RECHERCHES SUR L’ANALYSE
coeflioicns de» séries P„ et P, le» mêmes valeurs que «-dessus, mais avec le signe contraire , et cela pour les mêmes formes -du numérateur r.
D’où je conclus que, si m est une fraction ~ dont les deux termes
soient impairs , il y a toujours deux angles X, savoir : c-\-x
et — y — c — x : ou l>ien, — — c — x et — -, — c+ x, du meme
cosinus donné p , pour lesquels cosuiX. s’exprime au moyen de la seule série partielle P, exactement par la même formule (A') qui convient au cas de m entier et impair ; de sorte qu’on a exactement la formule
cosmX==±=m jcosX — - j-j- cos 3 X -(- C0! > 5 X — etc. j
quel que «oit l’exposant m, entier impair, ou égal à une fraction dont les deux termes soient impairs.
Seulement , il faut observer que le second membre ne répond ici qu’à deux des valeurs différentes dont le premier est susceptible en ajoutant à l’arc X plusieurs fois la circonférence : mais il n’en est pas moins remarquable que, pour ces deux valeurs, la formule soit aussi exacte que celle de M. 4 e Lagrange, et même plus générale, puisque celle-ci ne convient actuellement qu’à une seule des valeurs réelles du premier membre.
i j . Mais, pour acliever notre analyse , voyons tout de suite dans quels cas le coefficient cos(/n — i) (ccïkzd) de la série P, ou, ce qui est la même chose, sin/n(ecrfcdj pourrait aussi disparaître.
11 est évident que cela ne peut avoir ben que lorsque l’angîe
^(ecdbrf) devient im multiple pair de l’angle droit d. Ainsi, en désignant pa* K un nombre pair, on aura, pour déterminer le mul-
UES SECTIONS ANGULAIRES
tiplc inconnu e, l’équation *
r(4e =±= i) = nK.
Or, r étant premier à n, par hypothèse, il faut qu’on ait K == ir, atin que le second membre nK soit, connue le premier, divisible par r; on aura donc, en divisant tout par r,
± i = ni,
où l’on voit, à cause du premier membre impair, que n et £ doivent être tous deux impairs, et que par conséquent le numérateur r de
la fraction - doit être pair.
Si cette condition a lieu, ou trouvera, comme ci-dessus, pour l’inconnue e, les deux valeurs entières
ou bien ,
e bs:
nt
* e > 3 i±jl
et
e' es 3n “*
selon que n sera de la forme 4 *+»» ou »■
Dans l’un et l’autre cas, le'cocfficient cos (m — i) (ecdcd) de la série P deviendra- nul, et le coefficient cos m (ecrfc d) de la série P, sc réduira à zfci, selon que le numérateur r sera de la forme 4 « ou 4 «H-a.
D’où l’on voit que si m est une fraction £ de dénominateur impair et de numérateur pair , il y a toujours deux angles X, — jp c~{-x et — c~~x; ou bien — c—x et — | — c + x,
du même cosinus donné p , pour lesquels cos mX. s'exprime au moyen de la seule série partielle P., exactement par la mémo formule (A) qui convient au cas de m entier et pair.
RECHERCHES SUR L’ANALYSE
13. Mais si le dénorairifteur n de la fraction est un nombre pair et représenté, je suppose, par an', le numérateur r sera nécessairement impair, puisqu’il est premier à n, et l’on ne pourra jamais avoir
£(4*dbi)sE,
E désignant un entier quelconque; car il en résulterait r( 4 e=fc 1) qui est impair, égal à an'E qui est pair, ce qui est impossible. Ainsi ni l’un ni l’autre des coefliciens de P. et de P ne peut jamais devenir nul pour aucune des valeurs de cos mx.
D’où il résulte enfin, que le seul cas où la réunion des deux séries P„ et P soit nécessaire à F expression de chacune des %>aleurs de cosmx, est celui de m égal à une fraction irréductible de dénominateur pair.
