COS 0 D

sin (Z — v) #4:

sins—\//sins = sin 2 (8 *)(e) 571,56

tres ( Mécanique céleste, t. IV, $ 11), que si le point m d’une trajectoire lumineuse n’est pas très-élevé au-dessus de la surface terrestre, sa hauteur mB ou y est exprimée en fonction de l'indice de réfraction n, du rayon terrestre a, de l'angle v ou ACm au centre terrestre et estimé en parties du rayon, au moyen de la formule :

sin Z

y=T mme hr Considérons actuellement une seconde trajectoire médiane colorée rm'A originaire du même astre, et son point de rencontre o avec le rayon Cm, mené du centre terrestre au point m de la première trajectoire ; désignons par Z’ la distance zénithale sous laquelie arrive la trajectoire roA au point A suivant la tangente A//, et par n’ l'indice de réfraction correspondant à ce second rayon coloré; l'élévation oB ou y’ du point o aura pour expres-

SiOn :

UE n°? —1\ 571,551 ) 1 5 1 : dre p) |+avcotZ’.

Dans le petit triangle mom’ formé par mo = y — y’, el par la perpendiculaire mm abaissée du point m sur le très-petit arc m'o sensiblement rectiligne et qui est le troisième côté du triangle , nous avons y — y = ——

La ligne mm’ mesure précisément l'écart D des trajectoires, et l’angle mom’ est la distance zénithale que nous désignerons par 3”, sous laquelle

( 57) Dans la dernière expression (o) indique la densité de Pair au lieu de l’observation. | La valeur de x élant connue, on calculera l'élévation y du lieu où s'opère la rencontre des faisceaux considérés à l’aide de la formule :

le rayon coloré ro serait perçu en o ou à la hauteur y. Il résulte de . À Dir NAT k A l'équation — — y - y’ et des valeurs de yet y':.

sin z/ —2 =E sin Z’ sin Z

D n'2—1 n?— 1 5 — av? | ———— | 142,89 (P) + av (cot Z — cot 2’). La différence Z’—7Z des distances zénithales est égale à l'angle £A€° des tangentes que nous désignons par s; il est aisé de voir que l’on à : sin (Z’ — Z) sin $

cot Z — cot Z' — - ES sin Z.sin Z/ sin Z .sin Z/

Nous déduisons de ce qui precède, en ordonnant par rapport à © :

Di sin s 142,89 Lu — 1) a LE (not vd (£) sin Z sin Z’ # : { n2— 1 n'2—1 1 sin z/a | ln | 142,89 (£) sin Z sin Z/

Cette expression est susceptible de recevoir plusieurs simplifications qui sont applicables aux cas où nous en ferons usage par rapport aux étoiles. Posons d’abord Z=7", en nous appuyant sur le fait qu’à la distance zéuithale de 90° l'excès de Z’ sur Z n’est que de 55” pour les trajectoires rouge et violette, originaires de la même étoile. L’angle 3’ qui est la réfraction en o pour la trajectoire rm'A, est égal à Z’ — v+#; p est la

Rs | Éd

Une première conséquence résulte des formules (2) et (3) : elles nous montrent d'abord que, toutes choses égales d’ailleurs, le lieu d’intersection de deux faisceaux colorés est d'autant plus rapproché de l’observateur que la différence n—n' des indices correspondants est plus grande. Ainsi, à égalité de distance zénithale et pour le même appareil de vision, les faisceaux rouge et violet extrêmes sont ceux dont le lieu de rencontre est le plus rapproché. Il en résulte qu’au delà de ce lieu, ces deux faisceaux n’ont aucun point commun; mais plus près de

différence des réfractions en A et en o, à la hauteur y’ ou y. Il sera facile de calculer ? à l’aide de déterminations approchées de v, æ et y, que l’on obtiendra en supposant d’abord z’=—Z7’. Nous introduirons cette supposition dans expression de v en vue de la simplifier. Si la première valeur de v obtenue à l’aide de cette supposition est très-petite, comme cela s’est présenté dans mes calculs, on pourra s’y arrêter, ainsi qu'aux valeurs de x et de y qui en seront déduites; sinon, il conviendra de calculerla valeur de z’ et de l’introduire dans l’expression de v; les valeurs de v, æ et y ainsi obtenues seront suffisamment exactes

La grandeur de l'angle v résultant de la dern'ère équation simplifiée, comme il vient d’être dit, serait exprimée en parties du rayon; si nous la transformons en secondes à l’aide de calculs connus, nous obtiendrons pour la longueur de cet arc l'expression suivante :

