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où le dénominateur cosmo a n valeurs réelles différentes, eu ajoutant à l'arc o un multiple ec de la circonférence, depuis e=o jusqu’à e = n — i.
tn . HEGHËBCHES SÜU L'ANALYSE
Si, pouf déterminer cette constante , au lieu de Faire l’arc Jp±ato > on supposait x égal à la demi -circonférence w, dont le cosmos est négatif, on trouverait celte nouvelle expression
A - JtL>l
»-co$anr*
dont les n valeurs ne reviennent aux premières que dans le cas où et serait une fraction de dénominateur impair. Mais, comme dans ce cas même, ces valeurs ne se présentent jpas dans le même ordre, i mesure qu’on ajoute à l’arc o , ou à l’arc es- , plusieurs fois la circonférence c, il faut, pour éviter toute erreur et toute difficulté, appliquer la première expression de A, au cas général de cos JT positif, et la seconde au cas de cosx négatif. On a donc, pour l’expression générale de A, -■ - — ■..>
»*«ilin(«pc ce* et l) ’
où l’on prendra le signe =b selon que l’arc x sera dans le premier, ou dans le second quart de la circonférence.
La formule complète du développemeut de la puissance quelconque m du cosinus d’un arc, par les cosinus des arcs multiples, est donc
(L)...(aco9 s(m -3)e4-elc.}
. * ■ ♦* i « . - •» il i ■
5j. Actuellement, il faut Voir comment cette formule générale répond à tous les cas de l’exjwsant m entier ou fractionnaire.
D’abord, s» m est un nombre entier, positif ou négatif, le coefficient A qui multiplie la série, sera toujours égal à l’unité, et l’on aura la formule ordinaire, où les deux membres ne présentent qu’une seule et même valeur réelle. Ce cas n’offre pas la moindre difficulté. '• •’ * - > •• \‘
DES SECTIONS ANGULAIRES» fa
Si m est une fraction irréductible I', le premier membre (acosa?)*
a n valeurs. oui sont Tune quelconque d’entre elles multipliée suc-
cessivemeuPpar les ri racines de 1 unité. Le second membre nous
offre aussi n racine»» de même nature, à raison du (licteur (zfci)* dout il est allcclc; et jusqu’il, Jeg deux membres ije notre équation rtous présentent le même nombre de valeurs Semblables, mais oela,pournne sculevnlcurdc la sene } cos m-r-f-m cos (m — avr-f-etc.}. Or celte série ayant elle- même n valeurs differents et toutes réelles, pour les diflerehs arcs,’.r, x-+-c, ar+dc, etc., ,r-f-(n — i)c de même cosinus, il paraîtrait maintenant que le second membre de la formule générale a n fois plus de valçur» que le premier, ce qui ne dojt pas être. Pour résoudre cette nouvelle difficulté, j’observe que si l’on ajoute à l’arc x qui entre dans la série, no multiple quelconque de la circonférence , il faut aussi ajouter eq meme temps à l’arc o ou <ar, qui entre dans le dénominateur du coefficient A, le même multiple de la circonférence; et qu’ainsi les n valeurs réelles de la série répondent, chacune à chacune, aux n valeur» réelles de ce diviseur : de sort W I e quotient reste toujours le tnéme, quelles que soient les deux valeurs conjuguées qu’on emploie, et que le second membre enfin présente exactement les mêmes valeurs que le premier, et n’en a précisément que le même nombre.
■ .«4- V-stS?. Jlliuy- i if» N»J>] U ! - .■
58- Telle est, je crois, la solution exacte de cette question qui
avait embarrassé les géomètres : question délicate où l’erreur commise et la difficulté de la redresser tiennent également à l’oubli de cet t équivoque, attachée aux fonctions circulaires aussi bien qu’aux radicaux , et qui eu est toujours inséparable. Mais il est bon d’éclaireir et de continuer encore la formule précédente par quelques applications.
RECHERCHES SUR L’ANALYSE
Exemples.
Considérons en premier lieu lo cas de m=zj, et de •y- qu’on a rapporté plus haut, et où la formule ordinaire a paru fautive. Comme l’arc <tr que l’on considère est de cosinus négatif, il faut
prendre dans la formule générale le coefficient A égal à . Or,
cos nw
en faisant m=j et x—œ, cette formule (L) donne
l/acos*» = jcosj^fi-f- t) 7 } = V — 1 • l/î
comme cela doit être.
