M(2£;-f-a£Î -i-2£Î-+-yî-hyî-hyî) ûfcy
L'égalité (66) nous montre que, lorsque les conditions (94) sont vérifiées, U ne peut jamais être négatif.
Les conditions (88), (88 bis) et (89) nous montrent ensuite que, si la grandeur A dont dépendent les limites imposées aux valeurs absolues de $, y], X, et de leurs dérivées partielles est suffisamment petite, U demeurera sûrement inférieur à une limite positive arbitrairement fixée d'avance V.
Enfin, si l'état initial du système est stable, on pourra, aux valeurs absolues initiales de
qui, selon les égalités (93), sont les mêmes que les valeurs absolues initiales de
du âif dw
Tt' W 'de'
//, Vy w,
imposer des limites supérieures telles que A soit aussi petit que l'on voudra, partant que U demeure, quel que soit /, inférieur à V. L'égalité (96) nous donne
r fdu <?•// dv d^v ôw d^w\
Mais, selon les égalités (90) et (q^),
'" f\ [ ^'^■^**^^ (£, + e,4-£.) + MAi/ + \ (A-t-M)^ (£, + £,+ £,) -4- M Al»
-I- (Ah-M)-j- (e, H-e,-4- £3) 4-M Atv = — j| [A (£,-HE,+ E,) + 2M£,] a + M y, P + My,y
Au dernier membre, la ligne de points remplace deux intégrales analogues à celle qui précède cette ligne.
Or, ces trois intégrales étendues à la surface que limite le milieu sont séparément nulles; en effet, ou bien l'élément ^S appartient à la parlie immobile de cette surface; alors z/, t^, \v y sont, selon (91)»
nuls quel que soit ^ ce qui donne
du dv div
ou bien l'élément r/S appartient à la partie déformable de la surface S; alors les égalités (92) y sont vérifiées. En toute circonstance, les égalités (98) et (99) nous donnent
Formons maintenant -^ • Nous pouvons écrire
+ |^A(.,+ .,H-..) + »M.. + »(^+^" + ;jJJ + ,p3j.J-j^
ia6 p. DUHcif.
La seconde intégrale peut s'écrire
H-|(A-hM)^(£,4-£,4-6,)-i-MAr -+-(XH-fx)2^^(£,-h€,-h6,)-^fx^Ai' J — ^-[^(A^-M)~(£,+£,^-e,)4-MA«^+(X^-/x)^^(e,^-E,4-£,)+fz^^^
Dans cette expression, les trois premières intégrales sont nulles; en effet, ou bien Télément ^S est immobile, cas auquel i/, (^, (v sont nuls, quel que soit /, ce qui donne
ou bien l'élément ^S supporte une pression invariable, cas auquel les égalités (92) y sont vérifiées.
Quant à la dernière intégrale, on peut la transformer en y remplaçant M, v^ w par leurs valeurs tirées des égalités (90). Finalement, l'égalité (ici) devient
-^— f] r(A-^M)^(£,-h£,4-E,)+MA//
-+- (AH-M)-TT(eiH-£, -h £,) -4- M Ar
-f-TcA-l-M)^ (£,-i-£,-r-£,)4-MAiV
A rinstant / =o, rien ne nous empêche d'associer aux valeurs que nous choisirons pour u, y^ w des valeurs de w' = ^> i'' = ^ » w' = -r données par les formules
K^ étant un coefficient indépendant de a?, j, 5. Alors, au second membre de l'égalité (roo), la première intégrale deviendra
-^yi(3AH-2M)(£, +£, + £.)«
-h2M[(£,-£0*-H(£,~£,)*-h(£,-£,)*-h3yÎ4-3yî-h3yî]trfBj, tandis que la seconde deviendra
+ 2f^[(£3-H,)' + (ei-e»)*^-(£î-e.)'-^3yÎ4-3yî-^ 3yni^^-
En vertu des conditions (q^O' dont l'une au moins ne se réduit pas à une égalité, nous pouvons choisir u, v^ w de telle sorte que leurs valeurs absolues ne franchissent pas les limites qui leur sont imposées et que la première des deux intégrales précédentes soit positive.
Nous pouvons ensuite choisir K'^ si petit que les valeurs absolues de u\ v\ w deviennent inférieures aux limites qui leur sont imposées
128 p. DUHEM.
et que la seconde intégrale soit inférieure en valeur absolue à la première.
Dès lors, la valeur initiale de -^ sera sûrement positive.
D'autre part, en vertu des conditions (94)» -^tt' q^* ®st donné par l'égalité (102), n'est jamais négatif.
U croit donc au delà de toute limite avec t.
Cette conclusion, qui implique contradiction, démontre par l'absurde le théorème énoncé.
La proposition précédente a une application importante :
Pour un corps fluide, M est nul; nous voyons alors qu'un corps fluide où A serait négatif, serait en équilibre instable lorsque certaines parties de sa surface seraient maintenues immobiles, tandis que d'autres supporteraient une pression invariable. Par là se trouve étendue aux fluides visqueux une proposition démontrée ailleurs (*) pour les fluides exempts de viscosité.
