V. — Le postulat des petits mouvements

Les démonstrations précédentes ont la rigueur introduite dans les questions de ce genre par M. Liapounoff et par M. Hadamard. Nous allons obtenir d'autres propositions par des démonstrations un peu moins rigoureuses en ce qu'elles impliquent un postulat que nous avons déjà invoqué dans l'étude de la stabilité des fluides (*). Commençons par énoncer avec précision ce postulat, que nous nommerons \q postulat des petits mouvements.

Considérons un milieu isotrope, dont une partie de la surface est maintenue immobile, tandis que le reste de la surface supporte une pression normale, uniforme et constante. Donnons à ce milieu un mouvement; a l'instant /, le point matériel dont les coordonnées initiales sont a, h, c, aura pour coordonnées

( 1 ) Sur la stabilité et les petits mouvements cLes corps fluides {Journal de Mathématiques, 5'' série, t. IX, p. 233; njo3).

RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. II9

Supposons que les valeurs absolues de Ç, yj, Ç admettent, quel que soit /, une limite supérieure A

(88) UI^A, |r,|<A, KI<A

et que Ton ait de même, quel que soit ^

ir\, </^A,

àl

da*

daât

\ dt*

ài

âadb

ir'A, ^r'A,

d*rt

dt*

âc

dK dt

d*K dcdt

d*K dt*

r^r^, r'\ r\ r'\ étant des constantes positives données une fois pour toutes.

Reportons-nous à ce qui a été dit au paragraphe I, et nous voyons que, toutes les fois que A est suffisamment petit, $, yj, Ç, nuls en tout point de la partie de la surface terminale qui est maintenue immobile, vérifient les équations (34) en tout point (a, A, c) du milieu et les équations (35) en tout point de la partie de la surface terminale qui supporte une pression invariable. Dans ces équations, le symbole -h.. . remplace des termes qui sont infiniment petits au moins de Tordre de A*.

Cette proposition n'est point douteuse; elle est le fondement dos considérations développées aux paragraphes II et IV. Voici maintenant la proposition très voisine que nous lui substituons :

Si A est inférieur à une certaine limite, on a, quel que soit /,

(89) |.— e/-+-/AS n — v-^-mK^y Ç^wp^-h/iA',

/, m, n étant trois quantités qui, quels que soient a, i, c, /, et quelque petit que soit A, ne surpassent pas en valeur absolue une certaine grandeur positive fixe F; dont, en outre, les dérivées partielles du premier et du second ordre en a, b^ c, i admettent également des limites supérieures fixes.

Dans les égalités (89), m, s^, w sont trois fonctions de a, b, c, /, définies de la manière suivante :

1° Pour toutes valeurs de a, 6, c, /, on a

à^ (du ôbdt\da ' db ' de

. ô^ (du dv d\v\ d . d^w

, d* /du dv dw\ ù . d»»-

■ M Atv

2" En tout point de la partie maintenue immobile de la surface limite, on a

tV=zO.

y* En tout point de la partie de la surface limite qui supporte une pression invariable, on a

[(du dv dw\ ^,du 1 . (du di'\ ^ .. (div du\

[^ à /du dv dw\ d'M 1 d (du di>\ „ d ( dw du\

. (du dv\ r. (du dv dw\ ^.dv 1 ^ ., ( dv dw\

^ \Tb^Ta)''^Y' \Ta^Tb-^Tc)^''^Tb JP-^** KTc^lb)-^

d (du d<,'\ r d (du dv àiv\ d*v'\ „ d ( dv dw\

- ( d\v du\ . (dv dw\ f^ f. (du dv dw\ ..d^v \

d (div du\ d ( dv fMA ^ \' d /Ou dv d^v\ d^^v \

^nt\dR'^d-c)''-^^dt\Tc^Tb)^-^YdL\^^

RECHERCUES SUR L ÉLASTICITÉ. 121

4"* A Tinstant / = o, on a, quels que soient a, 6, c, i « = Ç, r = yî, «• = ;,

( ()^ "" dt' dt " dt' dt ~~ dt'

Les équations (90) et (92), qui doivent déterminer //, v, «% ne diffèrent des équations (34) et (35), que doivent vérifier ^, y], ^, que par la suppression des termes représentés par -h. . . , lesquels sont infiniment petits par rapport aux termes explicitement écrits.

Mais, bien que les équations qui déterminent Ç, yj, Ç différent infiniment peu de celles qui déterminent 1/, Vy w^ bien que ces quantités et leurs dérivées par rapport à / soient identiques à l'instant initial, il n'est nullement prouvé que les quantités (Ç — w), (yj — i^), ÇC, — w) soient toujours infiniment petites du second ordre. De ce que deux systèmes d'équations aux dérivées partielles diffèrent infiniment peu l'un de r autre, on ne saurait conclure que leurs intégrales correspondant aux mêmes conditions initiales, diffèrent infiniment peu.

