II

(i -+- 26, ) X -H yji»l> 4- y.3 = Sx, y,.l.-h(i-+-2e,)\il) -hy,cî = 8iJÎ>,

yt«^ + yi'^î> -+- (i + 263) a = sa,

Aux trois racines S,, S^, S, de Téquation (10) correspondent trois systèmes de valeurs de a, x, iib, 8 (pourvu que nous ne regardions pas comme distincts deux sytèmes de cosinus qui définissent une même droite), systèmes que nous désignerons par

(Jl9 X|, lft>|, C,,

(Xt, X,, i»î>t, ^1,

<yj, A.,, uJ»„ a,.

Considérons le demi-axe de longueur <j et de cosinus directeurs x, ub, a; il correspond à un rayon de la sphère S, rayon qui a pour longueur i et pour cosinus directeurs .x, ?T, 3b. Selon les égalités (3 bis), D. 2

p. DUHEM.

Dans les égalités (3 bis), regardons a, b, c et Xy y, z conime des constantes ; a', b\ c' et œ\y\ z' comme des variables ; ces équations déflnissent une transformation homographiquc d'un espace (x'(^'» *'» ^') ^^ un autre espace M'(^',y, z'), transformation qui fait correspondre le point M (a?, j, 5) au point (x (a, 6, c). Cette transformation représente la partie principale du déplacement et de la déformation que subit une masse infiniment petite à laquelle appartient le point matériel placé successivement en (x et en M.

Étudions d'une manière générale cette transformation.

Considérons, dans l'espace des {oc\y\ 5'), la sphère S de centre M et de rayon 1 et cherchons de quelle surface elle est la transformée.

Pour que le point M'(a?', y\ z') se trouve sur cette sphère, il faut et il suffît que l'on ait

{x^-xy-\-{y - yy^{z^ - z)~u

Pour cela, selon les égalités (3 bis), il faut et il suffît que ce point M' corresponde à un point [x' dont les coordonnées a\ b\ c* vérifient l'équation

Cette équation exprime que le point \i!{a\b\c') a pour lieu un certain ellipsoïde E ayant pour centre le point (Ji(a, 6, c). L'équation de cet ellipsoïde E, développée, s'écrit

en désignant par e, , £2, £3» Yi . Ya» Ya ^^^ ^^^ fonctions suivantes de a,byc:

RECHERCUES SUR L^ËLASTICITÉ. 9

Les deux autres se démontrent d'une manière analogue. On voit que les trou axes de VeUipsoîde E correspondent à trois diamètres rectangulaires de la sphère S.

(x' étant un point quelconque de l'espace (a', b\ c'), projetons la longueur \l]l' sur les trois demi-axes rectangulaires de l'ellipsoïde E; soient Â,, Â2, A, les trois projections; nous aurons

I Ai = X,(a'-a)-MJl,|(^'— 6)-+-e|(c'— c),

(16) I A,= cl.,(a'— a)-hill>,(^^'— ^^)-+-e,(c'— c),

( A,=:X,(a'— a)4-Ul8(6'-^^)-i-S8(c'-c).

Au point |x' correspond, dans l'espace des {oc\ y\ s'), un pointM'; projetons le segment MM' sur les trois diamètres rectangulaires de la sphère S qui correspondent aux trois axes de l'ellipsoïde E; soient X|, Xa, X3, les trois projections. Nous aurons

X, = .X..(x'-^)4-J,(/-/) + i-,(;;'-c), X,= .X,(a:'-^)4-?Ti(/-/)4-t^,(5'-5), X,= .X,(^'-a:)4-2r,(/-j) H- 2:^,(5'-^).

En vertu deségalités(36û)et(i4)» la première de ces égalités devient

ou bien, en vertu des égalités (8),

X, = «J,t [(H-ae,)Jl.,+ y,ilî..+ y,£?,](a'-a) + [/.«"-iH- (I + ae,)!'!., -H y.e,] {b'- b) + [y,X, + y,i(î.,-l- (1 + a6,)S,] (c' - c)|

OU enfin, en vertu des égalités (9) et (i i), la première des égalités X.= -[*l.,(a'-o) + KS.,(ft'-*) + S,(c'-c)], X,= -[X,(a'-a) + T)5.,(6'-*)-He,(c'-c)], X,= - [Jl,(a'- a) + itS,,(6'- b) 4- S,(c'- c)].