1 3 . Dans les autres cas, on pourrait toujours employer les simples formules ordinaires (A) et (A') ; et il n’y aurait pas même au fond d’erreur analytique à craindre, puisque la série représenterait toujours le cosinus d’un arc tel, que s’il était divisé par m, et qu’on en prit le cosinus, on retrouverait précisément le cosinus donné p.
On voit par là combien ce point de doctrine avait besoin d’être approfondi et rectifié dans tous ses détails.
1 4 . Au reste, nous pouvions tirer directement les mêmes conséquences de la première expression algébrique de nos coelficiens, qui, en supposant toujours — 1)“ = A, reviennent à
{A +• et m \/ — 1 1 A — -^} ;
il n’y a qu’à chercher pour quelles formes de l’exposant >»= -, les coefliciens peuvent devenir nuis.
Et d’abord , pour que A -f- ^ disparaisse, il faut que A soit une
ai
dea^racines de A*-f- i = o , et' partant soit de la forme de I . 11 faut donc que y/ — i , ou bien — y/—i, soit une des valeurs de
(y/ — 1 )" ou vît/ — ; ce qui exige que r et n soient tous deux impairs, comme on l’a trouvé plus haut.
Eusuite, pour que À — - v disparaisse, il faut que A soit une des
racines de A* — i = o, et partant soit =b i : il faut donc que + 1 ,
ou que -—r soit une des voleurs de V(t/ — i)’; ce qui exige que r soit pair, et «.impair.
Enfin , si n est pair, et marque par an', r est impair, et \/(l/— •)'
in •
revient à \/(db\/ — i), expression qui, permises a n' valeurs, n’en a aucune A dont la réciproque soit encore A, ou bien — A. De sorte que, dans ce cas, aucun des deux coefliciens ne peut jamais devenir nul; ce qui s’accorde entièrement avec tout ce qui a été développé plus haut.
i5- Maintenant, tout ce qu’on vient d’exposer eu détail sur la formule relative à cos nue peut s’appliquer de même à la formule qui exprime s in mx.
Si l’on y veut aussi dégager des imaginaires les deux coefliciens des séries P 0 et P, on trouvera la formule
(/3). . . sin m (ec d= x) == sin m (eccfc <i)P 0 -J- sin (m — i ) (ecrfc rf)mP,
qui est générale pour toutes les valeurs possibles de m, et où le nombre e désigne un entier quelconque depuis o jusqu’à n — i , n étant le dénominateur de la fraction quelconque m que l’on considère. *
On trouvera de meme que si les deux termes r et n de cette fraction sont impairs, il y a toujours parmi les angles dbx, sfcx-f-c, ±x+a c, etc. 4 æ + (s — i)c, répondant au même cosinus
IlECttERCBUSS SUR L’AXAJLÏSE
donné p, deux angles X, pour lesquels ou a simplement * sin niX = ± P t)
comme dans le cas de m entier impair.
Et que si, n étant toujours impair, le numérateur r est pair, on a
sin mX = sb mY,
comme dans logeas de m entier et pair.
Mais que, si n est uu nombre pair, il n’y a aucun angle répondant au cosinus donné p, pour lequel la réunion des deux séries P„ et P ne soit nécessaire à l’expression complète de la fonction sinmx.
16. On pourrait éclaircir toute cette théorie par diflérens exemples : je me bornerai aux plus simples. , •/ -
Supposons le Cas de m = j, ce qui répond â la trisection de l’angle x dont le cosinus est p.
Nous avons vu qu’oo aura, .pour la première valeur cos £ x ,
cos j x = P 0 cos 3 d -f- |P cos ^ d,
et, pour la valeur correspondante de sin . jay
sin-Jx = PoSin'frf 4- jPsin^—rf,
et que les autres valeurs se trouveraient en prenant dans ces formules les deux arcs x et d augmentés d’une , et puis de deux circonférences.
