III
[(.-V-, a + g-, p -t- ii, y) -V, + (.\:, « -t- J, a + 3b, y ) -V,]
+ ^ [(■v»«+2T3|3 + i,y)"'^,+(->:M«+?r,(3-t-ab,y).v,]
[(A:,a + iri(3-t-i-,y)->^.-H(^X.,a-f-.7,(3 +2.,y)-'V.,] = o, — (A;,«4-3',j3-l-i,y)?ri+... =0, ^(.\:,«-+-iT,p-l-t-,y)5fc,+... =0.
Multiplions respectivement ces égalités par -X-,, fj",, 3b, et ajoutons membre à membre les résultats obtenus; nous trouvons la première
igS p. DUUEM.
des égalités
Les deux dernières s'obtiennent d'une manière analogue. Multiplions respectivement les égalités (112) par
— K .^(A:,^ + g-jÇ -f 5b,ae)
et ajoutons membre à membre les résultats obtenus, en tenant compte des égalités (109); nous trouvons l'égalité
Mais la fonction f est homogène et du second degré en ï,, ïj» ^3» fli» fia» 03 ; l'égalité (i i3) équivaut donc à l'égalité
(ii4) ^=:o.
La forme S est une forme définie positive en A',, A^, Ai, F^jT^, ri; partant, la forme f est une forme définie positive enî>,, î>2»î>s,fl,, fla» fis et l'égalité (i i4) équivaut aux égalités
(Il5) î»i=0, î», :=0, ^3=0, 9, =0, 0, = 0, 03 = o.
Ces égalités (i i5) nous permettent évidemment d'écrire
2b, (-X, a 4- .y, (3 4- 5b,y) -h ^jC A:,a + .J,p -f- 2b,y) -h «^(-Vaa -+- .TsP -h ^,y) = o.
Dans cette égalité, remplaçons î>,, flg, fl^ par leurs valeurs tirées des égalités (109); en observant que
RECHERCHES SUR l'ÊLASTICITÉ. I99
nous trouvons l'égalité
(116)— Kaï>(cX.,^-Hr7l{f'-H^l^)
~KX(.'v.,aH-.7i(3-+-i^iy)[ G\-,«-h3'iP-+-2^iy)(^'>^-i^-*-?riff-f-i-i^)
-^(A;,a-4-ir,(3+t-,y)(A:,e^-h?r,g-4-t^,:îe)
Selon les égalités (109), la quantité enlre crochets peut s'écrire
et elle est nulle par les égalités (ii5). En tenant compte de l'inégalité (i 16), nous trouvons la première des égalités
Les doux autres s'obtiennent d'une manière analogue. Multiplions respectivement ces égalités (117) par .v, , 5'< , Sfc, en observant que
-v^î -h g-? -h ^î =1, .X, -X, -+- iTi -7î -+■ ^i '^t = o, a;, a;, 4- jTi 73 + 5^1 ^^3 = 0,
et nous trouvons la première des égalités (118) ^' = 0, (J = o, X = o.
Les deux autres s'établissent d'une manière analogue.
Ces résultats, rapprochés de l'inégalité (loG) et des indications générales données en la seconde Partie, Chapitre II, § 1 et 2, conduisent au théorème suivant :
Au sein d'un milieu vitreux, doué de viscosité, une onde du premier ordre par rapport aux composantes w, ç^, iv de la vitesse ne peut se propager; les seules ondes de cet ordre qui puissent persister dans un tel milieu séparent constamment les deux mêmes portions du milieu ; elles sont alors surfaces de discontinuité pour la densité p et pour les six quantités N/, T/; si le milieu est mauvais conducteur de la chaleur, elles sont également surfaces de discontinuité pour la température T.
200 P. DUIIEM*
IL — Des ondes du second ordre par rapport aux composantes de la vitesse dans les milieux vitreux doués de viscosité.
Admettons que nous ayons encore rinégalité (io6).
L'onde, du second ordre par rapport k w, i^, «^, sera, selon ce que nous avons vu {Recherches sur rÉlasticilé, 2* Partie, Chap. II, § 1 et 2), du troisième ordre par rapport à ^, yj, 2^, du second ordre par rapport à p, et au moins du second ordre par rapport à T. Selon les égalités (62) de la première Partie, elle sera du second ordre par rapport aux six quantités N/, T,. Les équations (82) de la première Partie exigeront alors que Ton ait, en tout point de la surface S,
Formons explicitement ces égalités.
