SH
' àa da da da âa da
(,3o) 'd«^- à^id^ dydd^ d^dd^
1 ^* ~ db de '^ db de ^ db de
1 d^dà^ dy dà^f\ dz dà-^j
I de db de db de db
Le travail perturbateur que nous nous proposons d'étudier aura
l4o p. DOBEM.
pour expression
+ f[i{PxdS)ii-i-i{PydS)in + i(P,elS)ii:] OU bien encore (i3i) de — dïf(\i^ +Yen H-ZdC) rfm+ Ap.ai +Pyin -hP,Sti)ds\
L'état initial et l'état troublé étant deux états d'équilibre, on tire sans peine, de l'équation même des déplacements virtuels,
(i3a) iUxdi,-\-\àn+ZiK)dm-h f{P,S^-hPyd-n + P^dt:)els\
= y te**" ^ «>^^*' + ^i;^'''^ 5^^°°-'^ 5^*^'^ a^^^T'"'
tandis qu'il suffit, dans cette même équation des déplacements virtuels, de remplacer S^, St], SÇ par S*Ç, S^t], S^Ç, et de tenir compte des égalités (i3o) pour trouver Tégalité
(i33) fiXi'i, hYi^-f)-\-ld'K)dm-h f{P^i^l-hPyi*'n-hP^d^i:)dS
Les égalités (i3i), (i32), (i33) et (129) nous donnent sans peine
a*/ dx d^ dy dàfi dz dh^ àgx \ db de db de db de
df^àSi^dy^d^ dz diti ^ de db de db de db
d^/di^dii dirtàirt <?ôÇd3Ç\ )
^'df\'db~d^~^'àF^r~^~dF~dr)'^ '■']'*"''
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. l4t
Or, sous le signe / > le coefficient de dm est ce que devient le coefficient de m au second membre de l'égalité (1^47), lorsqu'on y fait
^ dit) * àd-n * dd-f]
Il est donc essentiellement positif; il en est de même de r/6, ce qui démontre le théorème énoncé.
IT. — Conséquence, relative à la stabilité de l'équilibre, de la condition établie au § IL
Supposons que le cociFicient de m, au second membre de Téga* lité (127), soit essentiellement positif. 5i les divers éléments de masse qui forment le corps élastique sont soustraits à l'action de toute force extérieure et si la surface qui limite ce corps est maintenue invariable, ainsi que la température, l'état d'équilibre de ce corps est stable.
En effet, dans les conditions indiquées, le système admet un potentiel total qui se réduit à son potentiel interne :
^=2 / *(ei,«i, ^3,^i,ért>^8, T)ûfm. •
La variation première de ce potentiel, en une modification isothermique, est
Cette variation est nulle pour tout système de valeurs de SÇ, Syj, o'C égales à o en tout point de la surface qui limite le système.
l42 P DLHEM.
En vertu dos égalités (i'28), (129) et (i35), on peut écrire Tif (?^ / dx dàl dy din dz <?3î\
d^ ( d£djl dyâiri^ dz d3Ç "^ ^^, V <^^ ^^ "^ e;^ c^c "^ db de
dx dij dy di-n àz dS^\ ■](«)
'^ de db ^ de db '^ de db )'^" ' |
d^/dàtdSP dà-ndin dà:dd^\ /^
-^^dfX-dbd^ ^-w-^dF-^-db^j-^-'-r'''
Au second membre de l'égalité (i36), la seconde intégrale est, selon les égalités (i3o), ce que devient le second membre de l'égalité (i35) lorsqu'on y remplace les quantités S$, Syj, 8^ par les quantités S^S, S*Y], S^C qui sont également nulles en tout point de la surface qui limite le système; cette intégrale est donc égale ko. Quant à la première intégrale, identique au second membre de l'égalité (i34), elle est essentiellement positive.
Donc, en toute modification isothermique virtuelle qui a pour point de départ un état d'équilibre et qui laisse immobiles les points matériels infiniment voisins de la surface limite, 0^^ est positif, ce qui démontre le théorème énoncé.
Cette proposition a été tirée de la condition établie au paragraphe II : Le coefficient de m, au second membre de l'égalité (127), est positif quelles que soient les quantités Sa,;. Pourrait-on renverser l'ordre de cette déduction et prouver que le coefficient de m, au second membre de l'égalité (127), est sûrement positif, quelles que soient les valeurs attribuées aux quantités Sa/y, en prenant comme point de départ la proposition suivante : Si l'on impose au système, à partir d'un état d'équilibre homogène, une modification virtuelle qui laisse invariable la surface limite, il en résulte pour S^# une valeur positive?
En général, cette marche inverse ne semble pas pouvoir être suivie; dans cette voie, on ne connaît qu'une seule proposition, due
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. i4'^
à M. J. Hadamard (*); encore la démonstration présente-t-elle un point litigieux que nous allons essayer de marquer avec précision. Voici l'énoncé du théorème de M. Hadamard :
Supposons que les variations
Ôa3i=: A-ja, Ôa3,= ^j,p, 0033= Ar3y,
oii a, p, Y ^^^ '^^ cosinus des angles qu'une certaine direction fait avec les a>xes de coordonnées, rendent négatif le coefficient de m aw second membre de légalité (127); on pourra attribuera Si, Sy], SÇ des valeurs telles que le second membre de l'égalité (i 36) ou^ ce qui revient au même, la première intégrale de ce second membre soit une quantité négative.
