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section méridienne du tore correspondant, pourvu que les volumes des tubes-tourbillons soient les mêmes.

Deux anneaux de même axe, mais de signes contraires, marchent l'un vers l'autre ; le plus petit se ralentit, grandit et traverse l'autre qui s'est dilaté pour le laisser passer, en se ralentissant s'il n'est pas très grand, en s'accélérant au contraire s'il est beaucoup plus grand. Après cela, tous les effets changent de signe, et les anneaux se séparent en général. Il ne semble pourtant pas impossible que l'un des deux, plus intense et plus grand, en traîne l'autre dans son mouvement de translation, chacun oscillant autour d'une position moyenne.

9. Chaque tube-tourbillon est accompagné d'une certaine quantité de fluide dénué de rotation, qui lui forme une sorte d'atmosphère. Cette atmosphère peut d'ailleurs se séparer du tube-tourbillon quand il subit une variation d'énergie temporaire ou. permanente par une cause quelconque. Sir W. Thomson en a donné un exemple, dans le cas de deux tubes parallèles, égaux et de rotations inverses ( 1867) (/£#. 1). La vitesse de translation des tourbillons est moindre que celle

Fig. r. — (W. Tdohsos, Proc. R. S. Ed., 1867.)

qu'ils produisent entre eux sur une certaine étendue du plan médian; il existe un cylindre, lieu des points où la vitesse du fluide a une composante u perpendiculaire au plan des deux tubes égale à leur vitesse de translation commune U: c'est ce cylindre qui limite l'atmosphère ; il entoure les deux tubes. A l'intérieur de ce cylindre la vitesse u du liquide parallèle à la vitesse de translation des tourbillons est supérieure à U; elle est moindre à l'extérieur. Les courbes tracées sur la figure sont des lignes de flux par rapport aux tourbillons. Les lignes extérieures, qui n'ont pas été tracées, sont grossièrement parallèles à l'axe de symétrie dont elles s'écartent pour contourner l'atmosphère des tourbillons mobiles. Les équations de ces lignes sont très faciles à déduire de l'analogie électromagnétique. Elles sont indépendantes de l'intensité.

Dans le cas des anneaux circulaires, l'atmosphère également indépendante de l'intensité a beaucoup moins d'étendue; elle est généralement contenue à Tintérieur d'un anneau qui enveloppe le tourbillon; son épaisseur dépend du rapport du volume du tube à son ouverture. C'est seulement quand cette ouverture est

petite (a < e ** +1 ) c l ue ^ a surface limite coupe l'axe; d'abord concave au centre, puis convexe, elle s'allonge à mesure que l'anncau-tourbillon se rétrécit.

10. Vibrations des tourbillons. — Dans tous les exemples précédents, le mouvement a un caractère permanent. Mais il importe d'aller plus loin et d'étudier les lois des vibrations des tourbillons, pour savoir quelles sont les formes stables. Les déformations de la ligne axiale du tourbillon d'intensité I peuvent quelquefois être étudiées sans hypothèse sur la distribution de l'intensité dans la section du tube et sur la forme de cette section ; mais il n'en est jamais ainsi des variations de forme de la section. On s'est borné jusqu'à présent à l'étude des tourbillons liquides dont l'intensité est uniformément distribuée dans la section droite; cette uniformité de distribution se conserve, quelles que soient les déformations du contour de la section droite, et l'on peut calculer par quadratures les vitesses internes et externes dues au tourbillon déformé.

La surface limite du tourbillon est constamment formée des mêmes parties fluides; si on la représente par F(#, y, z 9 t) = o, à chaque instant on a

ॠd¥ dF d¥

On choisit d'abord le système de coordonnées géométriques le mieux approprié à la forme particulière du tourbillon, et on prend pour la fonction F un développement en série dont les coefficients seuls dépendent du temps. On en déduit par des quadratures (n° 4-, p. 8) les valeurs de w, t>, w sur le contour en fonction des valeurs actuelles des coefficients, et on les porte dans l'équation (1). Celle-ci se décompose en autant d'équations différentielles du premier ordre qu'il en faut pour déterminer tous les coefficients en fonction du temps. Il ne reste plus qu'à intégrer, ce qui présente presque toujours des difficultés insurmontables. Toutefois il est ordinairement assez facile de décider si la forme type adoptée est stable pour toutes les petites déformations, car les équations sont alors linéaires.

