DUHEM
l Idadtj, m \dbdtjt n Idcdcjf '
• r.^?- 1 [J^1±V- i f-^V— irf
\ t ldadt]^~ m [dbdt]t~~ n ldcdl\i~ ^^'
Les égalités (26), (27), (28) de la première Partie et(i) de la quatrième Partie donnent alors, en tout point de la surface S,
/[D',]î = -KX«^, tD;]î = -KDîi(3g, [I>i]î = -Kj&y5,
l tG;]î=-KX(«g + |3j).
Moyennant ces égalités (108), les égalités (33) de la première Partie donnent
8,=[r',]î=-Kx[ («.\:.+ p-7.-hy3i,)(A;,#4-?r.g + t-.5) I +(«.'v,+ (3.7,-1- yx=,){xj + g-.cj -+- Ji,^)].
j,z=[r',]»=-KX[ («A:., + (33', + yfe,){->:-.^ + ?r,f)-t-i-,5) -(-(«A:.,+ (3-7,-1- y2:.) (.x,^ -1- jT.g + 2:.5)]-
Ce que nous venons de dire, joint aux égalités (()2) de la première Partie, montre que les quantités N^., N^, N„ T^,. T^, T, varient d'une manière continue au travers de la surface S. Mais il n'en est pas de même des quantités v^, v^, v,, t,, t^, t^ données par les égalités (77) de la première Partie.
Désignons par f ce que devient la fonction dissipative S lorsqu'on y remplace
par
^1, K K 9i> 9î» Bail est facile de voir que les expressions de
[V.]?, [v,]î. [v,]î, [t,]î, [t^];, [t.]î se tireront des expressions (77) de la première Partie qui donnent
Vx» V,., V.. T-t, -Cy, T,
en remplaçant S par f.
En raisonnant comme nous l'avons fait en la i** série, deuxième Partie, de nos Recherches sur rHylroiynimique [Chapitre III, § 1, égalités (137)], nous verrons que l'on doit avoir, en tout point de la surface S,
( [vx]î«-+-[T,]î(3-+-[T^]îy-o, (110) [T,]î«-+-[v,.JÎ(3-h[T,]?y = o,
( [Tr]îaH-[Tjî(3^[v,]îy = o.
D'après ce qui vient d'être dit, ces égalités peuvent s'écrire :
^(AM« + jr,|3 + i,y)3',H-.. =0, ^(.■x:.,« + .7,(3-Hi,y)3b,+... =0.
Multiplions respectivement ces égalités par -X,, V[^, %^ et ajoutons membre à membre les résultats obtenus; nous trouvons la première
198 p. DUHEM.
des égalités
Les deux dernières s'obtiennent d'une manière analogue. Multiplions respectivement les égalités (112) par
— K M^xJ -^ 3'i tf -H ^i^),
— K OT, ( .X,^ -i- .T,g -h X>, JC),
et ajoutons membre à membre les résultats obtenus, en tenant compte des égalités (109); nous trouvons l'égalité
, ., ^ ai ^ ai ^ dî ai di ai
Mais la fonction f est homogène et du second degré en ï,, ïj» ^s» 0i» 02» 03 ; l'égalité (1 13) équivaut donc k l'égalité
(ii4) ^ = 0.
La forme i* est une forme définie positive en A',, A^, Ai, F^jT^, H; partant, la forme f est une forme définie positive enî>,,Ï2>^3»0i>02»0j et l'égalité (1 ï4) équivaut aux égalités
(ii5) bi = o, ^ = 0, ^z = o, 9i=o, 02 = 0, %i = o. Ces égalités (i i5) nous permettent évidemment d'écrire
Dans cette égalité, remplaçons î^^, g,, g^ par leurs valeurs tirées des égalités (109); en observant que
(-Xia4-J,(3H-5:.»y)«^(a:,a4--7,(3 4-5^îy)'4-(eX3a^?r3(3-+-3S,,y)«z=:i,
RECHERCHÉS SUR l'ÉLASTICITÉ. I99
nous trouvons Tégalité
(116)— KX(.Xi^4-.!riff-+-^i^)
H-(A;,«-f-g'iP-+-t-,y)(-\vf^?y,g-h3b,5e)
Selon les égalités (109), la quantité enlre crochets peut s'écrire
et elle est nulle par les égalités (1 15). En tenant compte de l'inégalité (116), nous trouvons la première des égalités
(117) ; -Xj.f-h-Tîd^-H^-î^^o,
Les deux autres s'obtiennent d'une manière analogue. Multiplions respectivement ces égalités (1 17) par A;,,g',,ab, en observant que
x\ + ?rî -+- àî =1, ^-i ''V-, 4- 5*1 7i -H ^i ^t - o, X, .%, 4- Sft '7i -h Jii ^, = o,
et nous trouvons la première des égalités
(118) ^ = 0, ç = Oy Je = o.