10 p. DUHEM.

Les deux autres se démontrent d*une manière analogue. En comparant ces égalités aux égalités (iG), nous trouvons

Donc f pour passer de Vespdct des (a\ b\ &)à l'espace des (x\y\ 5'), il est nécessaire et suffisant :

i*^ De donner au premier espace un dépUicement d'ensemble qui vient appliquer les axes de l'ellipsoïde E sur les trois diamètres rectangulaires de la sphère S qui sont les transformées de ces axes;

2® De réduire respectivement dans les rapports — 9 —y — les coordonnées

de chaque point rapportées à ce trièdre trirectangle.

Revenons maintenant à la transformation la plus générale d'un milieu continu. A chaque point matériel occupant la position [x (a, b, c) dans l'état initial et la position M (x^ y^ z) dans l'état déformé, on peut faire correspondre une déformation homographique analogue à celle que nous venons d'étudier. Si l'on néglige les infiniment petits d'ordre supérieur au premier, cette déformation coïncide avec la déformation réelle qui se produit au sein d'une masse infiniment petite comprenant le point matériel considéré.

A cette masse est lié invariablement un certain trièdre trirectangle qui, dans l'état initial, coïncide avec les axes de l'ellipsoïde E relatif au point matériel considéré, et qui, dans l'état déformé, coïncide avec les trois diamètres de la sphère S, relative au même point, en lesquels se transforment les axes de l'ellipsoïde E. Ce trièdre est le trièdre des axes de dilatation relatifs au point matériel considéré.

L'étude complète de la déformation au voisinage d'un point matériel donné est achevée lorsque l'on connaît les valeurs des vingt et une quantités (i3) et (1 5). Celles-ci, à leur tour, par les équations (8), (9), (10), (i i), (12) et (i4)f dépendent des valeurs prises au point {jL(a, 6, c)par

db'

Ta'

dn Te'

de'

II peut arriver qu'une grandeur dépende seulement de la déformation proprement dite et nullement de Torientation des axes de dilatation, soit au sein du milieu initial, soit au sein du milieu déformé. Cette grandeur sera alors une fonction symétrique de Œi, Œj, œ,. En vertu de l'égalité (9), il revient au même de dire qu'elle est fonction symétrique des racines de l'équation (10) ou qu'elle est fonction rationnelle des coefficients de S\ S^ S, S® dans cette équation. Développée, cette équation devient

(18) S»-(3 4-2Ji)S*-h(3-4-4Ji-+-J,)S-(l4-2Ji+J,-4-2j8) = 0,

en posant

Ji= 4 (£t£i + e,e, -h £16,) - (y* + yî + yî ), Jj=4eiÊiej — fiiyî — €,yî--e,y;-+-y,y,y,.

Donc, toute grandeur qui dépend uniquement de la déformation par laquelle on passe de l'état initial à l'état déformé, et nullement de l'orientation des axes de dilatation soit au sein du milieu initial, soit au sein du milieu déformé, est une fonction des trois seules grandeurs J|, J29 Js-

La signification mécanique du déterminant (D nous enseigne qu'il se trouve précisément dans ce cas; ce doit donc être une fonction des seules quantités J|, J2, J,; en effet, si l'on part de l'expression de (D donnée par l'égalité (4 àis) et si l'on en forme le carré en tenant compte des égalités (8), on trouve

-l-ae,

H-ae,

i-Hae,

= I-+- 2Ji4-Jf-h2j,.

Cette expression peut se trouver d'une autre manière.

Prenons, dans Tétat initial, un parallélépipède rectangle infiniment petit dont [X[x' soit la diagonale et dont les arêtes, dirigées suivant les axes de dilatation, soient A|, A,, A,; son volume est A| A^A, et sa masse PoA| A^A,, po étant la densité au point [x dans l'état initial.

