I-M' ir a^-i . d^' nd* I-+-I' 4*a* % bb

24 M. BRILLOUIN. 12

qui dépendent du nombre m de tours de l'hélice. Ces périodes diffèrent peu, Tune de la période d'oscillation d'un anneau circulaire simple pour une déformation de rang m, l'autre de la durée de rotation de l'un des tubes autour de l'autre.

Dans le cas particulier où les deux anneaux ont même intensité, on en déduit b = b\ mais d reste indéterminé. La forme d'équilibre de chaque anneau n'est pas l'hélice simple tracée sur le tore : il s'y superpose une hélice de pas moitié moindre, comme le montrent les équations en coordonnées cylindriques

p = a± - cos(jx< — m^)-4- — cosa(fA*-t- m<J>)i

z— ± -sin (p* — m<J>)H — ^— sin *(\Lt -4- mty),

rapportées au plan moyen. Les signes supérieurs se rapportent à l'un des anneaux, les signes inférieurs à l'autre; [/. correspond à la période de vibration lente.

A l'exception de ce dernier résultat, poussé au second ordre, tous les calculs de J.-J. Thomson (i883) sont des approximations du premier ordre par rapport à

-z, t y pour des anneaux dont l'axe est sensiblement circulaire. La section droite

est aussi sensiblement circulaire et la vitesse de rotation y est uniformément répartie. Enfin il ne s'agit que des fluides incompressibles.

12 bis. Tourbillons creux. — Dans les mouvements que nous venons d'examiner, une petite partie du liquide est animée du mouvement giratoire 5 pour tout le reste il y a un potentiel des vitesses avec une constante cyclique. Le caractère du mouvement produit dépend de l'existence de ces deux parties du liquide. Qu'arriverait-il si l'on supprimait le tourbillon, tout en conservant à la partie extérieure du liquide une circulation I autour du vide laissé à la place du tourbillon? C'est ce que M. Hicks a examiné dans deux Mémoires, parus en 1884 et i885, qu'il me reste à analyser.

Près de la surface d'un anneau-tourbillon de grande ouverture, dont la section circulaire a un rayon 6, le mouvement du liquide se compose d'un mouvement de translation égal à celui de l'élément voisin du tourbillon, et sensiblement uniforme, et d'un mouvement de rotation autour de l'axe curviligne du tourbillon. En un point situé aune distance r de cet axe curviligne, la vitesse linéaire du mouvement de rotation est sensiblement à l'extérieur; elle prend la valeur maximum

— r à la surface du tourbillon, diminue et devient égale à — -rz dans. l'intérieur si

la vitesse de rotation <o = - — j- est uniforme dans la section. La pression en un

point extérieur à l'anneau est alors p — p t > si le liquide n'est soumis à aucune

autre action extérieure qu'une pression uniforme p aux points où la vitesse est nulle. La présence de l'anneau-tourbillon n'est nullement nécessaire pour que le

mouvement extérieur conserve toutes ses propriétés; nous pouvons supposer qu'il est remplacé par un solide déformable ou non, ou même par un espace vide dans lequel la pression est nulle. Lorsque ce vide forme un anneau de grande

ouverture, c'est le rayon de la section — {/ q 11 * se conserve dans le mouvement. Le volume du vide varie donc avec la grandeur de l'ouverture. Il en résulte que les conditions de stabilité de Panneau vide, les périodes vibratoires de sa surface libre et du liquide environnant ne sont pas les mêmes que pour un tourbillon plein de liquide, dont le volume est invariable.

Toutes ces propriétés peuvent être étudiées rigoureusement en définissant le potentiel des vitesses par un développement en série de fonctions analogues aux fonctions de Laplace, étudiées déjà par M. G. Neumann (*), puis par M. Hicks (1881) sous le nom de toroïdal functions. Désignons par a le rayon de la circonférence axiale de l'anneau, et posons

a-~y/aï—b*'

la vitesse de translation de l'anneau creux V, et la vitesse relative U du liquide dans la surface libre de l'anneau ont pour valeurs approchées au second ordre

Enfin la section de l'anneau vide n'est pas tout à fait circulaire; elle prend une forme ovale, allongée dans le sens normal au plan moyen de l'anneau, un peu plus aplatie à l'intérieur de l'anneau qu'à l'extérieur. L'anneau creux reste entouré d'une atmosphère qui se meut avec lui; cette atmosphère est limitée par une surface sphéroïde tant que le rayon du vide n'est pas extrêmement petit : c'est seulement pour b < 0,01 a environ, que cette surface se creuse au centre et prend, elle aussi, la forme annulaire.

Le mouvement permanent de l'anneau peut être altéré par de petites oscillations, qui changent toujours en même temps son volume. Pour une déformation

à n dents de la section droite de l'anneau, la période est sensiblement — ,-•

Pour une pulsation simple, (/i = o), changement de volume accompagné des changements nécessaires de l'ouverture et de la section moyenne mais sans changement de forme, la période est — — — ^=-^-=^^ • Ce changement périodique de

volume était impossible dans le cas des anneaux tourbillons à noyau liquide. Le second Mémoire de M. Hicks est relatif au cas plus compliqué où l'anneau

(') Théorie der Klcctricitâts und Warmevertheîlung in einem fiinge. 1864.

26 M. BRILLOUIN. 13

tourbillon est formé par un noyau liquide de densité différente du milieu environnant, à l'intérieur duquel peut se former un anneau vide quand les dimensions de l'ouverture dépassent une certaine valeur.

