CHAPITRE III

Les Mathématiciens alexandrins.

1. Vers le milieu du v^ siècle avant noire ère, Athènes, sous la brillante administration de Périclès, était devenue le centre intellectuel de THeilade; malgré les revers de sa lutte contre Sparte, elle garda pendant près d'un siècle et demi cette glorieuse suprématie. Nous avons vu Eudoxe, puis Callippe, quitter Cyzique pour venir se fixer dans la patrie de Méton. Elle attirait tous les génies et consacrait toutes les gloires.

Mais, dès la fin du iv® siècle, s'élève en Egypte une ville grecque qui, pour un temps à peu près égal à celui de la splendeur d'Athènes, devait lui enlever le monopole du haut enseignement. La patrie de Platon restera bien le siège principal des écoles philosophiques, mais celles-ci se désintéressent peu à peu des questions véritablement scientifiques; Athènes n'aura plus ni un mathématicien ni un astronome, tandis qu'une succession de rois, protecteurs éclairés des lettres et des arts ('), fera d'Alexandrie le foyer de l'érudition et de la science.

Cependant c'est seulement lorsque ce foyer subit une longue et profonde éclipse, après laquelle il reprendra, cette fois sous la domination romaine, son éclat primitif, que, vers le milieu du ii« siècle, apparaît le véritable fondateur de la science du ciel. Né

(') Ptolémée Soter, 323-285; Ptolémée Philadelphe, 285-247; Ptolémée É vergeté, 247-222; Ptolémée Philopator, 222-205; Ptolémée Épiphane, 205-181. Sous Ptolémée Philométor, 181-170 et 166-146, et sous Ptolémée Évergète II ou Physcon, 170-164 et 146-117, la décadence de l'Egypte s'accuse et les institutions des premiers rois ne sont pas maintenues.

en Bithynie, à Nicée, non loin de Cyzique ('), Hipparque, après avoir établi un parapegme pour le climat de sa patrie, vint se fixer à Rhodes, qui, devenue la plus grande puissance maritinne de rOrient, attirait à son tour les maîtres illustres et recueillait pour un siècle l'héritage intellectuel de Pergame et d'Alexandrie. Une antique légende faisait naître du Soleil les premiers habitants de cette île; Rhodes, d'après ce mythe, était donc le berceau de l'astronomie; elle le devint en réalité, ou plutôt c'est là que surgit la science déjà adulte et telle que nous la retrouvons, un peu mûrie, mais à peine plus développée, dans l'œuvre de Plolémée.

2. Les deux chapitres qui précèdent ont permis de mesurer l'intervalle qui sépare Hipparque des astronomes ou des astrologues des âges antérieurs. Quelle part faut-il lui attribuer dans le progrès réalisé? De quels travaux a-t-il profité? C'est ce qu'il convient d'examiner dès maintenant.

On considère d'habitude l'illustre Bithynien comme un génie absolument hors de pair; il aurait lui seul ouvert les voies nouvelles; la science aurait jailli de son cerveau, armée de toutes pièces, comme Minerve sortant de la tête de Jupiter; méthodes, instruments, il aurait tout créé, et alors qu'avant lui rien, pour ainsi dire, n'aurait été fait, il aurait à peine, après lui, laissé quelque chose à perfectionner, avant que de longs siècles eussent préparé une rénovation complèle.

L'importance de son rôle est en tout cas assez grande pour que ce ne soit pas lui faire injure que d'essayer de le ramener à des proportions un peu plus humaines. Il a possédé, sans contredit, les qualités essentielles à un astronome; habile et patient observateur, calculateur émérite, il fut également doué de la sagacité qui conduit aux découvertes capitales et de la puissance de déduction qui permet d'enchaîner les vérités nouvellement acquises

(1) On n'a cependant aucun indice que l'école, fondée dans cette ville par Eudoxe, se soit perpétuée après Callippe. Autolycos enseigna dans Pitane, sa patrie; à partir du milieu du IIP siècle, les savants de la région durent être attirés à Pergame.

dans un système solidement construit. Eut-il, au même degré, le génie de l'invention mathématique? C'est ce qui semble pouvoir être mis en doute.

