HT^-T,)

I T- — a/Va t.

I Ut

En vertu des égalités (47)» (83) et (84), l'égalité (82) donne, on tout point de la surface 2,

(85) ^%ç = ~ J- ?fill21](/v:)4-m\V4-,iijj>).

vjC ai

Cette égalité donne pour G une valeur acceptable si SL est différent de o; elle est encore vérifiée si OL et (/t) -H rn-ç -h /i«>) s'annulent en même temps; mais elle devient absurde si l'on a X = o sans que (Iv -H mt;> -h n^!>) s'annule en même temps.

Donc, on peut admettre, en général, qu'une onde du premier ordre par rapport aux composantes w, i% w de la iHtesse est aussi onde au moins du premier ordre par rapport à la température T ; mais, dans le cas particulier oà l'on aurait

(45) SiZ—o

sans a\^oir en même temps

(86) /V) -h niK) -h n^> — o,

la surface considérée serait surface de discontinuité pour la température.

Supposons maintenant que la surface 2 soit onde du second ordre par rapport aux composantes //, r, \v de la vitesse, et demandons-nous si elle peut être onde du premier ordre par rapport a la température T.

L'onde étant du second ordre par rapport aux composantes a, r, w de la vitesse, la quantité

/)// iW ô\v

i)a Ob Oc

RECHERCHES SUR L*ÉLASTICITÉ. 'j5

varie d'une manière continue lorsqu'on la traverse. Dès lorâ, les égalités (82) et (84) donnent, en tout point de Tonde £•

Si 31; est différent de o, G est nul et Tonde est, par rapport a la température, d'ordre supérieur au premier.

Donc, une onde du second ordre par rapport aux composantes w, i», iv de la vitesse est, en général^ au moins du second ordre par rapport à la température T; toute/ois, si Von a

l'onde peut nétre que du premier ordre par rapport à la température.

Ces lemmes démontrés, proposons-nous de répondre a la question suivante :

Un milieu vitreux, doué de viscosité, très peu écarté de l'état initial, animé de mouvements très petits et mauvais conducteur de la chaleur peut-il présenter une onde persistante pour laquelle x diffère de o ?

Examinons d'abord le cas où Tonde serait du premier ordre par rapport à w, v, w; elle serait au moins du premier ordre par rapport a T; dès lors, les quantités Nj., N^,, N^, T^, T^, T^ varieraient d'une manière continue au passage do cette onde, ce qui permettrait de conserver les équations (G4 his)'^ les égalités (63) demeureraient exactes et transformeraient les relations (64 bis) ^\x\ relations (5o) qui entraînent la non-existence de Tonde considérée.

Examinons maintenant le cas où Tonde serait du second ordre par rapport aux composîinles //, r, \v de la vitesse. Elle serait au moins du second ordre par rapport a la température T. Elle resterait donc onde du second ordre par rapport à

*^x> ^v> ^zy ^ X9 ^ yy ^ 5>

ce qui permettrait d'écrire encore, en tout point de la surface S, les relations (20 bis)', les égalités (49) y resteraient également vraies, en

7^ p. 1)1 HEM.

sorte qu'on retrouverait les relations (5o) entraînant l'impossibilité de Tonde étudiée.

Le résultat, démontré pour les ondes du second ordre par rapport aux composantes i/, ç, w de la vitesse, s'étendrait sans peine aux ondes d'ordre plus élevé, ce qui nous permettrait d'énoncer la proposition suivante :

// est impossible quune onde d'ordre v(v^i) par rapport aux composantes u, i% iv de ta vitesse persiste au sein d'un milieu vitreux y doué de viscosité^ mauvais conducteur de la chaleur^ très peu écarté de Vétal initial et anime de mouvements très petits, si cette onde ne sépare pas constamment les deux mêmes parties du milieu.

Examinons maintenant s'il peut, en un semblable milieu, se produire des ondes, du premier ordre par rapport aux composantes w, r, iv de la vitesse, pour lesquelles on ait

En tout point d'une telle onde, on continuera d'écrire les équations (G'i).

I/ondo peut être surface de discontinuité pour la température T, en Horle que (T^ — T|) ne s'annule pas sur la surface X; mais on suppose que le milieu est, à chaque instant, très peu écarté de l'étal initial; T,, Ta durèrent donc très peu de la température initiale et (Tj — T,) est une quantité très petite du même ordre que les écarts $, r,, s-

liCs égalités (G7) et ^8) ne donnent plus alors les égalités (08); mais, si l'on néglige les infiniment petits du second ordre, on est simplement conduit Si ajouter aux seconds membres des égalités ((>8) les termes

T ayant une valeur comprise entre T, et T^.

Si l'on néglige les intiniment petits du second ordre, les égalités (^()(>> demeurent inaltérées. On a donc, en tout point de la sur-

face 2, au lieu des égalités (53), les égalités

-h(X 4- ^)(/i')4-m\'>-f-/i\J?>)/? 4-fjLiî?' =o,

auxquelles les égalités (22) et (G7) joignent l'égalité

(88) p,p,.^__p^(/j-^m(J-^,^aC).

Multiplions les égalités (87) par /, /w, /e et ajoutons membre à membre les résultats obtenus; nous trouvons

(89) (A4-5tM)(/^"4-//l(j4-/i3e)

Cette relation (89) transforme l'égalité (88) en

En même temps, elle permet de résoudre les égalités (87) par rapport à #, (J, je sous la forme

L M(A + aM) M J 'M

r(A+M)(X + 2fx)X+jx-1 jx

L M(A + aM) M J^ 'M

78 p. DUHEM.

