ÉQUIUBRE ET MOUVEMENT DTN MILIEU VITREUX FAIBLEMENT ÉCARTÉ
DE LÉTAT INÏTUL.
I. — Équilibre d*un milieu vitreux faiblement écarté de Tétat initial.
Les considérations développées dans la première Partie de ces Recherches nous montrent de quelle manière on peut logiquement mettre en équations les problèmes relatifs à l'équilibre et au mouvement d'un milieu vitreux. Mais cette mise en équations, fort compliquée d'ailleurs, est plutôt figurée qu'effective. A chaque instant, nous avons fait figurer dans nos équationsdes quantités telles que eXf , c,, a, ou que les-X/, J/, %i\ or, pour obtenir effectivement les expressions de ces quantités en fonctions de $, y], X, et de leurs dérivées par rapport à a, 6, r;, il faudrait au préalable résoudre l'équation (lo) de la première Partie, qui est une équation complète du troisième degré par rapport à la variable S.
C'est donc seulement dans certains cas particuliers où l'on aura, par des hypothèses convenables, grandement simplifié le problème, que l'on pourra parvenir à une mise en équations effective de ce problème.
44 P- DUUEM.
Nous allons aborder, en cette seconde Partie, un cas particulièrement simple que nous définirons de la manière suivante :
I** Les actions, tant intérieures qu'extérieures, sont newtoniennes; 2° Les quantités Ç, y], Ç et leurs dérivées partielles de tous les ordres par rapport à /, a, 6, c sont assez petites, en tout point, pour que Ton puisse, dans les calculs, les traiter comme des infiniment petits du premier ordre- Dans ces conditions, les égalités (8) de la première Partie deviennent
i -àl àn âK
)'*-5^' ''-âb' ''-Te'
f y*- ïï^ "^ W >''- -d^'^ôh' ^^'- db ^ d^'
tandis que l'égalité (4 bis) de la première Partie devient
Les égalités (27) et (28) de la première Partie ou bien encore les égalités (3o) de la même Partie donnent
^■=*^'=-dJ' ^*=^^=-dF' ^'•^"'^^-dc'
, „ dit: dd^
iy,= ^G.= .J^ — .
Dans le développementde la fonction $ suivant les puissances croissantes de £<, 62, £,, Yu Ta' Y»' arrêtons-nous aux termes du second degré par rapport à ces variables. La fonction $, devant dépendre exclusivement de T et de J,, Jj, J,, devra être indépendante de J,, du premier degré en Jj et du second degré en J,, sans contenir le produit J^J^; nous aurons donc
<I^=(po(T)-h(p.(T)J,-+.9,(T)JÎH-9;(T)J»
OU, selon les égalités (19) de la première Partie,
+ 4?; (T)(t,ï,-4- e,«, + £,ï,) — çUT) (yî+ yî + yî). Posant
nous pourrons écrire
(6) p.* = p.9,(T) + p.(p,(T)(£, + s, + ï,) + ÎA(T)(e, + e,- + J M(T) (ae; + aef + at» + y» + yj + yî).
Les égalités (45) de la première Partie deviennent alors
p.e,=:-p.9,(T) — A(T)(e, M- £, + £,) — aM(T)£„ p,e,=-p,?.(T)-A(ï)(£,H-£,-f-e,)-aM(T)£„ p,e,=-p,(p.(T)-A(T)(£,4-£,+ £,)-aM(T)£„ p,5-,=— M(T)y„ p,5', = -M(T)y„ p,5', = -M(T)y,.
Les égalités (61) et (62) de la première Partie donnent sans peine
I Na=:po^„ Nj-— p,e„ N- — p,e„ j Tx=p„A'„ Tv=:poéri, Tî=p„^',
ou bien, on vertu des égalités (7) et (i),
N,=-,.„(T)-.MT)(| + ^-.|)-,M,T,f,, N,-=-p.„«T,-UÏ,(§ + ^' + ^)-,M,T,^', N. = -,.„<T,-A,T,(|*^-.§)-,M,T,«, •r,=-M(T,(g + §), T,=-M(T,(£h-|),
f[6 p. DUHEM.
D*ailleurs, Tégalité générale
da ^ dx da dy da dz da" dx \ da) dr da dz da donne la première des égalités
<?N, dîi:r
Jï, dfT,
dTy dTy
dx ~ da'
dy - db'
dz - de '
ar, di..
dT, ifl.
dx da '
dy ~ db'
dz ~ de '
dx da*
dT^ dT^ dy - db'
dz - de
d^x , dT, 1 dTy da db ' de
— Pa(\i-h\,),
dTz d^y dT, da db de
-po{\'i-h\\),
dTy 1 aï. 1 dT,
da db de
Dès lors, les équations (70) de la première Partie, vérifiées en tout point d'un milieu en équilibre, peuvent s'écrire
Quant aux équations (71) de la première Partie, il est permis de les écrire en donnant aux quantités N/, T,- les valeurs qu'elles prennent non pas en un point de la surface déformée, mais en un point de la surface primitive; on peut également regardera, p, y comme les cosinus directeurs de la normale à la même surface.
