CONTINUITÉ DE L'ÉTAT LIQUIDE ET DE L'ÉTAT VITREUX

Que faut-il entendre en disant qu'un solide vitreux, sans être très compressible, est très aisément déformable? Nous donnerons à ces mots le sens suivant :

Les propriétés du milieu pris dans un état autre que l'état initial

(») licvhcrchcs sur l'Hj fi rodyf laf nique, -i" Partie, Conclusion {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 9/ série, l. IV, I90'2).

(*) 11. Bknaud, Journal de P/tjsùjue, a' série, l. IX, 1900, p. 5i3; l. X, 1901, p. 2.54.

(') Hcvuc ^énvrale des Sciences, 1 4* année, Hjoj, p. 114.

(*) Recherches sur l' H) drodf mimique, '>^ Partie (Annales de la Faculté des Sciehces de Toulouse, ?.' série, t. V, i9o3).

IlECnEaCIIES SUR L ÉLASTICITÉ. 2O9

changent notablement si l'on t)ient à changer la densité en chaque point ; mais, si l'on dé/orme les divers éléments sans en changer la densité, les propriétés du milieu varient extrêmement peu.

Suivons les conséquences de cette définition.

Les propriétés statiques du milieu sont entièrement définies par la forme de %oxv potentiel interne; la connaissance de cette forme ne suffit plus pour fixer les propriétés dynamiques du milieu : il faut y joindre la forme de {^fonction dissipative.

La forme du potentiel interne dépend de deux fonctions, les fonctions $ et "Ç^ comme l'enseigne l'égalité (4i) de la première Partie. Suivons, en chacune de ces deux fonctions, l'influence de notre définition.

La fonction $ dépend, en général, de la température T et des trois quantités J,, J^, J3. Si un changement de forme de l'élément auquel elle se rapporte devait la laisser rigoureusement invariable lorsqu'il n'entraîne aucun changement de température ni de densité, la grandeur $ serait une fonction des seules variables p et T; notre définition exige donc que la fonction $ soit de la forme

la fonction J^(p,T) ayant une valeur notable, tandis que la fonction cp(T, J, , J2, Jj) a une valeur extrêmement petite.

Considérons maintenant la fonction ^, dont dépend l'action mutuelle de deux éléments; nous avons énuméré en (/|3) de la première Partie les éléments dont cette fonction peut dépendre. Si elle devait demeurer rigoureusement invariable dans toute modification qui déforme les deux éléments sans altérer ni leur densité, ni leur position relative, elle ne pourrait dépendre que des densités p et p' des deux éléments et de leur distance mutuelle r; on aurait alors

D'après notre définition, cette égalité ne doit être qu'une égalité approchée et l'on doit avoir

2IO P. DUIIRM.

la fonction 'i^ ayant une valeur notable y tandis que Injonction y^, qui peut dépendre de tous les éléments énumérés en (4-3) de la première Partie, a toujours une très petite valeur.

D'après les égalités (40 d© ^^ première Partie, (iv33) et (i3^|), le potentiel interne du système s* exprimera par V égalité

(i35) cf= CK{p,T)dm -t- ^ f f^Hpyp\r)dmclm'

H- / 9(T, J,, Jj, J3) r/m-+- - / j x^^^dm'.

Les termes de la seconde ligne ont, en toute circonstance, des valeurs très petites. Les termes de la première ligne, qui seuls ont des valeurs notables, reproduisent le potentiel interne d'une masse fluide, tel que le présente l'égalité (66) de la première Partie de nos Recherches sur l' Hydrodynamique .

Dès lors, il est bien évident, sans aucun calcul, que les milieux étudiés vont nous redonner, mais à titre de lois approchées, toutes les propositions qui découlaient rigoureusement, pour les fluides, de la seule forme de leur potentiel interne.

Si, comme nous l'avons fait en la première Partie de nos Recherches sur l'Hydrodynamique [égalités (67) et (yS)], nous posons

nous aurons les égalités approchées

Si nous comparons en particulier ces égalités aux égalités (8) de la première Partie de ces Recherches sur l' élasticité, qui conviennent à un milieu peu écarté de l'état initial, nous parvenons au théorème suivant :

En un milieu très aisément déformable qui est peu écarté de son état initial, la fonction M(T) a des valeurs très petites par rapport aux valeurs

r/dA(T).

Examinons maintenant la forme qu'il convient d'attribuer à la fonction dissipative en un milieu très aisément déformable.

