I. — Quelques lemmes de Cinématique

Lorsque nous aurons à étudier la propagation d'une onde au sein d'un milieu élastique, nous aurons à rapporter cette onde tantôt au milieu pris dans son état primitif, c'est-k-dire à l'espace des a, 6, c, tantôt au milieu déformé, c'est-à-dire à l'espace des a?, r, z.

Dans le premier cas, nous désignerons par 2 la surface d'onde tracée dans l'espace des a, 6, c; par /, m, n les cosinus directeurs de la demi-normale k cette surface, cette demi-norn)ale étant orientée de la région que nous nommerons 2 à la région que nous nommerons 1 ; par x la vitesse de propagation de l'onde Z, rapportée à l'espace des a, 6, c, et comptée positivement dans la direction de la demi-normale (/, /w, n).

Dans le second cas, nous désignerons par S la surface d'onde, par a, p, y les cosinus directeurs de la demi-normale k la surface S, orientée de la région 2 à la région 1 ; parîlia vitesse de propagation de l'onde rapportée à l'espace des x^ y^ z^ et comptée positivement suivant la direction de la demi-normale (a, p, y),

Entre les cosinus a, p, y et les cosinus /, m, n existent des rela- D. 22

l6o p. DUHEM.

lions fort simples, données par Hugoniot. On peut écrire, en effet [Recherrhes sur l' Hydrodynamique y i*** série, deuxième Partie, Chapitre IV, § 3, égalités (244) et (245)],

Ida . db de ^

ôx ()x Ojc

/ X . ôa . db àc ^ .

j ^^' ày ôy ^

i âa , db de .

\ dz dz dz '

K étant une quantité qui diffère de zéro et qui varie selon le point que Ton considère sur la surface S ou sur la surface S.

Ces relations, respectivement multipliées par -^, -^> ^ et ajoutées

membre k membre, donnent la première relation d'un nouveau groupe; ce nouveau groupe est

dx dy ^ dz l

, . , dx dy Q dz m

dx dy a dz n

En même temps, les deux vitesses ;ni et II seront liées par l'égalité [Recherches sur /'Hydrodynamique, T* série, deuxième Partie, égalité (2.50)]

qui est due également à Hugoniot.

La quantité K, qui figure dans ces diverses formules, est susceptible de deux expressions différentes et équivalentes; les égalités (i), en effet, donnent

, .. (da , db de \-

(^) W-^-di^'^-d-x'')

(da , db de Y

\ày dy dy

(da , dh de \* ^-

\-d-z^-^d^.'''-^JzV^^^

RECnERCIIES SUR l'ÉLASTICITË. i6i

tandis que les égalités (2) permettent d'écrire

(àx dy ^ dz \«

l dx ùy r, àz \' I

Considérons une onde qui, dans l'espace des a, h, c, soit du second ordre par rapport à l'èlongation (^, yj, *Ç). En chaque point de la surface S il existe un vecteur {S, (^, Je) tel que l'on ait

([g];=-. [SI— [^];=--

Le vecteur {§, (/, 5c) est la perturbation d'élongation, rapportée à l'espace des a, b, c, et propagée par l'onde S.

La surface S sera nécessairenient, dans l'espace des x, y, z, une onde du second ordre par rapport à l'élongation (^, y), J^). En chaque point de la surface S il existera un vecteur ($, W, X) tel que l'on ait

Le vecteur ($, ^, X) est la perturbation d'élongation, rapportée à l'espace des Xj y, z, et propagée par l'onde S.

11 est facile de trouver les relations qui existent, entre le vecteur (^, y, :jc) relatif à un point de la surface S et le vecteur ($, W, X), relatif au point correspondant de la surface S.