Les égalités (90) et (91) font connaître, en chaque point de l'onde,

les valeurs de

rf , ç, ,1C, pî — pi

lorsqu'on connaît les valeurs de

Ainsi, au sein d'un milieu vitreux, mauvais conducteur de la chaleur, doué de viscosité, très peu écarté de l'état initial et animé de moucéments très petits, il peut se produire une onde persistante, du premier ordre par rapport aux vitesses. Une telle onde sépare constamment les deux mêmes portions du milieu. Elle est sur/ace de discontinuité pour les quantités N^., N^, N„ T^, T^, T„ pour la densité p et pour la temperature T.

Peut-il exister une onde, du second ordre par rapport aux composantes w, i^, w de la vitesse, et pour laquelle on ait

En chaque point d'une telle onde, on devra avoir

da ^ db '^ de ""^'

^^^M -j^ -+- ôb "^ de - '

da db de

L*onde considérée peut être du premier ordre par rapport à 6, en sorte que, dans les égalités (84), G peut être différent de o; maisc'est une quantité très petite comme ^, yj, J^; les égalités (32) ne sont donc plus exactes; mais, si Ton néglige les infiniment petits du second ordre, elles doivent être remplacées par les égalités

= - (A H- M)(/.f -+- my-h /^^e) / - mj - po ^^^^ ^^y

da db ôc

crr

de

z3--(A4-M)(/J + m(,'-h/t.7C)/t---MJC--p /^^^^^ g/i.

Quant aux égalités (4;))» elles demeurent valables.

Dès lors, les égalités (49)» (9'^) et (yJ) donnent les relations

-f-(X -f-M)(/V4-mvV -h/ii«:>)m -h fJtV =0,

A ces relations, il faut joindre la relation (58) A =- p^{lS-^ m U -h n3t).

Si nous multiplions respectivement les égalités (94) par/, m, n et si nous ajoutons membre h membre les résultats obtenus, nous trouvons Tégalilé

(95) (A-+-^M)(/ct-f-//i(/4-/?:JC)

-f- Po ^j.[ ^ Ç -+- (A -4- 2fJL)(/l) -^ mV -+-/<!»>)=: O.

En vertu de l'égalité (93), la relation (58) devient

8o p. DUHËM.

En outre, les égalités (94) deviennent

J L M(A + 2M) M jK"^ -^'"^ ->-"^i" M '•

r A + M I "1 rfy.(T) ^

•^L m(A4-2M) -m Jpo-^*^'"'

r A^-M il c/9,(T)-.

Les égalités (96) et (97) déterminent, en chaque point de Tonde, les valeurs de ^, g, 3e, A lorsqu'on connaît les valeurs de t), t?, xSP, e.

Ce que nous venons de dire touchant une onde du deuxième ordre par rapport aux composantes 1/, t^, iv de la vitesse s'étend sans peine aux ondes d'ordre plus élevé. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Au sein d'un milieu vitreux, affecté de viscosité, mauvais conducteur de la chaleur, très peu écarté de l'état initial et animé de ?nouvements très petits, on peut observer des ondes persistantes d'ordre v (v ^ 2) par rapport aux composantes w, v, \v de la vitesse. Une telle onde sépare sans cesse les deux mêmes portions du milieu. Elle est d'ordre (v — i) pour les quantités N^;, N^,, N,, T^p, T^, T,, la densité p et la température T.

Il nous reste à étudier la propagation des ondes au sein du milieu supposé mauvais conducteur et dénué de viscosité,

Considérons une onde du second ordre en 5, yj, X, et, partant, du premier ordre en 1/, v, w.

Selon l'égalité (85), où nous supposons x dillerent de o, l'onde sera du premier ordre par rapport à la température; d'ailleurs, en vertu des égalités (72), l'égalité (85) devient

(98) çr=.^^i5^)(/j+,^y+,,.ic).

Les égalités (()3) demeurent exactes, mais elles deviennent, en vertu de l'égalité (98),

âa

de

âa

âb

ôc

âa

db

de

En vorlu de ces égalités et des égalités (72), les égalités (71) deviennent

(100) j [x-^^p^Yhil^py ^^^^^^ =0,

%^ I ^^^T^T"^ ^* 1^''^ "^ ''' '' "^ ''^^ /i 4- ( M - po'%*) oc = o.

Ces égalités (100) ne diffèrent des égalités (7.3) que par la substitution de A^- ^— ^'^'p à A; donc les conclusions que nous en

tirerons différeront seulement par cette substitution de celles que nous avons développées à la fin du paragraphe précédent.

Un milieu vitreux, dénué de viscosité, mauvais conducteur, très peu écarté de l'état initial et animé de mouvements très petits peut propager deux sortes d* ondes qui sont du second ordre par rapport aux composantes $, Y], î^ du déplacement et du premier ordre par rapport aux composantes u, V, (V de la vitesse.

Les premières 9 qui sont du premier ordre pour la densité et la tempéra-

82 p. DUIIEM. — RECUERCHES SUR l'ÉUSTICITÉ.

tare, propagent une perturbation longitudinale avec une vitesse

/ p.Tr rf9.(T) -|'

(lOl)

Les secondes, qui sont d'ordre supérieur au premier pour la densité et la température, propagent une perturbation transversale avec la vitesse

V Po

UECIIERCIIES SLR l'kLASTICITÉ. 83