Comme otf a ici n= 3 , et par conséquent —r— égal à a, il en
résulte qàe l’arc pour lequel les formules se réduisent aux mêmes que dans le cas de l’exposant entier, est l’arc x<-f -ac; ce qui donne
en euct 9
cosi(x+ae) =r P.cqs£ (d-f-ac) + |Pcos(j— i) (d+2c)sx-~ $P,
sin J (x+ ac) p P„ sin j (d+ 3 <?) 4 - ip Sjo (s — i) (d-b ac) =*— < P^ ;
Mais an peut vérifier ce» résultats au moyen des premières valeurs de cosf x et nia jx, supposées Connues. En efîêt, qu’on change x en ac, et que, par les formule» ordinaires, on développe cos j(x-f-ac), et sinÿ(x-f- ac), ce qui donne
cos j (x + ac) = cos J-x .cos 5 c — sinix.sinfc, sini(x + 2c) = sinix.cosfc -f- cosix.sinf c,
il n’y aura plus qu’à mettre dans les seconds membres, à la place décos jx et sinjx, leurs valeurs données plus haut en P„ et P. Or, si l’on fait cett* substitution , pif voit (à cause des relations
cos -j c sin j d — . j r et r sin , o - — * cos $ d. — — - que
le second membre de la première équation se réduit à ip ; et
que le second membre de la seconde équation se réduit à P.
comme nous l’avions trouvé par notre analyse.
Si l’on considère maintenant l’arc — x, qui a aussi le même cosinus p , on trouve que, pour l’arc — x-f-c, on a encore les simples formules , ■
— iP,
Tin P„, l
et c’est ce qui était indiqué par notre analyse, puisque le multiple « de la ciiconflérencc qu’il faut ajouter à l’arc proposé — x, est eu
général "“j* " , et devftmt icfi^-^oii sîThphfBenTt. — ;
Réciproquement , de ces formules simples relatives aûx arcs cà+ïc et — x + c, on remonterait, par la même voie, aux formules composées relatives aUx arcs X et — x, en ajoutant au premier une fois, et au second deux fois K circonférence.
Et en général, on peut voir que, m étant une fraction quelconque de dénominateur impair, si l’on prend simplement, pour cos mx et sin mx y les mêmes séries que dans le cas de m entier impair, et qu’on
RECHERCHES SCR L’ANALYSE
en compose les autres valeurs de ces fonctions par le simple développement des expressions cos/»(x •+• ec), àin m(x+ec), on parviendra aux mêmes formules générales (a) et (/S) que nous avons trouvées; ce qui confirme encore notre analyse.
Quand le dénominateur de la fraction m est un nombre pair, les deux séries P 0 et P entrent nécessairement, comme on l’a vu, dans l’expression de toutes les valeurs de cosmx et de sin mx.
Ainsi, pour m=ï, vous trouvere* . •
c«i* = £P..+ p;-iP
et les deux séries P 0 et P entreront également dans l’expression
des trois autres valeurs, qui répondent aux aresx-f-e, — x, et
— x-f-c du même cosinus proposé p.
Pour m=j, on trouverait *
cos ^ X
et l’on aurait, aux signes près des radicaux , les mêmes formules pour les sept autres valeurs qui répondent aux arcs x+c, x-f- a c, x-|-3c, — x, — x+c, — x-f-ac, — x+3c, du même cosinus donné p.
m. Avant de terminer cet article, je ferai encore une remarque générale sur la nature des deux séries P. et P : c’est qu’on aura toujours, quel que soit l’exposant m et le cosinus p , l’équation de condition
PJ + WP* = i.
Jl suffit, pour le démontrer, de prendre les expressions générales de
cos mx et de sin mx données par les formules (a) et (#), de faire les carrés et d’ajouter; ce qui donnera * •
cos* mx -4- siti'wix = i P J -f- rrf P*.
Ainsi les deux séries P„ et mP, fonctionsde m et de psscosx, sont telles, que l’une peut toujours être regardée comme le cosinus d’un certain ongle dont l'autre serait le sinus.