Ve 5 — © sin Z{n? —n” 2) (2) 571,56

Il importe d'interpréter ici la double valeur de v qui répond à un même écart D. Dans les calculs qui précèdent, nous n’avons introduit aucune donnée dépendant des positions relatives des points de l’astre d’où les rayons de couleurs différentes émanent; on peut considérer le cas où les deux trajectoires sont originaires, non de la même étoile supposée réduite à un point lumineux situé à l'infini, mais de deux points de la surface d’un astre de diamètre appréciable, tel qu’une planète. Considérons ce cas plus général et auquel répond l'expression de v, en admettant que les points d'émanation soient situés sur une même corde verticale du

l'observateur, tous les faisceaux diversement colorés sont mélangés en quantité croissante, de telle sorte que, si l’on considère la partie où se trouvent réunis tous les faisceaux, dans une section faite par un plan perpendiculaire à la trajectoire moyenne, celte partie présentera d'autant plus d’étendue relative que la section est plus rapprochée de l'observateur.

Nous voyons en second lieu, d’après ces formules, que la distance x de l'intersection des deux faisceaux rouge et violet-extrèmes, par exemple, augmente avec le diamètre

disque de la planète, de telle manière que le point d'émission du rayon le plus réfrangible soit situé un peu au-dessous du lieu d'émanation du rayon qui l’est le moins. La figure 5, où YU est la limite supérieure de l’atmosphère, et P, une portion du disque planétaire, représente ces conditions : la trajectoire BobA émanant du point B est plus réfrangible que le rayon RorA émis par le point R situé un peu au-dessus du premier. Ces trajectoires sont évidemment rectilignes et unies à d’autres rayons colorés en dehors de l’atmosphère. Si la distance des deux points lumineux sur ce disque est très-petite, les trajectoires se croisent dans latmosphère en 0, préalablement à leur rencontre en A, lieu où l’observateur se trouve. Il est évident qu'il se présente alors entre les points de croisement o et A, deux lieux où l'écart D des trajectoires a la même valeur; ces lieux et cet écart sont désignés par mm’ et par nn’ dans la figure. Telle est la raison de la double valeur de v ou des deux angles ACm et ACn qui, d’après le double signe affectant le radical, répondent, dans la solution du problème, aux deux positions où l'écart D est le même. Il est évident que la plus petite valeur de v et de x sera donnée par la solution où le radical est affecté du signe négatif.

Lorsque la question s'applique au cas où les rayons émanent d’un point réduit à des dimensions en apparence infiniment petites, tel qu'une étoile, le seul exemple qui sera traité dans cette note, le second point de croisement o n'existe plus, dans l'atmosphère , les rayons émanant pour ainsi dire de linfini. Si l'on y réfléchit, on verra aisément que cette condition est parfaitement précisée dans le problème, quand on donne à s une valeur angulaire égale à celle qu'affecterait le spectre d’une étoile produit par l'atmosphère, à la distance zénithale Z. Alors les trajectoires ne se croisant plus qu’en A où se trouve l'observateur, ne seront écartées de Ja quan-

| ( 87 ) D attribué à l’appareil de vision, à égalité de distance zénithale. El suit de là que la longueur de la partie des faisceaux suivant laquelle se trouvent mélangés des rayons de toutes les couleurs, esi plus grande pour une lunette à large ouverture qu'à l'égard d’une lunette moyenne et surtout de la pupille, quand les observations ont lieu à l’œil nu.

Précisons ces particularités en calculant la distance x de l'intersection des faisceaux rouge et violet extrêmes ‘émanant d’une étoile, dans les cas différents où les observations s'effectuent soit à l’œil nu, en attribuant à la pu-

Lité D qu’en un seul lieu mm’, fig. 2, au delà duquel leur écart croîtra. Il est évident que le radical doit être affecté du signe négatif pour répondre à ce cas. Ajoutons, à l'appui de ce choix, que les valeurs de v qui correspondront à des écarts croissants D, augmenteront avec ceux-ci, ce qui devait être.