Dans Tétat déformé, ce volume devient un nouveau parallélépipède rectangle, dont la diagonale est MM', et dont les arêtes, dirigées suivant les axes de dilatation, sont X,, Xj, X3; son volume est XjXjX, et sa masse pXjXjX,, p étant la densité au point M dans l'état déformé.

La masse se conservant dans la déformation, on a

pX,X,Xj=poAiA,A, ou, selon les égalités (17),

p = poa,a,(j,. •

En vertu des égalités (9), cette égalité devient

p*s,s,s,=p; ou bien, en vertu de l'égalité (18),

(21) p*(H-2jj-+-J,4-2j3) = pî.

Mais, d'autre part, on a l'égalité bien connue

(22) pCÎ)=po.

Ces égalités (21) et (22) redonnent l'égalité (20).

II. — Variation infiniment petite d'une déformation finie (').

Imaginons qu'à partir d'un état déjà déformé quelconque, nous imposions au système une modification, réelle ou virtuelle, infiniment petite. Nous aurons, en cette modification.

Supposons les quantités S^, Sy], §2^ données en fonctions de a, 6, c.

(») p. DuuBM, Sur quelques formules de cinématique, utiles dans la théorie générale de l'élasticité {Comptes rendus, t. CXXXVI, 19 janvier 1908, p. 139).

RECHERCHES SUR l'éLASTICITÉ. i3

Les égalités (8) nous donneront

* \ daj pa da da da da

(23) { d^ d^ ^^.^£^ ^y'— àc '^ db "^ db de "^ de db

&n dèri

du dàti

^ dK dSK

^ dK dèK

db de

'^ de

'^ db de

"^de db

les points remplaçant quatre égalités qui se tirent dos deux premières en permutant les lettres a, b, c.

La modification considérée peut être regardée comme un déplacement infiniment petit imposé au système déjà déplacé et déformé; selon la méthode de Gauchy, ce déplacement infiniment petit est défini, en chaque point, par trois translations, qui sontS^, £y], 8^, trois

rotations -w,, iw,,- w,, trois dilatations D,, Da, D3 et trois glissements G,, G2, G3.

Si Ton suppose les grandeurs S^, Sy), SÇ exprimées en fonctions de a?, y, 5, on a

Mais on a neuf égalités que l'on peut tirer de celle-ci :

dSl__dSlda^dèldb ddj, de dx da dx db dx de dx

en permutant entre elles les lettres a?, y, z d'une part et les lettres ?, Y], Ç d'autre part; puis les égalités (5) donnent

^— dz '

- dix ^din

dy dz

dz dx

2G,= ^fVf

dx dy

dàX di-n '''= dy dz'

dil dSÇ '"'- dz dx'

ddn dSi, dx dy

• ixy,-)

da I 'D{z,x)

da I h{x,y)

dx ~

~(DD(ft,c)'

dy~ (S) li{b,c)'

dz (0 D(b,c) '

db I D(s,a;)

db I \S(x,y)

dx-

dy~ (S> D(c,a)'

dz — iS) D(c,a)'

de 1 ïi{z,x)

de I D(ar, 7)

dx ~

"(Dl)(a,6)'

dy — CD D(a,*)'

da (D D(a,ft)

Dans l'état déformé, ce volume devient un nouveau parallélépipède rectangle, dont la diagonale est MM', et dont les arêtes, dirigées suivant les axes de dilatation, sont X,, X^, X,; son volume est X^X^X, et sa masse pX|X2X,,p étant la densité au point M dans l'état déformé.

La masse se conservant dans la déformation, on a

p XiX,X,= PoA, A,A, ou, selon les égalités (17),

P^po^iO'id,. •

En vertu des égalités (9), cette égalité devient ou bien, en vertu de l'égalité (18),

(21) p«(H-2jj-+-J,4-2j,) = pî.

Mais, d'autre part, on a l'égalité bien connue

(22) pCD=po.

Ces égalités (21) et (22) redonnent l'égalité (20).

