I. — Du déplacement de Téquilibre en généraL

Considérons d'abord un système défini par un certain nombre de variables normales a, p, ..., X, hors la température absolue T. Supposons qu'à une certaine température T, le système prenne un état d'équilibre lorsqu'on le soumet aux actions extérieures A, B, .... L, et que cet état d'équilibre varie d'une manière continue lorsque, sans faire varier la température T, on fait varier les valeurs A, B, ..., L des actions extérieures. Si les actions A, B, ..., L éprouvent des variations infiniment petites rfA, e/B, ..., r/L, que nous nommerons

des actions perturbatrices y les valeurs des variables a, ^ \ qui

conviennent à l'équilibre éprouvent des variations rfa, d^, ..., t/X, que nous nommerons à^s perturbations ; l'expression

ûfA é/a H- t/B ûf(3 H- . . . -+- ûO^^iX

sera nommée le travail perturbateur isothermique.

Dire qu'un travail perturbateur est positif, c'est dire, sous une forme mathématique précise, que la perturbation se produit dans le sens vers lequel tendent les actions perturbatrices. Il est clair que les systèmes que la nature nous offre seront tels, en général, que tout travail perturbateur isothermique, accompli à partir d'un état d'équilibre, soit positij. C'est ce que nous exprimerons en disant qu'ils sont soumis à la loi du déplacement isothermique de l'équilibre.

Soit ^(a, p, . . ., X, T) le potentiel interne du système; pour que ce système soit soumis à la loi du déplacement isothermique de l'équilibre, il faut et il suffit (*) qu'à partir de l'état d'équilibre, toute

(* ) Traité élémentaire de Mécanique chimique fondée sur la Thermodynamique, Livre I, Chapitre Vm( t. I, p. 137).

l3^^ p. DUHKM.

valeur de la variation seconde

soit essentiellement positive. Il en résulte, selon le critérium de Lagrange et de Lejeune-Dirichlet, qnun état d'équilibre soumis à la loi du déplacement isothermique est assurément stable si l'on maintient invariables la température T et les actions extérieures A, B, . . . , L.

A cette loi du déplacement isothermique de l'équilibre se rattachent beaucoup d'autres considérations que nous avons développées ailleurs (*); nous serons amené ici à étendre quelques-unes de ces considérations aux milieux élastiques.

II. — Du déplacement isothermique de Téquilibre pour un milieu élastique affecté d'une déformation homogène.

Supposons que les composantes $, yj, ^ de Télongation soient, pour chacun des points matériels du milieu, des fonctions linéaires des coordonnées initiales a, 6, c de ce point; en d'autres termes, supposons que l'on ait

l I -- ?o -^ «I! « -^ «n^ -^ fl^ia^, ( C -Co ^-«3i« -+- âfj,^ -h a,3C,

^0» ^0» ^0 et les Uij étant douze quantités indépendantes de a, i, c. Selon les égalités (ai), nous aurons

«1 =«ii-+-î(«îi-+-«î, -+- «Ji),

.,. j ^a ==«8S-Hi(aÎ3^-aJ34-a;,),

gl — a,3-+- «'32 -^ ^^^«l3-^- «îî«13-^- «3Ï«33> gt—dix -h a, 3-+- «I3«n -^- «13 «21 H- «83 «31, i'3=«I2-t- «21 -^- «11«12-+- «21 «22 -+-«31 «32-

Les six quantités e^, e^, e,, g^, g.^, g^ ont ainsi des valeurs indépendantes de a, 6, c-, ce qu'on exprime en disant que la déformation du milieu est homogène.

Supposons que les quantités $o» ^o» ^o et les a,y éprouvent des va-

(«) rbid.. Livre I, Chapitres VUI, IX, X, XI.

nations S^o^ ^^o» ^Co» ^^o indépendantes de a, A, c; nous aurons, selon les égalités (i lO),

(ii8)

' Sn = dYîo 4- a oa,j -I- b ôrtu -+- c d^r,,,

tandis que les égalités (i 17) donnent

3e, -r (1 -h rt,i) 6«,, 4- «j, â</2, -t- rtj, ô«3,,

défj -- «jî Ôa, j -4- ( I -+- «22 ) 5rtj5 -t- «32 5^31,

ôe» — «i3 0«i3-^- «fî8 <îûrj3 -h (i -H a3,)da33,

H- ûis^^'^lî -^«18<5««-+- (' -Ha83)^«8î»

^é'5= «13 ^«n -H «28 5«ît-h (14- «88)^^31

-h ( I -h «Il ) ^«18 -+- «tl ^«18 -H «81 ^«38

5/^3= (' -Haii)5a„-ha„5a„-+-ûr8iâ«8i -f- «ij^ai, -t- (1 +-aj,) ôa,,-l- ûj, ôa3,.