Or, si m est un nombre entier, ou une fraction quelconque de dénominateur impair, cet angle est précisément mX , X désignant ici un certain angle choisi entre ceux dont le cosinus est p. Mais si m est une fraction de dénominateur pair, cet angle ne peut plus être mX, quel que soit l’angle X que l’on voudra choisir entre ceux dont je viens de parler : ce qui présente une propriété assez singulière des deux séries P„ et mP.
Mais voici une expression plus générale et plus nette de ces deux séries , et qui donne un moyen facile de sommer chacune d’elles pour des valeurs quelconques de m et p. Si de» deux équations (<*) et (j9), on tire par l’élimination les valeurs séparées de P. et de P, on trouve sur-le-champ
P. = cos m(d — x), mP = s\nm(d — x),
d étant toujours l’angle droit.
Ainsi la séria P., fonction de m et de p = cos x , exprime toujours le cosinus de l’angle m(d — x), et la série mP est toujours le sinus de ce même angle.
18 . On pourrait tirer de là les formules générales qui développent les cosinus et sinus d’arcs multiples par les puissances du sinus de l’arc simple. Car, si l’on nomme <p l'arc d — x, p ou cosx devient cos(< 2 *~"<p)=sin$, et les deux formules précédentes nous donnent cos mp ea P», {»~ v~ ,
sinjwp ss mP|i
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ou, changeant la lettre <p en x, et p en q , on aura
• t m‘ | m'.rfa — 4 /
C'OS77ir={ l q'-\ ï-T-ïq* , . . c
sin mx
“ITT
m ’ m ‘— 4m '—6 9 «+ e tc.j = Q.,
Ce sont les formules connues ; mais nous allons les retrouver et les compléter par la même analyse qu’on a employée jxjur obtenir les formules (a) et (/3).
Développcmens des sinus et cosinus d’arcs multiples en séries ascendantes suivant les puissances entières du sinus de tare simple.
19; En faisant toujours cos x c=. p et sin x = q , on aura
p—V'—q', et
cos sc -f- y 1 — 1 sin x = 1 — ■ 7* + 9 \/ — 1 ,
et si on élève & la puissance m , il viendra
cos/nx + V — « sin mx = { Vi — V 4- q\/— » J" = *•
On aura de même > •
cos mx — \/ — 1 sinmx = {t/7 — q'+ qV~~ 1 d’où l’on tire
acos mz — z 4- - , et a */— i sin mx = z — - ; *
et il ne s’agit plus que de développer z, c’est-à-dire, la fonction {y’i — q'-\- qi/ — i}", suivant les puissances ascendantes de q. Or, en suivant la mcA analyse que l’on a déjà employée, on
tirera de l’équation 3 = J \/i — 7’4 - ^ ^ ^ /, — 1 }“ différenciée deux fois relativement à q , l’équation du second ordre
m'z — qz' — (<7* — 1)3" = o,
qui est la même que celle qu’on a déjà trouvée, en y changeant p en q.
Si donc le développement de z est représenté de même par
s =z A H- By 4- Cq * -f- Dy s -f- Eÿ* + etc. ,
et qu’on substitue dans l’équation dérivée, au lieu de z, s', z", leurs valeurs tirées de ce développement, on arrivera exactement aux memes équations pour déterminer les cocflieiens A , B, C, D, E, etc. ; et l’on obtiendra , comme plus haut , l’expression générale
. f ro ’ . ro ’./ n * — 4 1 .1
2 = a {*-t? + -rxr^- elc }
+ ?-TF^+ T î Tr ^-^l’
ou il reste à déterminer les deux coeflicieus À et B par la nature de la fonction développée. Mais, cette fonction 3 n’étant pas composée en q , comme elle l’est en p, les cocfTiciens A et B ne seront plus ici les mêmes , à raison de cette diversité de forme .
