Si l’on fait simplement e=o, il vient

Ij 3 première équation nous fait voir que la série ordinaire P, , pour convenir à l’expression de la valeur réelle de (acosx)" dans le cas d’un arc x de cosinus négatif, doit être divisée par le facteur cosrn-w, qui n’est plus ici égal à l’unité.

La seconde équation montre que la série Q, est également propre à représenter celle valeur, en la divisant parle facteur sin mrar, qui n’est point nul ; d’où il résulte que la série Q, n’est plus égale à zéro pour aucun arc x de cosinus négatif, et qu’ainsi l’analyse d’Euler est fautive dans le cas général dont il s’agit.

71. Mais si la série Q, n’est plus ici nulle pour l’arc simple x, il est possible qu’elle le devienne pour cet arc augmenté d’un certain nombre e de circonférences, auquel cas la valeur réelle de (acosx)” s’exprimerait encore par la série ordinaire P,, pourvu qu’on y mît, au lieu de x, l’arc x-f*ec qui a le même cosinus.

Or, pour découvrir ce multiple inconnu e, il est clair qu’il faut chercher celui qui rendrait sin m (tr ec) — o , et par conséquent cos m(/nr q- ec) = ± 1 .

Dans le premier cas de cosm('sr-f-ec) = -f- 1 , il faut que l’angle

m('W+ ec) ou ~ («w-f-ec) devienne un multiple entier E de in r. On

a donc l’équation ; - (i -f*2e)= anE, d’où il résulte d’abord que r doit être un nombre pair, et par conséquent n un impair ; et comme c'est premier à n, par hypothèse, il faut que E soit divisible par r,

d’où il résulte i -t-ae=nE', et par conséquent

seule valeur entière, au-dessous de n — I , qui puisse satisfaire à la condition proposée.

On voit donc que, pour un exposant m égal à une fraction quelconque de dénominateur n impair et de numérateur pair, on a simplement

c’est-à-dire que la série ordinaire P, convient encore, si l’on y met, au lieu de x, l’arc x -f- c j et que la série Q» est toujours nulle pour ce même arc.

Dans le second cas, pour qu’on ait cosm(<ar + ec) = — i , on trouve, par une analyse semblable, que r et n doivent être tous

deux impairs, et que le nombre cliercbé e est encore ? ; il vient

donc, daus ce second cas,

— X = Px + ar^ t et Qx + lr2 c = °-

Mais, r et n étant tous deux impairs, — X est précisément la valeur réelle de (acosx)“. Donc la formule ordinaire est encore bonne,

pourvu qu’on y mette l’arc x-f- - ’■ c (*).

■yi. Mais si m est une fraction de dénominateur pair, |i n’y a aucun arc «sr-f-ec qui puisse rendre cos m ('ar -f- ec) = ± i , et par

(*) Je dois observer ici que M. CrtUe , de Berlin , était parvenu de son coté au même résultat : c’est ce qu’on peut voir par 1a note qu’il a donnée à ce sujet dans le n° VII du tome XIII des Annales math, de M. Gergonru , mais dont je n’ai eu connaissance que depuis la lecture ùe ce Mémoire.'

conséquent aucun arc x-f-ec pour lequel la série P, puisse devenir égale au module réel de (a casa?)"; il faut alors recourir à l’une ou à l’autre des deux expressions générales

^ cosm(w -f- ec) * ^ *■*■*'* 011 ^ sin m (w *e) '

où l’on peut prendre le nombre entier e à volonté.

7 3 . Par cette double expression générale de X , on voit encore que, dans le cas de cosx négatif, le module réel et positif de (acosar)” peut s’exprimer indifféremment par la série des cosinus multiples de x, ou par la série semblable des sinus multiples. Qu’il n’y a de différence que dans les constantes qui les multiplient, et que ces deux séries Q,^, sont toujours entre elles dans le rapport constant

de cos m {'ar •+■ ec) à sin/»(<sr -+• ec) , quel que soit l’arc x que l’on considère depuis d jusqu’à 3 d.

