aij3a„-|-da„3a„-h ^«3, da„)-i- > o
àyi
C'est la condition nécessaire et suffisante pour que notre milieu élastique, soumis à des forces quelconques sollicitant les éléments de la surface qui le limite ou les éléments de la masse qui le forme, soit soumis à la loi du déplacement isoihermique de l'équilibre. Cette condition suffît en même temps pour que ce corps élastique se conforme à la loi du déplacement isentropique de l'équilibre.
En outre, si le milieu, soumis à des actions purement superficielles et porté à une température uniforme, est en équilibre dans un état de déformation homogène, la condition (14^) nous assure que cet état
RECHERCHES SUR l'ÉLÂSTICITÉ. l^Q
demeure stable lorsqu'on maintient immobile la surface qui limite ce milieu et, en outre, lorsqu'on maintient invariable soit, la température du système, soit l'entropie de chaque élément.
Supposons, comme au Chapitre I, Paragraphe I, que Tétat initial du milieu soit l'état d'équilibre qu'il prend Ji la température T, sous une pression initiale H^, nulle ou posiiwe. A cette même température T, nous aurons, en vertu des égalités (4) et (7),
^= ?a(Po,T)- 2-^6,4- £,+ £3) Po
-»- ?i(po, T, e„ £„ £a, yi, y„ y,),
Ça étant une forme quadratique en £,, e^, £j, Yi. Ya» Ta- L'inégalité (14^) devient
-H (aa„)« 4- (««„)*+ (ôa„)»] > o,
(2) désignant un carré symbolique. Cette inégalité, où Ho est positif ou nul, exige que ce carré symbolique soit positif. Si l'on observe que les quantités Sa/y ont des valeurs entièrement arbitraires, on voit qu'il revient au même de dire que la grandeur
9î(po, T, e„ £„ £„ y„ y„ y,)
est une forme quadratique définie positive des ii, y^.
Nous étions déjà parvenus à cette condition au Chapitre I, Paragraphe I, en imposant au milieu élastique certaines conditions de stabilité; mais :
1** Nous n'avions pu regarder cette condition comme nécessaire qu'en supposant exacte la réciproque du théorème de Lagrange et de Lejeune-Dirichlet.
2° Nous avions dû nous limiter au cas où l'état initial est Tétat d'équilibre pris par le système sous une pression nulle.
Il y a donc avantage à prendre pour hypothèse fondamentale non pas certaines suppositions touchant la stabilité, mais la loi du déplacement isothermique de l'équilibre. Cette loi entraine d'ailleurs comme conséquences les stabilités que nous aurions postulées.
Les considérations que nous venons de développer se rattachent à une généralisation du théorème de Reech, généralisation qui a été indiquée par M. W. Voigt(*) et dont nous aurons besoin dans ce qui va suivre; disons quelques mots de cette généralisation.
Dans le cas où l'état initial du milieu est l'état d'équilibre pris, à la température T, sous une pression uniforme Ho, nulle ou positive, le carré symbolique qui figure au premier membre de l'inégalité (i43) est positif quels que soient les Sa^y ; si, en outre, H^ est nul et si l'on pose
dais = Es ^^is=E|,
cas auquel Ë«, Ë^, E,, G«, G2, G, sont six quantités arbitraires, la condition ainsi obtenue peut s'écrire
i45) (:r-Ei-h :r-E,-f- -T-EaH- -r— Gi-H-T— G,-h-r-G,) >o, \dei de, ôi^ ôy^ dy^ ôy^ 7
(2) désignant un carré symbolique.
Hors des hypothèses particulières que nous venons de préciser, nous ne connaîtrons pas le signe du premier membre de (i45); mais ce premier membre sera susceptible d'une interprétation simple.
Quelles que soient les quantités E,, Ej, E3, G,, Gj, G,, on peut toujours, au moyen des égalités (i44)» déterminer des valeurs correspon-
(*) W. VoiGT, Thermodynamik, 1" Band, p. 332-333, formules (198) et (199), Leipzig, 1903. f'oir aussi P. Duiiem, Sur une généralisation du théorème de Reech {Procès-verbaux des séances de la Société des Sciences phjrsiques et naturelles rfe Bordeaux, séance du 2 avrii 1903).
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ, i5|
dantes des Sa,;. Ces valeurs nous donneront
et détermineront une perturbation homogène de la déformation infiniment petite homogène qui affectait notre milieu.
Imaginons que cette perturbation soit accomplie sans variation de température; elle correspondra à des variations isothermiques
iN,, iN^, 3N,, il^, ÔT^, 3T,
des quantités N,, T,. Selon les égalités (3), nous aurons
'^ \()6} Ô£iÔ£^ ÔEiôei àt^àyi diiôy^ àt^ày^ ) >
^"\dy,()£i dy,()£, ()yidc3 c)yî <^yi ^y» ^^i <^yi 7
On voit alors que l'on a
(i48) E,0i\:c+E,aNj.H-E3aN,4-G,ÔT;,4-G,51V-f.G3ÔT5
^ \ôe^ ôe^ Oe^ dy, dy, dy, 7
Dans les conditions particulières où l'inégalité (r4^) est assurée, le premier membre de l'égalité (i ^8) est négatif.