« Pour trouver ces deux coefficiens, ce qu’il y a de plus simple, » dit M. de Lagrange , c’est de chercher par le développement actuel » les deux premiers termes de la série. » Oc, puisque \/ 1 — q % donne 1 — \ + etc. , il est clair que les deux premiers termes- du développement de
{ 1 + <&'*-+ — £ 4- et*}“ ,
sont 1 4" m< 7l/-T“'ii)i ainsi o* 1 aura
A et B = m\/~ î.S •••,),
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Et, comme le développement de est le même que celui de z, en y changeant m en — m, ou |/ — r en — y/ — i , on aura pour l’expression de ^ la meme série, avec les deux nouveaux coeffieiens ,
A — i , et B = — my' — i j d’où, en faisant ces substitutions, l’auteur conclut les deux formules
cos mx = 1 — S in mx = mq
m * . . a m * - to 9 — '4 . "** — 16 . ,
m.m‘ — 1 . m û — ci , . •
q — etc. = mQ,
a.3.4.iT~
qui sont, comme on voit, les formules déjà connues pour le cas de m entier, a Mais , par la manière dont nous venons de les trouver, j> dit l’auteur, on-voit en même temps qu’elles sont générales pour j> des valeurs quelconques de jp. »
Ces formules, en effet, comme je l’ai démontré plus haut, sont vraies pour un exposant quelconque m : mais il faut ajouter, ce que • l’auteur n’avait point remarqué, qu’elles ne conviennent qu’au plus petit des arcs dont le sinus est q. Car, qu’on suppose, par exemple, m= j et x — <&, et les formules nous donneraient cosj'®-= j, et sinj<ar=oj valeurs fausses, puisqu’on a, comme on sait,
cos ÿ <nr = £ , et sin En général, il est évident que les
formules précédentes sont incomplètes pour un exposant fractionnaire m — car les premiers membres cos ma: et sin mx sont susceptibles de prendre an valeurs réelles différentes pouf les différais arcs x, x-j -c, x + ao, -etc., x-f-(/i— i)c, et leurs suppiémens <sr — x, <a t — x-+-c, , ar — x-f-ac, etc. qui ont tous le même sinus q ; tandis que les seconds membres Q 0 et mQ, qui ne contiennent que de* puissances entières de q, n’en peuvent jamais
DES SECTIONS ANGULAIRES. ag
recevoir qu’une seule. Ainsi ces formules ne peuvent être exactes que pour un seul des arcs dont je viens de parler, et sont fausses pour tous les autres; d’où l’on voit que ce nouveau point d’analyse a également besoin d’ètre éclairci et rectifié.
ao. L’imperfection tient encore ici à une détermination trop particulière des coefliciens A et B : ces deux quantités sont bien des constantes; mais, comme je l’ai déjà remarqué, leurs valeurs ne sont pas simples : elles sont multiples, et du même degré de multiplicité que la fonction développée que l’on considère.
Et en effet , en suivant le calcul même de l’auteur, il est clair que les deux premiers termes du développement de
suivant les puissances de 7, ne sont pas simplement 1 + mq\/ — 1, comme il le suppose, mais bien (i) 1 '4-m(i)" — ‘.7^—1 : de sorte qu’on a en général A = (i)" et B = m 1 11 faut même
ici , pour laisser à ces coefliciens toute leur généralité , prendre
A = (/«)“, et B = my/ — 1 . (y/ 1)” -1 :
car le radical \/i — 7* ne donne pas simplement 1 pour son premier terme, mais bien \/i ou la racine carrée de l’unité, qui a naturellement le double signe ±. On voit donc, par cette expression générale des deux coefliciens A et B, qu’ils ont précisément le même nombre de valeurs que les fonctions cos/ar et sin mx que l’on considère.
