I. — Quelques lemmes de Cinématique
Lorsque nous aurons k étudier la propagation d'une onde au sein d'un milieu élastique, nous aurons à rapporter cette onde tantôt au milieu pris dans son état primitif, c'est-à-dire à l'espace des a, i, c, tantôt au milieu déformé, c'est-à-dire à l'espace des a?, j, :;.
Dans le premier cas, nous désignerons par £ la surface d'onde tracée dans l'espace des a, b, c; par /, /w, n les cosinus directeurs de la demi-normale à cette surface, cette demi-normale étant orientée de la région que nous nommerons 2 à la région que nous nommerons I ; par X la vitesse de propagation de l'onde 2, rapportée à V espace des a, b^ Cf et comptée positivement dans la direction de la demi-normale (/, m, n).
Dans le second cas, nous désignerons par S la surface d'onde, par a, p, y les cosinus directeurs de la demi-normale à la surface S, orientée de la région 2 à la région i ; parti la vitesse de propagation de l'onde rapportée à l'espace des x, y^ z, et comptée positivement suivant la direction de la demi-normale (a, p, y).
Entre les cosinus a, p, y et les cosinus /, m, n existent des rela- D. 22
l6o p. DUHEM.
lions fort simples, données par Hugoniof. On peut écrire, en effet [Rechenhes sur l'Hyfhodynamique, \^ série, deuxième Partie, Chapitre IV, § 3, égalités (244) et (245)],
ôa , âb de .-
ox ôx ' ôx
J ^y ày ôy ^
\ da , âb âc ^
\ oz oz ôz '
K étant une quantité qui diffère de zéro et qui varie selon le point que Ton considère sur la surface 2 ou sur la surface S.
Ces relations, respectivement multipliées par ^j -^» -^ et ajoutées
membre à membre, donnent la première relation d'un nouveau groupe; ce nouveau groupe est
^ dx „r o
En même temps, les deux vitesses 31; et tJ seront liées par l'égalité [Recherches sur l' Hydrodynamique^ i** série, deuxième Partie, égalité (25o)]
qui est due également à Hugoniot.
La quantité K, qui figure dans ces diverses formules, est susceptible de deux expressions différentes et équivalentes; les égalités (i), en effet, donnent //x /^« / àh de y
(^) W-^d-x^'^TxV
(da , db de y
^dy dy dy )
dx da
fj-
as
dx db
dz ()by~
dx
dro .
àz
(da . dh de y ^,
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. i6i
tandis que les égalités (2) permettent d'écrire
/da: dy ^ dz \*
l àx dy ^ dz \' i
Considérons une onde qui, dans l'espace des a, i, c, soit du second ordre par rapport à l'élongation (^, y], Ç). En chaque point de la surface 2 il existe un vecteur {§, y, OC) tel que l'on ait
Le vecteur (#, (/, JC) est la perturbation d'élongation, rapportée à l'espace des a, i, c, et propagée par l'onde 2.
La surface S sera nécessairement, dans l'espace des a?, y, z, une onde du second ordre par rapport à l'élongation (E, y], Z). En chaque point de la surface S il existera un vecteur ($, W, X) tel que l'on ait
Le vecteur ($, W^ X) est la perturbation d'élongation, rapportée à l'espace des a?, y, s, et propagée par l'onde S.
Il est facile de trouver les relations qui existent, entre le vecteur (^. y» ^) relatif k un point de la surface 2 et le vecteur ($, W, X), relatif au point correspondant de la surface S.
l62 p. DUHEM.
On a, en effet,
d^ôx^ __ d fdx\da d /dx\db d f dûc\ de dx ôa da \da ) ôx db \ôaj ôx de \da ) dr '
OU bien, en vertu des égalités (2) de la première Partie de ces Recherches sur l'Élasticité y
d dx d^da d^l db d'I de dx da da^ dx da db dx da de dx
Cette égalité, jointe aux égalités (i) et (6), donne la première des relations
[mr'"'- mYr'^'"' [mr-y^-
L^5*J =•'«'"'" 1.51 d^Jr''*''^' •••'
Considérons maintenant l'identité
da dx da dy da dz da
et différentions-en les deux membres par rapport à a?; nous trouvons l'identité
d^l da^ d^l db d^l àc^ da* dx dadb dx da de dx
d^dx d'g dy d^i dz dl d dx à^ d dy àl ^ dz dx^ da dx dy da dx dz da dx dx da dy dx da dz dx da
Mais les égalités (i) de la première Partie de ces Recherches sur l'Élasticité donnent
dÇ da à\ à^ ^\ ^^
dx "^ dx! dy ~~ dy^ dz "~ dz
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. i63
L'identité précédente devient donc
â^ôa a«$ àb d-g de d dx ôa} dx da àb dx àa de dx dx àa d^dx c^'g dy d^^ dz /da d dx dad^àv da^dz\ dx* da dx dy da dx dz da \dx dx da dy dx da dz dx da) '
Selon les égalités (i), (6), (7) et (8), cette identité donne, en tout point de la surface S, la première des égalités
Les deux autres s'obtiennent d'une manière analogue.
Multiplions respectivement ces égalités par ;p' ^» ;^ et ajoutons
membre à membre les résultats obtenus; nous trouvons la première des égalités
\ ^-K'Kda^^ db^ ^de ^y
Les deux autres s'obtiennent de même.
Multiplions respectivement les égalités (9) par /, /w, n et ajoutonsles membre à membre en tenant compte des égalités (i); nous trouvons la relation
(II) /0 4-mW-hwX = K5(a^'-i-(3C,»H-yje).
Nous aurions trouvé la même relation en multipliant respectivement les égalités (10) par a, p, y, en ajoutant membre à membre les résultats obtenus et en tenant compte des égalités (2).