Si la perturbation (i/jG), au lieu d'être isothermique, était accompagnée d'une variation homogène ST de la température, il faudrait, aux seconds membres des égalités (i47)» ajouter respectivement
En particulier, si la modification était isentropique, Miserait donné par l'égalité (i4o)» où les quantités c,, ^,, devraient être remplacées par les quantités é/, y*» ^^ où l'on aurait à tenir compte des éga-
lités (i4(>); dès lors, les grandeurs N,, T, subiraient des variations isentropiques
d'N,, d'NV, 4'N„ a'T„ il y, Ô'T, données par les égalités
i.1^^ 1^, PoT/à'<l^ ^ d-O ^ d'O ^ d*<l> ^ ô'^ ^ à^^ ^\ â'0
3'N,=rdNx— C-hs — rpEiH- :t — pi^E,-!- -. — ^pEjn- ^ — ît?G,-i- :r- :ypG,4- ^ — pfGj)i — n
d T, dT,- ^ (^^j^^ E,+ ^^^-^ E,4- ^^-^
Ces égalités (i^o) donnent (i5o) E,3'N;c-HE,ô'IVj.-hE,ô'N,-^G,3'T,H-(},3'Tj.-hG,a'T,
c est positif» en vertu du postulat de Helmholtz; le premier membre est donc assurément inférieur au premier membre de l'égalité (i48); toutes les fois que l'inégalité (i^5)est vérifiée, le premier membre de l'inégalité (i5o) est négatif.
Supposons que Ton fasse croître T de rfT en maintenant invariables les quantités N/, T^; les quantités £/, y, éprouveront des accroissements
et l'on aura, en vertu des égalités (3),
t â*<b de, d«0 r/£, ()«0 é/£3 f}«0 ^y^ f)»<i> ^ d'T </y, ()«»
(i5i) d£; rfT "^ de, ÔEi cfl "^ ()£, de^ dT "^ d£, c^y^ dT "^ dfi» ()y, cfT "*" d£, dy, 5T "*" âë^
(i52) j ây^de, dT "^ dy.ÔB^ dl "^ dy» «?£, cTf "*' dyj efT "^ dy, dy, dT '^ âyidy, dT '^ dy^ôT ""^^
RECHERCHES SUR L^ËLASTICITÉ. l53
Dans ces conditions, la masse dm dégage une quantité de chaleur rfQ donnée par Tégalité
que nous écrirons
dQ=—Cdm,
C étant la chaleur spécifique dans le cas où Ton maintient invariables les quantités N/, T/. On aura, d'après ces égalités,
/ -3\ r— T/ ô^^ di, ô^^ dE^ d'O dE^ <)*0 dy^ d^<b dy^ d'^ g?y,\ CIO ) L-c j-l^^g^^rp ^ "*"de,dT dT'^ ôe.dT dj'^ dy.ôT dT ~^ dy.dH dT "^ dya^T (fT J
OU bien, selon les égalités (i5i),
/.t;/\ r,^T/(^^r^^dOrf£, ^c)^r/£, dtl^ dy, ^â<b dy, â^ e/y,\(»)
Dans les circonstances, précisées ci-dessus, où l'inégalité (i45) est vérifiée quelles que soient les quantités Ë,, Ë^, Ë,, G|, G,, G,, on a sûrement
(i55) Oc
Multiplions respectivement les égalités (147) par ^» •••» ^> •••; les égalités (i5i) par poE,, ..., poG,, ... et ajoutons membre à membre les résultats obtenus; nous trouvons
(.56) ^aN,^ ^^N,.- ^aN,^ ^aT,+ ^^'V- ^ar.
-P'IaiT^^'-^ 5irdT^'-^ diTdT^'-^ aT^dî^'-^ diT^*"-^ d^TW^'j- D'une manière semblable, les égalités (149) et(i5i) donnent >"'* § J.N,^ *;j'N.+ ^*T.+ ^e'T,+ ^«'T.
-P" V^ïï^ '"^ diTdT^'"^ d^TdT^»-^ d^^'-^ d5;7dT*^''^ d^' '^V
r T / d'» rfe, d'<& </£, d'<& rfe, d'^ </y, d^ ^ d'» </y,\1 ^ L' EcVdei<>T rfT'^dê.dT cfr"^d£,dT rfT "^ dy, dT dT "^dy.dTrfT """dy.dT rfT/J
l54 P* DUHEM.
OU bien, en vertu de l'égalité (i53), (.57) ^*N,+ ^a'N,+ ^«'N.+ ^a-T.+ ^aX+^«'T.
