Recherches sur l'analyse des sections angulaires
Ck Mémoire, qui offre une sorte de Complément analytique à la Théorie des Fonctions circulaires , a été composé en i8aa , et lu à l’Académie des Sciences au mois de mai i8a3. On le donne ici sans aucun changement notable, mais avec une Addition importante: elle est relative aux développemens des cosinus ou sinus d’arcs multiples par les puissancesr/escew/flufes du cosinus de l’arc simple , et forme en entier le IV' paragraphe de ce Mémoire.
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Or sc propose ici d’approfondir, et de perfectionner en plusieurs points, les formules générales qui se rapportent à l’analyse des fonctions circulaires.
Cette analyse, aujourd’hui si étendue, est, comme on le sait, le fruit des travaux successifs des plus grands géomètres, depuis notre célèbre Vi'ele jusqu’à Euler, à qui elle est principalement redevable ; et l’on en peut voir, dans le Calcul des fonctions dérivées de M. de Lagrange, une histoire aussi curieuse qu’instructive. Cet illustre géomètre y démontre, d’une manière élégante, la généralité de ces dcveloppemens qui donnent les sinus ou les cosinus d’arcs multiples, par les puissances du sinus ou du cosinus de l’arc simple ; et réciproquement, celles qui expriment les puissances par le moyen de ces arcs multiples; formules très claires, et bien faciles à établir pour le cas d’un multiple ou exposant quelconque entier, mais qu’on n’avait encore généralisées jusque là, c’est-à-dire, étendues à un exposant quelconque fractionnaire, que par une sorte d’induction ou d’analogie. L’auteur généralise très bien ces différentes formules, il y ajoute encore quelques corrections et remarques nouvelles qui les perfectionnent, et qui semblent ne plus rien laisser à désirer sur l’analyse complète des sections angulaires.
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2 • RpCflERCpgS SUR ^NAJLY$E
Mais, en examinant de plus près cette analyse, j’y ai reconnu une nouvelle imperfection qui peut rendre les formules incomplètes ou inexactes, et qui, dans tous les cas, leur fait perdre cette généralité absolue qu’on doit toujours retrouver dans les expressions de l’Algèbre.
Ces imperfections, <jui ont échappé jusqu’ici aux géomètres, pourraient être rendues sensibles à la seule inspection des formules générales dont il s’agit. En considérant, par exemple, la formule qui exprime le cosinus d’un arc multiple, par les puissances entières du sinus de l’arc simple, on voit une équation dont il est impossible que les deux membres aient actuellement la même généralité. Car imagine? l’arc augmenté d’une ou de plusieurs circonférences, il est évident que le sinus ne change point, et que par conséquent la série, qui ne contient que des puissances entières de ee sinus et des membres comlaus , conserve toujours la même valeur unique, tandis que le premier membre acquiert plusieurs valeurs différantes, et même, comme on sait, toutes réelles. Ainsi la formula connue, si elle est vraie dans le cas d’up multiple fractionnaire , ne l’est certainement que pour un seul des différées arcs dont je viens de parler, et doit être fausse pour tous les autres. On ne pourrait pas même dire ici que cette formule est uniquement présentée pour l’arc simple que l’on considère , et non pas pour cet arc augmenté de plusieurs circonférences; car en ne l’appliquant qu’aveo cette restriction à un arc compris dans le second quart de la circonférence , ou arriverait encore à une valeur faussq.
La source de l’erreur, comme on le verra, est dans une détermination trop particulière des coefficiens de la série. Ces coefficiens sont bien des quantités constantes, mais leurs valeurs ee sont pas simples, comme on le suppose; elles sont multiples, et du. même degré de multiplicité que la fonction que l’on considère : de aorte qu’en rétablissant la véritable expression de ces constantes, la fcr-
mule reprend toute l’exactitude et toute la généralité dont elle est susceptible. On peut dire la même chose des formules analogues à la précédente, et qui sont également incomplètes. Le défaut de ces expressions tient encore À l’oubli de Cètte équivoque qui est essentiellement Attachée aux fonctions circulaires, comuie aux signes radicaux; d’où il résulte que l’esprit, ne procédant plus que par la synthèse, ne voit guère qu’une des valeurs de la fonction dont il s’oceupe, et néglige toutes les autres, dont le concours est pourtant nécessaire è la généralité de ces expressions analytiques.