Donc, en écrivant les égalités (89), nous admettons implicitement l'exactitude d'un postulat non démontré.

Néanmoins, comme, dans une foule de questions du même genre, les plus grands géomètres ont fait usage de ce postulat, nous allons en user à notre tour au numéro suivant.

VI. — Modifications (^) que le postulat des petits mouvements permet d'apporter aux propositions démontrées au n^' I.

Le postulat des petits mouvements permet, tout d'abord, de rendre un peu plus complètes les propositions énoncées et démontrées au n*^ 1 .

Il permet, en premier lieu, (ï étendre le théorème que nous avons for-

( ' ) Sur les conditious nécessaires pour La stahilité initiale d'un milieu vitreux (Procèsverbaux de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, séance di| •i cvril 190:5).

mulé pour tous les milieux vitreux ou cristallisés au cas où la surface qui limite le milieu étudié, au Heu d'être entièrement fixe, serait en partie déformable et soumise, dans sa partie déformable, à une pression insHiriable.

Il permet, en second lieu, d'apporter un autre complément au corollaire, relatif aux milieux vitreux, que nous avions tiré de ce théorème; ce corollaire, ainsi complété à deux reprises, se formulera de la manière suivante :

Si l'on a, en un milieu vitreux, les deux conditions

3A-h2Mlo,

I Mlo,

dont l'une au moins ne se réduit pas à une égalité, le milieu ne peut demeurer en équilibre stable lorsque les diverses parties de sa surface terminale sont ou maintenues immobiles, ou soumises à une pression invariable.

Nous nous contenterons de démontrer cette dernière proposition, laissant au lecteur le soin, d'ailleurs aisé, d'établir la première. Posons, en effet,

du âv ôw

da' ''-db' ''-d?'

ôiv dv du ôsv ô\' Ou

'"'-db'^Tc' '^'-'di^d^' '^*~db'^d^ et considérons l'expression

(96) u=-iy*yyi(3A-f-2M) (£,+£,+£,)•

+ 2M[(£,- £j)' +(£,— £,)'+(£,-£,)' -H 3yî + 3-/I + 37Î] I </a e/fr^C

RECHERCHES SUR l'ÉI.AST1C1TÉ. 125

nuls quel que soit t, ce qui donne

du dv ôw

Tt=''' Tt^""^ di=^'

ou bien Télément r/S appartient à la partie déformabl^ de la surface S; alors les égalités (92) y sont vérifiées. En toute circonstance, les égalités (98) et (99) nous donnent

-(^)'-(t)'-fê)"]l*-

Formons maintenant -^• Nous pouvons écrire

A(.,+ ., + ..) + ,M.,+ >(-jJ + y + ^j + ,f.^J-jJ D. 18

ia6 p. DUHEM.

La seconde intégrale peut s'écrire

1^1 r(AH-M)^(£,-hÊ,-+-£3)-hMA// H-(X-hfx)^-^(Ê, + £,-f-£,)-4-fx-AaJ-^ -+-[^(AH-M)j^(£,-h£,4-£,) + MAr + (X -+- ^) ^^^ (£, -f- £,-h £3) -4- ;z^ A(^ J ^ -h ( A -h M) j^ (£, -H £,4- £,) -^ M Aw' + (X 4- fx)^^^(£i H- £,4- £3) 4- /x^ AiJ -^

Dans cette expression, les trois premières intégrales sont nulles; en effet, ou bien Télément dS est immobile, cas auquel w, v, w sont nuls, quel que soit /, ce qui donne

■^=^' dTï"^^' ^=^'

ou bien l'élément dS supporte une pression invariable, cas auquel les égalités (92) y sont vérifiées.

Quant à là dernière intégrale, on peut la transformer en y remplaçant w, ^, w par leurs valeurs tirées des égalités (90). Finalement, l'égalité (ici) devient

RECHERCHES SUR L*ÉLASTIC1TÉ. t'i"]

âa

^jj\ [(A + M):^(£,^-£, + £,)-^•MA«

H- (A -H M) ^ (£, + £, + £,) + M Af

-i- (A -+-M)-r- (£i-t-£2 -T-£,) 4-MAtv

A rinstant / =o, rien ne nous empêche d'associer aux valeurs que

du , dv , ù^v

nous choisirons pour i/, ^, w des valeurs de u' = -r-» (^' = -r-, w' = —

données par les formules

u'z=K^u, t^'^K'p, ^^'-KUv,

K* étant un coefficient indépendant de x, y, s. Alors, au second membre de l'égalité (loo), la première intégrale deviendra

-^yi(3A-h2M)(£,-h£,+ £3)«

.tandis que la seconde deviendra

^2^[(£3-£,)»-+-(£,-£,)*-h(£,-£.)«^3yî-+-3yî-f 3yî]|^.