Production expérimentale des tourbillons.

13. Tout le monde a pu observer ces anneaux persistants lancés par les fumeurs dans un air calme, ou ceux que produit la combustion spontanée du phosphure d'hydrogène. On les voit flotter lentement dans l'atmosphère, se déformer au moindre souffle, s'allonger, puis se rompre et persister longtemps encore, en se dissipant peu à peu par les extrémités disjointes. Souvent aussi, l'anneau ne se forme même pas, et la fumée s'échappe dès le début en longue traînée semblable à un fil de la Vierge. Ces anneaux sont des anneaux tourbillons; ils persistent, sans se rompre, tant qu'ils se meuvent dans l'air calme où les vitesses varient d'une manière continue. Atteignent-ils une surface de discontinuité ou plutôt, à cause du frottement de l'air, une région de remous et de variations rapides de la vitesse dus à la rencontre de courants d'air opposés, les anneaux se rompent et leurs extrémités s'écartent. La rotation n'a pas pour cela disparu ; mais la partie du tube située dans la couche de discontinuité est devenue si mince que la fumée n'y est plus visible (n° 6).

A l'époque où Helmholtz fondait la théorie et avant de la connaître, en i858 et 1860, Rogers en Amérique, Reusch en Allemagne ont indiqué le moyen de produire à coup sûr des anneaux fermés persistants dans les gaz et dans les liquides; ils ont étudié leurs actions mutuelles.

Pour lancer une masse de gaz animée d'un mouvement de rotation, on profite du frottement superficiel et interne; pour la rendre visible, on la charge de fumée. Tait et Thomson ont vulgarisé un appareil formé d'une grande boîte cubique en bois dont une face a été remplacée par de la toile peu tendue; la face opposée, percée d'une ouverture, porte extérieurement deux coulisses parallèles qui permettent d'introduire des cartons ou des planches percées d'ouvertures plus petites et de formes variées. On remplit la boîte de fumée, soit en y faisant brûler divers corps, soit en y mettant deux assiettes remplies d'acide chlorhydrique et d'ammoniaque. Un coup sec frappé sur la toile fait sortir un petit volume d'air chargé de fumée; le frottement latéral rend la vitesse de translation très faible au bord, grande au centre, et produit un mouvement de rotation autour d'axes parallèles au bord, qui s'étend d'autant plus loin que celui-ci est plus épais. Pour des ouvertures de 20 à 20 centimètres de longueur, un carton de 5 ou 6 millimètres convient très bien. Tout près de la boîte, on ne distingue d'abord qu'une masse confuse de fumée; mais, à quelques décimètres, la fumée de la partie centrale est restée en arrière, et l'anneau progresse seul avec une vitesse à peu près uniforme.

Dans une salle de cours dont le fond est occupé par un grand tableau noir, on ferme lés rideaux des premières fenêtres latérales et on laisse passer seulement un faisceau solaire renvoyé par l'héliostat parallèlement au tableau. On place la boîte en face de l'héliostat, de manière que l'anneau projeté se meuve le long du faisceau de lumière: il reçoit une vive illumination qui le détache nettement sur le fond sombre, aux yeux de tout un auditoire.

14. Le mode de production de l'anneau montre suffisamment qu'il est animé d'un mouvement de rotation, et, comme il parcourt dans un air calme 8 ou 10 mètres sans se briser, il est facile de reconnaître qu'il obéit à toutes les lois que la théorie a indiquées.

r° La vitesse de l'air qui traverse intérieurement l'anneau est moindre que celle de l'anneau lui-même. On s'en assure au moyen de légers drapeaux, de flammes ou simplement de la main, placés sur le trajet de l'anneau. Sur les bords, au moment du passage de l'anneau, un violent remous se produit, avec renversement du sens du vent, qui s'écarte d'abord de l'axe du mouvement et converge ensuite vers cet axe. Ainsi, au centre du tourbillon, l'air dénué de rotation se renouvelle constamment; le tourbillon va sans cesse à la rencontre de nouvelles couches, s'y fraye un chemin, puis les laisse s'écouler en arrière. C'est grâce à cette propriété qu'un court trajet suffit à séparer le tourbillon proprement dit du jet d'air central chargé de fumée, mais dénué de rotation.

2 On peut contrôler l'expérience par l'expérience inverse (Bail, Yeates, 1868). On produit la fumée non plus dans la boîte, mais au dehors, à 1 mètre en avant, en faisant bouillir dans deux capsules voisines des solutions concentrées d'acide chlorhydrique et d'ammoniaque. L'anneau sort invisible, traverse la fumée, reparaît entouré d'un nuage confus; 1 ou 2 mètres plus loin, la fumée centrale s'est dissipée, il ne reste plus qu'un large tore. En regardant par la tranche, on voit nettement que toute cette fumée environne, sans le pénétrer, un tore de même ouverture dont le cercle méridien apparaît, au milieu de la fumée, comme un double trou sombre de 5 ou 6 centimètres de diamètre. C'est l'anneau-tourbillon proprement dit qui se propage en se conservant intact à travers tous les milieux ; il s'en entoure et les entraîne un moment, laisse en arrière presque tout ce qui est dépourvu de rotation et, après quelques mètres de parcours, ne conserve plus qu'une mince enveloppe superficielle qui le dessine et qui a pénétré dans son atmosphère (n° 9).