- P'c ^diT^T^»"^ d^75T^*^ di;^^'"^ 57r5T^>"^ 5^7^^*"^ 5i;7dT ^V- Les égalités (i56) et (157) donnent la relation
Cette relation, qui généralise le théorème de Reech, est due, nous Pavons dit, à M. W. Voigt; elle nous sera utile plus tard.
VII. — Application des conditions précédentes à un milieu vitreux
peu déformé.
Les considérations développées au Paragraphe précédent supposent le milieu peu déformé, mais elles ne font aucune autre restriction; le milieu peut être cristallisé d'une manière quelconque; nous allons maintenant les particulariser davantage, en supposant que le milieu considéré soit un milieu vitreux.
Le passage du cas général à ce cas particulier se fait en suivant la voie marquée au Chapitre I, Paragraphe II.
La fonction ç^ est donnée par l'égalité (j 5); pour qu'elle soit définie positive, il faut et il suffit que l'on ait les deux inégalités
( 3A(pe,T)H-2M(po,T)>o, ^'^^ ( M(po,T)>o,
que nous avions déjà obtenues au Chapitre I, Paragraphe II. Mais alors :
i** Pour regarder ces conditions comme nécessaires, il nous fallait
RECHERCHES SUR l'ÊLASTICITÉ. i55
regarder comme légilime la réciproque du théorème de Lagrange et de Lejeune-Dirichlet. Ici, au contraire, la loi du déplacement isothermique de Téquilibre entraîne sûrement la nécessité de ces conditions.
2" Ces inégalités étant justifiées seulement pour la valeur que la densité p^ prend lorsque le corps est en équilibre, à la température T, sous une pression nulle. Ici, elles sont justifiées pour toutes les valeurs que peut prendre p©» à l^i température T, au sein d'un corps soumis à une pression uniforme nulle ou positive.
En vertu de l'égalité \Recherches sur l'Élasticité, seconde Partie, égalité (6)]
-H-~(2£Î-f-a£Î-+-2£Î-hy;H-yÎH-y5), apo
les égalités (i5i) deviennent
(A-^2M)^-^A(^^-^^J4-po-^:=0,
(A-^aM)^,4-A(^^H.^J4-po-^^=o,
On en tire
de^ d£^ cU^ ___ Po ^?t(T) dT~d'r''dT'- 3A-h2M (fï '
Chauffé de telle sorte que les quantités N/, T, ne varient pas, le milieu se dilate en restant semblable à lui-même; le coefficient de
l56 p. DUIIEM.
dilatation cubique a pour valeur
(igbis)
3A-h2M eCr
expression indiquée en (19).
En vertu des égalités (lîg) et (ï6o), Tégalité (i52) devient
r.fi,^ n T 3po r ^yi(T) r
('^') ^-"■*-Ê3ÂTïSfL-^T"J-
Les égalités (1/17) donnent, moyennant l'égalité (iSg),
dN;,=— (A -h 2M)E, - A(E, 4- E,), dNy=— (A-f-2M)E,— A(E,-+-E,), aN,=— (A4-2M)E,-A(Ei-hE2),
tandis que les égalités (149) deviennent
(a'N,=-(A + 2M)E,-A(E,4-E.)-^[^2^]\E, + ^ (.62) a'N^=-(A-h2M)E,--A(E,4-EJ-||[^3^j\E»-hE,^ (a'N= = --(A4-2M)E,-A(E.H-E,)-|I[^^]\E,-^E.-hE^
Dans ces formules, Ë,, E,, E, sont arbitraires; nous pouvons donc
faire
E| = E| ^^^ Ej = Cm
Elles deviennent
/ 8N, =dN^ =iH, =-(3A4-2M)C, (•63) j ,,N,^,,j,^.^,,j,^^J3^^,M-.^[^]'j..
Les égalités (i58), (160) et (i63) donnent sans peine
<'«« ï = 3ÂTÎM
formule qui nous sera utile plus tard.
RECHERCHES SUR L*ÉLASTICITÉ. I f>7
Ce Chapitre, que nous terminerons ici, montre clairement quels avantages il y a k prendre pour postulat fondamental, dans Tétude des milieux élastiques, la loi du déplacement isothermique de Téquilihre, de préférence a certaines hypothèses touchant la stabilité. Rappelons, à ce sujet, que l'expression à laquelle nous avons donné le nom de travail perturbateur isothermique s*est présentée, pour la première fois, dans les recherches de Lord Rayleigh (*).
( I ) Lord Rayleigh, General Theorems relating to EquiUbrium and initial and steadjr Motions {Philosophical Magazine, t. XLIX, p. 218; 1875. — Scientific Papers, vol. I, p. a3a).
Par m. p. DUHEM.
UUATHIÈME PARTÏK.
PROPRIÉTÉS SÉHÉRALES DES OHDES DANS LES HUIEUX VISaUEÏÏX ET HOH VISaUEÏÏX.
CHAPITKE I.