Les mêmes imperfections et de nouvelles difficultés se rencontrent aussi dans les formules réciproques, où l’on développe les puissances quelconques du sinus ou cosinus d’un arc simple, en une suite de cosinus ou d<f sinus d’arcs multiples : elles peuvent se remarquer encore dans la plupart des dcveloppemcns généraux en séries, et même dans la formule du binôme de Newton ; et j’ai cru qu’il était d’autant plus nécessaire de les relever et de les faire entièrement disparaître, qu’elles touchent ainsi aux principes fondamentaux de PAoalyae.0
Et d’ailleurs, la théorie des angles, éonsidérée en elle-mêmè, rie parait ni moins importante, ni, pour ainsi dire, moins fondamentale. Elle n’appartient pas seulement à la Géométrie, comme on pourrait le croire d’abord; mais c’est èticore une partie essentielle de Panalyse mathématique. Ces quantités remarquables, -ou plutôt ces rapports, auxquels la Géométrie donné naissance, et qu’ou nomme les angles, Se présentent en Algèbre d’une manière aussi naturelle et aussi nécessaire que les exposans Ou les logarithmes. Pat leurs propriétés toutes semblables, elles en sont même inséparable*. Car si la division du logarithme en parties égales répond à l'extraction de la racine d’une quantité réelle, la division de l’angle eri parties égales répond de même à l’extraction de la racine d’une quantité imaginaire. Or, ces quantités réelles, et celles qu’on nomme
imaginaires, se présentent également toutes deux dans nos transformations analytiques ; elles se mêlent, pour ainsi dire, à tous nos calculs, et c’est même dans cette combinaison de symboles réels et d’imaginaires que consiste la nature propre et le caractère distinctif de l’Algèbre. On voit donc que cette science, pour l’exécution actuelle des opérations qu’elle indique, exige à la fois la considération des angles et celle des logarithmes.
Dans la vue d’abréger les calculs ordinaires dp l’Arithmétique , les géomètres ont d’abord imaginé les logarithmes; et, pour l’usage particulier de la Trigonométrie, ils ont ensuite construit des taldes de sinus. C’étaient en apparence deux objets différens qu’ils s’étaient proposés; mais on voit qu’ils avaient travaillé, sans y songer, aux deux (fcrties intégrantes d’une seule et même théorie. Car une table de logarithmes, à laquelle ne serait pas jointe la tajjde des sinus, serait une table incomplète pour l’Analyse : l’une et l’autre n’en forment au fond qu’une seule , dont elles sont comme les deux moitiés inséparables. A la vérité, ces tables se trouvent réunies depuis long-temps pour la commodité des calculateurs; mais je veux dire que cette réunion, qui ne paraît due qu’à une sorte de convenance particulière, doit être aujourd’hui regardée comme tenant à la nature même de la science mathématique. Si l’on eût d’abord considéré les choses de ce point de vue général , comme il aurait paru tout aussi naturel et aussi facile d’opérer sur les imaginaires que sur les quantités réelles, les géomètres ne se seraient point arretés si long-temps à la considération de ces cas singuliers, où les inconnues, quoique réelles, ne se présentent pourtant que sous la forme d’imaginaires , et il est très vraisemblable que le fameux cas irréductible n’eût pas même été remarqué.
Je ne présente, en passant, ces réflexions que dans l’intérêt de la philosophie de la scieuce, partie trop négligée par la plupart des auteurs, et peut-être la plus digne d’être cultivée; car nos formules
et nos théorèmes les plus remarquables sont bien moins utiles et moins précieux en eux-mcmes que cette sorte de métaphysique qui les éclaire et les domine , et . qui seule peut rendre à l’esprit de nouvelles forces quand il faut se conduire et s’avancer plus loin dans les sciences. J’ai voulu d’ailleurs justifier en général les détails nombreux et assez délicats qu’on trouvera développés dans ce Mémoire; et c’est ce que je n’aurais pu faire ici, d’une manière plus particulière, sans entrer dans une foule de calculs et d’explications analytiques qui né - pourraient faire l’objet d’un discours clair et bien suivi. , ...