3° Ouverture circulaire, — Quand on projette l'anneau normalement contre un mur noir, on le voit s'approcher beaucoup du mur sans grandir notablement. Arrivé à moins d'un décimètre, il s'élargit subitement et s'évanouit avec une rapidité saisissante, dès que son diamètre dépasse 1 mètre ou 1 mètre et demi. Si l'incidence est oblique, l'anneau s'aplatit sur le mur en se courbant et finit

28 M. BRILLOUIN. 14

toujours très vite par se détruire. L'intensité et la quantité de matière restant les mêmes, la vitesse de rotation est d'autant plus grande et la section d'autant plus petite que la longueur est plus grande ; l'action destructive du frottement interne est d'autant plus énergique et plus rapide.

Tout obstacle placé sur le trajet de l'anneau produit un effet analogue. Pourtant, si l'obstacle est en dehors du chemin de l'anneau, celui-ci cesse de se mouvoir en ligne droite. Le côté le plus voisin de l'obstacle est ralenti, et le plan général de l'anneau tourne. En même temps il se déforme et se met à vibrer. Une fois l'obstacle dépassé, l'anneau reprend ses dimensions et sa vitesse moyenne, mais sa route a été déviée vers l'obstacle. C'est lout le contraire de ce qu'on a l'habitude d'appeler une réflexion (Sir W. Thomson, Tait, 1869).

4° En frappant à une seconde d'intervalle deux coups secs sur la toile, le second un peu plus fort, on peut avec un peu d'adresse faire sortir deux anneaux bien formés de même rotation. Le second rejoint le premier, le traverse en se rétrécissant et s'accélérant, tandis que l'autre se ralentit et s'ouvre comme pour rendre le passage plus facile. Quelquefois, quand la différence des vitesses n'est pas trop grande, le même mouvement se reproduit avec interversion des rôles. *•

5° Avec deux boîtes on peut facilement étudier dans leurs détails les actions mutuelles de deux anneaux quelconques; pour faire cette étude dans les meilleures conditions de précision, il faudrait lancer les tourbillons dans une grande salle close, comme une serre vide, et les regarder du dehors à travers une glace.

6° M. Bail (1 871-1875) a étudié la loi du mouvement de translation d'un anneau circulaire de 25 centimètres de diamètre environ dans un long corridor. Le tourbillon est lancé avec une vitesse initiale de 3 mètres par le choc d'un pendule qui tombe toujours de la même hauteur sur la toile d'une grande boite de 70 centimètres de côté. Le commencement de la chute du pendule ouvre un circuit électrique, que referme plus tard le choc de l'anneau contre une large feuille de papier tendue sur un léger cadre de bois que l'on peut suspendre à diverses distances sur le trajet du tourbillon. L'ouverture et la fermeture du courant sont enregistrées par un appareil tournant qui mesure le temps écoulé. La membrane est disposée dans des expériences successives à des distances croissant par 2 pieds jusqu'à 7 mètres; pour chaque position, on fait dix mesures dont on prend la moyenne.

Au départ et jusqu'à une distance de 1 mètre et demi environ, le mouvement est accéléré et médiocrement déterminé ; au delà il commence à être nettement retardé, mais l'étendue des expériences n'est pas assez grande pour déterminer la loi du retard. C'est ainsi que, d'après M. Bail, des résistances proportionnelles à la vitesse ou au carré de la vitesse satisfont également bien aux expériences ( l ).

(*) Accélérations négatives : o,345t>, ou v 1 lognép i,oSai2.

L'une des deux lois conduirait à un arrêt de l'anneau à une dislance d'environ 10 mètres, l'autre à une progression indéfinie de plus en plus lente. Dans ces conditions, je laisserai indécise la question de savoir si le ralentissement est dû au frottement de l'air, comme semble l'admettre M. Bail, ou simplement à l'action des parois du corridor dans l'expérience citée, et du mur de fond de la chambre dans une seconde expérience, actions retardatrices dans un fluide parfait, ou enfin à la compressibilité de l'air.

7 Oscillations. — Avec une ouverture allongée, dont la longueur ne dépasse pas deux ou trois fois la largeur, l'anneau se produit encore très bien. Les courbures inverses qu'il prend alternativement sont très faciles à observer en le regardant par la tranche; de face l'ellipse paraît se déformer avec la même période; elle devient un cercle, puis une ellipse orientée à angle droit avec la première, etc.

Des ouvertures quadrangulaires, hexagonales, donnent des résultats analogues, mais il faut les découper dans des cartons d'autant plus minces que le nombre de subdivisions du contour est plus grand, pour la même surface ouverte. Il convient de diminuer en même temps la quantité d'air chassée de la boîte.

En outre, dans l'air, les anneaux tendent rapidement vers la forme circulaire qui seule est stable. La cause principale d'un aussi rapide amortissement n'est probablement pas le frottement interne de l'air, mais sa compressibilité. Le temps qu'exige la propagation d'une modification quelconque produit une différence de phase entre des actions qui seraient simultanées dans un liquide; il faut ajouter, dans les équations d r un mouvement périodique, un terme proportionnel à la vitesse, dont le coefficient dépend de la période du mouvement et diffère essentiellement par là d'un coefficient de frottement spécifique tout en produisant des effets analogues et souvent très intenses.