Si l'on cherche à déterminer les idées fondamentales qu'il a su mettre en œuvre le premier, et qui caractérisent nettement, par rapport aux tentatives antérieures, la science qu'il a fondée, on peut, je crois, les ramener aux chefs suivants :

i° Invention de la trigonométrie, c'est-à-dire des procédés de calcul indispensables pour apporter une précision suffisante dans les déterminations théoriques;

2° Création d'un matériel d'observation permettant d'obtenir, avec un degré d'exactitude correspondant, les données empiriques servant de point de départ pour les calculs, comme aussi de contrôler les résultais théoriques;

3° Emploi critique d'observations très anciennes, dans tous les cas où les incertitudes dont elles sont entachées deviennent négligeables par rapport à celles qu'on no peut éviter dans les observations rapprochées, même faites avec des procédés beaucoup plus perfectionnés;

4° Développement systématique de l'hypothèse des épicycles et excentriques pour représenter les mouvements célestes.

3. On ne fait en général nullement honneur à Hipparque de cette dernière hypothèse. Depuis les découvertes de Kepler, elle n'est plus que Tobjet d'un dédain qu'à vrai dire, elle ne mérite guère en elle-même; en tous cas, les témoignages précis de l'antiquité l'attribuent à Apollonius de Perge, le grand géomètre. Celui-ci semble, lui-même, n'avoir fait que donner un fondement solide à une idée émise dès longtemps dans le cercle platonicien; après l'abandon du système des sphères concentriques d'Eudoxe, elle devait nécessairement former la seconde étape de l'esprit humain dans le progrès vers la vérité, puisque seule, après ce système, elle offrait le moyen de combiner des mouvements circulaires et uniformes reproduisant les apparences célestes et se prêtait ainsi à des calculs relativement aisés. Très satisfaisante

en fait pour la théorie du soleil, elle Tétait déjà sensiblement moins pour la lune et elle conduisit, pour les autres planètes, à de singulières complications. L'abus qui en fut fait est-il imputable en partie à Hipparque ou doit-il être mis tout entier au compte de Ptolémée, c'est ce que nous aurons à discuter ailleurs; il nous suffît pour le moment de constater que Tastronome de Nicée n'a fait, en suivant cette hypothèse, qu'adopter une théorie plausible déjà constituée avant lui.

L'utilisation systématique des anciennes observations d'éclipsés faites par les Chaldéens est sans contredit un des principaux titres de gloire d'Hipparque. Mais là encore il ne lit que mettre en œuvre des matériaux déjà recueillis avant lui. Le travail préparatoire de la réunion de ces observations et probablement aussi de leur critique avait été en effet accompli dès le siècle précédent par le mathématicien Conon de Samos ('), plus connu pur l'amitié d'Archimède ou par l'ingénieuse flatterie qui fit donner à une nouvelle constellation le nom de Chevelure de Bérénice.

Quant au matériel d'observation, Hipparque a certainement fiiit de nombreuses et importantes inventions. Avant l'institution des observatoires modernes, tout astronome de valeur était nécessairement conduit à diriger la construction des instruments qu'il voulait employer, à en imaginer de nouveaux ou à perfectionner ce qui avait été fait avant lui. Même encore de nos jours, malgré la spécialisation des connaissances et des aptitudes, c'est une lâche dont il ne saurait se désintéresser absolument. Hipparque a dû créer l'observatoire de Rhodes et il est hors de doute que les instruments qu'il fît construire ne furent guère perfectionnés après lui. Il suffit, d'un autre côté, de lire, dans YArénaire d'Archimède, le détail des moyens adaptés par le géomètre de Syracuse à la mesure du diamètre apparent du soleil, pour se rendre compte de la pauvreté du matériel d'observation au siècle

(1) Sénèque {Quest. nat., VII, 3) le dit des observations d'éclipsés des Égyptiens. Mais il a fait évidemment une confusion, occasionnée par ce fait que Conon vivait en Egypte,

précédent. Cependant il ne faut pas méconnaître qu'au moins à Alexandrie existait, depuis le premier Ptolémée, un véritable observatoire; dès son temps, Arislylle et Timocharis déterminaient des positions d'étoiles avec assez de précision pour qu'elles aient permis à Hipparque de découvrir la précession des équinoxes; après eux, Ératosthène de Cyrène exécutait deux opérations fondamentales dont l'exactitude n'a pas été dépassée dans l'antiquité : la mesure de l'obliquité de l'écliptique et celle d'un arc du méridien.