En chaque point de la surface £ il existe un vecteur ^, ç, je tel que
/* Ida^ôt], ~~ Ini ldaôbdt\,
Nous avons
dl>\db\da db\ôb^ db\ de dx da Ojc db ôx de ôx
et, en vertu des égalités (24) de la première Partie,
pD;i'^ (ôay V d'S Y /dby [à^Y (dey \ O'I V \dx ]^ \dx) lda^Oùj,'^\dx) \ôO'ât],'^\dx) lôc^ât],
db âcV â'^ y ôc da[ d^l Y ôa db\ d^l l*
dx dx\^dbdcdt\i dx dx\dedadt\^ dx dx\dadbdt\x
nEClIERCnES SUR L ELASTICITE.
En vertu des égalités (i) et (120) cette égalité devient la première des égalités
âCi' "I*
[|j^||:=Kv.r^«?(?5e + yg),
[^i||=K*;)l,«y((3:ïe + y(J),
Les autres s'établissent d'une manière analogue. Les égalités (3'i) de la première Partie donnent
Posons
(isS)
fl, = («.v,+ ^.5-, + y5fc.) (A;,.f + ir,(,' -f- 3b,5e), 0, = («A,:,+ (3 J,+ yi',) (-X, j + J.g + 5fc.3e),
6, = («-\:. + (3.5-.+ y3fc,) ( a:,^ -t- j,(,' + 3i,3e)
é,= (a.\:,+ p.7,+ yi-,)(.V.,ef+.7,ff+3b,3e) + («.-V., 4- p.T, + yi-, ) (.\:,^" -f- ,T, ff -H li.ae),
6, = («.X-,+ (3J,+ ySi.) (.\:,^ + 5-,(j' + 5fc,5e) + (a.X.,+ (3,7, + yï.,)(A.,.f + 7.g + 5fc.3e).
Les égalités (122) deviendront, en vertu des égalités (121),
1 [§];—».. [fi^-'-p'.. [f];=--^»..
Or, en vertu des égalités (77) de la première Partie, la première des égalités (119) devient
ai',»
eV?/
"vy
-Tj
L^/ Il
[fj;
[§i>'>[§i; ff]>4f-]; [ië];-'[f]:
elc.
•V-, \ + etc.
etc.
If]!)-
elc.
Dans cette égalité, chaque signe etc. remplace deux termes qui se déduisent du terme explicitement écrit avant ce signe en permutant
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. 2o3
les indices i, 2, 3. L*indice 1 est un quelconque des indices i, 2, A. Les indicesy, /, y" sont les indices 1, 2, 3, pris dans un ordre quelconque.
Les égalités (124) et (i2.5) donnent, après suppression du facteur K^DZ^ qui, en vertu de l'inégalité (106), diffère de o, la première égalité
-j^ (ocX, -f- (3.J, -h y3b, ) .XjlD, 4- etc.
'^dVW [(«^'^-*^?-'^3 + y5t3)^x.,«, + («.\.,-^(3,7,-+-y^2)«'>c.,JD,]-hetc. + ^[(«-^-3 4-(3.7s + yt^s)"\-. + («-\-,+ (3.7«^yt««)->:-3]«i-*-etc.
(^^^)( * ' -f-[(a.\:,-hP7,-f-yt^,)A;,-l-(a.V.,-+-(35',-^yt-,)"'^3]«,!-^elc.
j^(aA:iH-(3ir,-hyX>,)-7i«i-H =0,
Les deux autres se tirent d'une manière analogue des deux dernières égalités (119).
Multiplions respectivement ces égalités (126) par ^, (j*, je et ajoutons-les membre à membre en tenant compte des égalités (i23); nous trouvons Tégalité
où (2) représente un carré symbolique.
