III. — Travail des actions extérieures

Nous admettrons que le travail virtuel dtâ^ des actions extérieures se compose de deux termes

(56) dG, = d(^,-¥-d^l.

Le premier est le travail de pressions appliquées en chaque point de la surface S qui limite le système dans son état actuel de déformation

id&, =z Ç(V^ix -h Py 3y + V^iz)dè,

Le second provient d'actions exercées sur chacun des éléments de masse du milieu» actions analogues à celles que ces éléments exercent les uns sur les autres. L'expression de ce travail sera donc de la forme

(58) rf6:= C{\cil^'iM'\'lcà^.)dni

J L\ ^1 ^1 (Ti ) dx "J

p. DUHEM.

Dans le cas où les actions extérieures sonl neçt^toniennes, ce terme se réduit à

dGl = Ax^d^ + Yeiti -*- Z^aÇ) dm.

Les diverses égalités que nous venons d'écrire nous fournissent, pour toute modification isothermique virtuelle » Tcxpression de

d(^^ — iâ •

Posons

I p ff| 0*1 ffj

i Cy = J (Lw + Lu) + ^ (L./ + L„) 4- fi (L., + L„),

P ^1 0*1 ff,

P 0*1 0*1 ff,

1 art, = Ç» (M., + Mu) + °J' (M,, + M,.) + ^ (M., 4- M,.),

i OIL^ = ^» (M,, 4- Mu) H- ^" (M,/ -h M,e) 4- "5- (M„ + M,e),

ioïL, ^ Jl (Mu + Mu)H- §^(M,, + M.e)+ ^ (M„-hM„).

i ^, = ^^ (Nw 4. Nu) + ^•'•^ (N„ -h N,,) + ^^ (N„ + N,e), P ^1 ^1 0",

i X^ = |l (N,, 4- Nu) + ^ (N,, 4- Nu) -h f-' (N„ 4- Nu), P ^1 ffi ffj

i Ot, = -*• (Nw + N..) + ^ (N,, + N,.) -t- ^ (N... + N„).

P O*! ff, ffj

Posons également

Ci = ei 4- Cl/ 4- Cu»

C, =: e, H- C,/ 4- Cu, C, := Ci 4- C,/ 4- f 3e» (j'i = /S'i -^ tf 1/ -+- Çio ff 3 = ê', 4- g,/ 4- (Ju,

UEGUERCHES SLR L ÉLASTICITÉ. 27

puis

•»i fàs\* /àsV,. /às\\. dz dz ^ dz dz ^ dz âz ^

I ^ày ds^ dy dz ,dyâz^ ^f^ Élu.^il\r p '~da da ''^ db db *^dc de *^\db dc'^ de db)'" , (dy ds dy ds\ (dy dz dy dz \

'^\d'eTa^TaTc)^*'^\^Tb^dbTa) •>»' \ ^ dz dx dz dx dz dx /dz dx dz dx\

p'-dià^^''^dbàb^*^ài'dS^*'*'\dbd^'^Tcdb)^'>' (dz dx dz dx\ (dz dx dz dx\

^\d^à^'^d^ 5?; J'"^ V^ db'^dbà^jy*' I dx dy dx dy ^ dx dy ^ (dx dy dx dy\ „

(dx dy dx dy\ „ (dx dy dx dy\ ^ \ '^\àc da^ da de) •" "*" \da db "*" db da) ^*'

En vertu des égalités (3o), ces égalités (61) et (62) nous donneront

(63) [ (e, + Cu+Cu)ôe, + (e,4-C«4-£„)ie. + (e,4-C,y4-C,«)ie,

+ (5'i + (fu + (fu)^yi+(<S'i+îlV+Çi.)«y»+ (5-1 + 5,/+ (ji.)ayi]rf»t = [NxD, + N^D, + N;,D, + aT,G,H-aTyG,+ aT,G,]<te,

dxa étant le volume de l'élément dm.

Arrêtons-nous un instant à cette égalité et aux égalités(6i) et (63).

Si les actions, tant intérieures qu'extérieures, sont newloniennes, les quantités C et g sont nulles; les grandeurs c,, Cj, c,, g,, g,, g, dépendent exclusivement de la température T au pointa;, y, z et des valeurs de e,, Ej, e,, Ym Ya» Y» au même point; celles-ci s'expriment, selon les égalités (8), en fonctions des dérivées partielles de ^, t], ^ par rapport à a, b, c, au point considéré; il en est de même, selon les égalités (2), de ^> ^> •••• Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Si les actions, tant intérieures qu'extérieures, auxquelles sont soumis

28 p. DUnEM.

les divers éléments du système, sont newtoniennes, les valeurs de N^., N^, N,, T^f Tyf T„ en chaque point et à chaque instant, s'expriment par les équations (62) en /onctions des valeurs de

ai de

du Ta'

de

dX, Te'

au même point et au même instant.

Cette proposition n est plus vraie lorsque les actions extérieures ou intérieures ne sont plus newtoniennes, car les quantités C et <^ dépendent alors non seulement de la déformation au voisinage du point considéré» mais encore de l*état de tout le système et des corps extérieurs à Tinstant/.

Dans ce cas général, les équations (40» (46), (53), (57), (58), (60), (61), (62) et (24) permettent d*écrire

(64) rfSe-3T'^= r(P,a$4-Pydr3 + P,dÇ)rfS