Les deux autres s'établissent d'une manière analogue.
•Ces résultats, rapprochés de l'inégalité (loG) et des indications générales données en la seconde Partie, Chapitre II, § l et2, conduisent au théorème suivant :
Au sein d'un milieu vitreux, doué de viscosité, une onde du premier ordre par rapport aux composantes m, ^, iv de la vitesse ne peut se propager; tes seules ondes de cet ordre qui puissent persister dans un tel milieu séparent constamment les deux mêmes portions du milieu ; elles sont alors surfaces de discontinuité pour la densité p et pour les six quantités N,-, T,-; si le milieu est maui^ats conducteur de la chaleur, elles sont également surfaces de discontinuité pour la température T.
aOO p. DUHEM«
II. — Des ondes du second ordre par rapport aux composantes de la vitesse ' dans les milieux vitreux doués de viscosité.
Admettons que nous ayons encore rinégalité (io6).
L'onde, du second ordre par rapport à w, v, w^ sera, selon ce que nous avons vu {Recherches sur t Élasticité, 2* Partie, Chap. II, § 1 et 2), du troisième ordre par rapport à i, yj, J^, du second ordre par rapport à p, et au moins du second ordre par rapport à T. Selon les égalités (62) de la première Partie, elle sera du second ordre par rapport aux six quantités N/, T,. Les équations (82) de la première Partie exigeront alors que Ton ait, en tout point de la surface S,
Formons explicitement ces égalités.
En chaque point de la surface Z il existe un vecteur #, g, x tel que
{'lda*dt\,~ Imldadbdt],
Nous avons
di}\db\da dD\db^ dD\ de dx da dx db dx de dx
et, en vertu des égalités (34) de la première Partie,
L<^-^Ji~W/ Vda*dl\^'^\dx) \db^dt\,'^\dx) ldc^dt\,
db dcV d^% Y de daV dn 1» da db\ d*l 1'
dx dx^dbâcàtl^ dx djo\ôcôadt\i^ dx dx\dadbdt\i
RECnERCHES SUR L*ÉLAST1CITÉ.
En vertu des égalités (i) et (120) cette égalité devient la première des égalités
Les autres s'établissent d'une manière analogue. Les égalités (33) de la première Partie donnent
Posons
; », = («,x., -I- ^.J,-hy^i){'Xj-h.JtÇ-h Jb.ae),
». = («.x,-(- pj',-^ y%,){Xj + ^,g ■+■ %,X),
•, = (a^-,H- j3.7,+ y3b,)(.X-.^+ J,C,' + 3b,5e) I +(«.%,+ pg-,-+-y55>,)(''x:-,?' + g'.ff + 3b,5e),
«,= («-X,-t-pg',+ y2>j)(-X,^-4-,7,S'+5fc,3e) + (a,X, + p.J, + yi-i) (eX,^ + ir,<? + Ji.K),
«,= («.X,-f-P5', + y5fc,)(.X.,^ + 3',g + X.,3e) + («,%,+ pir. + y3b.)(.X,# + g-,(j + 3i'.3e).
Les égalités (122) deviendront, en vertu des égalités (121),
Or, en vertu des égalités (77) de la première Partie, la première des égalités (i 19) devient
dr',«
4f]:-- 4fi;--
éX»*
[§]>■ [sj;)-
etc.
elc.
etc.
elc.
Dans cette égalité, chaque signe etc, remplace deux termes qui se déduisent du terme explicitement écrit avant ce signe en permutant
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. 2o3
les indices i, 2, 3. L'indice 2 est un quelconque des indices r, 2, i. Les indicesy, y, y" sont les indices r, 2, 3, pris dans un ordre quelconque.
Les égalités (124) et (laj) donnent, après suppression du facteur K^ ^^ qui, en vertu de l'inégalité (106), diffère de o, la première égalité
j^ («eX, -4- P Ji-4- yX), ) Xi«, -h etc.
-+-gfli [(«^^3 4-P7,-+-yt-a)-X,4-(a.X.,+ Pir,-4-yt^,)eA;,]€t-4- etc.
' '^WlT^ [(«eX.H-p.7i-Hy^i)^^-,-+-(«x,+ j3g'.^y5&,)^x,]€.