Au reste, ces memes expressions de A et B pouvaient aussi se trouver par la même voie qu’on avait suivie dans le paragraphe précédent. Car il est clair que ces deux coefliciens A et B ne sont
autre chose que les valeurs des fonctions z et ~ , quand on y fait
RECHERCHES SUR L’ANALYSE
<7 = o". En prenant donc ces fonctions, et faisant évanouir q , on trouvera, comme ci-dessus,
A '= (y/i)“ et B = m [/ — I
On a donc , pour le développement général des ,
et, changeant m en — m, afin d’avoir le développement de ^ ,
d’oii l’on tire
ï(s + 7) = cos mx = H( »/ 1 )" *H / 1 )■"“ 1 Q*
rM *~ (4)
+ii(y / i) m -+(y'i) , ~ m (rnQ. )
Telles sont les expressions de cos rnx et de sin mx suivant les puissances ascendantes de siu x, et ces formules, en vertu de l’cquivoque attachée aux coediciens des deux séries Q 0 et Q, sont générales et complètes pour toutes les valeurs de l’exposant m, et pour tous les angles du même sinus donné 7.
a 1 . Lorsque m est un nombre entier pair, ( y/ 1 )“ n a qu une seule valeur qui est + 1 , et l’on a simplement ;{( y/ >) -r, }= ,: ensuite, le radical (y/ 1)*-.‘ a deux valeurs qui sont ± 1 ; mais, quelle que soit celle qu’on adopte, le coefficient {(y/i)’" -1 — (vA)'— ’} est toujours nul. Ainsi les formules deviennent simplement
(pour tu entier et pair) cos mx — Q#, sin True . — -i- mQ.
La première ne présente qu’une seule valeur, et la seconde en pré-
sente deux égales et de signes contraires; et cela doit être quand m est pair, puisque si l’on change l’arc x en <w — x, qui a le même sinus e/, cos str garde la même valeur et le même signe, tandis que sin nue prend un signe contraire.
Quand m. est un entier impair, (p^i)" a la double valeur rit t, et {V i)“~* la valeur simple -f- i, et les formules deviennent ainsi
(pour m entier et impair) cos mx = ± Q, , sinmx = mQ.
Ici la première formule est double, et la seconde est simple, parce que m étant impair, si l’on met «ar — x au lieu de x , cos nix change de signe, et sin mx ne change point.
La série Q„ se termine exactement, comme celle du binôme de Newton , dans le cas où m est un nombre'pair, mais elle va à l’infini quand m est impair. La série*Q, au contraire, se termine quand m est impair, et va à l’infini si m est pair. Or, pour avoir deux nouvelles formules qui se terminent dans les memes cas où les premières vont à l’infini, qu’on les différencie toutes deux par rapport à x ,
et si l’on observe que ^ = p , on trouvera, en faisant pour abréger,
dQ.
dy
cos mx = p . Q'„, et sin mx = — — Q',
dont la première s’arrête quand m est impair, et la seconde quand m est pair : et, dans ces formules, l’ambiguité se trouve renfermée dans le facteur p ou cosx, qui change de signe quand l’arc x est changé en <s r — x.
22. Tout ceci s’accorde entièrement avec les expressions connues; mais je passe au cas de l’exposant m égal à une fraction A
Dans ce cas, il est facile de voir que les coefficiens des deux séries
RECHERCHES SUR L’ANALYSE
Q 0 etQ reçoivent an valeurs réelles, comme cela doit être, et qui répondent aux an valeurs réelles des fonctions cos ma: et sin mx, pour tous les angles qui ont le même sinus donné q. Ainsi, la réunion des deux séries Q„ et Q est nécessaire en général à l’expression complète de cosmx et sin nue suivant les puissances ascendantes de sin x. Mais, parmi ces différons arcs do même sinus q, il peut y en avoir quelques-uns pour lesquels une des deux séries disparaisse pjr l’évanouissement du coefficient qui la multiplie , auxquels cas cosrnx et sin mx s’exprimeraient par les mêmes formules qui conviennent au simple cas de m entier ; et c’est ce qu’il faut actuellement examiner.
