V. — Du déplacement isentropique de Téquilibre
Dans tout ce que nous avons dit jusqu'ici, au cours du présent Chapitre, nous avons supposé la température du système maintenue uniforme et invariable; à cette restriction nous allons maintenant en substituer une autre. Nous supposerons toujours la température uniforme en l'état d'équilibre dont nous étudions le déplacement ou la stabilité; mais, à partir de cet état, nous supposerons que la température peut varier en même temps que la déformation, de telle sorte que l'entropie de chaque masse élémentaire garde une valeur invariable.
L'entropie de la masse dm a pour valeur
E étant l'équivalent mécanique de la chaleur; pour que cette quantité demeure invariable, il faut et il sulfit que -^ demeure invariable ou, en d'autres termes, que l'on ait
Si Ton désigne par c la chaleur spécifique normale de l'élémentû^/w, on a
RECHERCHES SUR l'ÉLASTïCITÉ. ï^'J
en sorte que l'égalité précédente devient
Ec\ de, dT de, df deadT
Cette égalité posée, revenons au problème traité au paragraphe II. Supposons que la variation imposée à la déformation homogène du système soit accompagnée d'une variation dans la valeur uniforme de la température, et cela de telle sorte que l'entropie de chaque masse élémentaire demeure invariable, h^tra^'ail perturbateur isentropiquedtô' pourra encore s'exprimer par des formules semblables aux formules (124) ou (i25), qui donnent le tras^ail perturbateur isothermique d(B; mais, pour calculer rfc', on devra, au second membre de l'égalité (126), ajouter
de, dT ' ^ de, dT ' ^ ôg, dT ^ * "^ d^, dT ^* "^ d^, dT ^ »;
Si l'on transforme cette expression au moyen de l'égalité (i4o)» on trouve
dlTd'f^"'^ d^i^'^^ 5i;?r^^'-^ 5j;7Fr^«"''+ 5^;dT^°'+ dildï^^'j •
Si d(^ est positif, rfc' l'est a fortiori. Tout milieu élastique dont les déformations homogènes vérifient la loi du déplacement isothermique de l'équilibre, est soumis a fortiori à la loi du déplacement isentropique.
On démontrerait sans peine :
1° Que la loi du déplacement isentropique de l'équilibre est encore vérifiée par notre système à partir d'un état d'équilibre où le milieu est soumis à des actions solides ou superficielles quelconques;
2° Que le système, soumis à des actions purement superficielles, est en équilibre stable lorsqu'on maintient invariables la surface qui le limite et l'entropie de chacune des masses élémentaires qui le composent.
l48 p. DUHEM.
VI. — Application des considérations précédentes à un milieu élastique
très peu déformé.
Nous allons appliquer à un milieu élastique très peu déformé les considérations qui ont été développées aux quatre derniers paragraphes. Pour un tel milieu, on doit substituer aux quantités e,, ^j, ^3» é^i' 5"2' ^3» définies par les égalités (23), les quantités £,, c,, £,,
T<' Ta» Ta définies par les égalités (2). Les trois quantités -r^» ^, -^
sont infiniment voisines de i, tandis que les autres dérivées partielles de X, y^ z par rapport à a, 6, c sont infiniment voisines de o. Dès lors, en exprimant que le coefficient de m, au second membre de l'égalité (127), est essentiellement positif, nous arriverons à cette proposition :
Quels que soient £,, £2, £,, y»» Y2» Y»» ^^ quelles que soient les valeurs attribuées aux quantités taij, on a l'inégalité
H-a-r— (da„5ajj4-da„ôa,3-4-3a3,(îa,,)H- > o.
C'est la condition nécessaire et suffisante pour que notre milieu élastique, soumis à des forces quelconques sollicitant les éléments de la surface qui le limite ou les éléments de la masse qui le forme, soit soumis à la loi du déplacement isothermique de l'équilibre. Cette condition suffit en même temps pour que ce corps élastique se conforme k la loi du déplacement isentropique de l'équilibre.
En outre, si le milieu, soumis à des actions purement superficielles et porté h une température uniforme, est en équilibre dans un état de déformation homogène, la condition (i4^) nous assure que cet état
RECnERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. i49
demeure stable lorsqu'on maintient immobile la surface qui limite ce milieu et, en outre, lorsqu'on maintient invariable soit la température du système, soit l'entropie de chaque élément.
