la \itesse aréolaire A'^oxi//, en sorte <pie toutes les ellipses sont décrites dans le même temps.

Il en est de même quelle ipje >oit la déformati(»n simple du contour. Une rotation lente entraine le contour et les courbes liomotliétiqu(*s, le lon^ desquelles le lluitle >v meut rapidement dans le même sens ave<' unv période uniforme. Sir \V. riiom^on a montré (|u<s pour une petite déformation à n saillies, la \itesse angulaire du contour est — Z. Iai section circulaire est encore stable si les saillies

occupent des lié'lices de même pas, au lieu de f;énératrict*s, sur la surface du tube tourbillon (iS8<>).

|)e<» tubes circulain^s é^aux distribués aux sommets d un poU^one régulier un peu grand forment un svstème stable si le pol\;;one n*a pas plus de six cê>tés; ils tournent a\ec une \itesse angulaire uniforme autour du centre immobile. Mais, si le pol\gone a seulement sept somnit^ts, Tun d<'s déplacements possibles cn>ît indétinimcnt, au li<-u d*étre périodique, et le système des sept tourbillons est instable

( J.-J. l'homstu), iS8.i K La vitesse de rotation commune «.),, est égale à —^ — I, s'il

\ a n tubes. Les périttdes des déplacements sont résumées dans le Tableau sui- \ant :

t-.V i4 iv"» *"• "'-^ ^ **'^^'** *"• *'***'* '^*""

<hiant aux dél'ormations de la section de chaque tube, J. Thoinson a examiné leur inl1ucnc«* dans le ca*» de deux tubes. Klles pro<luisent des variations périodi4|ues de tous Ic!» ('léments d'autant plus petites que* le nombre de dentures de la dêf«»rmation est plus grand. Par exenqde, rdlipse tourn<' autour tie son lenlre avec >a \iles%e de rotation proprt* et oscille lentement autour «le la forme circulaire

a\ec la période ; rdlipticité maximum \arie en raison in\erse du carré de la • '«ij ■

distance de» deux tubc%.

Voyons maintenant l^anneau circulaire de rayon moyen a et qui a pour section méridienne un cercle de très petit rayon b. J.-J. Thomson a démontré (i883) que cette forme est stable. La vitesse de translation moyenne est

-i(log?f,).

Sir W. Thomson avait indiqué dès 1867 une valeur à peine différente. Si la circonférence moyenne est divisée en n segments égaux par la vibration, la période est sensiblement

tant que n est petit. Quand n est de l'ordre de ^> la période devient

iT.a \T,a

//.•(/.«-■) ,/,ogi|,,„8)

iTia

Si l'on met en évidence la longueur d'un segment vibrant, ces deux valeurs

concordent d'une manière satisfaisante avec celles que Sir W. Thomson (1880) avait trouvées pour un tourbillon rectiligne dont l'axe est simplement fléchi.

Il est facile de se rendre compte que toute courbe plane autre que le cercle se déforme nécessairement en progressant; car les forces électromagnétiques perpendiculaires au plan de la courbe ne sont pas partout égales ; la vitesse de translation des diverses parties de l'anneau n'est pas la même; il cesse d'être plan. En même temps les forces électromagnétiques cessent d'être parallèles à leur résultante; la projection de l'anneau sur son plan primitif change de forme et, tout en progressant avec une vitesse moyenne constante, il oscille autour de la forme circulaire, se courbe et se tord.

\ \ . Choc de deux anneaux. — J.-J. Thomson a étudié l'influence mutuelle de deux anneaux circulaires qui passent assez loin l'un de l'autre pour qu'on puisse se contenter d'une première approximation. Voici les résultats principaux qu'il a obtenus (i883):

La direction et la vitesse du mouvement, le diamètre des anneaux subissent un changement permanent; en outre, chacun d'eux est mis en vibration; quand ils se sont écartés l'un de l'autre, la période est celle qui correspond aux dimensions finales de l'anneau. Les directions de référence sont :

i*" La plus courte distance Di entre les lignes presque droites parcourues par les centres des deux anneaux A et B ;

M. BRILLOCÎN. 11

a" l^e |>lan N perpendiculaire à cette plus courte distance en son milieu :

'\^ l^es directions mêmes des mouvements de chaque anneau AA', BB' sensiblement parallt^les au plan N.