a3. Pour plus de clarté, on peut d’abord délivrer les formules (3) et (4) de leurs imaginaires, comme on l’a lait dans le paragraphe précédent, en posant
(v/i)“ == cosmetsr -f- {/ — i sinme«r,
• (v/*> — = cos (m — + ✓ — î sin (jn — i)e«,
er étant la demi-circonférence, et le nombre c un entier indéterminé ; et si l’on enveloppe sous la même expression («r ± x) tous les arcs ae<w-f-x et ae<ir -f- <w — x de même sinus q , il viendra, pour les formules (3) et (4) présentées dans toute leur généralité,
(jO . . . cos m (e<w =fc x) = cos me® . Q 0 — sin (m — i )e«- . mQ , (ef). . . sin m{e'& rfc x) = sin met? . Q 0 -f- cos (m ■ — i)emr. mQ ,
où le nombre * est un entier qui doit être pris le même dans les deux membres, depuis o jusqu’à an— -i, avec cette attention de faire répondre les nombres pairs e à l’arc +JJ, et les impairs à l’arc — x.
a4- Actuellement il est bien aisé de voir quels sont les cas oh l’un ou l’autre des cœfficiens de Q. et de Q peut disparaître. Et d’abord ,
pour que sia (m — i)e«r ou sin m&sr disparaisse, il est évident qu’on doit prendre les nombres e=o et e = n, n étant le dénominateur de la fraction m = -,
On voit donc, par ces deux valeurs de e, que, parmi les différons angles du sinus donné ç, il y en a deux X, savoir x, et mr-\~x, si n est pair; ou x et n<sr — x, si n est impair, pour lesquels on a les mêmes formules
cos «X = ± Q 0 et sin /«X = ± rnQ que dans le simple cas de m entier (les signes rfc dépendant de ta nature des deux nombres r et n qui forment les deux termes de la fraction que Tou considère).
En second lieu, on 'peut chercher les cas où l’autre coefficient
cos me<a— cos - e® 1 deviendrait aussi nul à son tour. Or il est évi-
dent que cela ne peut arriver, que lorsque l’angle £ e® devient un
multipl# impair d’un angle droit. D'après cette condition, il est aisé de voir que le dénominateur n doit être nécessairement un nombre pair, et qu’alors on a, pour le multiple inconnu e, ces deux nombres
qui seront tous deux pairs, ou tous deux impairs, selon que n sera de la forme 4 U > ou / ( u-f-a.
On voit donc que, pour toute fraction m — - de dénominateur
pair, il y a deux arcs X, savoir : " «•-f-x, et ^ <Br-t-x, ou bien ^<ar — x et y®- — x, pour lesquels on a ces simples formules
cos mX = ± mQ, et sin mX = ± Q 0 ,
dont chacune ne contient qu’une des deux séries Q 0 et Q.
RECHERCHES SUR L’AHAUTSE
Pour tou* les autres arcs, la réunion de ces deux séries est nécessaire à l’expression complète de cos mx et de sin uix, suivant les puissances de sin x ; propriété analogue à celle des mêmes fonctions développées par les puissance du cosinus. Mais les développernens par les sinus ont cela de particulier, qu’il n’y a aucun cas de l’exposant m qui exige la réunion des deux séries Q. et Q pour toutes les différentes valeurs de l’arc du sinus donné; au lieu que, dans les premières formules (a) et (/3) , il y a le cas de l’exposant m égal à une fraction de dénominateur pair, qui exige la réunion des deux séries P. et P pour tous les différen* arcs du cosinus donné.
Mais nous n’entrerons pas sur ce point dans de nouveanx détails, et nous nous dispenserons de donner ici des applications particulières qui n’auraient aucune difficulté : nous nous contenterons 8’ajouter la remarque suivante.
a5. Pour établir les formules générales (y) et (J), nous avons voulu suivre la même analyse que l’auteur du Calcul des Fonctions, afin de rendre plus sensible l’imperfection qui s’y rcficontre, de la corriger à l’endroit même où elle s’introduit, et de montrer par ces nouveaux exemples que « si l’analyse parait quelquefois en » défaut, c’est toujours faute de l’envisager d’une manière assez éten- » due, et de la traiter avec toute la généralité dont elle est suscep- » tible. » Remarque très juste, queM. de Lagrange lui-même venait de faire dans le même ouvrage, sur un point semblable de doctrine, qu’il venait de rectifier d’après Euler, et qui a encore besoin d’être rectifié, comme on le verra dans le IV* paragraphe de ce Mémoire.