Mais la fonction dissipative S est une forme quadratique en A',, Ai, Ai, r',, r'a, Tg; ses dérivées partielles du second ordre par rapport à ces six variables sont donc indépendantes de ces variables. Dés lors, si Ton désigne par f ce que devient la forme S lorsque aux va-
2o4 P. DUHRM.
riables
on substitue les variables
^1, Oj, O3, *i, *î» ^i, on aura
d*i (^»f d^s dH
c?a; âi'j ~ ô^^ôJi^j ' dT[ â^J ~ âéiâï^j ' or^ ôr) " dé,âtj '
et régalilé (127) deviendra
/ ai ^ ai ^ â( ^ ai ^ ai ^ ai ^ \<»)
OU bien, en vertu du théorème d'Euler,
Mais la forme S est une forme définie positive en A',, Aj, A,, F',, r'2, F3; la forme f est donc une forme définie positive en JP,, JUj, Jl,, ®n®2»®»i et l'égalité précédente entraîne les égalités
(128) *>,=:o, 15, = 0, lï, = 0, *i = o, 61 = 0, 6, = o. Ces égalités (128) permettent d'écrire l'égalité
En vertu de l'égalité (i23) et de l'égalité
l'égalité précédente devient
+ (a-v.,-H p.Ji-*- y35),) [(«.x.| + (3.5, + y3b,) (A:,.f + .7,(;h- t^,je)
+ (aa:3-+- (33-3 + yt-,) (-Xa-f -4-?r3ff-H i^s^C)] = 0.
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. 2o5
Mais la quantité entre [ ], égale à (Wi-^1^2 + ^i) ^^ vertu des égalités (i23), est nulle d'après les égalités (128); nous obtenons donc la première des égalités
(129) ' -\;,^-hr7tÇ-H3fc,:fe = o,
Les deux autres égalités (129) se démontrent d'une manière analogue.
Ces égalités (129) donnent sans peine, en tout point de la surface S,
ef zzz o, ff = o, oe = o.
Donc, au sein d'un milieu vitreux, une onde du second ordre par rapport aux composantes u, r, w de la vitesse ne peut avoir une vitesse de progagaiion X différente de o. Les seules ondes de cet ordre qui puissent subsister en un tel milieu séparent constamment les deux mêmes portions du milieu ; elles sont alors surfaces de discontinuité pour la densité p et pour les quantités N/, T/ ; en outre y si le milieu est mauvais conducteur ^ elles sont surfaces de discontinuité pour la température T.
Ainsi sont étendues aux milieux vitreux doués de viscosité les propositions que nous avions démontrées pour les fluides {Recherches sur l'Hydrodynamique, i*"*" série, i'**' Partie, Chapitre III).
De plus, pour démontrer ces propositions, nous ne nous sommes nullement servi des symétries particulières qui caractérisent les milieux vitreux; par exemple, en ce qui concerne les actions de viscosité, nous avons supposé seulement que la fonction dissipative S était une forme quadratique définie de A,, A^, A3, F',, T^, F,, ce qui est également vrai pour les milieux vitreux et pour les milieux cristallisés. Nous pouvons donc affirmer qu'aw sein d'un milieu affecté de viscosité, qu il soit fluide ou solide, vitreux ou cristallisé, aucune onde ne peut se propager. Toute onde persistante sépare indéfiniment les deux mêmes parties du milieu. Si une telle onde est d'ordre n par rapport aux composantes u, V, w de la vitesse, elle est d'ordre (/i — i) par rapport à la densité p et aux quantités N/, T,. Par rapport à la température T, elle est d'ordre n ou d'ordre (/i — 1), selon que le milieu est conducteur de la chaleur ou qu'il est privé de conductibilité.
2oG
p. DUHEM.
III. — Intersection d'une onde-cloison et de la [surface libre du milieu (*).
Dans les milieux fluides ou élastiques, qui sont doués de viscosité, nous avons montré que les seules ondes possibles sont des ondes qui séparent constamment les deux mêmes masses fluides; à ces ondes, nous donnerons le nom A' ondes-cloisons parce que, semblables à des cloisons étanches, elles partagent la masse fluide en cellules telles qu'aucun échange de matière ne se produise d'une cellule à l'autre.
Nous allons, au présent paragraphe, porter notre attention sur celles de ces ondes qui sont du premier ordre par rapport aux composantes w, r, w de la vitesse, c'est-à-dire sur celles qui ont été étudiées au paragraphe I ; nous allons mettre en évidence une importante propriété de la ligne suivant laquelle une telle onde coupe la surface libre qui termine le milieu.
