DJ

<fZf

8 p. DUHEM.

on a

Aux trois systèmes (i3), ces relations font correspondre trois systèmes de valeurs de x^, g', X>, que nous désignerons respectivement par

^-i, JTt, 5&)„

«^•if cTi> 3b,.

Formons {x>2^'z + ^a^s -f- ^bj^È,,). Selon les égalités (i4)t nous aurons

ou bien» en vertu des égalités (S),

eX,^., + 3^,3',+ X>,5b,— (7,(J, I [(i 4- 26,) cll»,-4- y,llb,4- y,C,]JL,

+ [(y80^i + ('-+-2e,)'»«>i-4-y,C,]ift», -H [(yto^i+ yi Ah-(i -t- ae,) G,]3, |

OU enfin, en vertu des égalités (9) et (11),

eT.,.x,+ ^,.7,+ 2b,2b,=: ^ (cii»,ju,-+. iftj.ift,,-*- e,e,). Or on a

•IL, qH», h- la),!^^), H- G, C, = o.

On a donc la première des trois égalités

Les deux autres se démontrent d'une manière analogue. On voit que les trois axes de l'ellipsoïde E correspondent à trois diamètres rectangulaires de la sphère S.

(jl' étant un point quelconque de l'espace {a\ b\ c'), projetons la longueur \k^' sur les trois demi-axes rectangulaires de Tellipsoîde E; soient A| 9 A2» A, les trois projections; nous aurons

IA, = JLi(a'--a)-MJl,,(^>'— ^i)-4-S,(c'— c), A,= cA«,(a'— a) -+- \S^^{b'— b) -h e^{c'^c), A,= JL,(a'— a) -Mlî,,(^>'— 6) -h 2,(c'— c).

Au point jx' correspond, dans l'espace des {oo\y^ s'), un point M'; projetons le segment MM' sur les trois diamètres rectangulaires de la sphère S qui correspondent aux trois axes de rellipsoïde E; soient X,, Xat X,» les trois projections. Nous aurons

En vertu des égalités (3 6{5) et (i4)» la première de ces égalités devient

ou bien, en vertu des égalités (8),

X, = <T, I [(i4-2e,)JI.,+ y,ifi,, + y,?,](a'— a) + [y»«^i+ (I + 2e,)i'5>, + y, S,] (*'— b) + [y,X,-t-y,ift., + (n-2£,)3,](c' — c)j

OU enfin, en vertu des égalités (9) et (i i), la première des égalités X,= -[Jt.(a'-a) + i&,(ft'-6) + S,('c'-c)], X.= -[J..(a'-a) + Db,(6'-6) + S,(c'-c)], X,= - [X»{a'-a) + D!..(6'- b) + S,(c'- c)].

lO p. DUHEM.

Les deux autres se démontrent d'une manière analogue. En comparant ces égalités aux égalités (i6), nous trouvons

DonCf pour passer de Vesp€ict des (a', h\ c') à F espace des {x\y\ s')-, il est nécessaire et suffisant :

1° De donner au premier espace un déplacement d'ensemble qui vient appliquer les axes de l'ellipsoïde E sur les trois diamètres rectangulaires de la sphère S qui sont les transformées de ces axes;

2** De réduire respectivement dans les rapports — > — > — fcj coordonnées

^ ^^ Cl O] O",

de chaque point rapportées à ce trièdre trirectangle.

Revenons maintenant à la transformation la plus générale d'un milieu continu. A chaque point matériel occupant la position (x (a» 6, c) dans Tétat initial et la position M (a?, y^ s) dans l'état déformé, on peut faire correspondre une déformation homographique analogue à celle que nous venons d'étudier. Si l'on néglige les infinimentpetits d'ordre supérieur au premier, cette déformation coïncide avec la déformation réelle qui se produit au sein d'une masse infiniment petite comprenant le point matériel considéré.

A cette masse est lié invariablement un certain trièdre trirectangle qui» dans l'état initial, coïncide avec les axes de l'ellipsoïde E relatif au point matériel considéré, et qui, dans l'état déformé, coïncide avec les trois diamètres de la sphère S, relative au même point, en lesquels se transforment les axes de l'ellipsoïde E. Ce trièdre est le trièdre des axes de dilatation relatifs au point matériel considéré.