Quels étaient au juste les instruments dont disposaient les anciens mathématiciens d'Alexandrie? Quels sont ceux qui n'ont été connus que grâce aux inventions d'Hipparque? Ces questions réclament une longue discussion que nous devons différer pour le moment; rappelons seulement ce que nous avons dit, dans le chapitre précédent, sur la détermination de l'heure au moyen de l'astrolabe et remarquons que, s'il est possible et même très croyable qu'Hipparque ait autant perfectionné tous les autres moyens d'observation qu'il semble l'avoir fait pour la mesure du temps, il a dû de même, en thèse générale, trouver le terrain déblayé pour tout ce qui concerne les mesures d'angles.

4. Reste donc l'invention de la trigonométrie. Or nous avons annoncé (H, 25) que nous donnerions une preuve sérieuse qu'Hipparque ne paraissait point avoir possédé les aptitudes mathématiques indispensables pour une découverte de cet ordre, il est temps d'exposer cette preuve.

Dans son Astrologie (26), Théon de Smyrne rapporte qu'Hipparque avait dit qu'il serait intéressant pour les mathématiciens d'examiner pourquoi des hypothèses aussi différentes que celle des excentriques et celle des cercles homocentriquescorrec tionnelle avec épicycles aboutissent aux mêmes résultats. Théon nous donne d'ailleurs, d'après Adraste, l'explication très simple de ce fait.

Si l'on imagine une circonférence de cercle ayant pour centre celui de la terre T, et parcourue d'un mouvement uniforme par

un point mobile G, centre lui-même d'une seconde circonférence de rayon r également décrite d'un mouvement uniforme par le centre P d'une planète, si d'autre part on suppose que la durée des révolutions est identique pour les points G et P, il est aisé de voir, par une simple combinaison de mouvements, que la trajectoire du point P est de fait une circonférence de cercle qu'il décrit d'un mouvement uniforme et dont le centre fixe E est à une distance r du point T. Ainsi, sous les conditions énoncées, on peut indifféremment employer, pour l'explication du mouvement des planètes, soit un excentrique à centre fixe E, soit un épicycle G dont le centre décrit une circonférence concentrique à la terre. Mathématiquement^ les deux hypothèses sont rigoureusement équivalentes.

La question soulevée par Hipparque, au dire de Théon de Smyrne, est certainement trop fiicile pour qu'on puisse supposer que le grand astronome ait été incapable de la résoudre, s'il se l'était réellement posée à lui-même. La chose singulière, c'est qu'après avoir successivement traité tout au long les deux hypothèses, il ait renvoyé à d'autres l'explication de la coïncidence des résultats, comme si celte explication n'offrait pas d'intérêt pour lui; que, surtout s'il s'était rendu compte par lui-même de l'identité réelle de ces deux hypothèses, il ne l'ait pas explicitement affirmée en insistant sur la condition spéciale d'où dépend celte identité.

On peut, je crois, regarder comme assuré qu'un géomètre capable d'inventer la trigonométrie n'eût point agi de la sorte.

5. Mais à qui serait donc due celte invention capitale? Je pense qu'elle n'est pas de fait l'œuvre d'un seul et qu'il y faut distinguer avec soin deux parties, consistant l'une dans le calcul des lignes trigonométriques pour les différents arcs, l'autre dans l'établissement des relations entre les divers éléments d'un triangle.

Prenons tout d'abord cette dernière partie: nous avons en premier lieu à constater que les anciens ne paraissent avoir fait aucune application régulière de trigonométrie plane, que sur la

sphère Ptolémée ne résout jamais un triangle directement; dans toutes les relations qu'il établit, il remonte constamment à une même formule fondamentale :

a Si deux arcs de grand cercle ADB, AEC en limitent deux autres BFE, CFD, qui se coupent en F, ces arcs ne dépassant pas une demi-circonférence, on a (^)

crrf. 2GE crd.^CF crd.WB ^ crrf. 2EA "~ crrf. 2FD ^ crdMBA

C'est la relation qui existe entre six arcs d'un quadrilatère complet ou entre les six segments déterminés sur les trois côtés d'un triangle A CD par une transversale EFB.

Pour employer celte relation à la résolution des triangles sphériques, on est naturellement obligé de compliquer ceux-ci au moyen de constructions auxiliaires; Ptolémée fait ces constructions avec une habileté qui dénote une grande pratique, mais il ne donne nulle part de méthode générale (^).