Ces égalités peuvent encore s'écrire :

OCi =

oc\ —

dx ^

-r-OG

ôa du

ô^^^ -ôa,3-+-^0«23 4-^Oa33

oc

—r oa Oh

Th'

l36 p. DUHEM.

Les égalités (119) donnant pour e^^ e^, e^, g^, g^^ g^^ des valeurs indépendantes de a, b, c, la déformation est encore homogène après la variation imposée aux ^o» ^0» ^0» ^tj-

Cette même variation donne encore, selon les égalités (i 18),

(lai) **? = o, d»Yî = o, 3«Ç=:o

et, en vertu des égalités (i 19),

f ^'^j= 2{4a„ (îajt 4- 4a„ da,, -h 4a„ ia,, ), ' i^g^= 2(ôa,i dai,-|- 4a„ 4a,, -4- 4a„ ^a»,).

Lorsqu*un milieu est, à partir d'un état initial homogène, affecté d'une déformation homogène et que, de plus, la température de ce milieu est maintenue uniforme, on voit sans peine {^Recherches sur l'Élasticité, première Partie, égalités (62)] que les six quantités N^., Njr, N^, T-,., T^, T5 sont indépendantes de a, i, c ou, ce qui revient au mémo, de j?, y, 5; il en résulte [Ibid., égalités (70)] que les actions extérieures capables de maintenir le système en équilibre se réduisent à des actions purement superficielles. L'élément dS de la surface qui limite le milieu est soumis à une force dont les composantes sont

i PxC^S = (N;^a +-T,(3-hT^y)c^S,

(123) j Py^S = (T,a-+-N^p-t-T;^y)c^S, ( P3C^S=r:(T^a-hT;cP-+-N,y)e/S.

a, p, Y étant les cosinus des angles que la normale à l'élément rfS, dirigée vers l'intérieur du milieu, fait avec les axes de coordonnées. La perturbation isothermique dont nous venons d'étudier les propriétés cinématiques transforme l'élément dS en un élément dS'; après cette perturbation, le corps est encore maintenu en équilibre par des actions purement superficielles; l'élément dS' est soumis à

RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. l3'J

une force dont les composantes sont

S(Pa,rfS), S(PyrfS), 8(P,dS) sontles actions perturbatrices. Le traitait perturbateur a pour expression :

e/6= r[a(P;^^S)aÇ4-d(Pj.e/S)ayî-hd(P,tfô)dÇ]

OU bien, selon les égalités (i23),

dG = Ç\ ^[(N^ca -+- T, (3 -h T^y) ^] rfÇ

Si l'on tient compte des égalités (121), cette expression peut s'écrire

(124) ^c? = dy[(N,^+T,p + Tyy)ô^-h(T,a4-N,.p4-T^y)aYî

-r- (Tya -H Ïxt3 H- N=y ) ô;] ^S.

Les égalités (45), (61) et (G2) de la première Partie des Recherches sur l'Élasticité transforment la quantité sous le signe / et permettent de remplacer l'égalité (124) par l'égalité

(1.5) ^^---^J[^,^'^-^^,^'^^ôe,^'^

où l'intégrale s'étend à toutes les masses élémentaires du système. Les six grandeurs e,, e^, e,, g^,, ^2, g^ ayant, ainsi que la température T, la même valeur en tout point du milieu, cette égalité peut

l38 p. nUHEM.

s'écrire, dans le cas où la perturbation est isotkermique,

(.36) rfc.= m(^ôe. +-^^^a.. +^ae. + ^^ ô^. +^^^5.. +o^, )

(2) désignant un carré symbolique.

En vertu des égalités (120) et (122), cette égalité (126) devient

(1.7) d^^ m[ ;j^-( ^ô«,, ^^^-Ôa,.-^^da3t)^...

^/^^j ^ [(3«iir-H(âa„)' 4- (^«3, )'] + ...

(2) désignant encore un carré symbolique.

Pour que le système, exclusivement affecté de déformations homogènes, vérifie la loi du déplacement isothermique de l'équilibre, il faut et il suffit que le coefficient de m^ au second membre de V égalité (127), soit positif quelles que soient les valeurs attribuées aux 8a ij,

III. — Du déplacement isothermique de Téquilibre, en général, en un milieu élastique.

Nous allons maintenant établir la proposition suivante :

Si la condition qui vient d'être énoncée est vérifiée quelles que soient les valeurs de e,, e^, e,, g^, g^f g^f le milieu élastique considéré est soumis, en toutes circonstances, à la loi du déplacement isothermique de l'équilibre.