Les deux anneaux n'arrivent pas simultanément aux extrémités de la droite D| : j*appellerai A celui qui y passe le premier. La plus courte distance entre les deux anneaux est une droite D3 di(r«*rente de D| et plus longue.

Soient I, H, U, l\ l\\ V Tintensilé, le rayon et la vitesse de translation des deux anneaux A, B et e Tangle des chemins A A', BB'. La vitesse relative des deux anneaux est

L*accroissement du rayon H après le choc est

HR'L'l'sin»i / ,D?\ / DJ

L'angle du chemin de A avec N, compté positivement quand A s'éloigne du plan, est

L'angle du chemin dévié de A avec le chemin initial, mesuré parallèlement au plan N et pris positivement vers BB, est

<>uant aux signes, le Tableau suivant les résume :

l>i > i-4 » \ cl B * ccartcnl du plan N ^ > o, <p' > o.

{,e rsi\on cl IVncrpic de A croi^scnl. Sa viic«»*c de lran»laiion diminue. 5R > o.

Pour B r*e>l le conirairc. f

^ l" r-l'ro«»i A «tr rapproche de BB' ^ '^ o, M -^1 'ro*i A *Vluipnc de BB' <}» < o,

\ t >l rosi B ^'éloigne de AA' i}^'<o,

t t '•:: l vo%i B »e rappr(»ohe de AA' ^' > o.

Sir \V. ThomM>n a montré par un raisonnement très général ( l'oriex Mot,, § IJ5, iH()8i qu'un tourbillon ipii panse près d'un solide fixe est toujours dévié comme |>ar une attraction h»rsqu*il se meut librement (Ch. 11). J.-J. Thomson a retrouvé ct* r«*^ultai pour le passage d'un anneau circulaire près d'une sphère. L'anneau se

II'* rlTfl*

4<inl renier**'**.

ralentit et s'élargit à mesure qu'il approche de l'obstacle; des mouvements contraires se produisent quand il s'éloigne. Ni les dimensions ni la grandeur de la vitesse finale ne sont altérées par le passage auprès d'un obstacle fixe. La direction

du mouvement a changé d'un angle — -~g ,,p^^ en appelant a le rayon de la

sphère, et D la plus courte distance du centre de la sphère au centre de l'anneau dont la vitesse est U.

12. Anneaux noués. — Ces anneaux peuvent être formés d'un ou plusieurs tourbillons distincts. M. Tait s'est particulièrement occupé de la question du nombre des nœuds qui peut présenter un intérêt géométrique analogue à celle de l'ordre de multiplicité d'un espace. Voici un exemple simple d'anneaux de ce genre.

Traçons, sur un tube flexible, — pas d'une hélice à pn filets; courbons le tube et

réunissons les extrémités des files en regard : l'anneau est formé de n courbes fermées distinctes, mais enchevêtrées. L'ordre de multiplicité de l'espace extérieur est /i-l-i, puisqu'il n'y a que n intensités distinctes; mais le nombre des nœuds est beaucoup plus grand. Dans le mouvement permanent, les anneaux sont enroulés sur la surface d'un même tore s'ils ont tous la même intensité; s'ils sont d'intensités différentes, les tores qui correspondent à chaque anneau ont des sections méridiennes différentes, mais même circonférence axiale.

J.-J. Thomson a traité le cas de n := i, /? = i (i88i): les deux courbes font m lours l'une autour de l'autre; elles sont enroulées sur deux tores dont les sections méridiennes concentriques ont des rayons inversement proportionnels aux intensités: les rayons menés du centre commun aux deux courbes sont en ligne droite. Ces conditions ne suffisent pas pour la stabilité, il faut y ajouter l'égalité des vitesses de translation moyennes. Soient d la distance des deux filets (somme des rayons des sections des tores); 6, b' les rayons des sections droites de chacun d'eux; I, V leurs intensités; gj, w' leurs volumes

Ainsi, la distance d est une fonction de l'ouverture moyenne a et des constantes de chaque anneau. Si les deux anneaux sont différents, il y a deux périodes de vibration d'ensemble (déplacements simultanés des traces des filets dans toutes les sections méridiennes), l'une rapide

l'autre lente