V. — Le postulat des petits mouvements

Les démonstrations précédentes ont la rigueur introduite dans les questions de ce genre par M. Liapounoff et par M. Hadamard. Nous allons obtenir d'autres propositions par des démonstrations un peu moins rigoureuses en ce qu'elles impliquent un postulat que nous avons déjà invoqué dans l'étude de la stabilité des fluides (*). Commençons par énoncer avec précision ce postulat, que nous nommerons la postulat des petits mouvements.

Considérons un milieu isotrope, dont une partie de la surface est maintenue immobile, tandis que le reste de la surface supporte une pression normale, uniforme et constante. Donnons à ce milieu un mouvement; à l'instant t, le point matériel dont les coordonnées initiales sont a, b, c, aura pour coordonnées

a:=a-hi,{a, b, c, t), yz=zh-^f\{a, b,c, t), 5 = c-h Ç(a, 6,c, /).

( * ) Sur la stabilité et les petits mouvements des corps fluides {Journal de Mathématiques, 5* série, t. IX, p. 233; 1903).

RFXHERCHES SUR l'ÊLASTICITÉ. I IQ

Supposons que les valeurs absolues de ^, y), ^ admettent, quel que soit ^ une limite supérieure A

(88) UI^A, |-/i|<A, |Ç:|<A

et que Ton ait de même, quel que soit /,

(SSbis)

\da àt

on

an

dadt

dl'

âri Ôt

an

ôadb

ùc dt

(Pn

dt*

dcdt

d^\ dt^l

r,r^, r", r'*', r'% étant des constantes positives données une fois pour toutes.

Reportons-nous k ce qui a été dit au paragraphe I, et nous voyons que, toutes les fois que A est suffisamment petit, ^, yj, î^, nuls en tout point de la partie de la surface terminale qui est maintenue immobile, vérifient les équations (34) en tout point (a, b, c) du milieu et les équations (35) en tout point de la partie de la surface terminale qui supporte une pression invariable. Dans ces équations, le symbole + .. . remplace des termes qui sont infiniment petits au moins de l'ordre de A*.

Cette proposition n'est point douteuse ; elle est le fondement des considérations développées aux paragraphes II et IV. Voici maintenant la proposition très voisine que nous lui substituons :

Si A est inférieur à une certaine limite, on a, quel que soit /,

(89) ^— M-h/AS rî = (>-+-mAS Ç = 1^-^/1 A*,

/, /w, n étant trois quantités qui, quels que soient a, i, c, /, et quelque petit que soit A, ne surpassent pas en valeur absolue une certaine grandeur positive fixe F; dont, en outre, les dérivées partielles du premier et du second ordre en a, 6, c, t admettent également des limites supérieures fixes.

Dans les égalités (89), w, v, w sont trois fonctions de a, 6, c, /, définies de la manière suivante :

1® Pour toutes valeurs de a, 6, c, t, on a

d' /da dp d«'\ d . d'«

db

dt-

da d< \ da

<-^-^**>d5 U-^dft-^d^j^"^^

Po

. d' /dw di» dwX d .

df»

db àl \ da db de ) / » MX ^ /<^" à\' dw\ ., .

(^^**)d^ U + dï-^d^)-^»*^"'

** ^ikdï U + d -^ dFJ -^'*di^"'-P» dF

2" Kn tout point do la partie maintenue immobile de la surface limite, on a

rzno,

3" En tout point de la partie de la surface limite qui supporte une pression invariable, on a

[^di(d^

^^ [db^

di^ ôiv\ ^. du "I

"-rb^dFJ-^^^d^ J«

'^dt\ôb

(ùu dv\ r. d (du

db db

d(dsv

\ d /de d.i'N.

d« de

„ /du df\a ,, /dw d«\

-^** U-^d^)^-^'^ (dï-^d?)--'

d /du dv\ a d (dw du\

^f'dl[Tb-^d^)^-^f'Tt[d^^Tc)y = ''' d?)-*-^M53 Jp + M (5^ + ^)7

dw\ d^v 1 - d /{?f dw\

-àF)-^^^dbdl\^^i'dt[Tc-^Tb)'^='''

[, (du dv div\ ^mdiv "1 1 d /du di^ div\ d^iv ]

-^ r d-^dH ^ dZi "^ dFj ^ ^/^dFdi j "-^ ="•

4** A l'instant / = o, on a, quels que soient a, 6, c,

dt~~W dt ~"ôi' dt " dt'

Les équations (90) et (92), qui doivent déterminer //, v, m% ne diffèrent des équations (34) et (35), que doivent vérifier ^, yj, ^, que par la suppression des termes représentés par -h. . . , lesquels sont infiniment petits par rapport aux termes explicitement écrits.

Mais, bien que les équations qui déterminent Ç, rj, X, différent infiniment peu de celles qui déterminent i/, c, m^, bien que ces quantités et leurs dérivées par rapport à t soient identiques à l'instant initial, il n'est nullement prouvé que les quantités (^ — w), (y] — v), (^ — w) soient toujours infiniment petites du second ordre. De ce que deux systèmes d'équations aux dérivées partielles diffèrent infiniment peu l'un de l'autre, on ne saurait conclure que leurs intégrales correspondant aux mêmes conditions initiales y différent infiniment peu.

Donc, en écrivant les égalités (89), nous admettons implicitement l'exactitude d'un postulat non démontré.

Néanmoins, comme, dans une foule de questions du même genre, les plus grands géomètres ont fait usage de ce postulat, nous allons en user à notre tour au numéro suivant.

TI. — Hodifications (^) que le postulat des petits mouvements permet d'apporter aux propositions démontrées au n"" I.

Le postulat des petits mouvements permet, tout d'abord, de rendre un peu plus complètes les propositions énoncées et démontrées au n*" 1 .

Il permet, en premier lieu, à' étendre le théorème que nous avons for-

(*) Sur les conditions nécessaires pour la stabilité initiale d'un milieu vitreux {Procèsverbaux de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, séance du •^ evril 1903).

122 P. DUIIEM.

mule pour tous les milieux vitreux ou cristallisés au cas où la surface qui limite le milieu étudié^ au lieu d*être entièrement fixe y serait en partie dèformahh et soumise, dans sa partie déformable, à une pression invariable.

Il permet, en second lieu, d'apporter un autre complément au iCoroUaire, relatif aux milieux vitreux, que nous avions tiré de ce théorème; ce corollaire, ainsi complété à deux reprises, se formulera de la manière suivante :

5* l'on a, en un milieu vitreux, les deux conditions

3A-h2Mlo,

dont l'une au moins ne se réduit pas à une égalité, le milieu ne peut demeurer en équilibre stable lorsque les diverses parties de sa surface terminale sont ou maintenues immobiles, ou soumises à une pression invariable.

Nous nous contenterons de démontrer cette dernière proposition, laissant au lecteur le soin, d'ailleurs aisé, d'établir la première. Posons, en effet.

du dsf dw

<^iv dv du ôw <?r du

'^'-db'^Tc' y^-li'^d^' 'i'-Tb^Ta

et considérons l'expression

(96) u=-gyyyi(3A+aM)(£,+£.-H£,)'

4-2M[(£,-£,)'+(£,— £,)'-+- (£,-£j)' H- 37Î-t-3-/î+3-/î]Xa</6f/c

que l'on peut aussi écrire, en posant dxs = dadbdc^

(97) U=-iy*[A(e, 4- £,-+-£,)»