LES DÉFORMATIONS D'UN MIUEU CONTINU

I '.. .1. — Les déformàtioiiè finies d'un milieu continu.

Nous commencerons par établir quelques formules relatives aux (Reformations finies d'un milieu continu. Ces formules, dues à 6. Kîrchhofl*et à M. feoussinesq, ont été magistralement exposées par MM. E. et F. Cosserat dans un Premier Mémoire sur la Théorie de l'Élasticité ( * ). Nous aurions pu nous borner à renvoyer le lecteur à ce Mémoire, si tompliet au double point de vue historique et théorique; si nous ne l'avons pas fait, si nous avons repris la démonstration des formules strictement indispensables, c'est surtout afin de fixer les notations dont nous, ferons usage. , .

(*) EuGBNB et François Cosserat, Sur la Théorie de l'Élasticité. Premier Mémoire {j^nnales dfi la Faculté d^ Sciences de Toulouse, \.:ïii \%çfiy. /

Prenons un milieu continu dans un certain état, fixé une fois pour toutes, que nous nommerons Vétai initial; un point matériel déterminé occupe, dans cet état, une position déterminée (x dont les coordonnées sont a, bf c. La connaissance de ces coordonnées permettra de reconnaître ce point matériel après que le milieu aura subi un déplacement et une déformation quelconque, selon le procédé employé en Hydrodynamique et appelé /roceé/^ de Lagrange.

Au sein du milieu déformé et déplacé, le même point matériel occupe la position M dont les coordonnées sont x^ y^ z\ x^ y^ z sont des fonctions continues de a, 6, c, dont la connaissance définit la déformation et le déplacement subis par le système.

Dans la plupart des cas, nous poserons

(i) x=ia-hl, / = 64-tï, 5 = c-ht.

Ç, Y], X, seront également des fonctions de a, b, c. Nous aurons

Soit un point matériel qui, dans l'état initial, occupe une position |Ji'(«'» b\ &) infiniment voisine de la position [Ji(a, 6, c); dans Tétat déformé, il occupe une position W{x',y\ s'), infiniment voisine de la position M (^, j^, z). En se bornant aux infiniment petits du premier ordre, on a

(3) { iy'-y)=^ia'-a)+ %{b'-b)+ %{C-c),

Ces équations peuvent être regardées comme des équations en (a' — a),

dx da

da*

dx d^ db ~db'

dx dl de ~~dc'

dy dm da "" da*

dy , an

dy du

dz dK da da*

dz dZ db - db'

d9 , ^ dÇ

{b' — 6), (c — c). Leur déterminant est

{)^ dx dx

da db de

ây^ ây dy

da db de

ds dz dz

da db de

Ce déterminant ne s'annule jamais en une déformation qui laisse finie la densité en chaque point; nous savons, en effet, par Téquation de continuité, mise sous la forme de Lagrange, que le produit de la densité par le déterminant (D est égal à la densité dans Tétat initial. Il résulte, en outre, de là que la valeur de (D est indépendante du choix des axes de coordonnées.

En résolvant les équations (3), nous trouvons

^('^'-''>=St^^(-'

DKy),-,

Moyennant les égalités (2), on peut mettre les égalités (3) sous la forme

{3 bis)

(.:'-x)=(.+ |)(a'-a)H-||(6'-6)-H|(c'-c), ^y.y,=.Pja'-a)^(.^^)(b--b)^'£W-c), (.'-.)=g(a'a)+^^(6'-6)-^(.+ ^)(c'c).

En même temps, le déterminant q devient

à?, dl dl

a bis)

da da

da

db

^ db db

de

p. DUHEM.

Dans les égalités (3 bis), regardons a, 6, c et a?, y, s comme des constantes ; a', b\ c et x\y, z' comme des variables ; ces équations définissent une transformation homographique d'un espace [f-'Ça', b\ &) en un autre espace M'(a;\y\ js'), transformation qui fait correspondre le point M (x, y, s) au point (jl (a, 6, c). Cette transformation représente la partie principale du déplacement et de ladéformation que subit une masse infiniment petite a laquelle appartient le point matériel placé successivement en (jl et en M.

Étudions d'une manière générale cette transformation.

Considérons, dans l'espace des (^',y, s'), la sphère S de centre M et de rayon i et cherchons de quelle surface elle est la transformée.

Pour que le point M'(a?', y\ z') se trouve sur cette sphère, il faut et il suffît que l'on ait

Pour cela, selon les égalités (3 bis), il faut et il suffit que ce point M' corresponde à un point (jl' dont les coordonnées a\ b\ & vérifient l'équation

Cette équation exprime que le point [L'(a\h\ &) a pour lieu un certain ellipsoïde E ayant pour centre le point (/.(a, 6, c). L'équation de cet ellipsoïde E, développée, s'écrit . ; •

en désignant par £, , e^, e,, y, , yj, y, les six fonctions suivantes de a,b^c:

RECHERCnES SUR l'ÉLASTICITÉ.

V'— (Je "^ '*'■

db

(8) (sui/e)

''*" da "^ de

db de de da

IB de de da

db de' de da*

'•■" d^ da ■*" da db '^ da db"^ da db'

Cet ellipsoïde admet trois axes rectangulaires; soient <r la longueur de Tun des demi-axes et «il» i&, c, ses cosinus directeurs; ces quatre quantités s'obtiendront, comme Ton sait, de la manière suivante :

Si nous posons

s sera Tune des trois racines de Téquation du troisième degré

(io>

et «IL» ia>t C s'obtiendront alors en résolvant les équations

i + ae, — s

n-ae,-

i + ae»— s

(i -t- 2ei) X 4- y,i>l» 4- y.a = SX, y,X -h ( 1 4- aei) Hb 4- yi 2 = Stf5>, y,X 4- y,iJl> 4- (i 4- ae,) 3 = S2,

X«4-ilî>«4-e*=i.

Aux trois racines S,, S^, S, de Téquation (lo) correspondent trois systèmes de valeurs de a, x, i)l>, 9 (pourvu que nous ne regardions pas comme distincts deux sytèmes de cosinus qui définissent une même droite), systèmes que nous désignerons par

Considérons le demi-axe de longueur a et de cosinus directeurs x, iA>, G; il correspond à un rayon de la sphère S, rayon qui a pour longueur i et pour cosinus directeurs x^ 7, %. Selon les égalités (3 6/>), D. 2

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