('^^) \ * ' 4- [(«-X, -h (3J, ^ y.t«,)-X4-h («.Xi -h ^^i'hy't:,)X,] €3 j -h etc.
-4- [(a \ -h P 3'y' -H y 3È)y') ^'V^* 4- (a .Xy- -h P -Jj- -4- y V) ^^V'] */ 1 = o,
^^(«.x,-4-P?ri-i-y5ti)^i«i-H =0.
Les deux autres se tirent d'une manière analogue des deux dernières égalités (119).
Multiplions respectivement ces égalités (126) par ^, ç, oc et ajoutons-les membre à membre en tenant compte des égalités (i23); nous trouvons l'égalité
où (2) représente un carré symbolique.
Mais la fonction dissipative S est une forme quadratique en A',, Ai, A'3, r',, r'a, r, ; ses dérivées partielles du second ordre par rapport à ces six variables sont donc indépendantes de ces variables. Dès lors, si l'on désigne par f ce que devient la forme S lorsque aux va-
2o4 P. DUHEM.
riables
on substitue les variables
on aura
«^A;«~"dBr <^r;' '^ âéf'
et Tégalité (127) deviendra
OU bien, en vertu du théorème d'Euler,
Mais la forme S est une forme définie positive en A',, Aj, A,, Ti, r'a, Ta; la forme f est donc une forme définie positive en jDïn jD^at Jj? ®n®2.®j« et l'égalité précédente entraîne les égalités
(128) |>i = o, l>, = 0, l>j = o, €, = 0, #, = 0, #, = 0. Ces égalités (128) permettent d'écrire l'égalité
En vertu de l'égalité (i23) et de l'égalité
(a.X-,-+- pg-, -f- y^i)*4- («^-, -H ^JTi-H yàc,)'+ (a-Xj-h |3.7,+ y3b,)«= i, l'égalité précédente devient
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. 2o5
Mais la quantité entre [ ], égale à (JD,-I- jD^a + Uïs) en vertu des égalités (i23), est nulle d'après les égalités (128); nous obtenons donc la première des égalités
(129) < A;,^-hg',gH-2b,ae = o,
Les deux autres égalités (129) se démontrent d'une manière analogue.
Ces égalités (129) donnent sans peine, en tout point de la surface S,
rf = o, ç = o, Je = o.
Donc, au sein d'un milieu vitreux, une onde du second ordre par rapport aux composâmes u, ç, w de la vitesse ne peut avoir une vitesse de progagation X différente de o. Les seules ondes de cet ordre qui puissent subsister en un tel milieu séparent constamment les deux mêmes portions du milieu; elles sont alors surfax:es de discontinuité pour la densité p et pour les quantités N/, T,- ; en outre^ si le milieu est mauvais conducteur, elles sont surfaces de discontinuité pour la température T.
Ainsi sont étendues aux milieux vitreux doués de viscosité les propositions que nous avions démontrées pour les fluides {Recherches sur l'Hydrodynamique, i" série, i" Partie, Chapitre III).
De plus, pour démontrer ces propositions, nous ne nous sommes nullement servi des symétries particulières qui caractérisent les milieux vitreux; par exemple, en ce qui concerne les actions de viscosité, nous avons supposé seulement que la fonction dissipative S était une forme quadratique définie de A',, A^, A3, F,, T^, F,, ce qui est également vrai pour les milieux vitreux et pour les milieux cristallisés. Nous pouvons donc affirmer qu'ai/ sein d'un milieu affecté de viscosité, qu il soit fluide ou solide, vitreux ou cristallisé^ aucune onde ne peut se propager. Toute onde persistante sépare indéfiniment les deux mêmes parties du milieu. Si une telle onde est d'ordre n par rapport aux composantes u, V, w de la vitesse, elle est d'ordre (n — i) par rapport à la densité p et aux quantités N,, T/. Par rapport à la température T, elle est d'ordre n ou d'ordre (/i — i), selon que le milieu est conducteur de la chaleur ou qu'il est privé de conductibilité.
p. DUREM.
III. — Intersection d'une onde-cloison 'et de la [surface libre du milieu (M*
Dans les milieux fluides ou élastiques, qui sont doués de viscosité, nous avons montré que les seules ondes possibles sont des ondes qui séparent constamment les deux mêmes masses fluides; à ces ondes, nous donnerons le nom Abondes-cloisons parce que, semblables à des cloisons étanches, elles partagent la masse fluide en cellules telles qu'aucun échange de matière ne se produise d'une cellule h l'autre.