Les égalités (8) et (10), jointes aux équations (71) de la première Partie nous donnentalors les équations d'équilibre d'un milieu vitreux très peu écarté de l'état initial, ce dernier n étant pas forcément un état d'équilibre sous l'action de forces nulles. Ces équations sont les équations de Green et de Lamé, complétées comme l'a indiqué M. Poincaré (*).
Nous n'insisterons pas sur ces équations bien connues.
(•) H. PoiNCARÉ, Leçons sur la Théorie de l'Élasticité, p. 54; Paris, 1892. Leçons sur la théorie mathématique de la Lumière, p. 3i; Paris, 1889.
tlËCHERGHËS SUR l'ëLASTIGITÉ. /|7
IL — Équations des petits mouvements d*un solide vitreux (M-
Le travail virtuel des actions d'inertie ne change pas de forme lorsque Ton suppose que $, y], T^ sont des quantités très petites; il continue à être donné par l'égalité (72) de la première Partie; au contraire l'expression du travail virtuel de la viscosité subit de grandes simplifications.
L'expression de la fonction dissipative Jr, qui détermine l'expression de ce travail virtuel, dépend :
I** De l'état de déformation du système au point (x, y, s) et à l'instant /;
2** Des vitesses de déformation D',, D^, D3, G',, G^, G, qui déterminent la variation que subit la déformation au point (*r, j, z) entre les instants ^ et (^ -h dt).
La fonction dissipative est, d'après les égalités (73) et (74) de la première Partie, une forme quadratique de ces six dernières variables, les coefficients de cette forme dépendant de la déformation au point (a?, j, 2) et à l'instant ^.
Si, sans changer les valeurs de D',, D!,, D^, G^ G^, G,, on supposait la déformation au point (cc.y^ 5), à l'instant /, infiniment peu différente de ce qu'elle esten réalité, il est clair que l'on altérerait JF d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même-
Or, dans le cas qui nous occupe en ce moment, le milieu à l'instant / est infiniment peu déformé; nous pourrons donc, pour déterminer S, raisonner comme si l'état du milieu à l'instant /était identique à l'état initial.
Or, dans l'état initial non déformé, on peut regarder trois droites rectangulaires quelconques comme étant les trois axes de dilatation. Il nous est donc loisible, dans la formule (74) de la première Partie, de regarder A\, Ag, A,, T',, T^, F'^ comme les vitesses de déformation rapportées à trois axes rectangulaires quelconques; la valeur de S devra être indépendante du choix de ces axes.
(*) Sur le mouvement des milieux vitreux, affectés de viscosité, et très peu déj ormes (Comptes rendus, t. CXXXVI, p. Sga, 9 mars 1908 ).
48 p. DUHEM.
Or» la déformation infinimeot petite dont
(II) i)\dc, D;rf^ d;</i, iv.di, g;^//, G'^de
sont les composantes peut se ramener k trois dilatations 9',^/* W^^t^ W^dt suivant trois certains axes rectangulaires; rien ne nous empêche de supposer que ces axes sont ceux auxquels il faut rapporter la déformation ( 1 1) pour obtenir la déformation
i\dt, i.di, l'^dt, T\df, r;r//, r;^/, cas auquel nous aurons
A' — n' A' — JB'
r;=o, r;=ro.
Si nous posons alors
Tégalité (74) de la première Partie deviendra
D*autrepart, on sait que W\f 3P.j» W^ sont les trois racines de l'équation [Recherches sur r Hydrodynamique ^ i^ série, première Partie, éga-
lité (29)]
uu bien
(i4) 9"—( i>',4- «; -t- 1)',) fl'« +(d; i);-i-D; b\ +d', d;— g,»— g;»— g;*)»'
L'égalité (i3) devient alors
ii5) s= A(T)(i);-(-i);-t-iy,)'
RECHERCnES SUR l'ëLASTICITÉ.
ou, en posant
Dès lors, on trouve sans peine qu'on l'on a
avec
aG',=
v,=-à(T)(D',+ d;+d;)-2kt)I);.
v^=.-X(T)(DlH-D;-t-D;)-a,x(T)D:,
Ty=-ap{T)G;, T,=-a,*(T)Gi.