Toutes ces expériences sont faciles à répéter sur une échelle beaucoup plus restreinte atr moyen d'appareils simples, dont plusieurs ont été décrits par M. Guebhardt dans la Nature (îS8i).

lo. Tourbillons dans les liquides. — Toutes les fois qu'une petite quantité de liquide est lancée un peu vivement dans une grande masse immobile, elle y forme un tourbillon annulaire ou une goutte. Ce dernier cas se produit lorsque la tension superficielle est suffisante ; la surface de la goutte est alors une surface de discontinuité non seulement pour les vitesses, mais encore pour les pressions; le mouvement intérieur est certainement tourbillonnaire, mais rien ne le rend sensible aux yeux. D'après J.-J. Thomson (i885), qui a expérimenté sur un grand nombre de liquides, l'anneau ne se produit que si les deux liquides peuvent se diffuser l'un dans l'autre, ce qui confirme une vue théorique de Trowbridge (1877). L'alcool absolu dans la benzine donne des anneaux ; additionné d'un millième d'eau, il ne forme plus que des gouttes.

3o M. BRILLOl'LN. 16

Ces anneaux ont été étudiés d'abord par Rogers (i858) et Reusch (1860). En 1864, Tomlinson a décrit sous le nom de nouvelles figures de cohésion et dessiné les formes très variées des anneaux de divers liquides suivant leur nature et leur diffusibilité. Il se proposait de se servir de ces formes caractéristiques pour discerner le degré de pureté de certaines essences employées en pharmacie.

Une condition indispensable de régularité des anneaux est le repos absolu du liquide dans lequel on les forme, ce qui exige une parfaite uniformité de la température. On obtient ce résultat en mettant plusieurs heures d'avance le liquide dans un vase de grandes dimensions posé sur un support bien stable, à l'abri du rayonnement direct du soleil et des poêles. Il est avantageux de choisir un vase de verre à parois parallèles planes : un petit aquarium, le vase ordinairement fourni pour les expériences de Plateau. On éclaire par transparence.

Deux méthodes principales sont employées :

i° Chute d'une goutte toute formée ;

2 Expulsion d'une petite quantité de liquide par l'extrémité d'un tube immergé.

Très peu d'expériences ont été faites avec une ouverture en paroi plane peu épaisse, qui fournit des anneaux si bien formés dans les gaz. On obtient des résultats plus compliqués et un peu différents par les deux méthodes; je les passerai en revue séparément.

16. Chute d'une goutte de liquide. — Un très bon procédé consiste à mettre le liquide dans une burette graduée dont on ouvre à peine le robinet ; les gouttes se succèdent très régulièrement à plusieurs secondes d'intervalle sans se nuire. Pour des gouttes de 4 ou 5 millimètres de diamètre, une hauteur de chute de 2 ou 3 centimètres est ordinairement convenable. Lorsque les liquides ont des indices très différents, ou une coloration propre, il n'y a besoin d'aucun artifice pour discerner l'anneau*, mais, pour des liquides peu différents ou identiques, il faut en général ajouter à celui qui tombe en gouttes une petite quantité de couleur d'aniline intense, qui n'altère pas sensiblement sa densité. On peut imiter aussi l'expérience du rideau de fumée, en faisant flotter sur la surface libre du liquide récepteur une fine poussière, ou une couche mince d'un liquide non miscible, comme l'huile sur l'eau (Trowbridge, 1877). L'anneau incolore s'entoure en descendant d'une enveloppe de poussière, qui le sépare du reste du liquide, et prend part au mouvement tourbillonnaire.

On obtient ainsi de très beaux anneaux bien formés, ayant 1 ou 2 centimètres d'ouverture et quelques millimètres de section droite. Ils sont persistants et leur section droite reste longtemps très étroite. A mesure qu'ils progressent, les petites inégalités s'accusent, la section se renfle en quelques points isolés, il s'y forme une sorte de nouvelle goutte, qui descend plus vite,

16 CHAPITRE I. — TOURBILLONS DANS LES FLUIDES PARFAITS. 3l

suivie d'une légère traînée de matière, et par le même phénomène de frottement superficiel donne, elle aussi, naissance à un nouvel anneau tourbillonnant. Certains liquides projettent fréquemment deux ou trois couronnes d'anneaux décroissants, et dessinent un véritable lustre flottant. Suivant la diffusibitité et la tension super-

Fig. 2. Fig. 3.

(icîellc, ces anneaux sont rattachés les uns aux autres par de simples fils ou par des surfaces complètes formant dôme en ogive {fig- a) : (Fousel oil in p ara f fin oil, Tomlinson, \$6$;fig, 3 : J.-J. Thomson, i885).

Quand l'anneau est bien formé et simple, on peut reproduire facilement toutes les expériences décrites sur les gaz.

En 1 8~5, M. O. Reynolds a fait remarquer que tous ces phénomènes se produisent plus ou moins irrégulièrement quand la pluie tombe à la surface de la mer; quand on lance à travers une pomme d'arrosoir de l'eau colorée dans un baquet, chaque anneau se forme, se meut et ne se détruit qu'à une profondeur de quelques centimètres. Chaque goutte transforme en chaleur, non seulement son énergie cinétique, mais une partie de l'énergie de translation de la mer, avant de s'y mélanger; c'est ainsi que, d'après M. O. Reynolds, une pluie fine et persistante peut calmer les agitations les plus violentes. Peul-clre faudrait-il rapporter à une

32 h. Bttiuount. 17

cause analogue l'influence conaue de l'huile; continuellement mêlée à l'eau de la surface, elle formerait une émulsion en fines gouttelettes; la production, puis la diffusion, par le frottement, de leur mouvement tourbillonnaire interne serait le mécanisme de la transformation de l'énergie cinétique de la mer en chaleur.