En somme, malgré l'apparence grecque du mot trigonométrie, il éveille des idées tout à fait étrangères à la mathématique ancienne. Ptolémée dit açat^aal csc^siç, démonstrations sphériques. On peut dire qu'en général le problème pour les anciens n'avait pas été ramené à la résolution des triangles; l'analyse n'avait pas été poussée jusque-là; ils considéraient les ligures tracées sur la sphère par des arcs de grand cercle, sans restreindre le nombre des côtés, et ils cherchaient à déterminer les éléments inconnus au moyen des éléments connus en les rattachant à des quadrilatères complets.

(•) Pour me rapprocher des usages grecs, j'emploie la notation crd pour désigner la corde sous-tendant l'arc, en sorte que

crd. (à = 2sin. -•

Au reste, l'expression de corde est en fait aussi étrangère à la mathématique grecque que le concept du sinus. Ptolémée, pour désigner la corde de l'arc AB, dit constamment -f, ûtco xr,v AB (ireiipspEÎav), la (droite) sous (l'arc) AB.

{}) J'ai réuni sous r.\ppendice III les procédés employés par Ptolémée, en les adaptant aux usages modernes, de façon à faire comprendre comment notre trigonométrie est effectivement sortie de ces procédés.

6. La démonstration de la formule fondamentale est d'ailleurs donnée par Ptolémée (I, 11), et elle se trouve avant lui dans les Sphériques de Ménélas; elle dérive aisément du théorème analogue sur le triangle rectiligne plan coupé par une droite transversale, et de ce lemme que si dans un cercle un arc AC est coupé en B par un diamètre qui rencontre en D la corde AG, on a

AD crrf. 2AB

DC crrf.2BC

ce qu'on voit immédiatement en abaissant des points A et G sur le diamètre des perpendiculaires qui sont les sinus des arcs AB et AG ou les demi-cordes des arcs doubles.

Le théorème sur le triangle rectiligne coupé par une transversale était, sans aucun doute, connu depuis Euclide, dans les Porismes duquel il a dû jouer un rôle important ('); si Ton suppose un moyen pratique de déterminer l'arc d'après la corde ou réciproquement (^), il était tout indiqué de chercher à établir un théorème analogue sur la sphère et il était très facile d'y arriver. Pour déduire de ce théorème général la détermination particulière des inconnues dans les différents cas qui peuvent se présenter, il fallait au contraire un remarquable esprit de système, tel qu'un seul géomètre de l'antiquité, Apollonius de Perge, nous paraît l'avoir possédé.

7. La corde de l'arc a été la seule ligne trigonométrique dont les anciens se soient servis; nous savons qu'Hipparque avait calculé une table des cordes; nous n'avons au contraire aucun témoignage que rien de semblable ait été fait avant lui.

Il semble cependant, en y réfléchissant, qu'un tel travail aurait dû être la conséquence immédiate de celui d'Archimède sur la circonférence du cercle; la comparaison de cette circonférence au diamètre appelait celle des arcs à leurs cordes, et on peut même supposer que le géomètre de Syracuse avait au moins

(1) Voir Chasles, Les trois livres de porismes d'Euclide, p. 107. (*) Soit par des tables, soit par une construction griphique.

abordé cette question dans le livre Sur la circonférence dont il ne nous reste qu'un fragment sous le titre de Kj/.acj ixi-pr,G:q.

Nous savons d'autre part par Eutocius qu'Apollonius dans un ouvrage perdu, \'Q/.jx6Y,<.o'>y avait donné, pour le rapport de la circonférence au diamètre une valeur plus approchée que celle d'Archimède, valeur que d'ailleurs nous ne connaissons pas.

Reportons-nous maintenant à la table des cordes de Ptolémée, telle qu'elle est insérée au livre I, chapitre 9 de la Syntaxe. Nous y trouvons les cordes calculées pour des arcs variant de demi-degré en demi-degré; elles sont exprimées en fractions sexagésimales du rayon (compté pour 60 parties). Enfin l'arc de 2° (ou le ISO* de la circonférence) est de fait regardé comme égal à sa corde et évalué à 2^5'40', ce qui correspond, pour le rapport de la circonférence au diamètre, à la valeur : 3,141666..., plus approchée elle-même que celle d'Archimède. Mais il faut remarquer que la valeur 3,1416 donnerait 2p5'39, 84, c'est-à-dire conduirait au même nombre entier de secondes.