Si., au lieu de l’arc simple x, on mettait ce même arc augmenté d’une ou de deux circonférences, il faudrait augmenter aussi du même nombre de circonférences l’arc «w qui entre dans le diviseur
cos j r ; cl la formule nous présenterait encore la meme valeur
exacte v/ — a.
5g. Dans cet exemple de m= j, si l’on ajoute à l’arc une seule
fois la circonférence, le coefficient A = — ^ — r fen ne considé-
rant que sa valeur réelle) devient simplement égal à l’unité : d’où l’on voit, en passant, pourquoi la formule ordinaire, qui est fautive pour l’arc x = ®-, ne l’est plus en faisant x—<rr-\-c.
En général, pour le cas d’un arc x de cosinus négatif, et d’un exposant m égal à une fraction quelconque de dénominateur n impair, il est aisé de voir que la formule ordinaire donnera une valeur
exacte, si l’on y met, au lieu de l’arc simple x, l’arc .c:
et c’est cc qui sera confirmé de nouveau quand nous rectifierons l’analyse d Euler.
Go. Mais si, cosx étant toujours négatif, m est une fraction de
dénominateur pair, il n’y a aucun arç x-f-ec pour lequel la formule ordinaire paisse devenir exacte ; comme cela est d’ailleurs assez évident de soi-même. Dans le cas dont il s’agit, toutes les valeurs de (aoos;r}“ sont imaginaires, et la formule ordinaire ne peut répondre à aucune d’elles; mais notre formule générale {L) les représente toujours avec la même précision et la pième exactitude.
.? Sait , par exemple , ^ et x =ss <ar , et l’on trouvera.
p/icos® = -î— j — jcos — ®{i -f- p/. — 5 ,
co« — w ( . ■ )
comme cela doit être. • * 'J •
. Considérons maintenant le caî d’itn.arc Jrt= ^ çri ht. On aura cos a* = sin ; et la valeur de la fonction (açosx)* sert» ici
(acosai)” = (p/ a)“. Ainsi" la formule générale doit noua donner
Or, en y substituant, au lieu de x, l’angle «, et réduisant, cette formule donne
• . Av***. i'<
— - — { cos ma> ( i •
îosm.ô l \
-f- sia TT)» (m
m.m — i , m.irt—' .m— 2,7»— 3
m*m — 1 . /» — z , m . m — i . ■ , ra— <4
etc.^-
f ff» • «»— «1-^4 a \ )
niais il est aisé de voir que la suite , qui multiplie cosma , "n’est autre chose que la valeur réelle du développement de . .
■ • . C+V-Q'-Hi-l/- 0 " . ' ' .
et que l’antre suite, qui multiplie sin met, est la valeur réelle du développement de
66 RECHERCHES SUR L’ANALYSE
D’un outre tôté, il est clair .qa’ on a < •
(i rfc \Z" — i)“ = (j/a)" (cos mmdz ^ — i sium») :
les valeurs arithmétiques des deux suites qui multiplient connu et sirt nim sont donc
, (y^a^cosm®, ( j/a)"* sin mu. • - ♦
Substituant cas valeurs dans la formule générale, ou trouve qu’elle se réduit à
• "»(•—») K / a )“ — wn.v*Tt .
qui est la -vraie valeur de (acos»)“. • .
6a. Soit encore) pour exemple, xxs ^ >9'=3a» = ?; ce qui donne cpsÿ-K — et sin ? = . . ,
A cause de cas? négatif, il faut prendre, pour le coefficient de la formule, A = ^ ; et, par un calcul tout semblable au pré-
7 cosmw 7 7 * *
cèdent, on trouvera qu’elle se réduit à
(acos?)" ss {cos mip cos ma» — sin m? sin ma*}( t/a)“,
ou bien à • ,
. • (acos?)- = ^£{cosm(?+ * f \/2) m , .
dont ,1® second membre , à cause de ? -f- a» == <ar , revient à ce qui est précisément la valeur de (acos?)“.