Proposons-nous de former
Nous avons
d(D ÔQ ô ôx ôx ~ ^ôx ôx ôa ^ôi
Ô(Q Ô ÔX
. ôx ôx ôb
^Tb
ô(Q ô ôx . ôx ôx ôc
^Tc
dCD ô ÔY ^ ôv ôx ôa ôa
ô^i> ô ôy ^ôy ôx ôb
r?(ô ô ôy . ôy ôx ôc ^tc
d(K) ô ôz . ôz ôx ôa ôa
a(£> d ds . ds dx db
^ôb
dcô ô ôz . ôz ôx ôc
i>(y, -) à àx " D(6,c) ôx ôa
!)(/, 5) ô ôx D(r, z) ô ôx "*" D(c, a) ôx ôb ' l)(a, b) ôx ôc
D(z,x) ô ôy D(b,c) ôx ôa
\)(z,x) ô ôv l}(z,x) ô ôy \)(c,a)ôxôb \)(a, b) ôx ôc
D{x,y) ô ôz D{b,c) ôx ôa
Dix, y) ô ôz \)(x^y) ô ôz ■^ J)(c, a) ôx ôb ' J)(a, b) ôx ôc
Selon les égalités (26) de la première Partie de ces Recherches sur V Élasticité, cette égalité devient
^ / àa ^ ôx^ ôb ô ôx ôc ô ôx
ôx \ ôx ôx ôa ôx ôx ôb ôx ôx ôc
ôa ô ôv ôb ô ôy ôc ô ôy
ôx ôx ôa ôx ôx ôb ôx ôx ôc
ôa ô ôz ôb ô ôz ôc ô ôz\
ôx ôx ôa ôx ôx ôb ôx ôx ôc)
Les égalités (8) et (i) donnent alors la première des égalités
Les deux autres s'établissent d'une manière analogue.
En vertu de l'égalité (1 1), ces égalités peuvent encore s'écrire
CD
(i3) n<^Ji"~*^
[t]]=^U<^^'nW^nXU,
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÊ. i65
Nous avons
ôa dx ôa ôy ôa dz da
Cette égalité, jointe aux égalités (12) et (2), donne la première des égalités
Les deux autres s'établissent d'une manière analogue.
En vertu de l'égalité (11), ces égalités peuvent encore s'écrire
L'équation de continuité
nous montre que les surfaces £ et S sont, en général, ondes du premier ordre pour la densité p. On a donc
(16) ^ -.-a/, ^ -.•am, ^ -9in,
(.7) ^(P«-P.J^I>a, %ZPjJ=pp, ^i£^=py,
^ ^' ôx ÔY ^ âz '
les égalités (16) se rapportant à un point de la surface £ et les égalités (17) à un point de la surface S.
L'équation de continuité donne
dp po àiO
relation qui, jointe à la première égalité (i4) et à la première éga-
l66 p. DUHEM.
Vxié (i6), donne
(18) ^=-5|•(«^^-(3(J^-yX)
ou bien, en vertu de Tégalité (i i)»
L'équation de continuité donne aussi
dp ___ ^ ^
relation qui, jointe à la première égalité (12) et à la première égalité (17), donne
(20) p=-.!^(aj + (3g4-y5e) ou bien, en vertu de l'égalité (i i),
(21) Pr^^^(l^^ni^!^n\).
La comparaison des égalités (18) et (20), ou bien des égalités (19) et (21), donne
(22) P^Kc'R.
La condition pour qu'une onde, du second ordre par rapport aux composantes $, y], J^ de l'élongation, soit d'ordre supérieur au premier pour la densité p s'exprime alors indifféremment par l'une ou l'autre des relations, équivalentes entre elles,
(•23) a^-^py -f-y:ïe = o,
(24) l^~^-m^^-{'n\=zo.
Ces relations n'expriment nullement que h perturbation d'élongation propagée par l'onde soit transversale ni dans le milieu primitif, ce qu'exprimerait l'égalité
(23 015) l^-\-mq-^n:itz=zo.
RECHERCHES SUR l'ÉLÀSTICITÉ. 1G7
ni dans le milieu déformé, ce qu'exprimerait l'égalité (24 bis) «^ 4- P W -+- yX = o.
Considérons les composantes m, t', w de la vitesse d'un point matériel; on peut les exprimer en fonctions de a, b, c, t ou bien en fonctions de x^ j, 5, /. Dans le premier cas, on a
.g. __ dlja, b, c, t) ôn(a, b, c, t) àt:{a, b, c, t)
^^^^ "- ôi ' Jt ' ai
La surface 2 étant, dans l'espace des (a, i, c), une onde du second ordre pour l'élongation (Ç, y], J^), est onde du premier ordre pour la vitesse (w, f», «^). Soient t), t?, if^ les composantes de \9i perturbation de vitesse que propage cette onde; nous aurons, en tout point de la surface £,
<'^' mr'^- [".];=-• m,-- m--^
et des égalités analogues concernant v et (v. Les égalités (6), (25) et (26) donnent alors
(27) t:) = — x^, •<?=— xg, \j?) = — X3e.
Dans le milieu primitif j ronde S propage une perturbation d^élongation et une perturbation de vitesse orientées suivant la même ligne.
Dans l'espace des {x, y, 5), la surface S est onde du premier ordre par rapport aux composantes w, v, w de la vitesse; si l'on désigne par U, V, W les composantes de \^ perturbation de vitesse qu'elle propage, on aura
<-> fê];=-' [|];=^"' [."];-"• fê];=--
et des égalités analogues concernant ç et w.
D'autre part, la première égalité (25) donne
du d^l da d^l db d^l de
dx ~~ ôa Ot ôjc db dt dx de dt dx
lG8 p. DUHEM.
Celte égalité, jointe aux égalités (6) et (i), donne l'égalité
(xd^^.
Celle-ci, comparée à la première des égalités (28), donne la première des égalités
(29) U^-K^n^j", Vm— KXÇ, Wz=— KJGOe.
Les deux autres s'obtiennent d'une manière analogue.
Dans le milieu déformé y Vonde S propage une perturbation de vitesse qui est parallèle à la perturbation correspondante d'élongation que propage Vonde 2 dans le milieu primitif et^ partant, à la perturbation de vitesse que propage cette même onde 2 ( * ).
Les égalités (18) et (20), jointes aux égalités (29), permettent d'écrire
(18^/5) cil = 3gg(aU-M3V + yW),
(20 bis) V - -^^ («U 4- P V 4- yW).
Pour qu'une onde du second ordre par rapport aux composantes $, y), 1^ de l'élongation soit, par rapport à la densité p, d'ordre supérieur au premier (^ = 0, P = o), il faut que l'on ait
(30) aU + l3V + yW = o
oUy en d'autres termes, que cette onde soit, dans le milieu déformé, transversale par rapport aux composantes u, v, iv de la vitesse; et cela sufp.t si la vitesse x avec laquelle la surface d'onde se propage dans le milieu primitif nest pas égale à zéro.
Si, dans la première Partie de ces Recherches sur V Élasticité, on con-
( ï ) Sur la propagation des ondes dans un milieu parfaitement élastique affecté de déformations finies {Comptes rendus, t. CXXXVI, 8 juin 1903, p. 1379).
