VII. — Formation de la relation supplémentaire

Il nous suffira de trouver une autre expression de la quantité dQ pour obtenir, par le rapprochement de ces deux expressions, la relation supplémentaire.

Admettons que la propagation de la chaleur ait lieu exclusivement par conductibilité.

La conductibilité du milieu en chaque point peut être définie par les trois coefficients de conductibilité suivant les directions des trois axes de dilatation, directions que nous désignerons par les indices i, 2, 3; visiblement, ces coefficients peuvent être représentés par

K(T, (7i, (72, ffj, K(T, ff„ ^3, (7i), K(T, fiTj, (7|, (7,),

UECIIRRCIIES SUR l'kLASTICITÉ. 3()

la fonction K(T, or, a', cr") vérifiant, quels que soient T, c7, rs\ g'\ l'égalité

K(T, ^,^', cr^) = K(T, ^, cr%cr').

Nous les représenterons abréviativement par

"If Kj, Kj.

Nous y gagnerons d'ailleurs en généralité, car nos formules deviendront également applicables aux milieux cristallisés; K,, Ko, K.-, dépendront, dans ce cas, non seulement de T, de œ,, Œo, Œj, mais encore de l'orientation des axes i, 2, 3 au sein de la matière cristalline.

Soit dL un élément dont la demi-normale n fait, avec les axes de dilatation, des angles ayant pour cosinus cos(/i, i), cos(/i, 2), cos(/2, 3). Dans le temps dl^ et dans le sens opposé â la normale /?, l'élément dL est traversé par une quantité de chaleur

K,-7-cos(w, ])-hKi—cos{n, 2) 4- K3-r3-cos(/ï, 3) L/2r//,

-y-, j-y -Tj étant les dérivées de la température prises respectivement

suivant les directions i , 2,3.

Or on a

dT dT ^, ÔT ^ àJ ^ (il âx Oy dz

Si l'on pose

ros(/i, .r) = a, cos(«, v) ==:: j3, cos(/i, z) := y,

on a

C0S(/I, 2) = cx.'V,4-(3ir,4-y2b„

cos(/?, 3) = «->:.3-i-;3.!r3 4-yt^3.

4o p. DIIIIF3I.

Soient, pour abréger,

K. = K.i-î +K,i-î +K.Te>î,

L'égalité (89) deviendra

Considérons une surface fermée S; dans le temps dt, la partie du milieu que limite cette surface fermée dégage une quantité de chaleur

(92) Qdtr=dejqd2,

q étant donné par la formule (91), où a, p, y sont les cosinus directeurs de la normale a l'élément dit vers Vintérieur de la surface S.

Il suflît de transformer, en l'égalité (92), l'intégrale de surface en une intégrale étendue au volume que circonscrit cette surface, pour obtenir le résultat suivant :

Chaque élément de masse dm = pdts dégage, dans le temps dt^ une quantité de chaleur

+ i/'c^+K Î^ + C ^) dyx'da; ^ dy '' dz )

RECIIERCIIES Sl'K l'ÉLASTICITK. 4<

D'autre part, cette même quantité de chaleur doit être donnée par l'égalité (88), si l'on y pose

G, = G', dl. G, = g; dt. G, = G', dt.

On doit donc avoir

P'^Vdx dt âf dt'^ dz dt'^ ât)

+ (P«'+I^)l>'.+ (pa, + j)D;+ ^pa,4-^)D; + 2(pbx+f)G'.+2(plv+^^)G; + 2(pb,4-g)G',

d (,. dl ., d'ï ,, dT\

-TA'''dI-^'''d^-^^'d^)

d ( d-i dï <>ï\„ -d-=\^^d:i^^'-d^^^---d-z)'-'''

C'est la relation supplémentaire que nous nous proposions d'établir.