Nous allons, au présent paragraphe, porter notre attention sur celles de ces ondes qui sont du premier ordre par rapport aux com-. posantes u, v, w de la vitesse, c'est-à-dire sur celles qui ont été étudiées au paragraphe I ; nous allons mettre en évidence une importante propriété de la ligne suivant laquelle une telle onde coupe la surface libre qui termine le milieu.
Au moyen des six quantités
NxH-V;„ Ny4-v^, N.-hv,, T^-4-T:,, Ty-hTy, T. -HT,,
formons l'équation
(i3o) (N,H-v,)X«-h(N^-hVy)Y«-i-(N,-4-v,)Z«
-h 2(T;,-4- T;^) YZ -4- a(Tj.-4- ry)Z\ -h a(T,-4- t^)XY = i,
qui représente, en chaque point du milieu et à chaque instant, la quadrique des pressions.
En général, la forme et l'orientation de la quadrique des pressions varient d'une manière continue d'un point à l'autre du milieu ; mais cette forme et cette orientation varient d'une façon brusque si Ton vient à traverser une onde-cloison qui soit du premier ordre par rapport aux composantes m, ^, w de la vitesse.
Soit M un point pris sur une onde-cloison; la quadrique des pressions tend vers deux formes limites distinctes Q,, Qj, selon que l'on s'approche du point M en demeurant du côté 1 de l'onde ou du côté 2. Entre ces deux formes limites, existe une relation. En effet,
(*) Sur les ondes-cloisons {Comptes rendus), t. CXXXVII, p. 287, Séance du 27 juiilel 1903).
au point M, on doit avoir les égalités
( (Nx4-v^),a + (T,4-T,),p4-(T^4-T^),y=:(N,-f-V;,),a+(T,-+-T,),P-+-(T^H-T^),y.
égalités qtii sont le fondement des raisonnenrients développés au paragraphe I.
Ces égalités signifient que le plan diamétral conjugué à la direction (oL^ ^^ y) de la normale à l'onde a même orientation dans les deux quadriques limites Qi , Q^.
La normale à Tonde ne coïncide, en général, avec un des axes principaux ni pour la quadrique Q,, ni pour la quadrique Qa', d'ailleurs, si elle était axe principal de Tune de ces quadriques, elle serait forcément, en vertu du théorème précédent, axe principal de l'autre.
Imaginons que la surface libre du milieu supporte une pression normale H; la normale à cette surface, dirigée vers l'intérieur du milieu, fait avec les axes de coordonnées des angles dont les cosinus seront désignés par X, p., v. Nous aurons alors, en tout point de la surface libre,
f (N,-^V;,«^)X^-(T,-hT,)fiH-(T^^-T^)v = o,
(i3a) (T,-+-T^)X-f.(N^H-Vj.— n)fiH-(T:,-hT,)v = o,
( (T^^-T^)X4-(T,4-T,)fx^-(N,-r-v,-^)v = o.
De ces égalités on peut tirer, entre autres conséquences, la proposition suivante :
En chaque point de la surface libre, la normale à cette surface trace l'un des axes principaux de la quadrique des pressions qui se rapporte à ce point.
Considérons maintenant la ligne L, intersection de la surface libre par une onde-cloison; de part et d'autre de V onde-cloison, la quadrique des pressions n'a pas, en général, ses axes principaux orientés de la même manière; la normale à la surface libre subira donc, en général, un changement brusque d'orientation à la traversée de la ligne L; d'où la proposition suivante :
2o8 r. DUHEM.
V intersection d'une onde-cloison du premier ordre par rapport à la vitesse et de la sur/ace libre qui limite le milieu est une arête de cette dernière sur/ace.
Cette arête peut, d* ailleurs, se dessiner en saillie ou en creux.
Nous avons déjà signalé (*) VsinsAogïe des ondes-cloisons qui peuvent se fornmer au sein des fluides visqueux avec la division en cellules que M. H. Bénard (^) a observée au sein de liquides inégalenment échauffes; cette analogie est conmplétée par le théorème précédent; en même temps, nous venons de reconnaître qu'une telle division en cellules peut se produire au sein de tous les milieux affectés de viscosité, qu'ils soient fluides ou solides, vitreux ou cristallisés; et, en effet, des phénomènes analogues à ceux que M. H. Bénard a étudiés ont été observés par M. J. Cartaud (•) dans les milieux visqueux les plus divers.
On remarquera que les propositions développées en ce Chapitre et dans le Chapitre précédent permettraient de reprendre, au sujet des milieux élastiques, tout ce que nous avons dit de la propagation des quasi-ondes au sein des fluides (*).