Au moyen des six quantités
NxH-Vo:, Njr-hV^., Ns-i-V-, T;r4-Tj:, Ty^-Ty, T- -h T-,
formons l'équation
(l3o) (Na:H-V;r)X*4.(N,-+-Vy)Y«4-(N^-+-V,)Z«
-4- 2(T^-h T^)YZ -f- 2(Ty-h T^)ZX -h 2(T.-+-T^)XY = I,
qui représente, en chaque point du milieu et à chaque instant, la quadrique des pressions.
En général, la forme et l'orientation de la quadrique des pressions varient d'une manière continue d'un point à l'autre du milieu ; mais cette forme et cette orientation varient d'une façon brusque si l'on vient à traverser une onde-cloison qui soit du premier ordre par rapport aux composantes //, i^, w de la vitesse.
Soit M un point pris sur une onde-cloison; la quadrique des pressions tend vers deux formes limites distinctes Q,, Qa, selon que l'on s'approche du point M en demeurant du côté 1 de l'onde ou du côté 2. Entre ces deux formes limites, existe une relation. En efl*et,
(*) Sur les ondeS'cl oisons {Comptes rendus), t. CXXXVII, p. 2.37, Séance du a7 juillet Ï903).
au point M, on doit avoir les égalités
( (Ty-f-T^a-f-(T;,4-r^),(34-(N,4-v,),y=:(lV + T^),a-v(T;,4-T^),(34-(N.4-v,),y,
égalités qui sont le fondement des raisonnements développés au paragraphe I.
Ces égalités signifient que le plan diamétral conjugué à la direcdon (a, p, y) de la normale à Vonde a même orientation dans les deux quadriques limites Q, , Qa.
La normale à Tonde ne coïncide, en général, avec un des axes principaux ni pour la quadrique Q,, ni pour la quadrique Qa; d'ailleurs, si elle était axe principal de Tune de ces quadriques, elle serait forcément, en vertu du théorème précédent, axe principal de l'autre.
Imaginons que la surface libre du milieu supporte une pression normale H; la normale à cette surface, dirigée vers l'intérieur du milieu, fait avec les axes de coordonnées des angles dont les cosinus seront désignés par X, (jl, v. Nous aurons alors, en tout point de la surface libre,
r (N;c-+-v^-n)X-4-(T,-^T,)fx-h(T^-HT^)v = o,
De ces égalités on peut tirer, entre autres conséquences, la proposition suivante :
En chaque point de la surface libre, la normale à cette surface trace l'un des axtes principaux de la quadrique des pressions qui se rapporte à ce point.
Considérons maintenant la ligne L, intersection de la surface libre par une onde-cloison ; de part et d'autre de V onde-cloison, la quadrique des pressions n'a pas, en général, ses axes principaux orientés de la même manière; la normale à la surface libre subira donc, en général, un changement brusque d'orientation à la traversée de la ligne L; d'où la proposition suivante :
2o8 p. DUHEM.
L intersection d'une onde-cloison du premier ordre par rapport à la vitesse et de la surface libre qui limite le milieu est une arête de cette dernière surface.
Cette arête peut, d* ailleurs y se dessiner en saillie ou en creux.
Nous avons déjà signalé (*) l'analogie A^s ondes-cloisons (\u\ peuvent se former au sein des fluides visqueux avec la division en cellules que M. H. Bénard (^) a observée au sein de liquides inégalement échauffes; cette analogie est complétée par le théorème précédent; en même temps, nous venons de reconnaître qu'une telle division en cellules peut se produire au sein de tous les milieux affectés de viscosité, qu'ils soient fluides ou solides, vitreux ou cristallisés; et, en effet, des phénomènes analogues à ceux queM. H. Bénard a étudiés ont été observés par M. J. Cartaud (') dans les milieux visqueux les plus divers.
On remarquera que les propositions développées en ce Chapitre et dans le Chapitre précédent permettraient de reprendre, au sujet des milieux élastiques, tout ce que nous avons dit de la propagation des quasi-ondes au sein des fluides (*).