Mais je dois ajouter que, s’il s’agissait simplement d’établir les formules générales («), (/3), (y), (/), on pourrait y parvenir d’une manière plus directe et plus simple , et sans passer par des transformations imaginaires. Et d’abord, il suifutiil , comme ou l’a déjà remarqué, d’établir seulement, ou les deux premières, ou les deux
dernières , car il est facile de passer presque immédiatement des unes aux autres. *
Or soit, par exemple, à développer cos ma: suivant les puissances entières de p — cos x ; on qurait
cos mx = A + Bp + D />’ 4* etc-»
où il faudrait déterminer les coefficiens A, B, C, D, etc. par la nature même de la fonction coa mx.
D’abord, il est évident que le premier A est égal à ce que devient cette fonction quand on suppose p— o, ou bien ,r=ec=fcd; ainsi l’on a d’abord
A = coam(ec rfc d).
Qu’on prenne ensuite la fonction dérivée de oosnucpar rapport à et il est clair que le second coefficient B est égal à ce que devient cette fonction dérivée quand on fait p = o, ou x — ecdzd-, ainsi on trouvera .
■ lu' .1'. » . „
B as m
*»««»(*»-* 0 ( ec d )-
Et ainsi de suite; ce qui donnera précisément la même formule générale (a) que nous avons établie au commencement.
HL
<iA v ‘ .u q- Jv ■
Développemens des sinus ou cosinus aarcs multiples par les puissances entières de la tangente de Parc simple.
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Ces formules, qu’on tire facilement de celles que Jean Bernouilly a trouvées le premier par induction (Actes deLeipsic, 1701), se démontrent aujourd’hui d’une manière très simple. On fait toujours, suivant le théorème de Moivre ,
cos inx -f- \/ — i sinmr = (cosj:-f-p / — i smxY = (p-\-q\/ — 1)“, cosmjr — \/ — i sin m.r = (cos x — 1/ — i sinx)" = (p — q \/ — i)”;
on développe les puissances par le binôme de Newton, et l’on ajoute les deux développemens ; les imaginaires se détruisent, et, divisant par a , on trouve
cos rai:
Si l’on relrauche les mêmes expressions, les parties réelles se détruisent, et divisant par a\/ — i , on trouve
sin mx=.
nfi-
|r— etc }==P“S,
et l’on a ainsi, pour l’expression de cosmjc et de sin mx , deux formules qui paraissent devoir convenir à toutes les valeurs possibles de l’exposant m.
* a6. Mais, au premier coup d’œil jeté sur ces formules, il est aisé
de reconnaître leur imperfection dans le cas de l’exposant m fractionnaire. Car soit m une fraction irréductible et imagine* que
l’arc x devienne ar-f-ec, c désignant la circonférence et le nombre e un entier quelconque, il est évident que les séries S, et S qui ne
contiennent que des puissances entières de ^ ou tanga?, garderont
toujours les mêmes valeurs uniques; et que, par conséquent, les
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seconds membres de nos équations , p" S, et p“S, c’est-à-dire S n \/p’,
SV^, conserveront toujours leurs mêmes n valeurs dont deux au plus seront réelles; tandis que les premiers membres cosmjr, et sin mx , acquerrerout n valeurs différentes toutes réelles. Ainsi il est impossible qu’on ait généralement, pour tous les angles du même
co smx -J- y/— i sin msc œ d’où l’on est parti , et qui donne
ti: j'i i '• I
co» ma:
cosinus p et du même sinus q, les formules
cos ma: = pf S„ et sm mx { p= jtT S;
d ou il résulte qu il y a daDS l’analyse {frécédente , qui jKinut si simple, quelque défaut particulier qui nous a échappé.
