I. — Du potentiel interne d*un corps vitreux

Considérons un système continu et divisons-le en masses infiniment petites; soient dm, <//n' deux quelconques de ces masses. Le potentiel S de ce système peut toujours se mettre (•) sous la forme

^= Ç<bdin-\- i r Cwdmdm',

(' ) Zc potentiel thermod/nomique et la pression hydrostatique ( Annales de l'École Normale supérieure, 3* série, t. X, iSgS, p. i83).

chacune des intégrations s'étendant h la masse entière du systènrie et les grandeurs $ et ^ dépendant d'éléments variables qui ont été énumérés dans notre Mémoire Sur le potentiel thermodynamique et la pression hydrostatique.

Nous allons particulariser de la manière suivante la nature des systèmes que nous allons étudier.

Nous supposerons que Ton puisse toujours concevoir, pour chacun des milieux continus que nous aurons a considérer, un état où il serait homogène, où il aurait en tout point la même densité et où il serait isotrope; nous prendrons cet état pour état initial. Nous supposerons, en second lieu, que l'état d'une masse élémentaire dans un état déformé quelconque dépende de sa température absolue T et des trois grandeurs a^, cia, o-,, comptées à partir de l'état initial, mais point de l'orientation des axes de dilatation en l'état déformé.

Quand un milieu remplira ces conditions, nous dirons que c'est un milieu vitreux; un milieu non vitreux sera dit milieu cristallisé.

En un milieu vitreux, la fonction $, qui est une fonction de l'état de la masse dm, y compris sa température absolue, dépendra de T et des grandeurs a^, o'a.o's relatives à un point de la masse û^aw, sans dépendre de l'orientation des axes de dilatation au sein de la masse ^^/n. Dès lors, selon ce qui a été vu au Chapitre I, § I, elle dépendra de T et des valeurs de J^, J2, J3 en un point de la masse dm :

Quant a la fonction W, elle ne peut pas dépendre des températures T, T' des éléments dm, dm\ mais elle peut dépendre :

I® Des grandeurs a^, (Tj, ^3 relatives à l'élément dm, et cela d'une manière symétrique, partant des valeurs J^, J^, J., relatives a un point de cet élément;

2° Des grandeurs (t\, (j[^, ct, relatives à l'élément dm\ partant des valeurs J',, J'^, Jj relatives a un point de cet élément;

3° De la distance rd'un point de l'élément dm a un point de l'élément dm' ;

4® De l'orientation muluelle des axes de dilatation de l'élément dm et des axes de dilatation de l'élément dm\

Cette orientation est définie par les neuf cosinus dont on obtient les

valeurs en prenant l'expression

et en y remplaçant de toutes les manières possibles l'indice i^ d'une part, et rindicey', d'autre part, par chacun des indices i, 2, 3;

5® De l'orientation de la droite de jonction rdes deux éléments par rapport aux axes de dilatation du premier élément; cette orientation est définie par les trois cosinus

x' — a? -, y' — r^ js' — z^ (r, I) = —j- X, -h :!—^ JTi -h —^ %u

(r, 3) = f^ ex^-f- ^^.7,+ ^ ^,;

6° De l'orientation de la droite de jonction rdes deux éléments par rapport aux axes de dilatation du second élément; cette orientation est définie par les trois cosinus

En résumé, V peut dépendre des variables suivantes : (43)

Ji> Ji> Jj> Jt> Jj> ^Zf

é^-/> cT/> 3b/, ^/,., 5",, 2fi'/,

Un cas très simple est celui oii les actions mutuelles entre éléments du milieu sont newloniennes ; on a alors simplement

(44) W=zW ,.).

chacune des intégrations s'étendant à la masse entière du système et les grandeurs $ et ^ dépendant d'éléments variables qui ont été énumérés dans notre Mémoire Sur le potentiel thermodynamique et la pression hydrostatique.

Nous allons particulariser de la manière suivante la nature des systèmes que nous allons étudier.