En vertu des conditions (9^), dont Tune au moins ne se réduit pas à une égalité, nous pouvons choisir u, ç', (v de telle sorte que leurs valeurs absolues ne franchissent pas les limites qui leur sont imposées et que la première des deux intégrales précédentes soit positive.

Nous pouvons ensuite choisir K^ si petit que les valeurs absolues de u\ v\ w' deviennent inférieures aux limites qui leur sont imposées

128 p. DUHEM.

et que la seconde intégrale soit inférieure en valeur absolue k la première.

Dès lors, la valeur initiale de -^ sera sûrement positive.

D'autre part, en vertu des conditions (94)» -^' qui est donné par

l'égalité (102), n'est jamais négatif.

U croît donc au delà de toute limite avec /.

Cette conclusion, qui implique contradiction, démontre par l'absurde le théorème énoncé.

La proposition précédente a une application importante :

Pour un corps fluide, M est nul; nous voyons alors qu'un corps fluide où A serait négatif, serait en équilibre instable lorsque certaines parties de sa surface seraient maintenues immobiles, tandis que d'autres supporteraient une pression invariable. Par la se trouve étendue aux fluides visqueux une proposition démontrée ailleurs (*) pour les fluides exempts de viscosité.

VII. — Autre conséquence du postulat des petits mouvements : ni Tune ni Tautre des deux vitesses de propagation au sein d'un milieu isotrope ne peut âtre imaginaire (').

Le postulat des petits mouvements nous permet d'apporter un complément important à la proposition que nous avons établie au paragraphe IV; nous pourrons, en effet, énoncer et démontrer le théorème ;que voici :

Considérons un milieu vitreux indéfini dont les régions infiniment éloignées sont maintenues immobiles. L'état initial de ce milieu ne pour-

(1 > Sur la stabilité et les petits mouvements des corps fluides y Chapitre HI {Journal de Mathématiques pures et appliquées, 5* série, t. IX, 1908, p. 233).

(*) Sur les conditions nécessaires pour la stabilité initiale d'un milieu vitreux (Procèsverbaux de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, séance du 2 avril 1903).

RECHERCHES SUR l' ÉLASTICITÉ. Ï29

rcUt sûrement pas être un état d'équilibre stable si l'on avait l'une ou l'autre des inégalités

(io3) A-h2M<o,

(io4) M<o.

Cette proposition est vraie que le milieu soit dénué de viscosité ou qu'il soit doué de viscosité ; elle demeurerait encore vraie si les actions de viscosité, au lieu d'être des résistances passives, étaient des puissances actiçes.

Dans le cas où le milieu est dénué de viscosité, cette proposition peut s'énoncer autrement; si l'on se reporte aux expressions, données par les égalités (20) et (21), de la vitesse de propagation des vibrations longitudinales et de la vitesse de propagation des perturbations transversales, on peut la formuler ainsi : Uéquilibre initial du milieu serait sûrement instable si l'une ou l'autre des vitesses de propagation y était imaginaire.

Supposons, en premier lieu, que Ton ait

(io3) A4-2M<o.

Posons

, f^ r^ au ài> dw

^ ' da db Oc

En vertu des égalités (90), cette grandeur vérifiera, en tout point du milieu, l'équation aux dérivées partielles

(106) ( A H- 2M) Ae H- (X + 2/jl) ^ ^^ - Po ^ ="- o-

Considérons l'expression

%' =1 ^—y duj ^=dadb de.

128 p. DUHEM,

et que la seconde intégrale soit inférieure en valeur absolue à la première.

Dès lors, la valeur initiale de -rj sera sûrement positive.

D'autre part, en vertu des conditions (94)» -^Tr' ^^^ ®st donné par

l'égalité (102), n'est jamais négatif.

U croît donc au delà de toute limite avec /.

Cette conclusion, qui implique contradiction, démontre par l'absurde le théorème énoncé.

La proposition précédente a une application importante :

Pour un corps fluide, M est nul; nous voyons alors qu'un corps fluide où A serait négatif, serait en équilibre instable lorsque certaines parties de sa surface seraient maintenues immobiles, tandis que d'autres supporteraient une pression invariable. Par là se trouve étendue aux fluides visqueux une proposition démontrée ailleurs (*) pour les fluides exempts de viscosité.

VII. — Autre conséquence du postulat des petits mouvements : ni Tune ni Tautre des deux vitesses de propagation au sein d'un milieu isotrope ne peut âtre imaginaire (*).

Considérons un milieu vitreux indéfini dont les régions infiniment éloignées sont maintenues immobiles. L'état initial de ce milieu ne pour-

(*> Sur la stabilité et les petits mouvements des corps fluides y Chapitre UI {Journal de Mathématiques pures et appliquées, 5* série, t. IX, 1908, p. 233).