J’ai été bien aise d’ajouter ces deux derniers exemples, non-seulement comme des applications particulières de notre formule, mais encore comme un moyen de vérifier la détermination que j’ai faite plu» haut de la constante A. Car on voit ici que, si l’on avait déterminé cette constante par le cas particulier de x= j, dont le cosinus est positif, on l’eût trouvée la rdême que par le cas de x = o; et
qu’en faisant x=t -^'Sr, de cosinus négatif, on la trouverait aussi la même que par la supposition d c'x—<&-, comme cela doit être.
63. On peut multiplier ces exemples} le lecteur y suppléera. Mais je dois faire ici une remarque importante sur le point précis d’inexactitude qu’on pouvait reprocher a la formule ordinaire. Cette formule, comme tm voit, ne diffère de la nôtre que par un coefficient qu’on avait fait simplement égal à l’unité, tandis qu’il est en général . .
( + ■)" cosm. o ’
OU
(-»>" cas mtr ’
selon que l’arc proposa x est dans le premier,- ou dans le second quart de la circonférence. .
Qr, parmi le? différentes valeurs de m p , il y en a toujours une
qui est égale à l’unité, quel que soit l’exposant m. Donc , si L’on ne considère que des angles x plus petits qu’un angle droit, et si l’on n’a en vue que la seule valeur réelle et positive qu’aura toujours le premier membre (acosar)“, on peut dire que la formule ordinaire est parfaitement exacte.
En second lieu, parmi les valeurs de il y en a toujours une
qui est égale à l’unité, pourvu que m ne soit pas une fraction de
dénominateur pair. Donc, pour un arc x de cosinus négatif, et pour
rt\ égal à une fraction quelconque - de dénominateur impair, si l’on
^n’a en vue que la valeur réelle qu’aura le premier membre (a cos a:)", on peut dire que la formule ordinaire est encore exacte , pourvu qu’on y mette, au lieu de x , l’arc de même cosinus, qui convient
précisément à cette formule , et qui est précisément l’arc x -) — — c.
Reste donc le seul cas de cosx négatif, en même temps que m fraction de dénominateur pair : alors toutes les valeurs du premier
RECHERCHES SUR L’ANALYSE
membre (a cosx)" sont imaginaires , et la formule ordinaire est entièrement fautive. Mais on peut supposer que l^agrange et Euler avaient tacitement écarté la considération de ce cas où (acosx)" n’a point de valeur réelle, ce qui fait tomber le reproche d’inexactitude qu’on pourrait faire à Fa ua lyse de ces grands géomètres. Quoi qu’il en soit, la formule connue n’est fausse que dans le seul cas que je viens de signaler : dans tous les autres, elle n’est qu’incomplète, car elle est vraie pour un des différens arcs x, x-f-c, x-4 ~2C, etc., et elle présente exactement la valeur réelle du premier membre (acosx)".
Examen de. C Analyse A Euler.
64- Mais, pour ne rien laisser à désirer sur ce point, il convient aussi d’examiner et de rectifier l’analyse* d’Euler, qui le premier a donné la formule' dont il s’agit. Voici sa démonstration , qui est extrêmement simple ; Euler pose
cosx -4- — i sinx = u,
et ‘ cosx — \/ — t sin x = p ;
d’où il tire acosx= «-+- p, et (2C06x)“3=(«-f- p)* ; savoir, en développant par le binOme de Newton , et observant qu’on a toujours bp = I , u*p* — i , etc. , .
(acosx)* ss iT -f- nmT~ % -f- etc. ;
mais le -théorème de Moivre donne
rt * t
u? = cos mx + \/ — « s»n mx , *
u. m ~‘ = cos (m -* a) x -+• y/ — • i sin(m — a)x, etc.
Substituant ces expressions de u", u"~*, etc., on trouve
(«»»*)“ = jcojn»* 4-n»co*C>n — cos(m— 4)* -f- etc. j
* -4- p' — i | «in m x -f- et sic (m — a) * -f- ——— 1 »ra(m— 4)* -fc- tic. J •
Ainsi, désignant, pour abréger, la première série par P*, et la seconde par'Q», ou a cette expression générale
(acosx)" = P, -f- / — 1 . Q,.