VII. — Autre conséquence du postulat des petits mouvements : ni Tune ni l'autre des deux vitesses de propagation au sein d'un milieu isotrope ne peut être imaginaire (').
Le postulat des petits mouvements nous permet d'apporter un complément important à la proposition que nous avons établie au paragraphe IV; nous pourrons, en efl*et, énoncer et démontrer le théorème ;que voici :
Considérons un rnilieu vitreux indéfini dont les régions infiniment éloignées sont maintenues immobiles. L'état initial de ce milieu ne pour-
(t > Sur la stabilité et les petits mouvements des corps fluides^ Chapitre ffl {Journal de Mathématiques pures et appliquées, 5* série, t. IX, 1908, p. 233).
(*) Sur les conditions nécessaires pour la stabilité initiale d'un milieu vitreux (Procèswrbaux de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, séance du a avril 1903).
RECHERCHES SUR l'ÉLàSTICITÉ. T29
rait sûrement pas être un état d'équilibre stable si l'on avait l'une ou l'autre des inégalités
(io3) A-i-aM<o,
(io4) M<o.
Cette proposition est vraie que le milieu soit dénué de viscosité ou qu'il soit doué de viscosité; elle demeurerait encore vraie si les actions de viscosité, au lieu d'être des résistances passives, étaient des puissances actwes.
Dans le cas où le milieu est dénué de viscosité, cette proposition peut s'énoncer autrement; si i*on se reporte aux expressions, données par les égalités (20) et (21), de la vitesse de propagation des vibrations longitudinales et de la vitesse de propagation des perturbations transversales, on peut la formuler ainsi : L'équilibre initial du milieu serait sûrement instable si l'une ou l'autre des vitesses de propagation y était imaginaire.
Supposons, en premier lieu, que Ton ait
(io3)
A-haM<
Posons
(io5)
du dv
En vertu des égalités (90), cette grandeur vérifiera, en tout point du milieu, l'équation aux dérivées partielles
(106) (A + aM)AeH-(X + afji)i^ Ae-p.^ = o.
Considérons l'expression
où
0'=?. da — dadbdc.
ôt
l3ô r. DUHEM.
Des calculs tout semblables à ceux qui, des égalités (55) et (60), tirent les égalités (56) et (63), nous donneront
(,08) ^=T-4(A-4-2M) rAeAe'^Bj-2(A-f-afjL) r(Ae')«rfBj.
Puis, des calculs semblables à ceux qui ont fourni les égalités (5()) et (65) nous permettront d'écrire
(109) ^ -r^ 4(A + 2M)J{M^ydw
Ces préliminaires posés, supposons que l'état d'équilibre initial du système soit un état d'équilibre stable. On pourrait visiblement imposer aux valeurs absolues initiales de
qui sont les mêmes que les valeurs absolues initiales de
du dv dw
"' "' ^' Tt' Tt' ôT'
des limites telles que U ne surpasse à aucun instant une certaine valeur positive donnée d'avance V.
D'autre part» nous pourrons toujours, à cet instant initial, prendre
du ôv dw
K^ étant une quantité indépendante de a, b^ c. Nous aurons alors.
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. i3i
selon Tégalité (to8),
(iio) (|^)^=:-4K'(A+2M)y(Aeo)*e/BJ
— 2K*(X -4- 2/x) r(Aeo)*fl^Hy.
Nous pourrons toujours, sans que les valeurs absolues initiales de "' ^* ^' 17' 57' "^ transgressent les limites supérieures qui leur sont prescrites, faire en sorte que A@o ^^ ^oit pas nul dans tout l'espace et prendre, en outre, K^ assez petit pour que le second membre de l'égalité (i lo) ait le signe de son premier terme, qui est positif selon Finégalité (io3).
("57) ^^^^** alors sûrement positif; comme selon l'égalité ( 109)*
■^-f ne peut être nul à aucun moment, U croîtrait au delà de toute
limite avec t et ne pourrait demeurer inférieur à Y. La contradiction à laquelle nous aboutissons démontre le théorème énoncé. Imaginons maintenant que l'on ait l'inégalité
(io4) M < o.
Posons, par exemple, (i.O û. = ^ + ^^.
Selon les égalités (90), nous aurons, en tout point du milieu et à tout instant,
("2) MAÛ, + ^^^Aft.-po^^=-o.
Considérons alors l'expression
l32 p. DUHEM.
OÙ
Des calculs semblables à ceux qui, des égalités (67) et (70), tirent les égalités (68) et (71) permettent d'écrire
(I i4 ) ^ = - 4M Taû, Au; doT - 2fx A ASy, y dm.
Puis, de même qu'on a obtenu les égalités (69) et (72), on obtiendra l'égalité
(,i5) ^=-4My(AÛ'.)'<fa
En raisonnant sur les égalités (ii3), (ii4) et (i i5) comme nous avons raisonné sur les égalités (107), (108) et (109), nous prouverons que Tétat d'équilibre initial d'un milieu indéfini où Tinégalité (io4) est vérifiée ne saurait être un état d'équilibre stable.
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. i33