Supposons, comme au Chapitre I, Paragraphe I, que l'état initial du milieu soit l'état d'équilibre qu'il prend à la température!, sous une pression initiale Ho, nulle ou positive. A cette même température T, nous aurons, en vertu des égalités (4) et (7),
Po
H- 9î (po» 'i\ £1, £2» £a, yi. yi» ys),
Ç2 étant une forme quadratique en e,, e^, £3, Yi» 7-» Ya- L'inégalité (142) devient
(,43) [ ^5aH4---'oa,,+ ^ôa„
-*- (ôa„)« -h (3a„)*-^ (o«3,)*] > o,
(2) désignant un carré symbolique. Cette inégalité, où Ho est positif ou nul, exige que ce carré symbolique soit positif. Si l'on observe que les quantités Ba^j ont des valeurs entièrement arbitraires, on voit qu'il revient au même de dire que la grandeur
9,(po, T, £i,£„£3, y,,y2,y3)
est une forme quadratique définie positive des ti^ y<-
Nous étions déjà parvenus à cette condition au Chapitre I, Paragraphe I, en imposant au milieu élastique certaines conditions de stabilité; mais :
I® Nous n'avions pu regarder cette condition comme nécessaire qu'en supposant exacte la réciproque du théorème de Lagrange et de Lejeune-Dirichlet.
l5o p. DUHEM.
2° Nous avions dû nous limiter au cas où l'état initial est l'état d'équilibre pris par le système sous une pression nulle.
Il y a donc avantage à prendre pour hypothèse fondamentale non pas certaines suppositions touchant la stabilité, mais la loi du déplacement isothermique de l'équilibre. Cette loi entraîne d'ailleurs comme conséquences les stabilités que nous aurions postulées.
Les considérations que nous venons de développer se rattachent à une généralisation du théorème de Reech, généralisation qui a été indiquée par M. W. Voigt ( * ) et dont nous aurons besoin dans ce qui va suivre; disons quelques mots de cette généralisation.
Dans le cas où l'état initial du milieu est l'état d'équilibre pris, a la température T, sous une pression uniforme Ho, nulle ou positive, le carré symbolique qui figure au premier membre de l'inégalité (i43) est positif quels que soient les Sa,-, ; si, en outre, U^ est nul et si l'on pose
( dûTjj-h 3a,j= G,, Sas, -h da,3-=: Gj, 3ûr,,-h dûr,|Zii Gj,
cas auquel E,, Ej, E,, G^, Ga, G, sont six quantités arbitraires, la condition ainsi obtenue peut s'écrire
T-Ei4- T-E,-h -T-E3+ -— Gj-h-T— G,-h-r-Gj) >o, \c)£t de^ ôz-, ôy, ôy^ ôy^ 7
(2) désignant un carré symbolique.
Hors des hypothèses particulières que nous venons de préciser, nous ne connaîtrons pas le signe du premier membre de (i45); mais ce premier membre sera susceptible d'une interprétation simple.
Quelles que soient les quantités E, , Ej, E3, G, , Gj, G,, on peut toujours, au moyen des égalités (i/i4)> déterminer des valeurs correspon-
(») w. VoiGT, Thermodynarnik, 1*' Band, p. 332-333, formules (198) et (199), Leipzig, 1903. foir aussi P. Duiiem, Sur une généralisation du théorème de Reech {Procès-verbaux des séances de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordcawr, séance du 2 avril 1903).
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. i5i
dantes des Sa/y. Ces valeurs nous donneront
et détermineront une perturbation homogène de la déformation infiniment petite homogène qui affectait notre milieu.
Imaginons que cette perturbation soit accomplie sans variation de température; elle correspondra à des variations isothermiques
3N;,, 3N^, dN„ àT^, dTy, dT, des quantités N/, T/. Selon les égalités (3), nous aurons
dN, = -.po(^-^ E,4-^j^-^E,+ j5^-^E,-4-^^-^ • f
;rr - . (Jl^v ^Jl±.v ^Jl^v ^'^'^ d'4> <^'«^ r ^
V^yi^si ^yi^£2 ^yi^£j ^yî ^71 ^y» ày^Oy^ 7
On voit alors que l'on a
(i48) E,dN^4-E,5i\^-f-E35N,-hG,3ï;,-f-G,ôlV4-G3(îT,
^"V^^i ^£3 ^^£3 Oyi ày^ ôyi 7
Dans les conditions particulières où l'inégalité («45) est assurée, le premier membre de l'égalité (i48) est négatif.