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. iG()
sidère les égalités (2) et (8), on obtient sans peine l'égalité
^£1 dx d dx ày à dv âz à dz
dx ôa dx ôa ôa dx da da ôx ôa
Cette égalité, jointe aux égalités (8), permet d'écrire, en tout point de l'onde.
Posons
Mr^-^af-%''*%-)-
k — à-e^, ày .. dz
dx j dv .
db
c ^àx . ày dz
ôc "' ôc '^ ôc
et l'égalité précédente deviendra la première des égalités (*)
i[S];=>'"'*. Mr^^'^- [èJ^-^v'A,
— Ka/iC, ...,
= Ka(/iB + /nC), r^r=K|3(/iB -^ mC), [^1*= Ky(/^B + mC),
= Ka(/C + «A), Ka(mA-f-/B),
Vdi\
\ I 5Jji
Les autres égalités (32) s'établissent comme la première.
Les égalités (3i) nous donnent les expressions des quantités A, B,
(*) Ces égalités ont été données dans le cours que nous ayons professé en 1901-1902 à la Faculté des Sciences de Bordeaux. M. Hadamard, qui les avait obtenues de son côté, les a publiées en igoS dans ses Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l'Hydrodynamique, p. 249.
170 p. DUHEM.
C en fondions des quantités §, ^, 5C; parfois nous aurons besoin d'exprimer les mêmes quantités A, B, C en fonctions des grandeurs $, W et X; nous y parviendrons de la manière suivante : La première égalité (3i), jointe aux égalités (10), donne
\ôa Oc âa de ôa ôc ) "
Moyennant les égalités (i) et (8) de la première Partie de ces Recherches sur l'ÉlcLsticité, cette égalité devient la première des égalités
r K»C=y,^-+-yi«'-i-(i-i-2£3)X.
Les deux autres s'obtiennent d'une manière analogue.
IL — Propagation d'une onde au sein d'un milieu dénué de viscosité. Composantes de Télongation rapportées au milieu primitif.
Passons maintenant à des considérations dynamiques.
Pour ne pas les compliquer outre mesure, nous ne garderons pas ici toute la généralité qu'avaient les formules établies en la première Partie de ces Recherches, Nous admettrons, aussi bien au cours du présent Chapitre qu'au cours du Chapitre suivant, que chaque masse élémentaire est soumise seulement à une action extérieure newtonienne; nous désignerons par X^, Y,, Z, les composantes du champ et nous supposerons ces quantités continues ainsi que leurs dérivées partielles des divers ordres.
En second lieu, au présent Chapitre, nous supposerons le milieu dénué de viscosité.
En revanche, dans les considérations que la première Partie de ces Recherches a développées, nous introduirons une généralisation; cette généralisation, sans compliquer les calculs, augmentera beaucoup la portée des résultats.
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. 17I
Nous avons supposé, en la première Partie de ces Recherches, que les déformations du milieu étaient rapportées a un état initial homogène et isotrope; la possibilité de rapporter Tétat actuel du milieu à un tel état initial déânit le milieu vitreux. Au présent Chapitre, nous admettrons encore que l'état initial (a, 6, c) auquel nous rapportons les déformations soit homogène, mais nous ne supposerons plus qu'il soit forcément isotrope; en d'autres termes, nous admettrons que le milieu étudié puisse être soit un milieu vitreux, soit un milieu cristallisé.
Si nous passons en revue les raisonnements développés dans notre première Partie, nous verrons que, pour un milieu vitreux soumis exclusivement à des actions extérieures newtoniennes et dénué de viscosité, l'isotropie de l'état initial n'a été invoquée que trois fois :
Une première fois, en passant des égalités (45) aux égalités (45 bis) de la première Partie, pour déterminer de quelle manière e,, e^f e,, g\y §2^ gz dépendent de £, , t^, £3» Ti 5 Ta» Ta » ^^ présent Chapitre, nous ferons exclusivement usage des égalités (45) de la première Partie.
Une secande fois, en passant des égalités (85) aux égalités (85 bis) de la première Partie, pour déterminer de quelle manière e,, e^, e,, g,, ga, g., dépendent de £|^£2» £3» Tm T2» Yaî ^^ présent Chapitre, nous ferons exclusivement usage des égalités (83) de la première Partie.
Une troisième fois, enfin, dans l'étude de la propagation de la chaleur par conductibilité, lorsque nous avons admis que les trois quantités A,, ^2, ^3 écrites en l'égalité (89) de la première Partie étaient les trois déterminations A(T, a, , cia, o-,), kÇï, o-g, a,, o-, ), A(T, o-,, cr, , Cj) d'une même fonction A(T, a, o-', a'); mais les formules qui suivent cette égalité (89) ont une forme indépendante de cette hypothèse; nous pourrons donc en faire usage.
Les égalités (82) de la première Partie et (6) du présent Chapitre nous enseignent que l'on a, en tout point de l'onde.
Proposons-nous de former la quantité
Les quantités N,-, T, sont données par les égalités (62) de la première Partie où, selon les égalités (61) de la même Partie, les quantités d, (Ji doivent être réduites à C/, gi.