Mais avant d’entrer en matière, il faut dire deux mots du théorème de Moivre , et du sens multiple de la formule qui l’exprime.
En désignant par x un angle pu arc quelconque considéré dans le cercle dont le rayon est i , et par m un exposant quelconque , on a, comme on sait,
(«os x -f- — i sin xY = cos mx -f- 1/ — 1 sin mx,
formule que l’on doit à Moivre , et qn’on peut regarder comme la source de toute l’analyse des sections angulaires.
Cette belle formule, dont le théorème de Côtes n’est qu’un cas particulier, peut se démontrer sur-le-champ par les premiers principes de l’Algèbre et de la Géométrie, et cela, pour un exposant m quelconque entier ou fractiôntïaire. C’est ce qu’Euler a fait voir par la simple multiplication , et par les expressions connues qui donnent le sinus et le cosinus de la sommé ou de la différence de deux arcs, y» > 1 r . ~ j * t j — ( * — ç- - -, ,
Quand l’exposant rnest entier, les deux membres de cette équation ne présentent qu’une seule valeur; ou si l’ou veut en considérer deux, à cause de l’ambiguité qui est attachée au radical \/ — 1 , on voit qu’il y a également deux valeur* pour le premier* membre, et
RËGftERGtlES SÜft L’AÎfALtSÈ
deui pour lé second ; dé sorte q«fè les deux expressions ont k même èténdtfé, et tp» l’équation qui eh résulte est pàfftite.
Mais, si l’exposant m est un membre fractionnaire ^ , le premier membre de l’équation
(co* x 4“ t/““t sinar)» ta» cos» jf •+■ ÿ*~i sin» x
nous présente q valeùrs différentes, â cause du radical du degré q, et le second n’en présente actuellement qu’une seule.
Or, pour voir dans lies deux membres de cette équation la même généralité, comme cela doit être en analyse, il faut supposer qu’on prend, pour l’arc x, non-seulement cet arc , mais encore tous ceux qui ôrit le même sinus et le meme cosinus, et qui sont x , J? + a c, aî 4~ dé, été., c désignant la circonféreriCe entière. Par cetlë supposition, lé pré toi ér membre côfasérve lés niêmeS Valeurs qü’ auparavant'; ïnais lé Second en prehd <} différentes qui proviennent des arcs x, x-\- c , x-\ -ac, aî-f-3c, été. jusqu’à x + (y-“ i )c i et de oetta manière^ les deux membres de liéquation ont précisément la même étendue, car si l’on continuait d’ajouter la cfreortférence, ou mmôherait xar lès mêmes valeurs à l’infini.
Lorsqu’on supposé 1 HâiaiiO , ces Vafëtits deviennent les expressions éotlnûes dés dtterantiès raclùei ^* de hrnlté : et c’est cé qui
confirmerait au besoin ce que j*ai dit tout à l’heure. Car les q
valeurs du premier membre \/cospx 4- i/ — i sin^x ne sont autre chose que l’une quelconque d'entre elles multipliée par les q racines différentes de l’unité- Or, ces racines de l’unité se trouvant par
l’expression cos ^ -f- j/— i sin — , en donnant à e les q valeurs entières o, i, a, 3, etc. q — i, on voit que, si l’on prend une des valeurs du premier membre de notre .équation , telle que
cos^jo 4“ V — *
• P sin -je ,
DES SECTIONS ANGOLAISES.
et qu’on la multiplie par
ec , , . ec
cos — + v — i sm — ,
on aura le produit >
px -f* ec t , px-t-ec
cos- — - — + y — t sm ,
qui exprimera les q valeurs différentes du premier membre, en donnant à e les valeurs o, i, a, S, etc. q — i.
Mais, p étaDt premier à q , comme on peut toujours le supposer, il est clair que les valeurs de e reviennent (dans un autre ordre , ce qui est indifférent) à celles de pe relativement au même nombre q. On peut donc, dans l'expression précédente, au Heu Je e, mettre pe, et cette expression devient
cos ^ Çx -f- ec) -f- j/ — i
ee qui n’est plus entre chose que le second membre de notre équation ,où l’on augmente successivement l’arc x des différens multiples e de la circonférence.