17. Les conditions de production du mouvement tourbillonnaire par simple frottement interne dans la masse du liquide, hétérogène ou non, ont fait l'objet d'expériences importantes de J.-J. Thomson et Newall (i885).

La perfection des anneaux formés pour une même hauteur de chute, c'est-à-dire une même vitesse initiale, varie beaucoup avec la nature des liquides. Certains ne donnent qu'un trouble confus, d'autres des anneaux plus ou moins bien formés, d'autres enfin des gouttes qui restent à la surface. L'ordre est indépendant du liquide récepteur; il est le même que celui des viscosités internes - (n° o) crois-

saules : élher, eau, acide sulfurique concentré. Le frottement est-il faible, la rotation reste confinée ;t une couche superficielle, la diffusion se produit immédiatement; plus intense, le frottement met en rotation une grande partie de la goutte sans atteindre le centre, l'anneau se forme nettement; plus intense encore, il fait de toute la bulle un tourbillon unique dont le centre même ne se diffuse pas. Cette explication est contrôlée par le fait que le même liquide présenle la succession des formes décrites, quand on l'emploie en gouttes de plus en plus fines. Le mouvement de rotation pénètre à une profondeur à peu près invariable pour la même hauteur de chute et entraine par conséquent une fraction d'autant plus grande de la goutte que celle-ci est plus petite.

MM. J.-J. Thomson et Newalt ont aussi étudié la période de formation de l'anneau {fi g. .()(')■ Le liquide est contenu dans un petit entonnoir soutenu au bout

Pi g. 5.

d'un léger levier équilibré. La chute de la goutte provoque, par uii dispositif que la figure explique suffisamment, une forte étincelle d'induction dont on peut ù volonté régler le retard. L'anneau éclairé instantanément paraît alors dans sa forme actuelle complète sans confusion possible de formes successives.

La plupart des expériences ont été faites avec unedissolulion étendue de ni traie d'argent tombant dans de l'eau un peu salée; la goutte se distingue très facilement grâce au chlorure d'argent formé; une trace d'ammoniaque suffit à rendre

(■) Nous adressons nos reraerclments a la Rédaction des Froc. Jt. S., qui a bien voulu nous prêter \esjig. 3, 4, 5, 6 et 7.

34 m. Mii.Lons. 18

au liquide récepteur toute sa limpidité après plusieurs gouttes. Les fig. 3, 4i (i, y monirenl très exactement les principales apparences observées. Quand la tension superficiel le n'est pas nulle, l'anneau ne se forme pas; mais les déformations de In goutte {fig- 6 et -) ne sont pas moins caractéristiques d'un m ou venir ni tourbillonnaire inlerne.

hnl'in la pcrsislance de l'anneau dépend de la forme de la goutte au moment 01*1

î-ig- 7-

elle rencontre la surface ; ear la longueur du chemin que l'anneau parcourt sans se déformer est une fonclion périodique du temps que met la goutte à atteindre la surface. J. Thomson a constate que relie période est bien de même ordre de grandeur que la période oscillatoire de la goutle en vertu de sa tension superficielle dans l'air.

18. Écoulement par an tube cylindrique immergé. — Un tube de verre, de 1 centimètre de diamètre au inoins, à bords nettement coupés et courbé en S, s'ouvre horizontalement ou verticalement vers le haut, à l'intérieur du liquide récep-

teur. Il est relié par un caoutchouc court à un large flacon. Un robinet qu'on ouvre pendant un temps très court ne laisse échapper qu'une 1res petite quantité de liquide sous une pression de a ou 3 centimètres d'eau. Les anneaux se produisent très régulièrement, mais leur forme est beaucoup inoins simple que celle des anneaux gazeux que nous avons décrits. Ce n'est plus un simple tore dont la section droite à peu près circulaire ne se déforme guère : c'est toujours un anneau, mais comme ceux qu'on pourrait obtenir avec un tube de caoutchouc long et très mince, roulé entre les doigts. La section droite ressemble beaucoup à une

Kig- 8.

spirale tracée à la pointe du pinceau; celle ligne s'allonge et s'enroule de plus en plus a mesure que l'anneau progresse et s'élargit. Ce fait est complètement d'accord avec l'action qu'exercent l'un sur l'autre deux anneaux de même rotation. Cette forme particulière se rattache évidemment à l'emploi du tube cylindrique auquel le liquide adhère fortement; l'écoulement se fait principalement par le milieu du tube, le liquide s'y élève en forme de dùme renflé, puis la partie supérieure s'aplatit, s'étale sous la résistance de l'eau, se borde d'un tore qui va s'élargissant {jtg. 8); la goutte se détache, monte lentement en s'en roulant, par le bord. Quand le liquide récepteur est en repos parfait, la spirale est assez res-

Fi*. 9.

serrée au bout de i décimètre de course pour paraître une surface continue. L'anneau monte, s'élargit beaucoup en approchant de la surface libre. Tantôt il s'v dissipe, tantôt il s'y réfléchit et redescend en continuant à s'élargir lente-

36 M. BRILLOUIX. 19

ment. C'est probablement quand toute rotation s'est éteinte par le frottement interne considérable que se produit cette réflexion apparente.

Dans un liquide en repos complet, deux gouttes qui se suivent prennent des formes très différentes {fig. 9) : la première s'est enroulée en spirale, la seconde s'allonge en un tube mince, l'extrémité supérieure se rétrécit, se précipite à Tintérieur de l'anneau, l'ouvre, le traverse pour s'enrouler à son tour en spirale assez serrée. Quant au premier anneau, sa spirale ne tarde pas à devenir dissymétrique, et souvent on le voit s'allonger à son tour à l'intérieur de son devancier. Le spectacle est plus curieux encore quand les anneaux se rencontrent un peu obliquement ; les déformations et les enroulements se propagent alors le long de chaque anneau, au lieu de se produire simultanément. La plupart de ces phénomènes ont été très bien décrits par M. Oberbeck (1877).