Si la perturbation (i4t>), au lieu d'être isothermique, était accompagnée d'une variation homogène 8T de la température, il faudrait, aux seconds membres des égalités (14?)» ajouter respectivement
En particulier, si la modification était isentropique, ST serait donné par l'égalité (î4o)» où les quantités e»/, g^, devraient être remplacées par les quantités e,, y/» et où l'on aurait à tenir compte des éga-
l52 p. DUHKM.
lités (i^|6); dès lors, les grandeurs N,, T, subiraient des variations isentropiques
d'N^, ô'Ny, d'N„ 3'T;,, d'T,., Ô'T, données par les égalités ''N.=oN.-|- (^^-^E.-^ ;^^-^E,-f. 5^;^E3-4- 5^;;^G,+ 577^^*^ ^^^IW^^^^
Ces égalités (149) donnent
(i5o) Eiô'N,4-Ejd'N[^-+-E,d'N;j4-G,d'T^-^r.,ô'lV4-G,ô'T^ = Ei5N;r -t-EjôNv ^-EsaN^ -f G^aT^ -h G,ÔT,. -i- G,ÔT,
c est positif, en vertu du postulat de Helmholtz; le premier membre est donc assurément inférieur au premier membre de l'égalité (i48); toutes les fois que l'inégalité (i^S) est vérifiée, le premier membre de l'inégalité (i5o) est négatif.
Supposons que l'on fasse croître T de dï en maintenani invariables les quantités N/, T,; les quantités e,, y, éprouveront des accroissements
'^■"- È-"- li'"- "-à^- '^^' ^-"^
et l'on aura, en vertu des égalités (3),
[i5i) dt\ dï "^ (h, ÔE, dï "^ ih, Os, dï "^ ôe^ ôy, dï "^ ih, ôy^ dï "^ ôt, dy^ dï "*" 5i75T ^®'
/ ô^^ (h^ ô^^ dii ()?^ de, ô^ dyj (j»4) dy^ (^'^ dy^ ô^^
(i52) ôyi Ô£i dl "^ ôy, ôe^ dï "^ ôy^ Os, dï ~^' dy\ dl ^ ôy, ôy, dï "^ &i^, dT "^ âyi âT "" ^'
RECHERCHES SUR L^ËLASTICITÉ. l53
Dans ces conditions, la masse dm dégage une quantité de chaleur rfQ donnée par l'égalité
que nous écrirons
ûfQ=-C€//n,
C étant la chaleur spécifique dans le cas où Ton maintient invariables les quantités N,-, T/. On aura, d'après ces égalités,
/ -Q^ r— T/ ô^^ de, ô'^ dt^ d'^ dSi ô'<S> dy, ô'^ dy^ d'<^ </y,\ (105) L c E^^g^^j ^ "^c^£,^ï dT~^ ÔB.ôT dT'^ ôy.ôT dT "^ ôy.ôT (CT '^ ôy^dT dï )
OU bien, selon les égalités (i5i)f / ^/x r— '^ (à<i> dE, ô^ dt^ d^ de, 0^ dy, d^ dy^ d^ dyA^^^
(154) ^-^-^Ei^ïji;^-^^5T ^5i;5T"^^7n^^dy, en' "*'5^5t; '
Dans les circonstances, précisées ci-dessus, où l'inégalité (i45) est vérifiée quelles que soient les quantités E,, E^, Ej, G,, G^, G,, on a sûrement
(i55) Oc.
Multiplions respectivement les égalités (i47)par^> '"^^' '"^ les égalités (loi) par poE,, ..., poG,, ... et ajoutons membre à membre les résultats obtenus; nous trouvons
,,56, ^aN,* ^.N,+ 'ps.^ ^.r.+ ^nv-H ^-ar.
-p-V5^rrfT^'+ rfiT^^'-*- 5ir^*^'+ d^r^T*^'-^ ^^^'^^ ô^:àf^*)-
D'une manière semblable, les égalités (149) et(i5i) donnent
-p'\d^;^^'-^ di^wi^*^ di:^^'^ d^^'^ d^:^^'^ d^'^'j
. ^ L' Ec\()£i<>T rfT "*■ àBtâT dT "^ d£,dT cfT '^ dy^dT (fl '^ dy,<)T rfT "*" 5y,dT «fT/J
l54 i*. Dt'IIEM.