Kirchhoff a étudié en détail (Vorles., p. a65) le tube rectiligne à section elliptique. Soient Ç la vitesse angulaire élémentaire, et a, b les deux axes de l'ellipse contour :

i° Le contour de la section tourne sans se déformer autour de son centre avec

une vitesse u> égale à . , x *

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2 Un point intérieur (^0,^0)» situé sur une ellipse d'axes ka. Are, homothétique au contour, décrit avec la vitesse angulaire co une circonférence de rayon

^k(a -f- b) dont le centre est au point ~~ # , — jr Y* P ar rapport aux axes de

l'ellipse prise dans sa position initiale.

Les résultats de Kirchhoff se prêtent à un énoncé beaucoup plus clair à mon avis, et qui donne la physionomie générale du mouvement dans tous les cas. Dans la section droite tournant tout entière avec la vitesse angulaire co, traçons les ellipses homo thé tiques au contour. Chaque ellipse mobile reste constamment formée des mêmes particules fluides, qui la parcourent conformément à la loi des aires dans le sens du mouvement général avec la vitesse aréolaire k 2 <oab, en sorte que toutes les ellipses sont décrites dans le même temps.

Il en est de même quelle que soit la déformation simple du contour. Une rotation lente entraîne le contour et les courbes homothétiques, le long desquelles le fluide se meut rapidement dans le même sens avec une période uniforme. Sir W. Thomson a montré que, pour une petite déformation à n saillies, la vitesse angulaire du contour est £. La section circulaire est encore stable si les saillies

occupent des hélices de même pas, au lieu de génératrices, sur la surface du tube tourbillon (1880).

Des tubes circulaires égaux distribués aux sommets d'un polygone régulier un peu grand forment un système stable si le polygone n'a pas plus de six côtés; ils tournent avec une vitesse angulaire uniforme autour du centre immobile. Mais, si le polygone a seulement sept sommets, l'un des déplacements possibles croît indéfiniment, au lieu d'être périodique, et le système des sept tourbillons est instable

( J.-J. Thomson, i883). La vitesse de rotation commune (>) n est égale à -I, s'il

y a n tubes. Les périodes des déplacements sont résumées dans le Tableau suivant :

itz 3tt /- air 8ir 4^ 87: ioit 211 5r iotc

W3 «>* t» k 0)5^14^-2/5 Wi «"«/S *W32 <D6 20> 6 3(0 6

Quant aux déformations de la section de chaque tube, J. Thomson a examiné leur influence dans le cas de deux tubes. Elles produisent des variations périodiques de tous les éléments d'autant plus petites que le nombre de dentures de la déformation est plus grand. Par exemple, l'ellipse tourne autour de son centre avec sa vitesse de rotation propre et oscille lentement autour de la forme circulaire

avec la période — ; Tellipticité maximum varie en raison inverse du carré de la

distance des deux tubes.

Voyons maintenant l'anneau circulaire de rayon moyen a et qui a pour section méridienne un cercle de très petit rayon b. J.-J. Thomson a démontré (i883) que cette forme est stable. La vitesse de translation moyenne est

JL(io g ?£,).

Sir W. Thomson avait indiqué dès 1867 une valeur à peine différente. Si la circonférence moyenne est divisée en n segments égaux par la vibration, la période est sensiblement

/n«(i»«-i) Hog^'

tant que n est petit. Quand n est de Tordre de t> la période devient

iiza ^iza

•»•(»«- 1) ,/|o g iJ Iï08 J

iiza

Si Ton met en évidence la longueur d'un segment vibrant, ces deux valeurs

concordent d'une manière satisfaisante avec celles que Sir W. Thomson (1880) avait trouvées pour un tourbillon recliligne dont Taxe est simplement fléchi.

Il est facile de se rendre compte que toute courbe plane autre que le cercle se déforme nécessairement en progressant; car les forces électromagnétiques perpendiculaires au plan de la courbe ne sont pas partout égales ; la vitesse de translation des diverses parties de l'anneau n'est pas la même; il cesse d'être plan. En même temps les forces électromagnétiques cessent d'être parallèles à leur résultante; la projection de l'anneau sur son plan primitif change de forme et, tout en progressant avec une vitesse moyenne constante, il oscille autour de la forme circulaire, se courbe et se tord.

H. Choc de deux anneaux. — J.-J. Thomson a étudié l'influence mutuelle de deux anneaux circulaires qui passent assez loin l'un de l'autre pour qu'on puisse se contenter d'une première approximation. Voici les résultats principaux qu'il a obtenus (i883):

La direction et la vitesse du mouvement, le diamètre des anneaux subissent un changement permanent; en outre, chacun d'eux est mis en vibration; quand ils se sont écartés l'un de l'autre, la période est celle qui correspond aux dimensions finales de l'anneau. Les directions de référence sont :

i° La plus courte distance D, entre les lignes presque droites parcourues par les centres des deux anneaux A et B ;

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a° Le plan N perpendiculaire à cette plus courte distance en son milieu ;

3° Les directions mêmes des mouvements de chaque anneau AA', BB' sensiblement parallèles au plan N.