Dès i858, Helmholtz a fait remarquer qu'il se produit des anneaux-tourbillons demi-circulaires ayant leur axe dans la surface libre, lorsqu'on déplace brusquement une pelle, ou une rame peu enfoncée dans l'eau, une cuiller dans une tasse de thé. Ces demi-anneaux, dont on voit la section par la surface libre creusée en entonnoir, se propagent à peu près comme les anneaux complets dans un liquide indéfini. Les principes de la théorie des tourbillons creux de M. Hiks permettraient d'en faire une étude complète.

Dans aucun cas à ma connaissance, on n'a produit ni même observé des anneaux noués. Je ne vois pas bien comment on pourrait en produire à coup sûr.

Atomes-tourbillons .

19. Les propriétés des anneaux-tourbillons dans un liquide infini animé de vitesses continues, qui n'est soumis à aucune force extérieure, ontconduit SirW. Thomson à l'hypothèse célèbre des atomes-tourbillons (1867). Quelle condition la notion expérimentale de l'équivalence chimique et la loi des proportions simples imposent-elles presque invinciblement à toute hypothèse mécanique sur la constitution de la matière? L'existence d'unités de matière très petites, différentes suivant la nature chimique du corps simple, mais identiques pour un même corps, et indestructibles par tous les moyens physiques : les atomes. Les anneauxtourbillons n'ont-ils pas toutes ces propriétés? C'est dans un milieu indéfini qu'ils sont formés, et ce milieu unique peut donner naissance à des atomes différents par la masse, par l'intensité, par le nombre des nœuds. Indestructibles, ils sont néanmoins élastiques; isolé chaque anneau parcourrait une ligne droite; mais, quand deux anneaux passent à quelque distance l'un de l'autre, leurs routes s'infléchissent, et ils échangent une partie de leur énergie. Ces actions mutuelles fournissent les éléments d'une théorie cinétique des gaz, si les atomes sont très écartés les uns des

autres ; elles se compliquent si les distances restent petites et peuvent très bien alors rendre compte de l'état liquide ou solide. Les dimensions de Panneau ne sont pas invariables : elles croissent quand on lui communique de l'énergie ; il en est de même des vitesses qu'il produit autour de lui. Ne peut-on trouver là l'explication de la dilatation parla chaleur? Chaque anneau peut effectuer une infinité de vibrations de deux types distincts, déformation de la section droite, flexions du tube-tourbillon ; les périodes en nombre infini sont liées aux qualités indestructibles de l'anneau et à ses dimensions actuelles : elles dépendentde lanature chimique de l'anneau et de son état, comme l'exige l'analyse spectrale. Eloignés les uns des autres, dans l'état gazeux, les anneaux ont des dimensions presque identiques; ils vibrent librement pendant la plus grande partie de leur course : les périodes vibratoires sont donc des valeurs déterminées par les dimensions moyennes des anneaux, elles ne forment pas une série continue; au contraire, les vibrations les plus lentes sont entièrement distinctes ; quant aux vibrations d'ordre élevé, leurs périodes sont très peu différentes et peuvent former une suite continue si les anneaux ne sont pas tous rigoureusement égaux. Si les anneaux sont plus rapprochés, les dimensions sont plus inégales, les périodes vibratoires moins distinctes, aux spectres de raies auront succédé les spectres de bandes. Enfin, dans les solides, l'entassement irrégulier des anneaux produira une répartition plus uniforme de toutes les dimensions autour de la moyenne, toutes les périodes vibratoires seront représentées, avec un ou plusieurs maxima correspondant aux périodes de la dimension moyenne. Le spectre sera continu, mais la répartition de l'éclat, non uniforme, variera avec les dimensions moyennes, c'est-à-dire avec la température.

Deux ou plusieurs anneaux qui se rapprochent suffisamment peuvent se lier l'un à l'autre et se mouvoir comme un système unique; suivant qu'ils sont identiques ou différents par leur masse, leur intensité ou le nombre de leurs nœuds, c'est une simple transformation allotropique ou une véritable combinaison chimique qui s'est produite. La réunion est durable ou temporaire, suivant que certaines relations entre les propriétés des anneaux sont ou non satisfaites. Dans le premier cas, la combinaison est permanente et totale; dans le second, la transformation est incomplète, limitée par les circonstances extérieures; c'est la dissociation.

Le milieu lui-même, la matière unique, ne peut-il pas servir à la propagation de toutes les actions physiques?

20. Dans ses traits généraux, l'hypothèse est assez séduisante pour mériter un examen approfondi, autant du moins que l'état actuel de la théorie des tourbillons peut le permettre.

