CHAPITRE m

CONTINUITÉ DE L'ÉTAT LIQUIDE ET DE L'ÉTAT VriREUX.

Que faut-il entendre en disant qu'un solide vitreux, sans être très compressible, est très aisément déformable? Nous donnerons à ces mots le sens suivant :

Les propriétés du milieu pris dans un état autre que l'état inifial

(*) Recherches sur rHjflrodrnamiquc, i* Par lie, Conclusion {Annales de la FacuUé des Sciences de Toulouse, i* série, l. IV, 190-2).

(*) II. BknarI), Journal de Phjsiquc, 2* série, t. IX, 1900, p. 5i3; t. X, 1901, p. aS^.

(*) Hevuc f^énérale des Sciences, 1 4* année, 1900, p. 114.

(*) Recherches sur l' Hfdrodfnamiquc, 2* Partie (Annales de la FacuUé des ScietiCes de Toulouse, 2* série, t. V, 1908 ).

RECHERCHES SUR l'ÉLASTÎCITÉ. 2O9

changent nottzblement sillon vient à changer la densité en chaque point ; mais, si l'on déforme les divers éléments sans en changer la densité, les propriétés du milieu varient extrêmement peu.

Suivons les conséquences de cette définition.

Les propriétés statiques du nmilieu sont entièrement définies par la forme de ^on potentiel interne ; ia connaissance de cette forme ne suffit plus pour fixer les propriétés dynamiques du milieu : il faut y joindre la forme de \^ fonction dissipati^^e.

La forme du potentiel interne dépend de deux fonctions, les fonctions $ et T comme l'enseigne l'égalité (4i) de la première Partie. Suivons, en chacune de ces deux fonctions, l'influence de notre définition.

La fonction $ dépend, en général, de la température T et des trois quantités J,, J^, J^. Si un changement de forme de l'élément auquel elle se rapporte devait la laisser rigoureusement invariable lorsqu'il n'entraîne aucun changement de température ni de densité, la grandeur $ serait une fonction des seules variables p et T; notre définition exige donc que la fonction O soit de la forme

(133) ^ = C(p,T)H-cp(T,J„J„J3),

la fonction ^(p,T) ayant une valeur notable, tandis que la fonction ç(T, J,, Jst Js) ^ "^^ valeur extrêmement petite.

Considérons maintenant la fonction V, dont dépend l'action mutuelle de deux éléments; nous avons énuméré en (43) de la première Partie les éléments dont cette fonction peut dépendre. Si elle devait demeurer rigoureusement invariable dans toute modification qui déforme les deux éléments sans altérer ni leur densité, ni leur position relative, elle ne pourrait dépendre que des densités p et p' des deux éléments et de leur distance mutuelle r; on aurait alors

ir = vKp,p',r).

D'après notre définition, cette égalité ne doit être qu'une égalité approchée et l'on doit ai^oir

(«34) ^^ = vKp,p',,-)H-x,

la fonction 'j^ ayant une valeur notable, tandis que la Jonction y^^, qui peut dépendre de tous les éléments énumérés en (43) de la première Partie, a toujours une très petite valeur.

D'après les égalités (40 de la première Partie, (ï33) et (134)» ^ potentiel interne du système s'exprimera par r égalité

(i35) .f= fi:(p,T)dm^^ f f^{p,p',r)dmdm'

-h j (^{T, 3 iyit,3i) dm -^^J jxd^dm'.

Les termes de la seconde ligne ont, en toute circonstance, des valeurs très petites. Les termes de la première ligne, qui seuls ont des- valeurs notables, reproduisent le potentiel interne d'une masse fluide, tel que le présente l'égalité (66) de la première Partie de nos Recherches sur l'Hydrodynamique.

Dès lors, il est bien évident, sans aucun calcul, que les milieux étudiés vont nous redonner, mais à titre de lois approchées, toutes les propositions qui découlaient rigoureusement, pour les fluides, de la seule forme de leur potentiel interne.

Si, comme nous l'avons fait en la première Partie de nos Recherches sur l'Hydrodynamique [égalités (67) et (75)], nous posons

nous aurons les égalités approchées

Si nous comparons en particulier ces égalités aux égalités (8) de la première Partie de ces Recherches sur l'Élasticité, qui conviennent à un milieu peu écarté de l'état initial, nous parvenons au théorème suivant :

En un milieu très aisément déformable qui est peu écarté de son état initial, ta fonction M (T) a des valeurs très petites par rapport aux valeurs

deA(iy

Examinons maintenant la forme qu'il convient d'attribuer à la Fonction dissipative en un milieu très aisément déformable.

Si les propriétés du milieu étaient absolument indépendantes de la déformation subie par chaque élément, mais seulement de la variation de densité à partir de l'état initial, la valeur de la fonction dissipative devrait rester absolument la même quel que soit le trièdre trirectangle dont les arêtes sont les trois axes principaux de dilatation de l'élément considéré. Sa forme se déterminerait alors par les raisonnements que nous avons suivis au Chapitre I, § Il de la première Partie de ces Recherches sur l'Élasticité. Cette forme, analogue à la forme (17) de cette première Partie, serait