Maintenant, Euler suppose qu’on change» u eu f , ce qui parait
Lien permis dans l’équation (acosx)” = (u + *')"» et il trouve exactement par le même calcul celte seconde expression générale (acosx)" = P, — V — » s Q.?
d’où, en ajoutant ces deux expressions et divisant par a, il couclut simplement la formule
(acosx)" = P, = cos mx .+ m cos (m — i)x -f- etc.,
qui parait devoir être vraie pour un exposant quelconque m, tant qu’on la borne à n’exprimer que la valeur réelle du premier membre (acosx)”, lorsque ce premier membre eu a une.
Cependant, si l’on y fait x=wet cette formule, comme
l’a remarqué l’auteur de la note citée (n° 55 ), donne lin résultat inexact : il doit donc J avoir dans l’analyse et dans la formule d’Euler quelque défaut caché qu’il faut découvrir.
65 . Ce défaut ne vient point, comme on l’a cru, de ce qu’Euler •■gale entre elles les deux expressions P*-f- y ' — 1 .Q, et P x — *|/ — 1 Q,, qui généralement répondent à deux racines différentes de (acosx)" : car, puisqu’on n’a ici en vue que la valeur réelle de (acosx)”, .il est bien évident que, dans l’une et l’autre expression ,
P, =fci/-r.Q.,. *
01» regarde naturellement comme nulle la partie imaginaire
y/ 1 .Q, ; auquel cas on doit* avoir en effet, comme Eider le
trouve,
(acosx)- =, P.. *■ „
Ainsi l’objeclioD précédente né peut être ici proposée; et elle ne
RECIIEIIC11ES SUR L’ANALYSE
donae d’ailleurs aucune lumière sur le défaut précis de la formule dont il s’agit , ni sur sa véritable étendue. Aussi l’auteur de la note citée se borne-t-il à conclure a que la formule d’Euler ne convient » en général qu’à ‘un exposant entier; et qu’en exceptant les cas ». particuliers où la valeur de-x rend nul le coefficient Q, de |/ — i , ». elle induira en erreur sur la vraie valeur de (acosx)“ » : conclusion qui u’apprend rien, tant qu’on ignore ces cas particuliers où la série Q, devient. nulle, et qni, d’un autre côté, est inadmissible, dés qu’on vient à les découvrir. Et en effet, on a déjà pu voir, et je vais prouver- encore que cette série Q r est toujours nulle d’ellemême pour un exposant rn quelconque, et pour un angle quelconque x depuis o jusqu’à l’angle droit pris en plus et en moins; ce qui comprend toutes les melinaisons possibles, et ce qu’on ne peut certainement regarder comme des cas particuliers à excepter. La formule d’Euler convient donc à tout exposant in, tant .que le cosinus de l’arc x n’est pas négatif.. Mais ce n’est pas même cette limitation, uniquement relative à l’arc, et point du tout à l’exposant, qui pourrait autorisera dire que la formule. tie convient en général qu’à un exposant m entier ; car celle du binôme de Pîewton , telle qu’on la présente ordinairement ,
. ( i -+- x)“ = ) 4-mx-t--
■ x* -f- etc. ,
et qu’on regarde avec raison comme applicable à un exposant fractionnaire, se trouve, pourtant limitée d’une manière semblable. Et en effet, pour affirmer qu’elle convient à un exposant quelconque, il faut nécessairement supposer que x est compris entre — i et l’infini ; sans quoi la formule sera en défaut pour tous les exposans d ç dénominateur paie : et, si l’on veut que la série soit toujours convergente (te qui est nécessaire à son exactitude), il faut même que x soit compris ëtatre Y et — i.
Ort voit donc que ce- point de doctrine n'avait pas encore été
approfondi, et que la difficulté qui nous occupe demeure en son entier.
66. Pou/ la Résoudre de la manière la plus claire et la plus précise, je considère en premier lieu le cas général où cos js est positif, et je désigne par X la valeur Téelle et positive qu’aura toujours (acosx)P, quel que soit l’exposant m. On aura ainsi, pour l’expression générale de toutes les valeurs réelles et imaginaires dé (acosx)*, l’ex pression X . ( i )", ou bien
X (oos me'c + ÿ — i Sin me'c) ,
c étant la circonférence , et le nombre e[ un entier indéterminé de-
puis o jusqu’à n — i, si n est le dénominateur de l’exposant.m=: -•
D’un autre côté, on a , suivant l’analyse d’Euler,, et pour* toutes les valeurs de (acos jr)", l’expression générale < ^ >, , .