II. — Variation infiniment petite d*une déformation finie (*).

Imaginons qu'à partir d'un état déjà déformé quelconque, nous imposions au système une modification, réelle ou virtuelle, infiniment petite. Nous aurons, en cette modification,

Supposons les quantités SÇ, £y], Bl^ données en fonctions de a, 6, c.

(») p. DuiiBM, Sur quelques formules de ci/iématique, utiles dans la Ûtéorie générale de l'élasticité {Comptes rendus, t. CXXXVI, 19 janvier 1908, p. 139).

port à X, j, 5, et nous trouverons

fàxy,^ /dY\K^ fdzy^ dy dz ^ dz dx ^ , dx dy ^

s. (àxy^ {àyVr^ (àzV,. dv dz „ ds dx „ dx dy ^^

i ^àx\* fdrW . fàsy,. , dYàz„ , Os dx ^ ^ ^dx dy ^

dx àx .. dy dy ,. dz dz ,.

, /dy dz ^dy dz\ (dz dx ^dz dx\ (dx dy ^ dx dy\ „

■^\àbTc-^dcTbr-^\Tb-àE-^TcTbn-^''\MTc^TcTbn'

. âx dx^ dy dy .. dz dz ^

^y^=^d^d^^^-^''i-£^^-^^Tc-d-R^'

[dy dz dy dz\^ (dz dx dz dx\^ (dx dv dx dr\ ^

^ dx dx -. dy dy ,. dz dz ^

^•^^-"'^■db^'^''dadb^^-^''diTc^*

(dy dz dy dz\^ (dz dx dz dx\^ (dx dy dx dy\r,

^''XdiTb'^Tb Tan-^Aà^ Tb-^db d^n-^^d^ Tb^ib d^n-

Moyennant les égalités (2), on peut, si Ton veut, dans ces égalités (3o), substituer les dérivées partielles des quantités Ç, yj, ^ aux dérivées partielles des quantités x, y, z.

Aux axes rectangulaires considérés, substituons un nouveau système de coordonnées rectangulaires x\ y\ z\ Désignons le cosinus de l'angle formé par un axe ancien, Taxe des a?, par exemple, et un ) axe nouveau, l'axe des x\ par exemple, au moyen du symbole (x,x'). Au moyen de D,, D^, D,, G,, G^, G3, formons les expressions des trois dilatations D',, D^, D, et des trois glissements G',, G^, G', rapportés aux nouveaux axes.

Les composantes du déplacement virtuel suivant les nouveaux axes sont

il' = {x,x')èl-^(y,x')i^^(z,x')iK.

av=(^,/)ô5 + (y,/)ar,4-(5,/)aç, '

ÔÇ'=(^, z')il-\-{y, z')in + (z, 5')«.

l3 p. DUIIEM.

Les égalités (24), (sS) et (26) donnent

*""(£)[ J)(^c) da "^D(c,a) c^^ "*"D(flr, 6) de J' »

*"~(D[ \)(b,c) da l)(c,a) d^" "*"D(a,6) de

(28) j D(^,y)d3t) D(a?,y)dar) D(j7,y) dat)1

' "^ D(^c) da "^ l)(c,a) d^ "^ D(a,6) de J'

l "*""cDL D(b,c) ôa "*"D(c,flr) d6 '^ \){a,b) de

(29) J n(.r,.r) ditï D(ar,/) d3Y) D(ar,y) day) ]

j l^{b,c) da y^{c,a) db D(a, ^) de J'

Dans chacun de ces trois groupes, les points remplacent deux égalités qui se déduisent de la première en permutant entre elles d*une J part les lettres $, yj, X,, d'autre part les lettres x, y, z.

Des formules ( 29) on tire sans peine celles dont Cauchy a fait usage i pour établir, en Hydrodynamique, le théorème de Lagrange et la con-

servation du mouvement tourbillonnaire.

Les six quantités Se,, Ssj, Se,, Syi, Sy2» ^Ys s'expriment sans peine en fonctions linéaires et homogènes de D,, D^, D,, G|, G^, G,. i Les égalités (2) et (23) donnent

* da de da da da da

, dxdSi dxdS^ dydSv dyd^ dz d8^ dz diÇ ^^* " db de "^ de db '^ db de '^ de db "^ db de '^ de db'

Développons les dérivées partielles de S^, Sy), S^ par rapport à a, 6, c en fonctions des dérivées partielles des mêmes quantités par rap-

petite imposée au milieu déjà déformé, seront

A,=: DrX« -i- 0,5-5 -+- D,^5 4- 2G,.7,2b,4- 2G,3b,.X,4- aGi.X.jg-,.