Si nous ne trouvons pas, chez les Grecs, d'autre table trigonométrique, il en existe une dont se sont servis les astronomes de l'Inde et qui est insérée dans le Sûrya-Siddhânta. Cette table

donne les sinus (jyâ-ardka = demi-cordes) pour les arcs variant

de — - du quadrant. Le sinus du — , soit3''45' ou 225' , est regardé

comme égal à son arc; les autres sinus sont exprimés en minutes et le rayon est compté pour 3438'. On doit admettre que cette valeur dérive de l'adoption, chez les Indous^ du rapport 3,1416 entre la circonférence et le diamètre (').

8. Examinons les conséquences qui peuvent être tirées de ces rapprochements.

Nous n'avons aucun indice qui puisse faire supposer que Ptolémée ait fait quelque innovation dans les dispositions des

10 800 (!) En effet, — -—— = 3437,73... Voir Léon Bodet, Leçons de calcul d'Arya- 3,1416

bhata. Paris, 1879.

tables en usage avant lui. D'autre part, il serait très difficile de prouver directement quHipparque ait fait usage de tables exactement construites comme celles de Ptolémée. Mais on doit au moins admettre que les siennes étaient conçues suivant le même système, si elles ne présentaient pas la même approximation.

On peut certainement mettre en doute que les arcs y variassent de demi-degré en demi-degré; mais le calcul des cordes devait probablement y être poussé jusqu'aux secondes comme dans les tables de Ptolémée. Autrement il faudrait admettre qu'Hipparque se serait borné à l'approximation d'Archimède et aurait négligé celle plus grande obtenue par Apollonius (').

Le Sûrya-Siddlidnla nous présente un système au premier abord tout à fait différent. Cependant cet ouvrage, le plus ancien traité mathématique des Indous, porte des traces si marquées d'emprunts faits aux Grecs, que l'on est induit à soupçonner que la trigonométrie dont il y est fait usage n'a pas une autre origine {^).

Un examen plus attentif ne peut que nous confirmer dans cette opinion. Et tout d'abord la division du quadrant en 24 parties ou de la circonférence en 9ô, nous ramène à Archimède, puisque c'est précisément cette division dont s'est servi le géomètre de Syracuse dans sa Mesure du cercle.

Nous voyons cependant qu'un élément postérieur a été introduit dans la tradition, puisque cette division est combinée avec celle de la circonférence en minutes (donc en 360 degrés), qui était certainement étrangère à Archimède et qui le fut même très probablement à Apollonius, si elle ne fut introduite à Alexandrie que vers le commencement du second siècle avant notre ère, au temps d'Hypsiclès.

(1) On est dès lors conduit à penser que la variation des arcs devait êtie d'un degré au plus.

(*) On a même conjecturé que le nom mythique VAsûra-Maya, auteur pietendu du Sûrya-Siddhânta, était une corruption du nom grec de Ptolémée. Mais les rapports que présente ce traité astronomique avec l' A imafifes^e peuvent s'expliquer en admettant une tradition antérieure à Ptolémée, si ce dernier n'a fait le plus souvent que reproduire les travaux d'Hipparque.

Si Archimède a calculé une table de cordes, il a dû sans doute employer d'autres fractions de la circonférence ou du rayon que les sexagésimales (').

En même temps que la division babylonienne, nous constatons cbez les Indous une autre approximation que celle dWrchimède pour le rapport de la circonférence au diamètre; si cette approximation est d'origine grecque, ce ne peut être que celle d'Apollonius et nous reconnaissons d'ailleurs que la môme valeur sert de point de départ à la table du Sûrya-Siddhânla et à celle de Plolémée.

Il est très remarquable qu'un commentateur indou postérieur, Ganeça, nous indique que cette valeur a été calculée en divisant la circonférence en 384 parties. 11 suit de là qu'elle convenait immédiatement pour l'établissement d'une table donnant les cordes de degré en degré.

9. L'adoption du sinus au lieu de la corde comme fonction de l'arc était tellement indiquée par le lemme fondamental énoncé plus haut (7), que je pose en fait que, si la trigonométrie avait été créée de toutes pièces, cette adoption aurait eu lieu immédiatement. L'usage des cordes chez les Grecs ne peut s'expliquer que par l'existence d'une table antérieure à l'établissement de la théorie des calculs relatifs à la sphère.