Nous aurons alors
^N;, aT, ôTy
avec
^ ^ ^ p ôx 9 dy p ôz
{ [ d (dxy d dx dy à dx dz'\ (37) 9.-P| ^i[ Tx\d^) -^TyTaô^-^TzTaTa]
■^ ^* L àx \db) "^ dy âb db "^ dz db db\
* L dx\dcj dy de de dz de de J
[d dx dx d dx dy d dx dz dxdbôc'^dydbdc'^dldbdc
d dx dx d dx dy d dx dzl dx de db dy de db dz de db]
r d dx dx d dx dy d dx dz
I or I \ , • I ,
d dx dx d dx dy d dx dzl dx da de dy da de dz da de \
r d dx dx d dx dy d dx dz "^^'[ dxdâdb^'dydâdb^dzdâTb
d dx dx d dx dy d dx dzX\ dx db da dy db da dz db da\)
RECHERCnES SUR L*ÉLASTICITÉ. 173
. ,o, \i 1 (dx d\ dy d\ dz SkX dx de^
(38) 9, = p2.i \d'aTx^Tad^-^d-a-d'z)di'ÏÏk
dx d\ à Y d\ dz d\\ dx ôe^ Jb'di^tb'dy'^ôbFzjTb'&k
dz d\\ dx de^
fdx dX dy dl dz dlX dx \ de dx de dy de dz ) de
KdxJk dydk dz^dl\dx (dxdfk dyd}^ dzdlXdxldg, dû dx '^ db dy'^ db dz) dc'^ \dcdx'^ de dy "^ de dz) db J "51
r/^^ dy^ dz^ffk\dx /dxàk dyâl dzdk\dxld^ Wdc dx de dy de dz) da \da dx da dy da dz) de \ d'k
Kdxdfk dyâX dzdk\dx fdxdl dyàl ^^N^lî^l da dx "^ da dy "^ da dz) db "^ \db dx '^ dbdy'^ db dz) da ] dl \'
(X = ej, £„ £3, y,, y„ y^),
i /dT dx dT dy dT dz\dx de, t^9^ ^* = Pi [dJcd^'^d}d^'^Tzd^)d^df
fdTdx dTdy àTàz\dxàe^ "^ \dx db "^ dy db "*" dz db) db dT
dT dx àTdy dT dz\dx de^ dx de dy de dz de ) de dT
K^djr ÔTdy^ ^dz\d^ /^^ ^^ ^^\^'\^ dx db '^ dy db'^ dz db) de'^\dx dc^ dy de "^ dz de) db J dT
Kffïdx ^dy àTdz\djt (àTdx dTdy dTdz^\dxld^ dx de dy de dz de) da \dx da dy da dz da) de } dT
KdTdx dTdy dTdz^\dx fàjdx dTdy dT dz\dx-\dg,\ dx da '^ dy da'^ dz da) db '^ \dx db '^ dy db "^ dz db) da J dT )
On peut écrire
Les égalités (3G) et (ra) donnent, en remarquant que p(S) = pg, (4i) [?,]î=-K«[aN,+ pT, h7T,.)(«?l-Pg + y3e).
Les égalités (37), (8) et (2) donnent
. r ,dx dx dx
( dx ôx\ ( dx ,àx\ ( tàx àxW
x(«jH-pfj+y^)-
D'ailleurs, les égalités (2), jointes aux égalités (62) de la première Partie de ces Recherches, donnent l'égalité
dx dx
( dx dx\ ( dx ,dx\ ( .dx dxW
Les égalités (/ji) et (4^) se réunissent donc en une seule; posons (43) Q=— (ei/»-i-e,m*4-e,/i*-»-2^,m/n-2^,/i/4-2^,/m)
et nous aurons simplement (4i) [?.]î + [?.]î=-pQ^.
Les égalités (38), (3^) et (2) donnent
//"x r it I r ( làcx de^ de^\ ,dx
(4.) [<?.]î=PÎ [ [^ôr,-^"'ôi^''ôtJ ^ô^
( ,de^ de^ e)ej \ dx
\ dei d'/i d'/ij db
(, ^^3 de^ de^ \ dx
dsi dyz dy^J de
. ( i^S\ àgx dgC\ ( dx dx\
\ dzr dy^ dyj\ de db J
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. I75
r (l— ^ ^ÎL\ l^ 1r
^ L \ "^7^ '^ ^ àe^ '^ ^ ôyj da '^ J
Selon l'élégante notation indiquée par M. J. Hadamard (^), posons
(mC-h/iB=rG„ /iA-h/C = G„ /B + ^/iA = G,
et
(47) J= -E,-4--T-E,+ -r-E3-+- -j-G,-4- ^— G,4--r-Gj) .
\dzx ' dit de, dy, e^y, c^y, 7
Dans cette égalité (47)» (2) désigne un carré symbolique où Ton doit remplacer, par exemple, (^) par — et ^ ^ par ^^-^. J est une forme quadratique en
E,, E|, Ej, G„ Gî, G3;
partant, selon les égalités (46), c'est aussi une forme quadratique en
et les égalités (3i) la transforment en une forme quadratique des trois grandeurs
On peut aisément mettre l'égalité (45) sous la forme
r T, , f di dx dJ dx âJ ôx\
(di^dx dJ^dx ôJ dx\ ^^\dG, âa "^ (^E, db "^ ô(^, de)
__ (d^ dx dJ dx dJ dx\ ^^ \dGt da ■*' dG, db "*" (^E, de)'
(*) J. Hadamard. leçons sur la propagation des ondes et les' équations de VH/drodynamique, p. 25 1. Paris, igoS.
176 p. DUHEM.
En vertu des égalités (46), celte égalité peut encore s'écrire r- ,, fd} âx dJ dx dl dx\
En vertu des égalités (3i), elle se réduit à
(48) 2[9,]î=-pg.
Reste a évaluer [9*]^.
Si l'onde 2 est du premier ordre par rapport à la température absolue T, il existe en tout point de l'onde 2 une grandeur & telle que l'on ait
l yôx ôa dy ôa ôz Oa}^ L^^Ji )[ôTdx ÔT dy dT âzy [ôTy
I \<]J^Ox ^ôTdy ^dT àzY I àT'Y ^^ \ \^0j' Oc ' ôy de dz dc\^ L^^'Ji
Si, par rapport à la température absolue T, l'onde S est d'ordre supérieur au premier, on a
Par rapport à la température absolue T, l'onde S, tracée dans l'espace des {x, 7, z)^ est du même ordre que l'onde 2; on a donc, en tout point de l'onde S, une grandeur 0, nulle en même temps que &, et vérifiant, lorsqu'elle n'est pas nulle, les égalités
[£];=-• mr^"' [§];='••
Les égalités (2), (49) et (5i) montrent que la valeur de S en un point de l'onde S et la valeur de 0au point correspondant de l'onde S sont reliées par l'égalité
(52) errK^.
Si, par rapport à la température absolue, l'onde 2 est d'ordre supérieur au premier, les égalités (39), (49) et (5o) donnent immédiatement
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. I77
Si, au contraire, Fonde 1 est du premier ordre par rapport à la température absolue T, les égalités (Sg) et (49) donnent
.dx dei dx de^ dx de^
La détermination de Sr se tire de la relation supplémentaire [{Becherches sur l'élasticité , i^"" Partie, égalité (94)]-
Si le miiieu est bon conducteur fie la chaleur, cas auquel les coefficients de conductibilité ne sont pas tous nuls, la relation supplémentaire montre immédiatement que l'onde est au moins du second ordre par rapport à la température T; c'est donc l'égalité (53) qui doit être employée dans ce cas.