A,r= DpX» 4- D^g** -+- D,tî -4- 2G,.7j2:3-h 2G,2:^,-x,-h îG.-x.g',, r,-.x,-x,i),-i-g',.!rin,-hi,3bjD,

Les six quantités A,, A^, A3, T,, Tj, F, sont des fonctions déterminées de a, 6, c (ou de x, y, z) lorsque Ton connaît, en fonctions des mêmes variables, les six quantités Ç, y;, ÎJ, ô^, Sy], S^. Nous aurons souvent, par la suite, a considérer les six fonctions (33).

On peut se proposer de rechercher quelle variation subissent, au cours de la modification virtuelle considérée, les quantités œ,, Œj, 0-3 et comment se modifient les axes de dilatation soit au sein du milieu initial, soit au sein du milieu déformé.

Les égalités (19) donnent, en premier lieu,

ÔJ,= 4(£,-H £,) 3ei-i- 4(es-H e, ) Ô£,-f- 4(ei -h £,) iz^— 27» 071 - 2-/, dy,— 27,^7,, dj,= (4£,£3- yî ) 5c-i -4- (4£,Êi - yî ) 3s, 4- (4ei£t- yî ) 5s,

-4- (yj/j— 2£iy,) dyi4- (yayi — 2£fyf)5y,-f. (y,y,- 2£,y,) 3y,. L'égalité (18) donne alors

(35) [3S«~(6H-4Ji)S4-(3-i-4J|-hJ,)]dS

=:2(S-i)MJ,-(S-i)aj,4-2ÔJ,.

Si, dans cette égalité, on remplace oJ,, Sj^, SJ3 par leurs expressions (34) et si, ensuite, on substitue à S soit S,, soit S^, soit S3, on obtient les expressions de SS,, SS^, SS3 en fonctions linéaires et homogènes de Se,, §£2, Se,, Sy,, §72» ^Y»-

iC p. DUIIEM.

D'ailleurs, nous avons

"'- dx' -^'''''>da:'^^^''^>dx' ^''•'''^'dx' — {^x,x) ^^ +(y,x) ^^ -^(.,x)-jj,

Ces égalités, jointes aux égalités (24), donnent la première égalité

Y>\ = ix,x'YD,+ {y,x'YD,+ {z,x'Y\i^

+ ^(y, x') {s, x')Gt + 2{3, x') {x, x')Gt+2{x, x') {y, x')G»,

+ 2(:K, •=')(=.-')«, +2(s,-')(ar,5')(;, 4-2(a-,c')0-,5')G,.

Les deux autres se démontrent d'une manière analogue. Une démonstration semblable à la précédente nous donnera les formules

+ >[(=./)(7, «') + (/»/)(-, -')]G. + 2[(x,/)(5,5') + (a,/)(x,3')]G, |3a) J +2[0,/)(a-,3') + (x,y)(jK,5')]G,

aG; =

Les expressions de G'^ et de G', se tirent de l'expression de G', en permutant entre elles les lettres x', y', s'.

Supposons, en particulier, que les nouveaux axes soient les axes de dilatation relatifs au point M du milieu déformé (ce, y, z); rapportés à ces axes, les trois dilatations infiniment petites et les trois glissements infiniment petits qui correspondent à la variation infiniment

RECHERCnES SUR L ÉLASTICITÉ.

en la première des égalités

(j V ^ dx

^'=^-'fê^-'-(-5l)«*^^^

ày

(T \da ob Oc J

<T \ dx

Au second membre de chacune de ces égalités, les deux premiers termes sont des fonctions linéaires et homogènes de Se^, Se^, Se,, Syn Sya, SYs, mais il n'en est pas de même du troisième terme, qui ne se laisse point écrire sous cette forme.