Il va de soi que l'introduction du sinus ne porte point un caractère tel qu'il faille l'attribuer aux Indous. Ce peut être une idée grecque qui n'aura point été adoptée par Hipparque.

Il en est de même en ce qui concerne l'évaluation du rayon en fractions sexagésimales de la circonférence. Ce système, que nous

(') Ne serait-ce pas à l'usage d'une table pareille qu'aurait été consacré VEphodion commenté par Théodose? — VOkytokioti d'Apollonius peut être regardé comme ayant eu un objet analogue. Si le géomètre de Perge a donné le rapport 3,1416 entre la circonférence et le diamètre, il est clair qu'il devait diviser le rayon en 10,000 parties égales. Si Archimède avait suivi, au contraire, sans la division sexagésimale, un système analogue à celui conservé chez les Indous, il aurait divisé la circonférence en 1,000 parties égales (cf. Arér>aire,\l) et évalué le layon à 159 de ces parties.

n'avons point adopté, pouvait se présenter dès l'origine comme offrant, pour les calculs, certains avantages ; de fait, il compliquait les démonstrations et on peut bien comprendre qu'Hipparque l'ait rejeté, dans le cas où il l'aurait connu. Il ne présente d'intérêt pratique réel que pour la solution des équations transcendantes, puisqu'il ramène à la même unité l'arc et la ligne trigonomélrique et qu'il permet ainsi d'éviter des transformations pénibles auxquelles nous sommes encore astreints. Mais c'était là une question dont les Grecs n'avaient pas à se préoccuper.

10. La difficulté réelle qu'il peut y avoir à faire remonter l'invention de la trigonométrie à une époque antérieure à Hipparque consiste d'ailleurs dans ce fait, qu'au temps d'Hypsiclès, c'est-à-dire pour la génération qui a précédé immédiatement l'astronome de Nicée, les méthodes fondées sur l'emploi des tables de cordes paraissent complètement inconnues, quoique les problèmes qu'elles servent à résoudre soient déjà posés.

Toutefois cette objection peut être focilement levée par les considérations suivantes :

Il dut en être de cette invention comme de celle des logarithmes qui, au xvii^ siècle, renouvela à son tour l'ensemble des procédés pour les calculs astronomiques. Elle donna lieu à des essais divers, fondés sur des principes différents; dès que des tables commodes eurent été construites et adoptées par les principaux astronomes, leur usage devint universel; les autres tentatives restèrent comme non avenues, quelle qu'ait pu être leur importance théorique.

Voici comment je me représente que les choses se passèrent pour l'invention de la trigonométrie :

A la suite des recherches d'Archimède sur le rapport entre la circonférence du cercle et son diamètre, des calculs, peutêtre déjà entrepris par le géomètre de Syracuse, furent faits pour déterminer les cordes des différents arcs. Ces calculs aboutirent d'une part à l'établissement de formules approximatives, telles qu'on les retrouve dans les écrits attribués à Héron

d'Alexandrie 0), d'un autre côlé à la formation de tables. Ils furent repris par Apollonius, qui détermina plus exactement la valeur 3,1416Jà attribuer à la circonférence en prenant le diamètre comme unité et, plus tard, par les géomètres d'Alexandrie contemporains d'Hypsiclès, lors de Tintroduction du système des fractions sexagésimales.

D'autre part, Apollonius établit les méthodes permettant de calculer les arcs de la sphère, grâce à l'emploi de ces tables de cordes, et en partant du théorème fondamental sur les transversales. Un pareil développement des diverses conséquences d'un même principe ne semble en effet pouvoir être attribué qu'à un génie mathématique aussi puissant que celui du géomètre de Perge; il rentre d'ailleurs essentiellement dans ses habitudes d'esprit.

Hipparque, trouvant ainsi le terrain préparé, calcula des tables plus exactes que toutes celles qui avaient été essayées avant lui, et auxquelles il donna la forme qui devint plus tard classique, par suite tant de la supériorité de ces tables que de l'importance des applications qu'il en avait faites. Toutefois l'adoption gé/iérale du système ne fut sans doute pas immédiate, et tandis qu'il les employait à Rhodes, les astronomes d'Alexandrie pouvaient se servir de tables beaucoup moins satisfaisantes et conçues suivant d'autres principes.