L'étude complète de la déformation au voisinage d'un point matériel donné est achevée lorsque l'on connaît les valeurs des vingt et une quantités (i3) et (i 5). Celles-ci, à leur tour, par les équations (8), (9), (10)1 (1 1)1 (12) et (i4)» dépendent des valeurs prises au point p.(a, 6, c)par

ai Ta'

Ta'

dà'

Il peut arriver qu*une grandeur dépende seulement de la déformation proprement dite et nullement de Torientation des axes de dilatation» soit au sein du milieu initial, soit au sein du milieu déformé. Ccttje grandeur sera alors une fonction symétrique de Œi, a,, a^. En vertu de Tégalité (9),ilrevientauinême de dire qu'elle est fonction symétrique des racines de Téquation (lo) ou qu'elle est fonction rationnelle des coefficients de S*, S*, S, S® dans cette équation. Développée, cette équation devient

(l8) S»— (3 4- 2 Jj ) S«4- (3 4- 4 Ji -H J,) S - (l 4- 2 J, 4- J,4- 2 J,) = o,

en posant

J,= 4 («te,H- e,e, -h eifii) - (yj -+- yî 4- yî )» J,= 46,£,e,— e,yî — e,yî — £,yî-hy,y,y,.

Donc, toute grandeur qui dépend uniquement de la information par laquelle on passe de l'état initial à l'état déforme, et nullement de l'orientation des cuves de dilatation soit au sein du milieu initial, soit au sein du milieu déforme, est une fonction des trois seules grandeurs J|> ^2^ ^s-

La signification mécanique du déterminant (D nous enseigne qu'il se trouve précisément dans ce cas; ce doit donc être une fonction des seules quantités J,, J2, J,; en effet, si l'on part de l'expression de cD donnée par l'égalité (4 his) et si l'on en forme le carré en tenant compte des égalités (8), on trouve

Cette expression peut se trouver d'une autre manière.

Prenons, dans l'état initial, un parallélépipède rectangle infiniment petit dont (X(x' soit la diagonale et dont les arêtes, dirigées suivant les axes de dilatation, soient A,, A2, A,; son volume est A| AjA, et sa masse poA| AjA,, po étant la densité au point (jl dans l'état initial.

i + ae,

i + ae.

iH-ae,'

12 P. DUIIEM.

Dans Tétat déformé, ce volume devient un nouveau parallélépipède rectangle, dont la diagonale est MM\ et dont les arêtes, dirigées suivant les axes de dilatation, sont X|, X^, X,; son volume est XfX^X, et sa masse pX,X2X3,p étant la densité au point M dans l'état déformé.

La masse se conservant dans la déformation, on a

p XiXtX,= poAi A,A, ou, selon les égalités (17),

P = poO"iffiff««

En vertu des égalités (9), cette égalité devient

p»S,S,S,= pJ

ou bien, en vertu de l'égalité (18),

(21) p'(i-f-2Ji + Jt+aJ,) = p;.

Mais, d'autre part, on a l'égalité bien connue

(22) p(D=po.

Ces égalités (21) et (22) redonnent l'égalité (20).

II. — Variation infiniment petite d'une déformation finie (').

Imaginons qu'à partir d'un état déjà déformé quelconque, nous imposions au système une modification, réelle ou virtuelle, infiniment petite. Nous aurons, en cette modification,

èx = i^, dv = iri, èz = âÇ.

Supposons les quantités $Ç, $y], B^ données en fonctions de a, b, c.

(») P. DuHBMi Sur quelques formules de cinématique, utiles dans la théorie générale de l'élasticité {^Comptes rendus, t. CXXXVI, 19 janvier 1903, p. 139).

RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. i3

Les égalités (8) nous donneront

. / dl\dèl dndin dt: dd^ ^''^y-^d^J^'^à^'ld^'^à^'d^'

(23) { d*n ddZ d^di^ ^^ d^d^ ^d3rî dZ^àdZ dZ dJK ^y*"" de '^ db '^ db de "^ de db'^ db de '^ de db '^ db de '^ de db*

les points remplaçant quatre égalités qui se tirent des deux premières en permutant les lettres a, b, c.

La modification considérée peut être regardée comme un déplacement infiniment petit imposé au système déjà déplacé et déformé; selon la méthode de Gauchy, ce déplacement infiniment petit est défini, en chaque point, par trois translations, qui sont^^, $y], S^, trois

rotations -&>i, -&)„-a)„ trois dilatations D«, D2, D, et trois glissements G,, G29 G3.

Si Ton suppose les grandeurs %\^ Sy], S^ exprimées en fonctions de rc, y, 5, on a

ày' Mais on a neuf égalités que Ton peut tirer de celle-ci :

(25) a3| dSj, da ^ dSî^ db ^ dd^ de dx da dx db dx de dx

en permutant entre elles les lettres x, y, z d*une part et les lettres ^, yj, X. d'autre part; puis les égalités (5) donnent

Ida I D(y, ^) da 1 D(g,ar) da __ j^D(x,y)

dx~^ (QD{b,ey dy^ ii^ D{b,c)' di "" (5 D{b,c) '

(26) l^^ =' D(y>^) àb ^ 1 D{z,x) db i D(x,y) ^ ^ ^ dx (ï)D(c,a)' dy ' Q D{c,ay d^ "" (ô D(c, a) '

dc^__± D(7,g) ^ — i. P(^»^) ^ — JL D(^>7)

c)^""(D D(a,by dy^ (Q D(<7, 6)' dz" G^ D(a,6) '

lit = —7 >

* dy dz

"'=<?/ dz'

l3 p. DUHEM.