Dans le cas où le milieu ne conduit pas la chaleur, la relation supplémentaire exprime simplement que la quantité de chaleur dégagée, dans le temps dt, par chacun des éléments du système est nulle. Comme le milieu n'est pas visqueux, l'égalité (86) de la première Partie réduit cette relation à
dT ÔEi ôsi ÔB:i dyx dy^ dy%
OU bien, par comparaison entre les'égalités (45) et (85) de la première Partie, à
^^""^''^ ""^ ^ E\dT In ^ àf 'di '^ w dl '^ w w '^ w w ^ w w) -""'
D'ailleurs, les égalités (28) de la première Partie donnent
d£i dx d'g dy d^n dz d^X.
dt ~~ da da de da da dt da da dt '
ày, dx j^ dy d^ dz d^K (55) { dt " db dcdt "^ db dcdt "^ db dcdt
dx d^l dy d^n dz d^K
de dbdt ^ de dbdt ^ de dbdt"
I7B p. DUHEM.
Enfin, parmi les égalités (6)» nous trouvons
mïr-^"- [s<]:=--<^- [S];=— • {[&]'=-''■'*■ ■■■■
tandis qu'aux égalités (49) on doit joindre l'égalité
Si à toutes ces égalités nous joignons les égalités (3i) et si nous supposons 31^ différent de o, nous trouvons
égalité dans laquelle ® représente une forme linéaire en A, B, C; en vertu des égalités (3i), c'est aussi une forme linéaire en #, g, 5e,
Les égalités (54), (58) et (59) nous donnent alors, pour un corps mauvais conducteur de la chaleur,
ou bien, selon les égalités (3i),
Dès lors, si le milieu est bon conducteur de la chaleur ^ les égalités (4o), (U)> (48) et (53) transforment la première des égalités (34) en la
première des égalités
(61) i{^j +QÇ -x«g=:o,
Les deux dernières égalités (6i) découlent de même des deux der- ' nières équations (34).
Si Ton remplace dans J les lettres ^, ç, 3C par les lettres X, Y, Z, elle devient une certaine forme quadratique en X, Y, Z, J(X,Y, Z). L'équation que doit vérifier JC* pour que les équations (6i) soient compatibles est l'équation qui donne les carrés inverses des demiaxes de la surface du second degré
Si le milieu est mauvais conducteur de la chaleuTy les égalités (4o), (44)» (48) et (60) transforment la première des égalités (34) en la première des égalités
Les deux dernières égalités (63) dérivent de même des deux dernières égalités (34).
® est une fonction linéaire et homogène de é, ç, oe. Si nous y remplaçons ^, ç, 3e par X, Y, Z, elle devient une fonction linéaire et homogène de X, Y, Z, €(X, Y, Z).
Pour que les équations (63) soient compatibles, il faut et il suffit que 5t-^ vérifie une certaine équation du troisième degré; c'est l'équation qui donne les carrés inverses des demi-axes de la qua-
l8o p. DUHEM.
(Irique
Étudions la nature des surfaces du second degré que représentent les équations (62) et (64).
Selon Tégalité (127) de la troisième Partie de ces Recherches sur l'élasticité (*), on doit avoir l'inégalité
/A-N r d(t> ( dx ^dy ^àz \^
d^ ( dx dy dz
dx dy
-f-2-r— (a„ai,-+-a„«,a4-a3,a„)+... > o,
quelles que soient les valeurs attribuées aux quantités a/y. Dans cette inégalité, faisons (^)
Ian=/J^, «15=: /nef, ajjzzr/i^,
«îi=^(b ««=/wg, atz—nQy
ajii=/^, fl^jj ^:= /w JC, a33=/iJC.
Cette inégalité (65) deviendra, en tenant compte des égalités (3i), -i- /A 4- -r- /wB -h ^-nC
Ôci âSt ÔB^
-h -Y-(mCH-/iB) -h -3— (/iA4-/C) -h-r— (/B-hmA)
-t-( -7-/*-+- -r-m»-f- -r-/<*-h2-v-//i/i-+-2-— /1/+23- //n)(rf«-hg»4-X^)>o
(1) En la troisième Partie de ces Recherches, les lettres e^, e,, 8,, yii Yi> T> sont remplacées par ex, et, e^, ^t, ^,, ^i; les quantités a/y sont remplacées par les symboles Sa/y.
(*) Les égalités (66) ont la forme indiquée aux égalités (137) de la troisième Partie, forme à laquelle se rattachent certaines considérations de stabilité) dues à M. J. Hadamard, et discutées en cette troisième Partie, Chapitre m, § 4.
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. |8i
OU bien, selon les égaillés (43), (46) et (4?)» (67) J(-f,g,x) + Q(j«+ç«-i-ae«)>o.
Cette inégalité ayant lieu quels que soient #, ç, 3e, nous voyons que la surface représentée par Vèqualion (62) est un elUpsoîdc réel C. On peut donc énoncer le théorème suivant :
A chaque point d'une onde £, du second ordre par rapport à l'élongation ($, Y], ^), tracée dans l'espace (a, é, c) qui représente l'état initial du milieu conducteur de la chaleur, correspond un ellipsoïde réel C. Pour qu'une perturbation d'élongation, rapportée au même état initial, puisse être propagée par ronde S, il faut quelle soit dirigée suivant un des axes de l'ellipsoïde C. La vitesse de propagation, rapportée également à l'espace des (a, 6, c), est l'inverse de la moitié de cet axe.
Ce beau théorème est dû à M. J. Iladamard (*); mais, par suite d'une inadvertance, M. Hadamard l'a énoncé, non pas pour la perturbation d'élongation rapportée au milieu initial, mais pour la perturbation d'élongation rapportée au milieu dans son état actuel de déformation, c'est-à-dire à l'espace des (x,y,z); au prochain paragraphe, nous verrons qu'il serait alors inexact.
En outre, la démonstration de M. Hadamard supposait que la température du milieu demeurait invariable tandis que l'onde s'y propageait; la nôtre suppose seulement que le milieu étudié est capable de propager la chaleur par conductibilité.
Le théorème de M. Hadamard a été précédé par des propositions dues à Green (^) et à Poisson (').
Ni Green, ni Poisson, cela va sans dire, n'ont traité le problème de la propagation des ondes au point de vue qu'ont considéré les premiers Chrisloffel et Hugoniot; ils ont traité la propagation d'ondes
(*) J. Hadamard, Leçons sur la théorie des ondes et sur les équations de l'Hydrodjrnamique, Paris, 1903, p. 25*2.
(*) G. Grken, On the propagation of light in crjrstcdlized média (Cambridge Phil. Soc,, 20 mai 1839; Mathematical Papers of the late George Green).