Ce seraient ces dernières que les Indous auraient empruntées aux Grecs et que nous retrouvons dans le Sûrya-Siddhânla. Elles représenteraient ainsi un état delà science antérieur à la diffusion et à l'adoption générale des travaux d'Hipparque.

11. L'exposé que je viens de présenter comme probable pour l'histoire de l'invention de la trigonométrie renferme incontestablement une part hypothétique dont je n'ai pas à dissimuler l'étendue; mais il me paraît donner la seule explication plausible

(*) Voir dans les Mémoires de la Société des Sciences p/njsiqites et naturelles de Bordeaux, \„ mon article]: Etudes héroniennes .

des différentes circonstances qu'il est essentiel de foire entrer en ligne de compte.

Ainsi Hipparque n'aurait pas plus inventé la trigonométrie que les projections ^stéréographiques ou les épicycies; il n'aurait pas davantage été le premier à comprendre l'importance des anciennes observations clialdéemies, ni la nécessité de créer un matériel pour Aiire, aussi exactement que possible, des observations nouvelles. Sur tous ces points essentiels, il aurait eu comme précurseurs les divers mathématiciens de l'École d'Alexandrie, depuis l'origine de celle-ci.

Par le témoignage même d'Hipparque, que Ptolémée nous a conservé (III, 2), nous savons qu'Archimède avait observé des solstices pour déterminer la longueur de l'année. Il ne semble pas douteux, d'autre part, qu'Apollonius de Perge doive être identifié avec l'astronome du même nom, qui vivait comme lui sous Ptolémée Philopator, et dont on nous raconte {^) qu'il avait reçu le surnom à'Epsilon, à cause de l'importance de ses recherches sur la théorie de la lune (^).

Un tel surnom ne doit guère avoir circulé en dehors de la Société du Musée, où il semble qu'une lettre avait été, vers cette époque, attribuée de même à chaque membre. Ainsi nous savons, par la môme source, qu'Ératoslhène, dont la vie se prolongea jusqu'en 196 avant Jésus-Christ, fut appelé Bêta. Si les travaux d'Apollonius sur la lune nous sont d'ailleurs inconnus, il n'y a pas à s'en étonner; Hipparque ayant repris cette théorie, Ptolémée n'avait pas à remonter plus haut que lui; il atteste cependant (Xll, i) le rôle d'Apollonius dans l'invention des épicycies et des excentriques. Le récit d'Héphestion semble dès lors suffisant pour prouver que le géomètre de Perge ne s'était pas borné à des considérations purement théoriques sur ce sujet, mais qu'il avait appliqué sa conception en particulier à la représentation des mouvements lunaires.

(*) Ptolémée Héphestion dans PJiotius, cod. 490.

(-) L.1 forme la plus ordinaire de l'epsilon grec se rapprochait alors de celle du croissant.

Voilà donc les deux grands génies malhémaliciens du m' siècle avant notre ère qui ont consacré une partie de leur attention aux phénomènes célestes. Sans doute, pour Texplication future de ces ptiénomènes, ils ont fait davantage par leurs Iravaux de pure géométrie; mais si la théorie des coniques n'a pas servi en astronomie avant Kepler, ils ont produit des œuvres plus immédiatement fécondes, parce qu'elles étaient exactement appropriées aux besoins de leurs temps.

Il fallait des méthodes de calcul; ils les établirent. En même temps furent développés des modes de représentation des mouvements, appliqués de nouveaux principes pour la construction des instruments, recherchées les anciennes observations dont il pouvait être fait usage. Dès lors la science était créée. Au siècle suivant, l'héritier de ces Iravaux éleva un monument qui les fit oublier, mais qui lui-même devait bientôt disparaître pour être reconstruit sur le même plan.

12. Dans les conclusions qui précèdent, nous avons tranché sommairement la question du perfectionnement, antérieurement à Hipparque, du matériel d'observation. Il est temps d'y revenir, non pour l'épuiser, mais au moins pour essayer de dissiper quelques erreurs invétérées, touchant l'invention des armilles et de la sphère armillaire.

Le principal instrument décrit par Ptolémée (V, I) comme servant aux observations astronomiques (i) est précisément une sphère armillaire incomplète^ ainsi que nous l'avons déjà indiqué (p. 50, note 6); c'est cet instrument que l'on connaît sous le nom inexact d'astrolabe et on s'accorde à en attribuer l'invention à Hipparque.