(*) Sur les conditions nécessaires pour la stabilité initiale d'un milieu vitreux (Procèswrbaux de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, séance du 2 avril 1903).

RECHERCHES SUR l' ÉLASTICITÉ. Ï29

rait sûrement pas être un état d'équilibre stable si l'on avait l'une ou l'autre des inégalités

(io3) A-h2M<o,

(io4) M<o.

Cette proposition est vraie que le milieu soit dénué de viscosité ou qu'il soit doué de viscosité; elle demeurerait encore vraie si les actions de viscosité, au Heu d'être des résistances passives, étaient des puissances actives.

Dans le cas où le milieu est dénué de viscosité, cette proposition peut s'énoncer autrement; si l'on se reporte aux expressions, données par les égalités (20) et (21), de la vitesse de propagation des vibrations longitudinales et de la vitesse de propagation des perturbations transversales, on peut la formuler ainsi : Céquilibre initial du milieu serait sûrement instable si l'une ou l'autre des vitesses de propagation y était imaginaire.

Supposons, en premier lieu, que Ton ait

(io3)

Posons

(io5)

dv dw âb'^'âc'

En vertu des égalités (90), cette grandeur vérifiera, en tout point du milieu, l'équation aux dérivées partielles

(106) (AH-2M)Ae + (X-h2|JL)i^ Ae-po^=:o.

Considérons l'expression (,07) U :.- (A +.M)fi^B)*d. + P'/[(^T ^ (^T ^ (^T] '"''

ât

0' rzr -;— > dm -=dadb de.

l3o p. DUHEM.

Des calculs tout semblables à ceux qui, des égalités (55) et (60), tirent les égalités (56) et (63), nous donneront

Puis, des calculs semblables à ceux qui ont fourni les égalités (5f)) et (65) nous permettront d'écrire

(.09) ^^/l(A + aM)y(Ae')'rfBJ

+ |^(A+aM)-^+a-Ha^)-^J 4-|(A+aM)-^ + (XH-af*)-^J jrfni.

Ces préliminaires posés, supposons que l'état d'équilibre initial du système soit un état d'équilibre stable. On pourrait visiblement imposer aux valeurs absolues initiales de

> ^ dt: dr) dK

qui sont les mêmes que les valeurs absolues initiales de

du dv dw

"' "' "'' Tt' W dF'

des limites telles que U ne surpasse à aucun instant une certaine valeur positive donnée d'avance V.

D'autre part, nous pourrons toujours, à cet instant initial, prendre

au ai' „, dw

K* étant une quantité indépendante de a, h, c. Nous aurons alors.

RFXHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. i3i

selon Tégalité (ïo8),

(no) (^)^^^f^K^\^2M)J(^S,ycim

— 2K*(X 4- 2fx) AAeo)'^5y.

Nous pourrons toujours, sans que les valeurs absolues initiales de

u, V, w, -^9 ~, -^ transgressent les limites supérieures qui leur sont

prescrites, faire en sorte que A0o ne soit pas nul dans tout l'espace et prendre, en outre, K^ assez petit pour que le second membre de l'égalité (i lo) ait le signe de son premier terme, qui est positif selon l'inégalité (io3).

[lil ^®^^^* alors sûrement positif; comme selon l'égalité (109),

-^-^-ne peut être nul à aucun moment, U croîtrait au delà de toute

limite avec / et ne pourrait demeurer inférieur à V. La contradiction à laquelle nous aboutissons démontre le théorème énoncé. Imaginons maintenant que l'on ait l'inégalité

(io4) Al<o.

Posons, par exemple,

Selon les égalités (90), nous aurons, en tout point du milieu et à tout instant,

(112) M Afî, 4- ix.^^ Ai2, - po ^' = o.

Considérons alors l'expression ,.,S, C.-M/<.^).^.p./[(f)V(^|l)'.(^)']..,

l32 p. DUHEM.

OÙ

Des calculs semblables à ceux qui, des égalités(67) et (70), tirent les égalités (68) et (71) permettent d'écrire

( 1 1 4 ) ^ =: - 4M Taû, Afî; (hîT - 2 fx A au; )« df3.

Puis, de même qu'on a obtenu les égalités (69) et (72), on obtiendra l'égalité

(ii5) ^=-4My(Afî;)«efcy

En raisonnant sur les égalités (i i3), (i i4) et (i 1 5) comme nous avons raisonné sur les égalités (107), (108) et (109), nous prouverons que l'état d^équilibre initial d'un milieu indéfini où l'inégalité (io4) est vérifiée ne saurait être un état d'équilibre stable.

RECHERCHES SUR L*ÉLASTICITÉ. l33