Les deux anneaux n'arrivent pas simultanément aux extrémités de la droite D< ; j'appellerai A celui qui y passe le premier. La plus courte distance entre les deux anneaux est une droite D 2 différente de D< et plus longue.

Soient I, R, U, I', R', U' l'intensité, le rayon et la vitesse de translation des deux anneaux A, B et e l'angle des chemins AA', BB'. La vitesse relative des deux

anneaux est

V=/U , H-U / « — aUU'cose.

L'accroissement du rayon R après le choc est

«-'»^('-'ïï)/,-a.

L'angle du chemin de A avec N, compté positivement quand A s'éloigne du plan, est

t ain V»D* l \ 3D|/

L'angle du chemin dévié de A avec le chemin initial, mesuré parallèlement au plan N et pris positivement vers BB', est

, .^UU'sinMU-U'cose

V*D| v *Di)y l Df

Quant aux signes, le Tableau suivant les résume :

aDi D t > -— , A et B s'écartent du plan N © > o, ©' > o,

D, < — -, A et B se rapprochent du plan N ©<o, <p'<o.

D,>2D, \ D 2 <aD,.

Le rayon et l'énergie de A croissent. Sa vitesse de translation diminue. $R > o.

Pour B c'est le contraire.

U >U'coss A se rapproche de BB' ^ > o,

U < U' cose A s'éloigne de BB' <|> < o,

U' > U coss B s'éloigne de AA' <|/ < o,

U' < U cose B se rapproche de AA' <J/> o.

Tous les effets

sont renversés.

Sir W. Thomson a montré par un raisonnement très général ( Vortex Mot,, § 35, 1868) qu'un tourbillon qui passe près d'un solide fixe est toujours dévié comme par une attraction lorsqu'il se meut librement (Ch. II). J.-J. Thomson a retrouvé ce résultat pour le passage d'un anneau circulaire près d'une sphère. L'anneau se

ralentit et s'élargit à mesure qu'il approche de l'obstacle ; des mouvements contraires se produisent quand il s'éloigne. Ni les dimensions ni la grandeur de la vitesse finale ne sont altérées par le passage auprès d'un obstacle fixe. La direction

du mouvement a changé d'un angle — ^-g * * en appelant a le rayon de la

sphère, et D la plus courte distance du centre de la sphère au centre de l'anneau dont la vitesse est U.

12. Anneaux noués. — Ces anneaux peuvent être formés d'un ou plusieurs tourbillons distincts. M. Tait s'est particulièrement occupé de la question du nombre des nœuds qui peut présenter un intérêt géométrique analogue à celle de l'ordre de multiplicité d'un espace. Voici un exemple simple d'anneaux de ce genre.

Traçons, sur un tube flexible, — pas d'une hélice à pn filets; courbons le tube et

réunissons les extrémités des files en regard : l'anneau est formé de n courbes fermées distinctes, mais enchevêtrées. L'ordre de multiplicité de l'espace extérieur est /i + i, puisqu'il n'y a que n intensités distinctes; mais le nombre des nœuds est beaucoup plus grand. Dans le mouvement permanent, les anneaux sont enroulés sur la surface d'un même tore s'ils ont tous la même intensité; s'ils sont d'intensités différentes, les tores qui correspondent à chaque anneau ont des sections méridiennes différentes, mais même circonférence axiale.

J.-J. Thomson a traité le cas de n = i , p = i (1881): les deux courbes font m tours l'une autour de l'autre; elles sont enroulées sur deux tores dont les sections méridiennes concentriques ont des rayons inversement proportionnels aux intensités: les rayons menés du centre commun aux deux courbes sont en ligne droite. Ces conditions ne suffisent pas pour la stabilité, il faut y ajouter l'égalité des vitesses de translation moyennes. Soient d la distance des deux filets (somme des rayons des sections des tores); b, b 1 les rayons des sections droites de chacun d'eux; I, F leurs intensités; tst, gj / leurs volumes

Ainsi, la distance d est une fonction de l'ouverture moyenne a et des constantes de chaque anneau. Si les deux anneaux sont différents, il y a deux périodes de vibration d'ensemble (déplacements simultanés des traces des filets dans toutes les sections méridiennes), l'une rapide

Im/^^T^og^-^)

l'autre lente

arc