V. — Du déplacement isentropiqne de Téquilibre

Dans tout ce que nous avons dit jusqu'ici, au cours du présent Chapitre» nous avons supposé la température du système maintenue uniforme et invariable; à cette restriction nous allons maintenant en substituer une autre. Nous supposerons toujours la température uniforme en Tétat d'équilibre dont nous étudions le déplacement ou la stabilité; mais, à partir de cet état, nous supposerons que la température peut varier en même temps que la déformation, de telle sorte que Tentropie de chaque masse élémentaire garde une valeur invariable.

L'entropie de la masse dm a pour valeur

E étant l'équivalent mécanique de la chaleur; pour que cette quan

âT

tité demeure invariable, il faut et il suffit que -z^ demeure invariable

ou, en d'autres termes, que l'on ait

Si l'on désigne par c la chaleur spécifique normale de l'élément <//n,

un a

RECHERCnES SUR l'ÉLASTICITÉ. 1/17

en sorte que l'égalité précédente devient

(,4o) ^=^,[ diT^T ^"' + ^i^dî ^^' + 5;:^ ^^'

Cette égalité posée, revenons an problème traité au paragraphe II. Supposons que la variation imposée à la déformation homogène du système soit accompagnée d'une variation dans la valeur uniforme de la température, et cela de telle sorte que Tentropie de chaque masse élémentaire demeure invariable. L(i travail perturbateur isentropiqued^' pourra encore s'exprimer par des formules semblables aux formules (124) ou (i25), qui donnent le travail perturbateur isothermique dis; mais, pour calculer rfe', on devra, au second membre de l'égalité (126), ajouter

Si l'on transforme cette expression au moyen de l'égalité (i4o)» on trouve

5i;dT ^^'^ di^dT ^^'-^ di^dï ^'"■^ d^i^dT ^^'-^ d^^dT ^° «+ d^IdT ^^^)

Si d(B est positif, rfs' Test a fortiori. Tout milieu élastique dont les déformations homogènes vérifient la loi du déplacement isothermique de l'équilibrey est soumis a fortiori à la loi du déplacement isentropique.

On démontrerait sans peine :

I® Que la loi du déplacement isentropique de l'équilibre est encore vérifiée par notre système à partir d'un état d'équilibre où le milieu est soumis à des actions solides ou superficielles quelconques;

2*^ Que le système, soumis à des actions purement superficielles, est en équilibre stable lorsqu'on maintient invariables la surface qui le limite et l'entropie de chacune des masses élémentaires qui le composent.

l48 p. DUHEM.

TI. — Application des considérations précédentes i an milieu élastique

très peu déformé.

Nous allons appliquer à un milieu élastique très peu déformé les considérations qui ont été développées aux quatre derniers paragraphes. Pour un tel milieu, on doit substituer aux quantités «,, e^, ^3» gt* §2^ gif définies par les égalités (23), les quantités £,, c^, £3,

Tm Ta» Ï3 définies par les égalités (2). Les trois quantités ^» ^, ^

sont infiniment voisines de r, tandis que les autres dérivées partielles de X, y^ s par rapport à a, 6, c sont infiniment voisines de o. Dès lors, en exprimant que le coefRcient de m, au second membre de l'égalité (127), est essentiellement positif, nous arriverons à cette proposition :

Quels que soient e,, e^, £,, Yi» Yat Yst ^t quelles que soient les valeurs attribuées aux quantités Saij, on a l'inégalité

/ / X r à^j, d<b. dO.