(•) Poisson, Mémoire sur l'équilibre et le mouvement des corps cristallisés, lu à l'Académie le 28 oclobre 1889 (Mémoires de l'Jcadémie des Sciences, l. XVIU).
l82 p. DUHEM.
planes au sens classique de ce mot; en outre, Poisson supposait le milieu infiniment peu déformé et Green, après avoir supposé que les déformations pouvaient être finies, introduisait dans l'évaluation du potentiel interne une restriction qui n*est acceptable que pour les déformations infiniment petites. Enfin, Green, comme Poisson, ne tenait aucun compte des variations possibles de la température.
Dans ces conditions restreintes, les deux illustres géomètres ont démontré un théorème semblable à la proposition, due à M. Hadamard, dont nous avons rappelé Ténoncé.
Si la surface représentée par l'égalité (62) est un ellipsoïde réel c^ la surface représentée par l'égalité (6/|) est y a fortiori, un ellipsoïde réel C'\ de plus, l'el/ipsuile C* est, en entier^ situé à l'intérieur de l'ellipsoïde C.
On peut donc, pour tout milieu non conducteur de la chaleur, énoncer le théorème suivant :
A chaque point d'une onde 2, du second ordre par rapport aux composantes Ç, V), ^ de Vélongation, et tmcée dans l'espace des (a, A, c), qui représente Vétat initial du milieu, correspond un ellipsoïde réel €'. Pour qu'une perturbation d'élongation, rapportée au même état initial, puisse être propagée par l'onde 2, il faut quelle soit dirigée suii^ant un des axes de l' ellipsoïde C\ La vitesse de propagation, rapportée également à l'espace des (a, b, c), est l'inverse de la moitié de cet axe.
III. — Propagation des ondes au sein d'un milieu dénué de viscosité. Perturbation de la vitesse.
Au paragraphe I, nous avons démontré ce théorème :
Soit qu'on la rapporte au milieu primitif (a, b, c), soit qu'on la rapporte au milieu déformé (x, y, 5), la perturbation de vitesse a même orientation: elle est parallèle à la perturbation d'élongation rapportée au milieu primitif (a, b, c).
Ce théorème, rapproché de ceux qui ont été établis au paragraphe précédent, donne les propositions suivantes :
Si l'on se donne un point, soit dans le milieu primitif, soit dans le
milieu déformé y et V orienlation d'une onde passant par ce point, la perturbation de vitesse que cette onde peut propager est susceptible, en ce point, de trois orientations distinctes; ces trois orientations sont celles des axes principaux de l'ellipsoïde C si le milieu conduit la chaleur et celles des axes principaux de l'ellipsoïde C si le milieu est dénué de toute conductibilité.
IV. — Propagation des ondes dans les milieux dénués de viscosité. Composantes de Télongation rapportées au milieu déformé.
Nous allons traiter les questions déjà examinées au paragraphe I en rapportant les grandeurs inconnues à l'état déformé {x, y, z) du milieu; au lieu de déterminer ^, (j\ :îe, nous aurons à déterminer *, V. X.
Dans ce but, multiplions respectivement les égalités (34) par
K^^> K^-T-> K*^ ^^ ajoutons-les membre à membre. La première égalité (9) nous donnera
(68) K.p-%.(^,fH-|ff+^ae):.p.,v*.
L'égalité (4 1), qui donne [ (p, ]*J, et les égalités analogues qui donneraient ['!,]% [x«]i' J^'"^®^ ^^^ égalités (G2) de la première Partie et à l'égalité (i i) de cette quatrième Partie, donnent aisément
L'égalité (4^), qui donne [ça]?» et les égalités analogues, qui donneraient ['^a]?» [Xa]?» jointes aux égalités (10) et (fi), donnent Tégalité
L'égalité (45), qui donne [93 JJ, et les égalités analogues qui donne- D. 25
l8^( p. DUHEM.
raient [^3]^ [Xslî» jointes aux égalités (33), donnent
L \ ày^ Ô£^ dyx) \ dy, àz^ ôyj
L \ «y» <^yi »s> / \ <7« »yi àuj
Si le milieu est bon conducteur de la chaleur, Téquation (63) et les équations analogues qui donneraient [']^i]î, [xJî permettent d'écrire
Si le milieu est mauvais conducteur de la chaleur, l'égalité (60) qui donne [oJJ» et les égalitésanalogues qui donneraient [^4]; et [x*]?» jointes aux égalités (5()) et (33), permettent d'écrire
Kn ajoutant ensemble les seconds membres des égalités (68), (69), (70), (71) et (72) ou (73), nous trouvons un résultat nul, ce qui
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. i85
nous donne la première des égalités
(74) S,,^ -h (S„-hX«)^^-+- 8,3X^0,
Les coefficients S/y dépendent de la déformation au point considéré, de la température T, et des cosinus direclcurs /, m, n de la normale à Tonde, ces cosinus étant rapportés à l'état initial du milieu. Les coefficients S^y n'ont pas même valeur selon que le milieu est ou n'est pas conducteur de la chaleur.
Lorsque i et j sont distincts, on n'a pas
(75) S/y=:Sy/.
Vérifions cette proposition en écrivant, pour le cas où le milieu est bon conducteur de la chaleur, les expressions de S^a et de Sj,. Nous avons
L\ ày^ dit dyj \ ôy^ dit dyj
K,ôex àei âetX , f ,dg^ dg. àgt\
àyt dy, ds^J \ âyt ôy, ôz^ J
L\ à£x ây^ âyt ) \ dix ôyt dy, /
L\ ày^ dît dyj \ ày^ dst dyj
lA (^ïi àyx dej \ dy, dy, dej
|8(> p. bllIEM.
Visiblement, ces deux coefficients ne sauraient être égaux entre eux, car l'expression de S, j contient un terme en £, et un terme en y, que ne contient pas l'expression de S^,, tandis que celle-ci contient un terme en t, et un terme en y^ que ne contient pas l'expression de 8,3. Le coefficient du terme en e, dans S,, est égal au coefficient du terme en £, dans S^,, en vertu des égalités (/|5) de la première Partie.
Si donc on se donne l'état d'un milieu, dénué' de viscosité, au voisinage d'un certain point et l'orientcuion d'une onde qui passe par ce point, cette onde peut propager trois directions de la perturbation relative aux composantes de l'élongation; chacune de ces trois directions corresponde une vitesse de propagation déterminée dont la valeur, rapportée à Vétat initial du milieu, est une des racines de l'équation
Su
S„-H Jî.»