Les égalités (24)t (^5) et (26) donnent

*""(DL D(^c) da '^ D{c^a) db "^D(a,ô) dey

I)(^,:r) dix \^(z,x) dix l)(c,a) db '^l)(a,b) de

<28> ( D(a:,y)din D{x,y)di-n D(a^, y) di-nl

' D(^c) da "^ l)(ic,a) dô "*" D(a,b) de y

D(c,ûr) dô ■*" D(a,^>) de

{29) j n(.r,.r) (^3y> y>(^,y) ddn D(j:,y) c^ati l

* D(b,e) da D{e,a) db B(a, b) dey

Dans chacun de ces trois groupes» les points remplacent deux égalités qui se déduisent de la première en permutant entre elles d*une part les lettres Ç, yj, ^ d'autre part les lettres x, y, s. j

Des formules (29) on tire sans peine celles dontCauchy afait usage pour établir, en Hydrodynamique, le théorème de Lagrange et la conservation du mouvement tourbillonnaire.

Les six quantités Se,, S-j, Se,, Syi» §72» ^Yi s'expriment sans peine en fonctions linéaires et homogènes de D«, D2, D„ G|, G^, G,.

Les égalités (2) et (28) donnent / .

d^ di^ ày^ di^ às^ àiX * da de da da da da

^ d£ dii dx^ d^ dy^ di^ dy din dz^ diZ dz diX ^^» "" 'àb'dc'^ de'db '^'àb de '^ de db '^ db 'dT '^ 'dS 'db*

Développons les dérivées partielles de S^, Sy], S^ par rapport à a, bf c en fonctions des dérivées partielles des mêmes quantités par rap-

port à X, y, s, et nous trouverons

' » fàxy,^ /àrYn /<^3\*« ày dz ^ dz dx „ dx dy ^ y ^àx\* ^àr\* . fds\* dvdz- ds dx „ dx dy „

^ dx dx ^ dy dy .. dz dz ^

^y^=^à-bTc^^^'TbTc^*^'rbTc^^

,2 V } [dy àz dy dz\^ (dz dx dz dx\^ (dx dy dx dy\r^

. dx dx ^ dy dy ^ dz dz ^

^y^'^^lSTa^^-^'^Tcda^^'^^TcTa^^

[dy dz dy dz\^ (dz dx dz dx\ (dx dv ^dx dy\^

\^'à^'^i;^Tcr''^^\di'd^'^d^ nr''^ ^ Uc 'àh "^ ^ àsr''

^ dx dx ^ dy dy ,. ds dz ^

(dy dz dv dz\^ (dz dx dz dx\^ (dx dy dx dvN^

'^\à^rb'^dôd^n-^\diTb'^db'^^^

Moyennant les égalités (2), on peut» si Ton veut, dans ces égalités (3o), substituer les dérivées partielles des quantités ^, y]» ^ aux dérivées partielles des quantités a?, y, s.

Aux axes rectangulaires considérés, substituons un nouveau système de coordonnées rectangulaires x\ y, z\ Désignons le cosinus de l'angle formé par un axe ancien, l'axe des x\ par exemple, et un axe nouveau, l'axe des x\ par exemple, au moyen du symbole (or, a?'). Au moyen de D,, D^, D,, G,, G^, G,, formons les expressions des trois dilatations D',, D^, D, et des trois glissements G',, G,, G', rapportés aux nouveaux axes.

Les composantes du déplacement virtuel suivant les nouveaux axes sont

aÇ' = (X, x') $1 -+. (y, x')in^ {z, x^) aC, ar,'z=(^,/)ô$-+-(y,/)ar,4-(5,/)dÇ,

ÔÇ' = (X, z')i^^ {y, 5') à-n -h (c, z') aç.

iG p. DUHEM.

D'ailleurs» nous avons

Ces égalités, jointes aux égalités (24), donnent la première égalité

D; = {X, x'yOt H- (y, a:')»D,H- (a, ^')*D,

D; = (x,/)»D,+ (jr, y )«D.+ (*,/)' D, ^ '^ ^ +2(j',/)(-,/)G.+ a(5,/)(x./)G.+ 2(^,/)(y,/)G.,

H-2(jr,s')(5,5')G| +2(2,5')(a:,5')G, +2(^,5')(J,S')G,.