Nous supposerons que Ton puisse toujours concevoir, pour chacun des milieux continus que nous aurons à considérer, un état où il serait homogène, où il aurait en tout point la même densité et où il serait isotrope; nous prendrons cet état pour état initial. Nous supposerons, en second lieu, que l'état d'une masse élémentaire dans un état déformé quelconque dépende de sa température absolue T et des trois grandeurs o-^, cia, o-,, comptées à partir de l'état initial, mais point de l'orientation des axes de dilatation en l'état déformé.

Quand un milieu remplira ces conditions, nous dirons que c'est un milieu vitreux; un milieu non vitreux sera dit milieu cristallisé.

En un milieu vitreux, la fonction $, qui est une fonction de l'état de la masse dm, y compris sa température absolue, dépendra de T et des grandeurs a^, 0-2, 0-3 relatives à un point de la masse ^^m, sans dépendre de l'orientation des axes de dilatation au sein de la masse dm. Dès lors, selon ce qui a été vu au Chapitre I, § I, elle dépendra de T et des valeurs de J^, J2» J3 en un point de la masse dm :

Quant à la fonction W, elle ne peut pas dépendre des températures T, T' des éléments dm, dm\ mais elle peut dépendre :

I® Des grandeurs a,, 0*2, (j^ relatives à l'élément dm, et cela d'une manière symétrique, partant des valeurs J,, J2, J3 relatives à un point de cet élément;

2° Des grandeurs <j\, ct!^, o-, relatives h l'élément dm\ partant des valeurs J',, Jj, J, relatives a un point de cet élément;

3° De la distance rd'un point de l'élément dm a un point de l'élément dm' ;

4® De l'orientation mutuelle des axes de dilatation de l'élément dm et des axes de dilatation de l'élément dm\

Cette orientation est définie parles neuf cosinus dont on obtient les

riables (43), se mettre sous la forme

(47) ôiii':=A-4-A'-i-B4-B'+C + C.

Les termes A, B, C sont les suivants :

(48) A=:--ia:^-Sy^-d,= -S^^-dr,^-dr^

(5o) C = ij^jde, 4- ^,de, -+- ^J^aôs, -h Xi^Yi 4- Xf^yi -+- Xa^y»»

^M ^2» ^3t X«» Xa^ X» étant des quantités dont les valeurs dépendent des valeurs prises, à l'instant /, par Ç, y), Ç et leurs neuf dérivées par rapport kx.y, z, en un point (.07,7, z) de l'élément rfm et des valeurs prises au même instant, par les mêmes quantités, en un point x\y\ z' de l'élément dm'.

Les termes A', B', C se tirent respectivement des termes A, B, C en intervertissant les rôles des deux éléments dm et dm\

On voit alors que l'on a

(5i) d f fwdm'dm = 2 f f(A. 4- B -4- C)dm'dm.

Posons

^^'=-fÊ-/'"'' ^^'=-fw/'"'' ^^'^'-fw/"'''

^"=-/^1;'""'' ""-^-Jw/"'- ''"^-fw/'^''

.^"'^-fm-/'"'' ^*'=-f^^/'"'' N./=-/^rf/«'. .

P. DUIIEM.

II. — Variation virtaelle du potentiel interne. Posons, en général,

égalités qui, en vertu des égalités (34) et (42), deviendront, pour un milieu vitreux,

1 = - JT-^^^^-^^î^TT -(4Ê2es-yî);w-'

dJ,

dJt

d<fr

dJ,

Ces six quantités e,, e^,, e^^g,, g^, g^ ont des valeurs déterminées, au point (x,y, z) et à l'instant /, lorsque l'on connaît seulement les valeurs, en ce point et à cet instant, de la température T et des six quantités

£if £î. h, y\t y», 73-

En vertu des égalités (/p)> la variation virtuelle la plus générale, de $ est

d9 (46) — ô* = - ^, ÔT + e, èti H- e, de, 4- e, 5», -4- ^-i ay, + gt 5y, + ^, ay,.

La variation virtuelle la plus générale de '^pcut, en se rappelant ce que nous avons dit au Chapitre I au sujet des variations des va-

RECHERCHES SUR L ÉLVSTICITÉ. 2D

Dans ce cas, en effet, si l'on pose

dW{r)àr

dm'.

dr dy

Tégalité (44) donne simplement

(55) ^8 f Cwdni'dm=^- r{\idl-hYidn'{-Zidi:)dm.