Au sein du milieu pris dans son état initial a, b, c, et à distance finie de la surFace qui le limite, traçons une aire plane £ dont la normale fasse avec les axes des coordonnées des angles ayant pour cosinus a, p, y- Par le contour de cette aire, élevons-lui des normales qui, toutes, aient une même longueur h ; elles formeront la surface latérale d'un cylindre C ayant pour base Taire S et une seconde aire S', égale et parallèle à la précédente. Donnons aux divers points du milieu des déplacements $, y], Ç qui engendrent la déformation homogène e,, e^, tf,, g^, g^, ^,. Ensuite, définissons les quantités ^^, ^Yjf ^C par les conditions suivantes :
1^ Pour chacun des points matériels qui, dans Tétai initial, étaient contenus à l'intérieur du cylindre C, on a
K,, Ko, K3 étant trois quantités indépendantes de a, 6, c. Comme pour tous les points matériels qui, dans Tétat initial, formaient Taire £, la
( ' ) J. Hadamard, Lcronx sur la propagation des ondes et les équations de l'Hjdrodjnamique, n" 270, p. 253; Paris, igoS.
= ki{aa-h
-(-yc) + K„
= kt(aa-\-
-l-yc)-i-K„
ÔC
Pb
+ yc) + K„
l/i4 P* DUHElf.
somme (aa -h^b -+- yc) a la même valeur, on pourra disposer de K,, Ko, Kj de telle sorte que, pour ces points, o$, Syj, S^ soient égaux k o. Dès lors, il est clair que, pour tous les points matériels contenus initialement à l'intérieur du cylindre C, S$, Sy], S^ seront des quantités infiniment petites avec A et au moins de l'ordre de A, tandis que les
quantités-^» ••• auront les valeurs, indépendantes de A,
à^l^.^ ^*^-)tfi ^^^-ky
H^-'''^^ -âF"^'^' 'd^-^'^'
dSn , dit] . « à in .
dix, , àK ,n dK .
r=Ar3a. dF=^''*' -^^^^^
2** Pour les points matériels non compris initialement à l'intérieur de C, nous supposerons que o$, Syj, S^ ont des valeurs nulles le long de la surface qui limite le système, se raccordant d'une manière continue, le long des parois du cylindre C, aux valeurs que SÇ, Syj, Sî^ prennent pour les points intérieurs à ce cylindre, enfin infiniment petites avec A. Nous supposerons, en outre, que l'on peut choisir ces quantités de telle sorte que, pour tous les points matériels non initialement compris a l'intérieur du cylindre C, les quantités -t-^> •••
soient infiniment petites du même ordre que A.
Cette dernière supposition est elle légitime? Prenons un point M ii la surface du cylindre C. Lorsqu'on tend vers ce point en venant de
l'extérieur du cylindre, -^ tend vers une limite que nous désignerons par (-â^ ) » tandis que si l'on tend vers le même point en venant de l'intérieur du cylindre, -— a pour limite A, a. Soit ô une direction
quelconque, menée parle point M tangentiellement à la surface du cylindre C. Les valeurs extérieures et intérieures de S$ devant se raccorder sans discontinuité le long de cette surlace, on devra avoir
=: A-i[acos(0, a) H- (3 ces (0, h) -h ycos(ô, c)],
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. I /|5
et, semblablement,
= A-j[acos(0, a) -h |3cos(5, 6) H-ycos(9, c)],
= A:,[acos(0, a)-i-(3cos(ô, 6) -i-ycos(ô, c)].
En tout point des bases S et S' du cylindre C, on a acos(0, a) H-Pcos(ô, 6)-i-ycos(6, c) = o;
il n'est donc pas absurde de supposer que les quantités (-r^) » • •
sont infiniment petites avec A; mais il n'en est plus de même le long de la surface latérale du cylindre C. Le long de cette surlace,
acos(0, a)-l- |3cos(©, 6) -+- y cos{6, c)
n'est plus, en général, ni nul, ni infiniment petit avec A; si, par exemple, on prend pour direction la direction de la génératrice, cette quantité est égale à t.
11 existe donc certainement à l'extérieur du cylindre C et au voisinage de sa surface latérale une région dans laquelle les quantités
-j^9 • • • ne sont pas, en général, infiniment petites de l'ordre de A,
mais demeurent finies lorsque A tend vers o. Nous admettrons que cette région environne la surface latérale du cylindre d'une sorte d'anneau dont la section a toutes ses dimensions de l'ordre de A, en sorte que le volume de cet anneau soit infiniment petit de l ordre de h}. Cette supposition que l'intuition fait apparaître comme vraisemblable, mais qu'il est malaisé de justifier par un raisonnement rigoureux, permet seule de poursuivre la démonstration de M. Hadamard.
Cette démonstration, d'ailleurs, s'achève immédiatement; au second membre de l'égalité (i36), la première intégrale se décompose en deux autres; l'une, étendue aux masses qui n'étaient pas initialement comprises dans le cylindre C, est infiniment petite de l'ordre de h'\ l'autre s'étend ii la masse que contenait initialement le
l46 p. DUHEM.
cylindre C; elle est le produit de cette masse» qui est un infiniment petit de Tordre de A, par un coefficient indépendant de h ; ce coefficient est ce que devient le coefficient m, au second membre de Tégalité (127) par les valeurs (137) des Sa/y; il est donc négatif par hypothèse. Or, on peut assurément prendre h assez petit pour que cette seconde partie de l'intégrale surpasse la première partie en valeur absolue, partant pour que Tintégrale soit négative.