Les deux autres se démontrent d'une manière analogue. Une démonstration semblable à la précédente nous donnera les formules

aG',=:2(a:,/)(a:,c')D, + 20',/)(^,5')D,+ 2(5,/)(5,s')D,

aG; =

aG;=

Les expressions de G, et de G', se tirent de l'expression de G', en permutant entre elles les lettres x', y, s'.

Supposons, en particulier, que les nouveaux axes soient les axes de dilatation relatifs au point M du milieu déformé (x, y, z); rapportés à ces axes, les trois dilatations infiniment petites et les trois glissements infiniment petits qui correspondent à la variation infiniment

RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. l']

petite imposée au milieu déjà déformé, seront

A,=: D^X» 4- T>tTt 4- D,iS)î 4- 2G|!r,2b,4- 2G,2b,A;,4- 2G,^,^^. A,t=: DrXJ 4- D,?rî 4- D,2bî 4- aG,?T»5b,4- 2G,3b,-X,4- 2G,.X-,?r„

r, = x,.x,D, 4- ?rîg',D,4- 3i,i,D,

r, ^ a:,-X, D, 4- ?r,?J'iD,4- 2S,,2b,D,

4-(âb,?ri4-?r,2bj)G|4-(^-,5bi4-2:'^,-X,)G,4-(?r.-X, + eX,.7,)G„

r, = eX-, .X, D, 4- JTi ^î I>« 4- 3bi r, D,

I 4-(2),7,4-7i3^î)G|4-(.X.,t^,4-ab,.X,)G,4-(iTr^-i4-cX,70G,.

Les six quantités A,, A,, A,, F,, F,, F, sont des fonctions déterminées de a, 6, c (ou de x, y, z) lorsque Ton connaît, en fonctions des mêmes variables, les six quantités ^, yj, ^, S^, Sy], S^. Nous aurons souvent, par la suite, à considérer les six fonctions (33).

On peut se proposer de rechercher quelle variation subissent, au cours de la modification virtuelle considérée, les quantités a,, a^, a, et comment se modifient les axes de dilatation soit au sein du milieu initial, soit au sein du milieu déformé.

Les égalités (19) donnent, en premier lieu,

aJi = &,4-iei4-3e8,

aj,= 4(e,-h €,) «e, 4- 4(e,4- e, ) ^£,4- 4(£i 4- £,) ^s,— ayi 3y, — 2y, «y,— ay, <}y„

dJ,zz:(4e,e,— y;)Ô6i4-(4ej£i-yî)3£î4-(4ei£i— yî)3£,

4"(yty,— 2£iy,)«yi4- (yayi— 2£îyî)«yi4~(y,y,— 2£,y3)dy,.

L'égalité (18) donne alors

(35) [3S*--(6 4-4Ji)S4-(3 4-4Ji + J.)]ôS

= 2(S-i)«aj, — (S-l)«J,4-2«J,.

Si, dans cette égalité, on remplace SJ,, Sj^, Sj, par leurs expressions (34) et si, ensuite, on substitue à S soit S,, soit S^, soit S,, on obtient les expressions de SS,, SSj, SS3 en fonctions linéaires et homogènes de Se,, Sêj, Se,, Sy,, Sy^, Sy,.

l8 p. DUHEN.

L*égalité (9) donne (36) Ô(y = -^«S,

expression qui permettra de calculer Sa,, Sa,, Sa, en fonctions linéaires et homogènes des mêmes quantités.

Les égalités (i i) et (12) donnent

1 (i 4- aei — S ) dJL -h yj dill 4- yi 33 h- ^l,( 2 âe, — 3S) -t- U^ 3y, -f- 8 dy,=r o, (87) I yi dJU -h (i -t- ac,— S) iifc -t- yi i3 -+- *l. iy, -h •^b( a 3c,— 3S) 4- S 3y, = o,

Les trois équations (37) ne sont pas plus indépendantes les unes des autres que les équations (11) dont elles proviennent; chacune d*elles est la conséquence des deux autres. Deux quelconques de ces équations, jointes à Téquation (38) et à Téquation (35), déterminent c^£|, 8t2^ Se,, Syi, Sya, Sy,.

Enfin, la première égalité (i5) donne

Mais les égalités (2) permettent d'écrire

da \ daj dx da dy da dz '

à^àid^ ( àtAd^ d^d^ db ~ db dx^y'^ db) dy db ds'

de de dx de dy \ de) dz Ces égalités, jointes aux égalités (i5), transforment l'égalité (Sp)

en la première des égalités

Au second membre de chacune de ces égalités, les deux premiers termes sont des fonctions linéaires et homogènes de Se,, Sej, $£,, Syi, 0Y2f ^Ts. niais il n*en est pas de même du troisième terme, qui ne se laisse point écrire sous cotte forme.