Les difficultés ne manquent pas, et il importe de les signaler avec impartialité : ce sont autant de points délicats de la théorie des fluides, qui méritent d'exercer la

38 M. BRILLOUIN. 20

sagacité des analystes. La première est relative à la notion de masse d'un petit volume du milieu contenant un assez grand nombre d'atomes-tourbillons pour que ses propriétés dépendent seulement de l'état moyen. Deux définitions expérimentales différentes de la masse ont cours dans la Science et sont traitées comme rigoureusement équivalentes : une définition mécanique, une astronomique (*). La masse mécanique d'un groupe d'atomes est évidemment définie par la nature même de l'hypothèse; mais il n'en est pas de même de la masse astronomique. Avec les seuls atomes-tourbillons, dans un milieu liquide, les premiers termes de l'action mutuelle apparente sont en raison inverse de la quatrième puissance de la distance et dépendent en outre de tout ce qui définit les deux anneaux et leur orientation relative. Pour rendre compte de l'attraction newtonienne, Sir W. Thomson (1873) a rappelé l'hypothèse de Lesage (1782-1818) qui semble faite pour les atomes-tourbillons. Lesage se représente les particules matérielles non comme des solides pleins, mais comme de fines charpentes creuses. L'espace est supposé rempli de projectiles, extraordinairement petits par rapport aux atomes matériels, marchant en tous sens avec des vitesses prodigieuses; parmi tous ceux qui passent dans le domaine de l'atome, un nombre excessivement petit le rencontrent; ceux-là sont déviés de leur roule, avec une petite diminution de leur quantité de mouvement. L'ensemble des corpuscules qui se dirigent vers l'atome possède une quantité de mouvement plus grande que ceux qui en émanent. Un autre atome exposé à leurs chocs sera donc poussé vers le premier par une force inversement proportionnelle au carré de la distance; quant à la loi des masses» elle dérivera des hypothèses faites sur la loi de perle de mouvement par le choc. Si la diminution relative de la quantité de mouvement des corpuscules par un alome est suffisamment petite, l'attraction sera proportionnelle aux masses, même pour des corps aussi gros que les astres. Imaginons maintenant que ces corpuscules soient de petits volumes très allongés, animés de mouvement tourbillonnairc, et que, dans leur rencontre avec les atomes infiniment plus grands, la perte de

(') On cite, pour preuve de l'identité des deux définitions, l'expérience de Galilée sur les pendules simples de diverses matières, l'expérience de Newton sur la chute des corps dans le vide. Il est indispensable d'y ajouter pour les corps gazeux l'égalité de la valeur expérimentale de la vitesse du son dans l'air et de la valeur calculée au moyen de la loi de compressibilité du gaz (relation entre le volume et la pression mesurée en poids par unité de surface ) et du poids spécifique employé dans les équations du mouvement comme équivalent au produit de la densité .mécanique par une constante géodésique, l'intensité de la pesanteur, indépendante de la matière étudiée. La conservation de la masse astronomique dans toutes les transformations connues de la matière est démontrée par les innombrables mesures faites avec la balance; je ne connais pas une expérience directe établissant avec quelque rigueur la conservation de la masse mécanique, d'un kilogramme d'eau par exemple, passant à l'état de vapeur. La démonstration indirecte repose sur le principe de l'identité des deux définitions de la masse regardé comme établi par les trois expériences citées plus haut et par l'accord des conséquences du principe avec l'expérience.

quantité de mouvement (n° il) ait toujours lieu aux dépens du corpuscule : l'hypothèse de Lesage s'appliquera intégralement à la théorie tourbillonnaire.

La propagation de la lumière dans ce milieu incompressible semble d'une explication assez difficile. Pourtant, en 1878, M. Forbes a proposé d'en charger les corpuscules de Lesage, mis en vibration par les atomes-tourbillons qu'ils rencontrent; si cette hypothèse se prête facilement à l'explication des phénomènes d'absorption, d'interférences, de polarisation, elle semble plus difficile à adapter à la réflexion et k la réfraction. La vitesse de transport de l'énergie lumineuse, égale à la vitesse de translation des corpuscules, devient sensiblement indépendante du milieu, à cause de l'uniformité de l'attraction universelle, et n'a d'ailleurs aucun lien nécessaire avec le quotient de la longueur d'onde par la durée de vibration, car la vibration doit se mouvoir constamment le long du corpuscule.

D'autre part, J.-C. Maxwell a publié (Ph. Mag., 1861-1862) une explication rigoureuse et complète des phénomènes électriques et magnétiques au moyen d'un milieu liquide animé de mouvements rotatoires convenables et de petits corps plongés dans ce liquide. L'hypothèse est loin d'être simple : elle semble assez difficile à relier à celle des atomes-tourbillons; mais elle fournit les lois numériques des phénomènes électriques et magnétiques et, par conséquent, celle des principaux phénomènes lumineux. On peut donc espérer, même avec un fluide incompressible unique, rendre compte un jour de toutes les actions physiques.

Quant à moi, j'aimerais mieux renoncera l'hypothèse d'un liquide et chercher, parmi les milieux fluides et compressibles à actions élastiques tangentielles (n° 7) dans lesquels un anneau-tourbillon conserve son intensité totale, s'il n'en est pas qui, sans aucun corpuscule de Lesage, puisse rendre compte et de l'attraction newlonienne et des phénomènes physiques.