Ce cas de cosx négatif présente donc, mutatis mutandis, des propriétés toutes semblables au cas de cosx positif. Or, si l’on veut les envelopper tous deux dans une même expression, on n’a qu’à considérer le carré X* du module réel et positif de l’expression ( aoos x)“, et l’on trouvera l’équation

qui est à la fois applicable à tous les exposans et à tous les arcs possibles.

r,5.*Si l’on veut encore rapproche» l’analyse précédente de celle qu’on a suivie d’abord, et revenir ainsi à notre première formule générale (L) (n* 56) , il suffit de remarquer qu’on a trouvé plus haut, pour le cas de cosx positif, X= P,; et tout à l’heure, pour le cas

de cosx négatif, X = — - — • P, : on a donc , pour l’expression o 1 cos tnw

générale de X(=fc i)“ ou de (acosx)*, la formule

(acosar)-

co» m (arc cos = :fc r)

qui est la même qu’on avait déjà obtenue, et qui confirme ainsi notre première analyse.

g-i:! *i’i n . J : U'i : ' * îf j ucu en>':' H 1 1

76. Quant au développement d’une puissance quelconque m du sinus, on peut trouver sur-le-champ Une formule générale, en faisant simplement dans la précédente l’arc x égal à d — x, d étant toujours l’angle droit ; et il vient l’expression .

(asin*)- = . .JÆl 1 . ua. i ' . P*,.

v ' co» m (arc cos — rfc 1 )

«jbrtet 'OnipMfs* m» îm* > nouant» i.[ ao ttiuk'.* ■ - • j»

77. Au reste, on peut chercher directement l’expression de (usina:)*',

comme on a cherché celle de (acoscr)"; et si l’on désigne par P, la

série jcosmr — m cos (rH — i)x -f* ”■”* 1 cosfm — Qx — etc. j ,

■iilcoi.’) - i 3 . jt;:i üüthi rfulin itT : hh> ilüsliâiisU ttidn

on trouvera par une analyse toutè semblable

i.i* iiri .■ U tél ed sup . irlur

(asin *)"

■-“iTr'Ali >■ «xipf m einlA

le signe -f- ou le aigu

co sm (arc «in = rt i ) * ’

9121 un

«ii

première , ou dans la seconde moitié de la circonférence*

Ou aura encore l’expression générale , illf , WX}r , ^

(asin*)- = . Q

en désignant par une série semblable en sinus multiples.

78. On trouverait aussi, en nommant Y le module réel et positif de (asin *)-, 1 équation! i i- :ot en su? ::ni vop

Y* B; ; ■ : 1 'hA‘:

qui est toujours vraie, quel que soit l are que l'on considère.

..JKttz* »‘HÎJw4;ûié. l£i î . •».

On verrait de même que le rapport des deux séries P, et Q. est constant, et toujours le même <jue celui dé cos md à drsin md, quel que soit * , depuis o jusqu’à dt <w.

Ai’

8o RECHERCHES SUR L’ANALYSE, etc.

On trouverait nuasi^ les difierens cas où les séries P**,, et deviennent nulles tour à tour , pour toutes les valeurs de x dans les mornes limites, etc. etc.

79. Mais nous n’irons pas plus loin dans l’explication de ces difficultés analytiques. Ce que j’ai dit ici (et ailleurs, dans plusieurs Mémoires d’Analyse et de Géométrie) suffit pour corriger les imperfections du même genre qu’on peut rencontrer en Algèbre. Elles tiennent presque toutes, comme je l’ai déjà remarqué, à ce qu’on n’y procède le plus souvent que par la synthèse, et qu’on ne voit qu’uue seule des valeurs de la fonction dont on s’occupe, tandis que cette fonction en a souvent plusieurs inséparables, et qui doivent toutes concourir à l’exactitude et à la perfection de la formule générale. De cette vue trop particulière de l’esprit, vient entre autres ce délâut de calcul que j’ai relevé plusieurs fois dans les équations mêlées d’imaginaires, et qui est de n’y pas distinguer avec précision les parties réelles des imaginaires; ce qui mène, comme on l’a vu, à des comparaisons ou équations inexactes. Mais je laisse au lecteur le soin d’étendre ces remarques nouvelles, et de les appliquer aux autres formules générales de la Trigonométrie, à celle du binôme de Newton, des exponentielles, de l’arc par le sinus, etc., et d’y rétablir l’expression des constantes multiples qui devraient s’y trouver, pour que les deux membres de la formule fussent égaux, nonseulement par la valeur particulière qu’on a en vue, mais encore par toutes celles que comporte la nature des fonctions analytiques que l’on considère : car autrement, ces formules appartiendraient plutôt à l’Arithmétique universelle qu’à l’Algèbre proprement dite, qui est bien moins la science des grandeurs que celle de l’ordre et des transformations générales du calcul.