Toutes les fois donc qu’on passe des puissances de siuus ou cosinus aux sinus et cosinus d’arcs multiples, il faut concevoir l’arc augmenté des différens multiples q, i, a, 3, 4 , «té- de la circonférence du cercle, et l’on obtient ainsi toutes les valeurs différentes des expressions analytiques que Ton considère. C3est une attention qu’on doit toujours avoir dans la théorie des angles ; et poqr y avoir manqué, quelques auteurs n’ont pas prévenu certaines dUÜCuUés qu’on a trouvées dans leur analyse, et ceux qui les ont rencontrées ne les ont pas toujours résolues.
Développemens généraux des cosinus et sinus (Tares multiples en séries ascendantes suivant les puissances entières du cosinus de l'arc simple.
i. Soient, pour abréger, cos x=zp, et sin x = ÿ ; et supposons
d’abord qu’on veuille développer cosmx suivant les puissances ascendantes de p ou cosx.
On aurait donc cos mx = «y* -{-etc., et le pro-
blème est de déterminer les coefficiens a, b, c, d, etc. de manière que la formule générale ait lieu pour toutes les valeurs possibles de m. Or on a
cosmx -f-j/ — i sin mx = (cosx-f- \/ — isinx)^==fp-f- \Jp % — i)"=z, cosnuc — / — i sinmx=(cosx — y/ — isinx)“= (/>-{- \Jp % — et par conséquent,
acosmx = z -f- -, et ai/ — i sin mx — z —
Ainsi tout se réduit à trouver le développement de
a = (p+ Vp^r
suivant les puissances ascendantes de p.
Nous supposerons donc qu’on ait '1 ■ 1 •
z = A -f- By -{- Cp % + D/? 1 -{- Ep* -f- F p* -f etc.,
et nous allons chercher à déterminer d’une manière générale les coefficient A, B, C, D, E, etc.
a. On y pourrait parvenir directement par la formule du binôme
de Newton ; mais il est à la fois plus clair et plus facile de suivre ici la méthode employée par M. de Lagrange dans la Leçon XI* de son Calcul des Jonctions. Elle consiste à déduire de la proposée
3 = {p + Vp m — «)"
l’équution dérivée du second ordre
mz — pz — (p‘ — \)z‘ — o,
et a y substituer, pour a, a', a*, leurs valeurs tirées de l’expression 3 — A Cp'-}- etc. : après quoi, on ordonne le tout
suivant les puissances de p, on égale à zéro chacun des coelüciens , et l’on trouve
/ ■ m ' A t? m'.m ' — 4 A A-. m'.m' — km ' — 16
L — ~t a > e =— 31~ a ’ G=a — - a » etc >
n m ’ — 1 n r, m% — 1 .m ' — 9 .. . . m ' — 1 .m* — am*— a 5 n
D =~rr B > F =— 3.4.5 D » H == - a - . 3 . 4.5 6 —~’ B ’ etc -’
dont la loi est manifeste.
On a donc, pour le développement de z—(p-]~ \/p ‘ — 1 )",
TM>-
o'-f- etc. j
1 nf I m ’ — I ■ rn' — q , m’ — 1 . m' — q .m' — a 5 . . 1
+B \P 7TP+ — M-s -V p ’+* tc }
où les deux coefliciens A et B sont encore inconnus, et doivent être déterminés par la nature de la fonction (p- f- yfp‘ — 7)“ qu’on a développée. *
11 est évident que le premier A est égal à ce que devieut cette fonction a quand on y fait p — o, et que le second B est égal à ce
que devient a' ou quand on y fait p—o. Or, eu faisant p
nul, a devient ( |/— 1 )”, et a' devient 1 )“~*.
10 RECHERCHES SUR L’ANALYSE Ainsi l’on a
A = (y/ — i)", et B = wi(y/ — i) 1 " - '.
Donc, si l’on représente, pour abréger, par P. la première série partielle que multiplie A , et qui ne contient que des puissances paires de p ; et par P, la seconde série que multiplie B, et qui ne contient que des puissances impaires de p y on aura cette expression générale
qui est vraie pour toutes les valeurs de m.