C'est dans le but de se passer des corpuscules de Lesage que M. Hicks a entrepris l'élude des tourbillons creux. Le vide annulaire peut subir des variations de volume périodiques, des pulsations, et il en résulte dans le potentiel des vitesses à l'extérieur un terme en raison inverse de r, c'est-à-dire des actions apparentes en raison inverse de r 2 . Bien entendu, nous supposons ici que la pression est uniforme à très grande distance, mais que le liquide n'y a pas une vitesse rigoureusement nulle, puisque le volume vide n'est pas invariable. Toutefois ce volume ne saurait varier toujours dans le même sens; il varie périodiquement; les actions apparentes en raison inverse .de r 2 qui en résultent sont alternativement positives et négatives. L'étude analogue faite sur des sphères puisantes de même période montre qu'il reste une action moyenne attractive ou répulsive suivant que la différence de phase est comprise entre o et -> ou entre - et tc. (Il est remarquable que deux sphères puisantes peuvent en attirer une troisième et néanmoins se repousser

4o M. BMLLOUIN. 21

l'une l'autre.) Pour rendre compte de la gravitation universelle il faut alors supposer que tous les atomes-tourbillons creux ont même période et que toutes leurs phases sont comprises dans un quadrant. Par quel mécanisme? Il me semble qu'on peut le trouver dans les actions mutuelles elles-mêmes; deux anneaux voisins n'agissent pas l'un sur l'autre aussi simplement que les sphères puisantes; les dimensions de l'ouverture ne sont pas invariables, et la période de pulsation en dépend. L'action newtonienne est accompagnée de petites variations de l'ouverture et par suite de la période; la phase change donc progressivement; il s'agirait d'examiner si ces actions mutuelles ne tendent pas à amener comme état définitif stable l'uniformité de la phase.

21. Autre difficulté dans l'hypothèse tourbillonnaire : pourquoi n'y a-t-il qu'un nombre restreint de matières distinctes, ayant des poids atomiques nettement définis? Y a-t-il des conditions de stabilité de forme qui dépendent de la masse de l'atome? Cela ne semble guère probable si l'on n'y ajoute quelque autre restriction, par exemple celle qu'indique J.-J. Thomson {Motion ofvortex rings, p. 118; i883) : l'intensité doit être la même pour tous les corps simples, afin qu'ils puissent former des combinaisons chimiques permanentes. Lorsque deux anneaux à axe circulaire s'accompagnent, tous deux oscillent autour d'une même circonférence moyenne, de rayon a, en se maintenant à une distance minimum d l'un de l'autre. L'identité des vitesses de translation fournit, entre ces quantités, les intensités I et I' et les volumes w, ts* 7 , une relation

i / . t. x I logw — riocTBf' \og(*Ti*d*a) = |— tf— ~ — = const.,

qui détermine la distance d en fonction de la circonférence, sauf dans le cas où I et F sont égales, ainsi quetsr et tu'. C'est dans ce dernier cas seulement que d et a peuvent varier arbitrairement, et que les actions même violentes ne séparent pas les deux anneaux. Par extension pour un nombre quelconque d'atomes, J.-J. Thomson admet que la stabilité exige que l'intensité soit la même pour chacun d'eux (*). Mais, si les intensités sont égales, les volumes le sont aussi, et les atomes à axe circulaire, en quoi diffèrent-ils désormais ? Peut-être peut-on le découvrir dans une certaine torsion de l'anneau, qui donne à celui-ci la forme d'une sorte

CX Cette conclusion me semble excessive. Les deux anneaux sont si près l'un de l'autre que les actions extérieures qu'ils subissent sont évidemment peu différentes, et, après une période de trouble, ils auront pris par les actions extérieures et leurs réactions mutuelles les dimensions liées par la constance du produit arf", nécessaires pour qu'ils continuent à cheminer ensemble, surtout si l'on remarque que dans la vitesse de chacun d'eux le terme qui provient de d n'est qu'une petite fraction de la vitesse totale.

d'hélice à un ou plusieurs tours, enroulée sur un tore, et le rend analogue plutôt à un solénoïde électrique fermé qu'à un courant circulaire.

Sir W. Thomson a démontré (1880) que ces formes {fi g. 10) sont permanentes, pourvu que l'anneau ait un mouvement de translation hélicoïde; mais sont-elles stables même pour les déformations qui les rapprochent de la forme circulaire? C'est une question que les travaux de J.-J. Thomson laissent pendante, et que je serais tenté de résoudre par l'affirmative. Dans l'anneau ramené à la forme d'un tore circulaire, la rotation peut être oblique à la section méridienne, comme l'a remarqué

Fig. ,o.

M. Bolzmann (1873); c'est seulement pour le cas où la rotation est normale à la section méridienne que J.-J. Thomson a établi la slabilité de la forme circulaire; pour la rotation oblique, il est probable que la stabilité est reportée à une lorme qui révèle au dehors la direction de la rotation en chaque point. Dès lors la condition pour que deux anneaux s'accompagnent devient plus compliquée; il y entre, outre les intensités, les volumes et les dimensions, deux constantes de plus, les nombres de spires. Si l'identité des intensités est encore nécessaire, la conséquence doit être qu'il existe une certaine relation entre les volumes et les nombres de spires. Les équivalents des différents corps seraient des fonctions de nombres entiers, fonctions différentes suivant le nombre des nœuds, susceptibles d'un classement périodique en séries grossièrement parallèles, comme celui de Mcndelejef, si toutefois les volumes des termes successifs de la série étaient assez différents pour correspondre aux équivalents.

22. Quoi qu'il en soit, admettons avec J.-J. Thomson que l'intensité est la même pour tous les corps, et que la seule disposition stable est celle où les sections des anneaux par un plan méridien occupent les sommets d'un polygone régulier (n n 10). Il n'y a pas d'atomes noués présentant plus de six branches parallèles {fig. 1 1 ). Un atome à n branches parallèles ne peut pas s'unir à moins de n atomes simples formant un groupe unique. Les composés successifs comprennent un, deux, trois, quatre ou cinq groupes de n atomes simples (ou l'équivalent), mais pas davan-