Les trois directions de perturbation ne sont pas forcément rectangulaires entre elles.
V. — Propagation des ondes au sein d*an milieu dénué de Yiscosité et très peu déformé.
Laissant absolument quelconque l'état initial du milieu, nous supposerons que les divers points du milieu subissent seulement, à partir de cet état initial, des déplacements très petits et des variations de température très petites.
Dans ce cas, les quantités £,, £3, £3, yi, Ya» Ts seront très petites; il en sera de même des quantités $, ^'*, X; nous pourrons négliger, devant chacune de ces quantités, le carré de l'une quelconque d'entre elles ou le produit de deux d'entre elles; enfin, les quantités e,,^^» ^3* ^4, g^a, g^ seront négligeables devant les dérivées de ces mêmes quantités par rapport aux variables £,, £2, £3» Yi, 72, 73, T.
Dès lors, si le milieu est bon conducteur de la chaleur, nous avons, en vertu des égalités (45) de la première Partie et (69), (70), (71),
(72), de la présente Partie,
I S„ = — /* TT-^'^ -XT -+-'* XT H-2m/i;r r 1-2/ (/?i T— 5 h/i . . ) ]
L ^7Î àz\ dy\ dy^dy, \ dt^dy, dt^ôyj y
L ^yî ^yî ^eî ^yi^yt V ^es^^ït àe^âyj]
/ «>y»<^yî àe^dyy ày.dei yde^de^ dy\ )
{ dytàz, àyiâyz de^ày^ \àe:,à£, dy\ )
"^ '^ r \^£, ày^ "^ (?y, £^yj "^ \dz^ dy, "^ c^yi^ys/J T / e^fiic^ys My,c^e, <^yîdyi V^ei<^«i <^yJ /
"^ '* L U«i ^yi "^ ^yi <?yi/ '^ W^, ^y, "^ <^y, ^y, ; J j *
Selon les égalités (74) et (77), les trois valeurs de x sont maintenant les inverses des trois demi-axes de la quadrique
(79) S,, j:«h- S„7*-+- Sj,5«+ 2 Sj» V5 4- 28,1 50: + 281,0:7 H- i = o,
et, selon les égalités (74)» l^^ ^^w directions de perturbation que Conde peut propager sont les directions de ces mêmes axes, quil s'agisse de perturbation d'élongation ou de perturbation de vitesse, et que la perturbation soit rapportée à l'état initial du milieu ou à son état déformé.
Pour que les trois valeurs de la vitesse de propagation et les trois directions de perturbation auxquelles elles correspondent soient réelles, il faut et il suffit que l'équation (79) représente un ellipsoïde réel.
Or, si nous posons
j Gi=:« V -+- /W2, G,= /^4-/^o?, G^z^nix ->t- ly.
l88 p. DUHEM.
nous aurons
(81) Si,.r'-+-S„y»H-S„5'H-2S,,/5-+-2S3,5j:4- 28,,^/
- {^^v u-^^^p i.^F -^^"^r -i.^'^r ^^*r ^'•' \d£, dît àst dy, dy, dy^ J
(2) représentant un carré symbolique.
Or, quels que soient E,, Ej, E,, G,, G^, G,, on a [Recherches sur Vélasticitéy 3* Partie; égalité (i45)]
(82) -r-E,H- T-E,4- T-Ej-h :T-Gj-h ■^— G,4- ;r-G,) >o.
\âei d€^ de, ây^ ây^ ây^ 7
t Selon (81) et (82), V équation (79) représente assurément un ellip-
soïde réel.
Les égalités (78) ont été établies en faisant usage de l'égalité (72), partant en supposant que le milieu était conducteur de la chaleur; si le milieu est dénué de conductibilité pour la chaleur, il faut, à Tégalité (72), substituer l'égalité (73); alors les égalités (78) sont remplacées par les suivantes :
** V àt\ dy\ dy\ ây^ây^ \ dt.dy^ àz.dyj
^rc[^di;^-^'^ô^^-^''d^)y
" " / dyzdyt dt^dy, dy^dh Kde^de^ dy\ )
■^ L ' \de^ dyt "^ c^y, (^y, / ' \ (^£3 <>y« "^ dyi dy J J
T /, (^«* (^«^ d^iP \/, d*^ d^^ d'*\)
-^Ë-cVd^:wî-^'^di;wT^-''j^)V'^
En vertu des égalités (80) et (83), l'égalité (81) est remplacée par l'égalité
(84) s;,^»+s;,y' + s;3^»-+-2s;375 + 2s;iSj;H-2s;,xy
fd^ p di^j, d4>^ d^ ^ d^^ d^ ^ y*>
\d£i de, dsi dyx dyt dyt 7
(2) désignant encore un carré symbolique.
La surface représentée par l'équation
(85) s;ia;»-hs;,.r»-+-s;,^'-f-2s;,y5-h2s;iiïj?H-2s;,ar7-+-i = o,
est alors un ellipsoïde réel situé à l'intérieur de l' ellipsoïde que représente l'équation (79).
Considérons un milieu homogène, de température T, dont la déformation très petite, la même en chaque point, soit représentée par les six quantités £,, e^. ^st Ym Ta» Tsî '®s six quantités N^, N^, N^, T-p, Tj,, T, ont des valeurs bien déterminées, les mêmes en chaque point.
A cette déformation, donnons une variation homogène définie par les égalités
H,, Ha, H3, K,, Ka, Kj étant six quantités indépendantes de a?, 7, z et M une quantité infiniment petite qui est aussi indépendante de a?, y,z.
Si cette variation laisse invariable la température, elle ne peut conduire à un nouvel état d'équilibre à moins que N„ Ny, N^, T^., T^,, T^ n'éprouvent des variations SN^.. 2N^. SN^, ST^, iTy, ST,; et l'on a [^Recherches sur l'élasticité, 3*^ Partie, égalité (i4^)]
Si, au contraire, la variation (86) laisse invariable Tentropie de chaque élément, N^, N^., N„ T^., T^, T, éprouvent des variations S'N^^, S'N^, â'N^, â'T^, S'T^, S T^et l'on a [Recherches sur l'élasticité, 3*^ Partie, égalités (r48) et (i ')o)J
(88) d'N:c3e, -h ^'Ny 3£,-f- Ô'N;,(ÎS3-H ô'T^ dy, -h Ô'T^ 3y,-+- Ô'T;; ôya
^ \(^£i d£, (^£3 (iyi (?y, c^y, /
igo p. DUHEM.