Maintenant , il est clair que le développement de la fonction
^ — (p-i-\/p % — 1) - “ est le même que celui de z en changeant
partout m en — m. Or, par ce changement , les séries P. et P, qui ne contiennent toutes deux que des puissances paires de m, ne changent point ; mais les deux coefliciens A et B deviennent ( y ' — 1) — ", et — rn[y — 1) — 1 ou ni (y/ — 1) ,— ", et l’on a
Si l’on ajoute ce» expressions , et qu’on divise par 3, on aura donc
+ *{(✓— 'Y-'+W— i)-"în»P.)
Si on les retranche Pune de l’autre, et qu’on divise par a y/ — 1,
11 vient *
ipbr(*-î) =sinwx =K(i/— ,(‘-‘+(1/— i) , "|P.j (a)
iels sont les véritables dcvcloppemens généraux de cos mx et sinmx, suivant les puissances entières et positives de cosx, et il
DES SECTIONS ANGULAIRES. ïi
faut leur laisser cette forme analytique, si l’on veut qu’ils conviennent actuellement à toutes les valeurs possibles de ni.
3. Lorsque rn est un nombre entier, ces expressions générales de coswr et de sin/nr se simplifient beaucoup, car il y a toujours un des deux coefliciens de P„ ou de P qui s’évanouit.
Et en effet, quand ni est un entier pair, il est visible que le coefficient {{(\/ — »)"-+- (v^ — O - "} t,s *- égal à db: r, selon que m est de la forme ,\e, ou /f e + a > et que le second coefficient ;{(t/ — |)»— est égal à zéro.
On a donc, pour m entier pair,
c, ) smx = ±P.=±{i-"V , + pi ~~ elc }
Si m est impair, on voit de même que le coefficient de P, est toujours nul , et que celui de mP est égal à d= i , selon que ni est de la forme 4 e +i ou \e — i.
On a donc, pour ni impair ,
cosmx=;£:mP=±m { p - '^V+ etc.J (A')
Quant aux formules relatives à ânmx, on aurait, dans les mêmes cas,
sin nue = =fc mP = =fc [p — p’+ p 5 — etc. , ( (B)
et
sinmx =db P, s==fc{ i — ~-p^+ etc * } (B')
4- Les deux premières formules (A) et (A'), relatives à coswix, sont les formules connues, et il est aisé de voir qu’elles se terminent toujours quand le nombre m est un entier quelconque positif ou négatif
Mais les deux suivantes (B) et (B'), relatives à sinmx, ne sont
ii RECHERCHES SUR L’ANALYSE
pas celles qu’on emploie ordinairement , parce qu’elles vont à l’infini dans ces memes cas de m entier que je viens de considérer.
Si l’ou veut avoir, pour sin mx, des formules qui se terminent comme celles de cos mx, on n’a qu’à diflercntier les formules (A)
et (A'), et en observant que = — sin x — — q , on trouvera les séries
sin mx= m{p— p'-{- - ~ pi ~~ CtC }? > ^
si n mx — ± { i — p'+- ~ ~ ~ 5 * * * 9 p* — e te . j q , (C')
qui se terminent toujours, la première dans le cas de m pair, et la seconde dans le cas de m impair, positif ou négatif.
Mais toutes ces énumérations relatives au cas de m entier n’ont par elles-mêmes aucune difficulté. Ce qui mérite notre attention, c’est le cas de m fractionnaire, parce qu’il nous présente quelques vérités nouvelles, intéressantes pour l’analyse, en ce qu’elles servent A la fois A la généraliser et à en effacer quelques imperfections qui avaient écliappé jusqu’ici aux géomètres. *
5. Reprenons donc nos formules générales (i) et (a) qui sont parfaitement établies pour un exposant quelconque m, et voyons comment elles peuvent satisfaire à tous les cas.
La première (i) est, comme on l’a vu,
cos mx = j^A •+■ -0P. -+- <+• jQrnP,
où l’on a
A = (\/ — 0" , et B = (»/ — i)” -1 .