D’après les considérations précédentes, la valeur de l’angle v est donnée

par la formule :

ë Ru LISE sin s — sin s— — sin Z (n?—n'?) (0) 571,56 (e

DE REU — 12.185 Re (me = n°) (f)

Pour déterminer x, joignons le point A au point m dans la figure 2; traçons la tangente BT et considérons le triangle AmB dont Am ou x est un des côtés, et dans lequel on a AmB sensiblement égal à Z —», il viendra : ;

sin mBA id 2 ù sinAmB sin (Z — +) ;

D'autre part, AB ayant pour valeur a. v. sin 1””, nous obtiendrons, en admettant 6566198 mètres pour la grandeur du rayon terrestre, l’expression suivante :

{ COS —v

ue “nm Ne

= ot

hr A

Quant à la valeur de y, qui est l'élévation du lieu où de l'écart D des

: ( 88 ) pille une largeur moyenne de cinq millimètres, soit à l’aide d’une lunette de dix centimètres, ou d’un télescope de quarante centimètres d'ouverture. À ces calculs, qui seront appliqués à des distances zénithales comprises entre 80° et 90° vu les conditions suivant lesquelles les formules ont été établies, seront réunies, d’une part, l'étendue s du spectre stellaire calculée pour chaque distance zénithale, et de l’autre, les valeurs y de l’élévation de l’intersection des faisceaux au-dessus d’une enveloppe sphérique concentrique au centre terrestre, et passant par le milieu de l’ouverture de l'appareil de vision. Les valeurs données à net n’ sont 1,00029745 et 1,00029242, valeurs des indices du violet et du rouge extrêmes que j'ai fait connaître dans un travail précédent (‘). Les résultats figu-

trajectoires au-dessus d’une sphère concentrique au centre terrestre et passant par le milieu de l'ouverture de l'appareil de vision de l’observateur , elle est donnée, d’après le triangle AmB, par la formule :

cos [2]

COS — v o)

(SR RM Ne ne ie ee UT

(*) D'après les considérations et les calculs qui sont exposés dans la note insérée au tome XXIV des Bulletins de l'Académie royale de Belgique, 2me série, les indices relatifs aux principaux rayons colorés réfractés par l'air à Oeet sous la pression 0»,76, sont, d'après le concours de l'observation et du calcul :

Raie B ou rayon rouge extrême. . . . . , + + rc 4,00089% — C — MOYEN . . « + + . CONNUE — D orangé 0 5 OM

Rayon moyen ou jaune, + à =, . 0 10008

Raie E ou rayon jaune vert + . …« . … …, : MURS D RS SR = G .—.. indigost.4, 7: ce CS

— :H — violetiextréme . 7, 0

rant au tableau suivant ont été obtenus en supposant la

densité (0) de l'air égale à 1 dans la couche où se trouve l'observateur, c’est-à-dire à la température 0° et sans la pression 0,"76.

DISTANCE ÉLÉVATION DISTANCE | ÉTENDUE du lieu d’intersection du lieu d’intersection des faisceaux rouge et violet des faisceaux rouge et violet du avant leur entrée avant leur entrée apparente A spectre

zénithale

directe- | dans une dans un directe- dans une dans un ment lunette télescope ment lunette télescope de 0,10 de 0,40 de 0,10 de 0,40

dans à ee dans A 2e

l’étoile. stellaire.

> de 3 e RUE d'amètre. | diamètre. la pupille.| Giamètre. | diamètre.

Les résultats numériques obtenus sont en parfait accord avec les considérations précédentes. Je ferai remarquer que ces dernières sont également vraies pour des distances zénithales moindres que 80°, auxquelles correspondent des valeurs de x et de y beaucoup supérieures à ces résultats; mais les formules précédentes, qui ont été établies pour les régions inférieures, ne se prêteraient plus à ce caleul, dans le cas d’un imstrument amplifiant à très-large ouverture, pour de moindres valeurs de Z.

Si, au lieu d'effectuer les calculs pour les rayons qui diffèrent le plus en réfrangibilité, nous les eussions appliqués à l'égard des faisceaux orangé et jaune qui diffèrent le moins sous ce rapport, les résultats eussent été beau-

coup supérieurs aux précédents, aux. mêmes distances zénithales, à partir de 80°; ils auraient fait connaître les lieux de séparation complète des sept rayons principaux. Mais ces calculs offraient peu d'intérêt, parce qu’au delà de ces lieux se trouvent encore réunis, en avant dans l'atmosphère, des rayons de réfrangibilité intermédiaire aux indices qui caractérisent les rayons orangé et jaune. II importait bien plus de fixer la position des points de réunion des faisceaux différant le plus en réfrangibilité, et de con- - naître ainsi la partie des trajectoires où sont mélangés des rayons de toutes couleurs.

