II. — Variation virtuelle du potentiel interne

Posons, en général,

] dSi OEi OZi

égalités qui, en vertu des égalités (34) et (42), deviendront, pour un milieu vitreux,

«1 = — :^ — 4(es -i- £1) jr - (4ej£i - yî) ^^'

(45 bis)

dit

^*==>'»Âr;-<"'y'-^'*^'^dj;-

Ces six quantités e,, e^, e,, g,, gt, g^ ont des valeurs déterminées, au point (^,7. s) et à l'instant /, lorsque l'on connaît seulement les valeurs, en ce point et à cet instant, de la température T et des six quantités

En vertu des égalités (4^)< ^^ variation virtuelle la plus générale de $ est

(46) - d* = - ^ ÔT + e, Ô£. + e, 5j, + «?, dî, + g^ dy, + g^ 3y, + ^, ôy,.

La variation virtuelle la plus générale de '^peut, en se rappelant ce que nous avons dit au Chapitre I au sujet des variations des va-

riables (43)« se mettre sous la forme

Les termes A, B, C sont les suivants :

(48) A=-^-Sa>^^9y+-^dz=^Si^^è-n+-j^K

( 5o) C = ^1 ae, -4- v|;, ag, -h ij;, as, 4- xi avi 4- xi *yt + x» *y»»

^M i'a» ^8» X*» X.2' )C» ^'^^"^ ^^^ quantités dont les valeurs dépendent des valeurs prises, à l'instant /, par Ç, yj, ^ et leurs neuf dérivées par rapport à a:, y, 5, en un point (rr, y, z) de l'élément c//n et des valeurs prises au même instant, par les mêmes quantités, en un point x\y\z' de l'élément dm'.

Les termes A', B', C se tirent respectivement des termes A, B, C en intervertissant les rôles des deux éléments dm et dm\

On voit alors que l'on a

(5i) à C Cwdm'dni = i C C {X-hB-hC)dm'dm.

Posons

^^^^-f^/"^'' **''=-/^^'"'' ^«'^-/i;^'^'' ^^^=-'fË'/''''^ '"'^^-/S^'^'' ^-^-/S^'^''

?.4 p. DUHEM.

Les dix-huit quantités ainsi définies ne dépendent pas seulement de l'élément dm. Leurs valeurs au point (a?, ^, z) et k Tinstant / dépendent de Tétat du système tout entier à cet instant.

Les égalités (48), (49)» (5o), (5i), (52) donnent

(53) li f fwdm'dm^'- f(\ti^-{-YiS'n^ZiiK)dm J l \ ^i <rt fJt ) dx

L|/3&| Li/3c, L,/3^a \ dâÇ

(Tl OTj a, / (?5

Mi/"»^! Mj/pXj Ms/éV'jX {/OTQ

0*1 0*1 aj / (?j:

\ on c^i «^1 / ^/

\ ff, 0*1 ffj / dz

\ ffi ff» ff» / da?

\ ffi ffi ffi / ày

\ <yi (Tt a, / d5 J

— r (^1/ ^fii -^ ^1/ dfii H- C,/ d£, H- Çi/ 3y, -f. g,/ dy, 4- g,/ iyt)dm.

Les égalités (40> (4^) ^'^ (^^) font connaître la variation subie par le potentiel interne § en une modification virtuelle quelconque du système.

L'expression de cette variation est d*une extrême complication.

Elle se simplifie beaucoup lorsque les actions mutuelles des divers éléments du système sont newtoniennes.

Dans ce cas» en effet, si Ton pose

d^ir)ôr^^,^

dr dy

l'égalité (44) donne simplement

(55) ^i f fwdm'dmz^-- f{Xidi-hYii-n-{-Zidi:)dm.