OU bien, en vertu de Tégalité (i53),
="p^c V5ir^^^^ <>ir^^*"^ <7i;^^^'^ o^^^'^-^ &^^'-^ o^^^^y
Les égalités (i56) et (157) donnent ia relation
Cette relation, qui généralise le théorème de Reech, est due, nous l'avons dit, à M. W. Voigt; elle nous sera utile plus tard.
VII. — Application des conditions précédentes à un milieu vitreux
peu déformé.
Les considérations développées au Paragraphe précédent supposent le milieu peu déformé, mais elles ne font aucune autre restriction; le milieu peut être cristallisé d'une manière quelconque; nous allons maintenant les particulariser davantage, en supposant que le milieu considéré soit un milieu vitreux.
Le passage du cas général à ce cas particulier se fait en suivant la voie marquée au Chapitre I, Paragraphe 11.
La fonction 92 est donnée par l'égalité (j 5); pour qu'elle soit définie positive, il faut et il suffît que Ton ait les deux inégalités
( 3A(po,T)4-2M(po,T)>o, ^'"^ ( M(po,T)>o,
que nous avions déjà obtenues au Chapitre 1, Paragraphe II. Mais alors :
i" Pour regarder ces conditions comme nécessaires, il nous fallait
regarder comme légitimera réciproque du théorème de Lagrange et de Lejeune-Dirichlel. Ici, au contraire, la loi du déplacement isothermique de l'équilibre entraîne sûrement la nécessité de ces conditions.
2" Ces inégalités étant justifiées seulement pour la valeur que la densité p^ prend lorsque le corps est en équilibre, à la température T, sous une pression nulle. Ici, elles sont justifiées pour toutes les valeurs que peut prendre po» à la température T, au sein d'un corps soumis à une pression uniforme nulle ou positive.
En vertu de l'égalité {^Recherches sur l' Élasticité, seconde Partie, égalité (6)]
+ --^(a£,' + a£;H-a£Î + y« + yî + y»), apo
les égalités (i5i) deviennent
/ 4 mcx^^l 4 /^£« dt^\ ûf9,(T)
/A %M^dEi . /de* d£i\
rfT =°'
On en tire
dT~ ef{ ~ efr~ 3 A -+- aM efV
Chauffé de telle sorte que les quantités N,-, T,- ne varient pas, le milieu se dilate en restant semblable à lui-même; le coefficient de
l56 p. DUIIEM.
dilatation cubique a pour valeur
(igbis)
3A-f-2M ifr
expression indiquée en (19).
En vertu des égalités (iSp) et (160), Tégalité (i52) devient
Les égalités (147) donnent, moyennant l'égalité (159),
3Nar=— (A 4- 2M)Ei - A(E, -h E,), ôNy=: — ( A -f- 2M )E,— A(E, -h El ), ôi\;;=— (A4-2M)E3-A(Ei4-E,),
tandis que les égalités (149) deviennent
(162) .d'N^.= -(A-h2M)E,~A(E,4-EJ-^[^Î5^y(E^
Dans ces formules, Ë^ , E2, E, sont arbitraires; nous pouvons donc faire
Ei=E,=:E,= ^.
Elles deviennent
Les égalités (i58), (160) et (i63) donnent sans peine
.4 . „» ■ 3poTr rf?.(T) -|' C 3A4-2M + -^[^^^
('^^) ? = 3ÂTTM '-'
formule qui nous sera utile plus tard.
Ce Chapitre, que nous terminerons ici, montre clairement quels avantages il y a k prendre pour postulat fondamental, dans Fétude des milieux élastiques, la loi du déplacement isothermique de l'équilibre, de préférence à certaines hypothèses touchant la stabilité. Rappelons, à ce sujet, que l'expression à laquelle nous avons donné le nom de travail perturbateur isothermique s'est présentée, pour la première fois, dans les recherches de Lord Rayleigh (')•
( * ) Lord Rayleigh, General Theorems relating to EquUibrium and initial and stecufy Motions (Phihsop/tical Magazine, t. XLIX, p. 218; 1876. — Scientific Papers, vol. I, p. 23>0.
Par m. p. DUHEM.
QUATRIÈME PARTIK.
PROPRIÉTÉS 6É1IÉRALES DBS OHDBS DAHS LES KniEÏÏX YISaUEUZ ET HOH VISaUEUZ.
CHAPHKE 1.
THÉORIE GÉNÉRALE DE lA PI;0PA(;ATI0N DES ONDES AU SEIN DES MILIEUX