Ces considérations et ces calculs vont nous permettre d'expliquer les différences que présente la scintillation des étoiles dans les observations à l’œil nu, ou à l’aide d’un instrument amplifiant plus ou moine large.

Rappelons d’abord que les particularités les plus remarquables de la scintillation des étoiles consistent en des changements de couleur et des affaiblissements, ou parfois des extinctions de la lumière stellaire qui se produisent très-rapidement et n’ont qu’une très-courle durée. J'ai expliqué ces variations par l'extinction totale ou partielle que subissent les rayons stellaires, séparés par dispersion dans latmosphère, à l'instant où des ondes aériennes, douées d’un pouvoir réfringent qui diffère de celui de l'air ambiant, traversent ces rayons dans des conditions telles, que ceux-ci sont interceptés, en totalité ou en partie, par suite du phénomène de la réflexion Lotale qui se produit subitement à leur égard à la surface des ondes (”).

(*) Les développements de cette théorie de la scintillation sont exposés au tome XXVIIT des Mémoires couronnés el des savants elrangers de l’Académie royale de Belgique.

| en L A BR:

L’extinction totale d’un faisceau coloré, par le passage et le mouvement des ondes aériennes, a d'autant plus de chance de se produire que ce faisceau est plus étroit; car si celui-ci était infiniment mince, une onde d’étendue très-restreinte l’intercepterait en totalité et subitement en le traversant dans les conditions de réflexion totale. La ténuité des faisceaux qui pénètrent dans la pupille, lors des observations à l'œil nu, nous explique ainsi pourquoi les changements d'éclat et de couleur qu'affecte une étoile scinlillante sont alors si nets et si soudams. Ces caractères marqués donnent, à mon avis, beaucoup de prix aux deux premières lois que M. Dufour, professeur à Morges, a formulées d’une manière si précise à l’égard des influences respectives de la couleur propre de l'étoile et de son élévation au-dessus de l'horizon , sur le nombre de ses variations de scintillation. Ces lois, dont j’ai expliqué la raison dans une note particulière, ont été déduites par M. Dufour d’un ensemble d'observations à l’œil nu s’élevant à plus de treize mille (). Si l’on objectait que les variations de couleur et d'intensité qui affectent la lumière d’une étoile scintillante sont, dans la réalité, beaucoup plus fréquentes qu’elles ne le paraissent à l'œil nu, à cause de phénomènes, tels que la persistance des impressions lumineuses, qui dépendent de la sensibilité de la rétine, il y aurait lieu d'admettre en réponse que, pour un même observateur, le rapport des variations qu’il perçoit, dans un temps donné, au nombre de changements si rapides qui s'effectuent en réalité, doit être sensiblement le même à l’égard des diverses modifications.

(*) Bullelins de l’Académie royale de Pelgique , 1° série, t. XXII et 9e série, t XXV.

Un faisceau coloré de diamètre beaucoup supérieur à celui de la pupille, l’un de ceux qui pénètrent dans une lunette de dix centimètres d'ouverture, par exemple, ne doit subir le p:us souvent des extinctions que dans ses diverses parties, à cause de l’étendue de ses dimensions transversales : aussi, les variations de couleurs si brillantes qui affectent sans cesse, dans les conditions atmosphériques ordinaires, l'image d’une étoile scintillante au foyer d’une lunette, résultent-elles de l'ensemble des interceplions partielles que subissent , en avant de l’objectif, les larges faisceaux originaires de l'étoile. La diversité des modifications qu'éprouve un même faisceau dans ses différentes parties, au même instant, est prouvé par le fait suivant : dans des expériences tentées au sujet d’une question posée par Arago, j'ai reconnu, conformément aux prévisions de ce célèbre savant, qu'il n°y à pas identité constante dans les variations que subissent les deux images d’une étoile scintillante produites par les deux moitiés d’un objeetif de 77 millimètres de diamètre; car, lorsque ces images, préalablement séparées, sont développées en deux cercles distincts, ceux-ci offrent souvent, au même moment, des ares correspondants de couleurs notablement différentes (°).

Le passage de plusieurs ondes, sinon d'une seule, dans des conditions de réflexion totale, à travers des faisceaux de certaine largeur, peut concourir à produire leur extinction complète ou presque complète; car, en observant Sirius, à 14° de hauteur, à l’aide d’une lunette de cinq centimètres, et d'un télescope de huit centimètres d'ouverture, j'ai constaté l'apparition de quelques arcs de teinte sombre parmi les