, . “f" V 'Qi+nl
‘ ” - tCT e: ■f ir i .r:
en prenant aussi l’entier e depuis O jusqu’à »• — i L
Donc, si e et e f sont deux entiers tels que les deux expressions répondent actuellement à une même valeur de (acosx)”, on aura l’équation exacte
X cos me'c -f- )/ — i.Xsuimr'c = P, +w -f- / — i
où il éesle à voir quels sont ces deux entiers e et f' qui doivent aller ensemble, pour que les deux membres s’accordent à donner en même temps une même valeur de part et d’autre. . .
Dans cette vue , j’imagine que l’arc x diminue jusqu’à l’arc o , dont le cosinus i est positif comme celui de l’arc x- que l’on considère. U est évident que X devient alors la valenr réelle et positive de à", et que les séries P,^, et Q„ +i , deviennent en même temps
yi RECHERCHES SUR L’ANALYSE
P„ = c6s mec 1 1 -f- m -f- j — - + ctc.j,
Q„ = su) mec { t -+- m -f- — -4-elc.j.
Mais la série arithmétique {• + m -f- ' •+■ etc. j est aussi la
valeur réelle et positive-de i m . Donc, quand x devient égal à zéro, l’équation précédente devient en diviaaqt de part et d’autre par cette- même valeur actuelle de a", . ' .
cos rhe'c -j- {/ — i sinme'c = cos mec + t/ — i sinroec;
d’où je conclus que la valeur de e doit être actuellement la même que celle de e, et qu’ainsi on’ a l’équation précisé
X cos mec -f-, — rX sinwec = P,^, -f- t/ — i .
où le nombre e est un entier quelconque depuis o jusqu’à n — i .
Actuellement, comme dans cette équation les parties réelles et les parties imaginaires sont en évidence et nettement séparées, on aura, en égalant la partie réelle à la partie réelle, et l’imaginaire à rimagipaire,’les deûi équations exactes X cos mec = , et
X si nm/*c=±= Q, + „; d’où l’on tire .
et
qui ont lieu quel que soit l’entier e. . .
67’. De cette double expression de X , concluons, en passant, que la valeur réelle et ‘positive de (acosx)“ peut s’exprimer indifféremment par la série des cosinus multiples, ou par la série semblable -des sinus multiples ; qu’il n’y a de différente que dans les constantes
ëntînëc et vurn të c i u * m nltiplient, et que ces constantes dépende» rl 'une de l’autre : ce qui donne la solution d’une difficulté de
calcul intégral, que M. Lacroix avait remarquée à ce sujet dans son ouvrage.
On peut voir encore qu’il y a toujours, entre les deux séries et Q« + «, cette relation
co s mec
Qx^r ~ siti mec *
de sorte que ces deux séries sont toujours dans le même rapport , quel que soit l’angle x que l’on considère, depuis o jusqu’à =fc l’angle droit : ce qui est une propriété très remarquable de ces deux séries.
68 . Mais, poursuivre notre objet, je reprends les expressions precedentes de X , où le nombre e est un entier quelconque, et j’y fuis simplement e = o. La première alors (à cause de cos m.o= i), nous donne simplement X = P, ; ce qui est la formule d’Euler. Ainsi cette formule est parfaitement çxacle et générale pour un exposant quelconque m, en ne considérant que la valeur réelle et positive de (acos x) m , comme nous l’avions déjà démontré.
La seconde expression (à cause de sin 711.0 = 0), nous donnerait
Q. = o, et par conséquent X = D’où l’on voit que celte seconde
expression, quand on fait c = o, ne pourrait rieu apprendre pour la valeur de X; mais elle fait voir que la série Q, a cette propriété singulière de rester toujours nulle , quel que soit l’angle x depuis o jusqu’à dzd, d étant l’angle droit : ce qui vérifie l’analyse d’Euler entre les deux limites dont il s’agit (*).