Si les propriétés du milieu étaient absolument indépendantes de la déformation subie par chaque élément, mais seulement de la variation de densité h partir de l'état initial, la valeur de la fonction dissipative devrait rester absolument la même quel que soit le trièdre trirectangle dont les arêtes sont les trois axes principaux de dilatation de l'élément considéré. Sa forme se déterminerait alors par les raisonnements que nous avons suivis au Chapitre I, § II de la première Partie de ces Recherches sur l'Élasticité. Cette forme, analogue h la forme (17) de cette première Partie, serait

Mais les propriétés du milieu éprouvent une variation non nulle, bien que très faible, dans une déformation qui laisse invariables la température et la densité; l'égalité précédente doit donc être non pas rigoureuse, mais approchée; en toute rigueur, la fonction dissipative doit s obtenir en posant

(,38) ^=^i^(i); + D;-hD;r

+ fil^T) (j),, ^ 0/^1 + 0;» 4- 2 g;» 4- 2g;* 4- 2g;*) 4- u

i est une expression donnée par une égalité de même forme que l'égalité (74)» d^ l^ première Partie, mais dont la valeur est toujours très petite.

Dire que les propriétés du milieu changent très peu lorsque l'on déforme les divers éléments sans en changer la densité, ni la température, c'est évidemment supposer, comme nous venons de le faire, que la valeur de la fonction dissipative à l'instant / dépend de la température et de la densité de chaque élément à cet instant, mais est presque indépendante de la déformation de l'élément. Ce n'est pas

forcément admettre que le travail de viscosité dans le temps di est sensiblement nul si la modification du système pendant ce temps ne fait point changer la densité de divers éléments. On conçoit que Ton puisse faire la première hypothèse sans faire la seconde; en d'autres termes, on conçoit que S puisse prendre ta/orme(j3S) sans que lafono lion (ji(p, T) soit négligeable devant X(p, T).

Ainsi un milieu solide, vitreux, très dèformahle, mais non très compressible^ obéit appioximativement aux lois qu'il est d'usage d'admettre en un liquide visqueux. Le liquide visqueux représente la forme limite d'un tel milieu très déformable.

Cette manière de voir concorde avec celle à laquelle les expérimentateurs sont conduits par des recherches de diverses natures.

On soupçonnait depuis longtemps et l'on sait aujourd'hui d'une manière certaine, grâce surtout aux travaux de M. Tammann, que beaucoup de corps, liquides et peu visqueux à une certaine température, deviennent de plus en plus visqueux lorsque la température s'abaisse, et se transforment finalement en solides vitreux. Cette continuité entre l'état liquide et rétat vitreux sera parfaitement conforme aux formules précédentes, si l'on suppose que les fonctions ç, /, f, très petites lorsque la température a une valeur suffisamment élevée, augmentent et prennent des valeurs très notables lorsque la température s'abaisse à un certain degré.

Un corps dont chaque élément est supposé dans un état entièrement défini par la connaissance de la densité p et de la température Test un corps isotrope par définition ; donc, un fluide proprement dit et anisotrope serait un non-sens. Il n'en est pas de même pour un corps vitreux très aisément déformable; ce corps est forcément isotrope dans l'état initial; mais, lorsqu'il a été déformé, il n'est plus forcément isotrope; il peut agir sur la lumière comme un corps doué d'une faible biréfringence. Or, les recherches de Maxwell et d'une foule d'autres expérimentateurs ont mis cette vérité hors de contestation : Lorsqu'un liquide, même très peu visqueux, est en mouvement, il est biréfringent. La biréfringence des liquides en mouvement s'accorde donc avec les théories développées au présent Chapitre.

Nous venons de montrer comment l'état liquide pouvait être regardé

RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. 2i3

comme l'état limite d'un milieu solide, vitreux, très aisément déformable. De la même manière, en prenant pour point de départ un milieu cristallin, dont l'état initial est homogène, mais non isotrope, nous pourrions traiter du milieu cristallin très aisément déformable; nous serions ainsi conduits, par une voie théorique, à la notion de cristaux fluides, à laquelle M. Lehmann a été conduit expérimentalement. Cette notion de cristaux fluides apparaît, au contraire, comme un non-sens au point de vue de la théorie rigoureuse du fluide, où chaque élément, entièrement défini par sa température et sa densité, est toujours et essentiellement isotrope.