M. de Lagrange, au lieu de la présenter, comme je l’ai fait, sous cette forme algébrique, commence par débarrasser des imaginaires
les deux coeflldens de P 0 et P, en posant
y / — i = cos J -f- y/ — 1 sin<£, d étant l’angle droit; ce qui donne
A = (\/ — 1)“ = cos md -4- |/ — i sin md, et = (y/ — 1)~ 1 ■= cos md — y / — i sin md-,
d’où il tire A - 4 - 4 - = acos md:
et il trouve de même
B + j = acosjm — i )d,
et met ainsi l’expression générale de cos nue sous la forme
cos nue =a P. cos md -f- mP cos (m — i )d,
qui est celle qu’on voit à la page (39 du Calcul des Fonctions dérivées, avec cette différence qu’on désigne ici par d l’angle droit que l’auteur fait égal à l’unité.
Cet illustre auteur remarque très bien que « lorsque m est un » nombre entier, il y a toujours une des deux séries partielles qui » se termine; et que l’autre, qui irait à l’infini, disparait, parce a qu’elle se trouve toute multipliée par un coefficient cos md on » cos (m — i )d qui devient nul. On a alors l’une ou l’autre des for- » mules (A) et (A'); » ce qui s’accorde parfaitement avec ce que nous venons de trouver.
« Mais lorsque/», dit l’auteur, est une fraction quelconque, les » deux séries vont à l’infini, et leur réunion est nécessaire pour » avoir l’expression complète de cos/nx; ce que personne, ce me » semble , n’avait encore observé. »
6. Mais il y a là-dessus plusieurs remarques essentielles à faire, et quelques exceptions très curieuses à présenter.
Et d’abord , on peut remarquer que la formule même que présente M. de Lagrange n’offre pas actuellement toute 1* généralité qu’elle
doit avoir; car je suppose m égal à la fraction irréductible £, et
j’imagine que l’angle x devienne successivement ±x, ±x-f-c, ±x-f -2 c, =hx+3 c, etc., ±x + (n — i)c, c désignant la circonférence entière. H est évident que le second membre de l’équation , qui ne contient que des puissances entières de p ou cosx et des coefficiens constans, conservera toujours la même valeur unique, tandis que le premier membre cosmx en prendra généralement an différentes, et même, comme on le sait, toutes réelles. Ainsi la formule dont il s’agit, si elle est exacte, ne l’est certainement, dans l’état actuel où elle est présentée, que pour un des angles dont je viens de parler, et doit être fausse pour tous les autres.
11 faut donc commencer par rétablir dans cette formule la généralité qu’on lui a fait perdre par une transformation incomplète de ses coefficiens ; car j’observe que notre première expression
cosmx = ï{(i/— 0“+ W—
était lout-à-fait générale, puisque dans le cas de m=^, le second
membre a , comme le premier, in valeurs différentes, à raison du radical de degré an, qui affecte les deux coefficiens de P. et P, et qu’ainsi les deux membres de l’équation ont précisément le même nombre de valeurs, et la formule toute la généralité dont elle est susceptible.
Si donc on veut débarrasser les deux coefficiens de P. et P de leurs imaginaires en les exprimant par des sinus ou des cosiuus, il faut avoir soin de leur conserver leur généralité ; et c’est ce qu’on ne peut obtenir qu’à l’aide d’un nombre entier indéterminé qu’on introduit dan» leur nouvelle expression. Et en effet, j’observe que l’équation |/ — i = cosd \/—i sin d ne donne pas seulement
(lA— 1)"= cosmd-i- y/ — i aiamd, comme le pose M- de Lagrange, mais qu’on a plus généralement
(j/ — i)*=cosm(ec±J)4- V — 1 sinm(ecrfcrf), e désignant un nombre entier quelconque, et c la circonférence. Or, dans le cas de l’exposant fractionnaire m= cette expression
de (y/ — 1)“ prend les an valeurs qu’elle doit avoir, en donnant à e les n valeurs o, i, a, 3 , 4 , etc. » — i ; et elle n’en prend pas davantage, parce qu’en continuant d’ajouter la circonférence , les mêmes valeurs reviendraient à l’infini.