Entre les deux ellipsoïdes représentés par les égalités (79) et (84), ces égalités (87) et (88) donnent une remarquable relation.
Prenons un point déterminé de Tonde et, en ce point, une direction dont X, [X, V sont les cosinus directeurs; sur cette direction, Tellipsoïde c^ relatif au milieu supposé conducteur de la chaleur, détermine un rayon vecteur R. Si, dans l'équation (79), on remplace x, j, z par XR, (xR, vR, cette équation sera vérifiée, en sorte que Ton aura
D'autre part, si nous posons
mX,
les égalités (80) deviendront
Ei^RH|, Et=RIIi<
G|:=RK,, G, = RKf,
G,= RK„
et l'égalité (8i) deviendra
(91) S„X«-+- S„/x'-h SajV*-+- 2S,s/JLv-4- 2S„vX H- 28,,^
fâ^^ d4>„ diP^ c^O^ d^^ d^l^^y-'
= —( T-H1-+- T-Ht-+- T-Ht-H T~Kj4- 3— K,-+- T-Kj) . \âEi ÔSt de^ dy, (^/, dy, 7
Les égalités (89) et (91) donneront
Sur la direction considérée, Tellipsoïde c\ relatif au milieu dénué de conductibilité intercepte un rayon vecteur R'. Si, à partir des égalités (84) et (85), nous instituons un raisonnement semblable à celui qui nous a donné l'égalité (92), nous trouvons l'égalité
<^yi <^yi àyt 7
Ec \ dei
à^/^<)^ '" dytàT '^ ày
RECHERCHES SUR L ÉLASTICITÉ. I()l
Les égalités (87), (88), (92) et (gS) conduisent alors au théorème suivant :
A chaque point M de l'onde et à chaque direction D(X, (x, v) issue de ce point y on peut attacher une certaine variation §£,, Ssj, Ssj, Syi» ^Ta» Sy, de la déformation, variation définie par les égalités (86) et (90).
D* autre part, sur la direction D, V ellipsoïde C, qui convient au milieu conducteur de la chaleur, intercepte un rayon vecteur R, tandis que l'ellipsoïde C\ qui cornaient aux milieux dénués de conductibilité, intercepte un rayon vecteur R'. On a
Si Kon se reporte au rôle que les ellipsoïdes *l* et c' jouent dans la détermination de la vitesse de propagation de l'onde, on voit que la proposition qui vient d'être énoncée remplace, dans le cas qui nous occupe, cette proposition vraie pour les fluides :
La vitesse de propagation d'une onde au sein d'un fluide supposé privé de conductibilité est à la vitesse de propagation d'une onde au sein du même fluide supposé conducteur, comme la racine carrée du coefficient de détente adiabatique est à la racine carrée du coefficient de détente isothermique.
Dans le cas des fluides, ce dernier rapport est égal à la racine carrée du rapport de la chaleur spécifique sous pression constante à la chaleur spécifique sous volume constant; peut-on, pour les corps élastiques peu déformés, énoncer une proposition analogue?
Si c est la chaleur spécifique normale et C la chaleur spécifique lorsqu'on maintient constantes les six quantités N^., N^., N„ T^, T^,, T,, on a [Recherches sur l'élasticité, 3* Partie, égalité (i58)]
Le second membre de cette égalité (93) n'est pas, en général, le D. 26
T92 p. DUHEM.
carré du second membre de l'égalité (c)\); c'est seulement, en effet, dans des cas exceptionnels que les quantités 5e,, Se^, Se,, oy,, Sya» SYs> définies par les égalités (SG) et (90), seront respectivement proportionnelles aux six quantités ^, ^, ^» ^, ^, ^.
Z,e théorème de Laplace ne s étend donc pas aux milieux élastiques peu déformés,
VI. ~ Propagation des ondes au sein d'un milieu vitreux très peu déformé.
Ce qui a été dit au paragraphe précédent a trait à un milieu très peu déformé quelconque; supposons maintenant que le milieu soit vitreux.
En vertu de l'égalité [Recherches sur l'élasticité, 2* Partie, égalité (6)],
(96) <l^ = (po(T)-+-9,(T)(£,-h£,4-£,)
-* Po -* Po
on a
Oe\ ~ de\ ■" âsl ~^ po
d£, (?£s ~" d£i âSi ~" dei dst ~~ po
j ày] ~" dy\ ~" dy] ~ po
âst âT ~~ dit d'ï — ÔB^ d'ï ~ dT
Les autres dérivées secondes de $ sont nulles ou infiniment petites. Ces égalités (97), jointes aux égalités (79)» (80), (8r), montrent que l'équation de Tellipsoïde C peut s'écrire
(98) ^(^ia:^my-^nzy
Po
H ^ — ^[2/*^?*-+- 2m'r--h 2/i*j3'-+- {ny -t- mz)*
Po
-h (/^ -t- /ia?)*-i- {mx -h lyY] = 1-
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. IqS
Les mêmes égalités (97), jointes aux égalités (80), (84)» (85), montrent que Téquation de rellipsoïde €/ peut s'écrire
H — - [2/*x*H- 2/w*/*-4- 2n}z^->r{ny-\- mzy
Po
-{'(Iz-^ nxY-^{mx-\- lyy]z=z\.
Prenons pour axe des z la normale à Ponde au point considéré, ce qui nous donnera
l-=LOy /?! r=: O, /l = I .
L'équation (98) deviendra
Po Po
tandis que l'équation (99) deviendra
Po Po
Ces deux équations équivalent au théorème suivant :
Au sein d'un mitieu vitreux très peu déformé , l'ellipsoïde C et V ellipsoïde C' sont tous deux de révolution autour de la normale à l'onde; en tous deux, le rayon de l'équateur a pour valeur
M(T) En l'ellipsoïde C, le demi-axe de réi'olution a pour longueur
Vm'-
tandis qu'en l'ellipsoïde C', ce même demi-axe a pour longueur
Tp» r ^/?,(T)
194 p. DUHEM.
La perturbation quune onde persistante peut propager est, ou exclusicernent transçersate, ou exclusivement longitudinale.
Que le milieu soit ou non conducteur de la chaleur, une perturbation transversale se propage avec une vitesse
(.03) X=4/ffiî.
Au sein d'un milieu conducteur, une perturbation longitudinale se propage avec une vitesse
(.03) ^f^^y^^mi^m,
tandis qu'au sein d'un milieu non conducteur de la chaleur, elle se propage avec une vitesse
(io4)