(*) La fonction Q I = sinmjr -f- m sin(m — a)*-f-etc. étant toujours nutlr pour une valeur quelconque de x depuis o jusqu’à ± </, on peut la différencier ou l’intégrer autant de fois qu’on voudra, entre ces mêmes limites de x, ce qui donnera une infinité d'équations identiques du même genre que la proposée.
Si, par exemple, on suppose le cas de mz = — i , et qu’on intègre, on Uouvera l’équation
69. Passons actuellement au second cas général d’un arc x de cosinus négatif.
En désignant toujours par X la valeur réelle et positive qu’aurait l’expression (acos x)" en y regardant la quantité coax prise d’une manière absolue, ôn aurait ici, pour toutes les valeurs de (2C0sx)“ l’expression générale X.(— 1)“, ou bien
X [«»»*(<» -j- e'c) \/ — 1 . sin ro(er -f-e'c)],
tr étant la demi-circonférence, et le nombre e un entier quelconque depuis o jusqu’à n — 1 .
■ 0 = -f- cos* — ; cos 3* -4- i cos* — - cos 7 * + etc.,
que M. Fourier a trouvée , et démontrée de plusieurs manières , dans sa Théorie de la Chaleur.
Si l’on intègre de nouveau, onuura l'équation
o = — ^* ■+• sin* sin3* ■+■ ^ . sin5* — etc.,
qui a été donnée par Euler, etc., etc.
Quant à la nature de ces fonctions, qui sont nullcs pour toutes les valeurs de la variable dans un intervalle donné, elle n’a rien qui choque les principes ordinaires de l’analyse; car on peut voir ces fonctions égalées à séro, comme des équations qui ont une infinité de racines en progression arithmétique dont la raison est infiniment petite. Ces fonctions ne peuvent être actuellement développées par les puissances de la variable *, parce que les cocfficiens seraient nuis, ou infinis; mais elles peuvent être développées par une suite infinie de sinus ou cosinus de multiples de *, parce que chaque terme de cette snite renferme implicitement l’infinité des différentes puissances de *, et qu’alors chaque coefficient peut très bien être une quantité finie et déterminée.
C’est en effet ce qui arrive , et ce qui montre comment il peut y avoir de ces espèces de fonctions qui répondent à des lignes quelconques discontinues. Mais il faut voir les principes de cette analyse neuve et importante dans le bel ouvrage que je viens de citer.
D’un autre c&té, on a toujours, pour l’expression générale des mêmes valeurs, 1
P*+« + V — 1 -Qi+Kt
en prenant aussi l’entier e depuis o jusqu’à n — 1.
Donc, si les deux entiers e et e' sont tels que les deux expressions précédentes répoudent actuellement à une même racine quelconque de (acosx)", on aura l’équation précise
Xcosmfw+ecJ-f- \/ — 1 .Xsin c)— P, + „-f- \/ — 1 • Q, + „ ,
où il reste à voir quels sont ces entiers e et e' qui doivent aller ensemble pour, la correspondance parfaite îles deux membres de cette égalité.
Pour cela, j’imagine que l’arc x, île cosinus négatif, devienne égal à dont le cosinus — 1 est aussi négatif. Il est clair que X devient alors la valeur réelle et positive de a", et qu’en même temps
devient P^^ = cosm(<w + ee)| 1 -f m+ ^Hi-j-etc. J, et
Qj i t devient Q t+ci . = sinm(<ig + ec)| 1 -f-etc.j;
mais la suite arithmétique j 1 -f -m-f-— — - + etc. j marque aussi
la valeur réelle et positive de a". Donc l’équation précédente , en divisant par cette même valeur actuelle de a m , devient cos m{tr -j- c'c) 4 - y/ — 1 sinm(<ar + e'c)
= cos mfa -f- ec) - — t sin m ('nr -f- cc) ; d’où il faut conclure, pour l’accord des deux membres, que e et e' sont nécessairement le même entier, et qu’on a l’équation précise
Xcosm(<sr+ ec)-+- V — • .Xsinm(<ar-f-ec) = P-+..+I/— 1 On a donc, en égalant la partie réelle à la partie réelle, et la partie
RECHERCHES SUR L’ANALYSE
imaginaire à l’imaginaire, les équations exactes
X — cos m («•+«) et X — «inmCw + rc)
où l’ou peut prendre , pour e , un quelconque des entiers depuis o jusqu’à n — i,