Supposons, en effet, que notre système soit en équilibre lorsqu'on le soumet à des actions extérieures qui se composent ;

RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. iSq

I® D'une force Pa;^/S, Vyf/S, P^rfS appliquée à chaque élément rfS de la surface terminale;

2® D'une force Xrf/w, Y dm, Zdm appliquée à chaque masse élémentaire dm.

Chaque point matériel de coordonnées initiales a, b, c est affecté, en cet état d'équilibre, d'une élongation $, tq, J^; la déformation, en ce point, est définie par les égalités (28).

A ce système appliquons une perturbation où les quantités Ç, y), ^ éprouvent des variations premières 0$, J^y], B'C, indépendantes ou non, et des variations secondes S'-*^, S^yj, S^ ^.

Les égalités (23) nous donneront

âx dil dy d an dz d dC

et aussi

da

da

^Ta

da'

°^'=^ db

d^\ de

dy dèti '^ db de

dz ^Tb

de

âx dàl ■^ ôc db

de

db

dz ^Te

dSK

db'

avec

* "" âa àa âa âa âa âa

1 ^* ~ âb âc âb âc ^ âb de

1 âf^âà^ à y âà^n âz dà'%

1 '^ âc db '^ âc âb ^ âc âb '

Le travail perturbateur que nous nous proposons d'étudier aura

l4o p. DUHEM.

pour expression

-h r[d(Pre/S)a^-hd(Pye/S)ayî-hd(P,rfS)3Ç] OU bien encore

(i3i) dQ=ii\ C{\il -\-Yi-n -hZdK) dm-h Hp^ii, -hPyin -hP^dK)ds\ - Axô«?H-YÔ2Yî-4-Zd*Ç)t/m- f(Pa:S'^-^Pyà^ri-\-P,d^K)dS.

L*état initial et l'état troublé étant deux états d'équilibre, on tire sans peine, de l'équation même des déplacements virtuels,

(132) oTcXa^-hYôr) 'hZdK)dm-^ f (Pa:$^ -hPyôn -h Pz$K)ds\

tandis qu'il suffit, dans cette même équation des déplacements virtuels, de remplacer SÇ, Sy), SÇ par S'^Ç, S^tq, S^Ç, et de tenir compte des égalités (i3o) pour trouver l'égalité

(i33) Ax**? HYa«yî-t-Za*0^'w-h r(Pa:«'?4-Pr«*rî-+-Pz**C)^S

J \de, âe^ de^ dgx ""' ôg^ ^' dg^ ^7

Les égalités (i3i), (i32), (i33) et (129) nous donnent sans peine

âc db ' de db ^ de ôh

dx dil dy dàf\ âz^âSK db de db de db de àx dSi, ^ dy ddri ^ dz d S^\ ^ 1<*)

RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. î^l

Or, sous le signe 1 > le coefïîcient de dm est ce que devient le coefficient de m au second membre de Tégalité (1Î47), lorsqu'on y fait

Il est donc essentiellement positif; il en est de même de ^/5, ce qui démontre le théorème énoncé.

IV. — Conséquence, relative à la stabilité de l'équilibre, de la condition établie au § II.

Supposons que le coefRcient de m, au second membre de l'égalité (127), soit essentiellement positif. Si lesdii^ers éléments de masse qui forment le corps élastique sont soustraits à l'action de toute force extérieure et si la surface qui limite ce corps est maintenue invariable, ainsi que la températurCy l'état d'équilibre de ce corps est stable.

En effet, dans les conditions indiquées, le système admet un potentiel total qui se réduit à son potentiel interne :

La variation première de ce potentiel, en une modification isothermique, est

Cette variation est nulle pour tout système de valeurs de SÇ, Sy], oJ^ égales a o en tout point de la surface qui limite le système.

D. uo

En vertu des égalités (128), (129) et (i35), on peut écrire

r\V à<l^ 1 dx dhl dy âd-n dz di^\ 36) ô^?= /[[ ^( à^l^'^ài'd^^d^l^)'^"'

d^ / àxdd^ dgx \ db de

dy dd-n "^ db de

dz diK '^ db de

dx dii "^ de db

dy ddfi '^ de db

dz dSK\ '^ de db)^'-

{dit>y 1 [da)^\

d<l> [dit dàl dô-n dèr> '^'^dgAdb de ' db de

dèt:dà^\

"^ db de )^-

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de.

dgx'^'^'^dg.