On aurait dope, pour l’expression générale de c otmx, ou plutôt de cosm(e'c=fc:x), la formule
cos m (e'c ±x) = cos m (ec rfc d) P 0 cos(m ■ — i) (ec ± ,
où il faut voir maintenant quels sont les deux entiers e et e' <pn doivent aller ensemble pour que les deux membres s’accordent à donner la même valeur de part et d’autre. Dans cette vue , j’imagine que l’arc x varie et devienne égal à un angle droit ; p et P deviennent nuis, et la série P. se réduit exactement à l’unité. La formule précédente donnerait donc, eu faisant x — d,
» cosw(e'e dfcd) = cosm{ecdtzd)-,
d’où il faut conclure que d doit être actuellement égal à e, et qu’ainsi on * , pour la formule générale considérée dans tonte sa prét^ion .
foL. .çosxb (/sedbx ) = cqs d)P 0 + cas («* — i ) (ee db rf) «ip ,
où le nombre e désigne un cutier quelconque depuis o jusqu’à n — t,
n étant le dénominateur de la fraction irréductible m— - que l’on considère.
7. Nous avons donc , au moyen de ce nombre indéterminé e, une
RECHERCHES SUR L’ANALYSE
formule (a) aussi générale que la première (i), et qui convient à toutes les valeurs possibles de l’exposant m.
Voyons maintenant dans quels cas l’un ou l’autre des coefliciens de P 0 et P pourrait disparaître, et où cos mx n’aurait besoin pour son développement que de l’une de nos deux séries partielles, et dans quels cas la réunion dA deux séries est nécessaire.
8. La chose est évidente lorsque m est un nombre entier ; car on a cosm(ec±d) = o, ou cos(m — i ) (ecdzd)=o, selon que m est impair ou pair ; et l’on retrouve alors les deux formules (A) et (À') que nous avons rapportées plus haut.
g. Mais , si m est une fraction ^ de dénominateur impair, quoique
la réunion des deux séries P„ et P soit en général nécessaire pour l’expression de cosntr , je dis qu’elle ne l’est pas pour tous les angles ±x, cdczx, a c±x, 3cztzx, etc., qui pourtant répondent au même cosinus p ; et l’on va voir qu’il y a toujours deux de ces angles pour lesquels une des deux séries disparaît, et où cos mx se trouve exprimé par la même formule que dans le simple cas de m entier; ce qui mérite assurément d’être remarqué.
10 . En elTet, cherchons d’une manière directe dans quels cas le coefficient de la série P 0 , par exemple, et qui est cos £ (ecdcd),peut disparaître; il n’y a qu’à chercher dans quels cas l’angle -(eczizd) devient un multiple impair d’un angle droit. Ainsi il faut
qu’on ait, en désignant par 1 un nombre impair, ^(ec±d)=W, ou bien
r(4«rib i) = «I.
Or, n et r étant premiers entre eux, l’on d’eux est nécessairement impair; mais 4«=k ■ et I sont aussi impairs, donc il faut que r et R soient tous les deux impairs.
Si cette condition a lieu, il est bien aisé de résoudre l’équation précédente, et de trouver le multiple inconnue; car, en observant que n est premier à r, il est visible que I doit être de la forme ir, afin que le second membre ni soit, comme le premier, divisible par r. On a donc l’équation plus simple
4e =fc 1 = ni,
i étant un nombre impair; d’où l’on tire sur-le-champ, en faisant <=l, et < = 3, les deux valeurs
seuls nombres, au-dessous de n, qui puissent résoudre la proposée i = ni. Or, il peut arriver deux cas :
i°. Si n est de la forme on aura, pour e et e\ les deux
entiers 1 et 3 '*^~ ' , qui tous deux rendront nul le coefficient
cos £ {ec ± d) de la série P., et donneront afc r , pour le coefficient de la série mP; car on trouvera, d’un côté,
C0S G» — *) ( ""J ~ c + d^s=sinrd = =b i , et de l’autre ,
cosQ — c — = — s “ l = =*= i ,
les signes ±, selon que le numérateur r de la fraction ^ sera de la
forme 4«-f- *> ou 4«— • t*
a 0 . Si le dénominateur n est de la forme 4< — i, on aura pour e et e' les deux entiers " ~t~ 1 et — , qui donnercmt, pour les deux