Ptolémée le désigne simplement sous le nom d'organon (instrument), que nous conserverons pour éviter toute confusion

(') La construction en esl très mal exposée par Halma (p. 56 de la préface de son édition gréco-française de la Syntaxe), et la figure qu'il en donne est singulièrement inexacte; c'est pourtant à lui qu'on s'eii rapporte ordinairement, au lieu de remonter au texte de Ptolémée.

avec Tastrolabe planisphère déjà décrit plus haut (II, 24). A la vérité, le chapitre V, 1 de Ptolémée porte pour titre : -tp: y.y.-.xz-/.vj%z àj-cpoXâSoj ôpYavoj (sur la construction de l'instrument astrolabe), mais l'authenticité de ce titre est au moins suspecte, car dans le texte, le terme d'às-pôAaoc; (preneur d'astres) n'apparaît que comme épithète de deux cercles distincts faisant partie de l'instrument.

Quant à l'attribution à Hipparque, elle ne repose sui^ aucun témoignage authentique et, si les observations que Ptolémée rapporte de l'astronome de Nicée paraissent tout à fait semblables à celles qu il donne comme de lui-même, l'auteur de la Syntaxe semble indiquer formellement que Vorganon dont il s'est servi a été construit sur ses propres plans.

13. Cet organon était destiné à donner en même temps deux mesures : d'une part la différence de longitude de deux astres, de l'autre la latitude de l'un d'eux. Il comportait :

1° Un cercle (armille ou anneau cylindrique) A vertical, monté sur une colonnette fixe et orienté suivant le méridien du lieu. Le limbe de ce cercle est gradué.

2° Un second cercle B emboîté dans le précédent, de telle sorte qu'il puisse tourner sur lui-même dans le plan du méridien, la surface cylindrique extérieure de l'anneau B étant de même rayon que la surface cylindrique intérieure de l'anneau A et glissant à frottement doux sur cette dernière. Un repère de B. se déplaçant sur le limbe gradué de A, permet d'amener dans la direction de l'axe du monde un diamètre de B suivant lequel sont montés deux tourillons.

S° Ces deux tourillons supportent un troisième cercle C qui représente le colure des solstices (méridien mobile passant par les pôles de l'écliptique) et auquel est invariablement fixé un quatrième cercle D, de même diamètre que G, situé dans un plan perpendiculaire et disposé de façon à représenter l'écliptique. De la sorte ces deux cercles peuvent être amenés, par rotation de l'ensemble sur les tourillons, à coïncider avec les plans qu'ils sont destinés à représenter.

4"^ Aux extrémités du diamètre de C qui représente Taxe de 1 ecliplique, sont montés des tourillons ressortant tant à l'extérieur qu'à l'intérieur, en sorte qu'ils puissent servir de pivot à deux nouveaux cercles (les astrolabes) perpendiculaires au plan de l'écliptique et mobiles indépendamment l'un de l'autre. De ces deux cercles de longitude, l'un E est extérieur au système CD, tout en pouvant passer en dedans du méridien B; l'autre F est intérieur au système CD. L'angle formé par les plans de E et de F peut se lire sur une graduation que porte le limbe du cercle perpendiculaire D.

5° Enfin, de même que B est emboîté dans A, un septième cercle G est emboîté dans le cercle de longitude intérieur F et peut tourner dans le même plan; son déplacement se lit sur une graduation du limbe de F. Ce cercle G porte pour la visée deux pinnules aux extrémités d'un même diamètre. H permet donc d'obtenir par une mesure directe la latitude de l'astre visé (i).

Vorganon une fois réglé, l'observation exigeait d'abord que l'on amenât le cercle D dans le plan de l'écliptique (pour cela, on visait suivant ce cercle un astre connu pour être dans ce plan), puis qu'on visât séparément avec les cercles E et F les deux astres dont on cherchait la différence de longitude; une dernière visée avec les pinnules du cercle G donnait la latitude.

Les cercles D et E pouvaient facilement être amenés dans un même plan avec le soleil (dans le casoij l'on se servait de Vorganon pour l'étude des mouvements de la lune); il s'agissait pour chacun d'eux de remplir la condition que les deux limbes plans de l'armille fussent éclairés et toute la surface concave dans l'ombre.

14. Tel était l'instrument que les anciens ne perfectionnèrent pas, au reste, après Ptolémée, et qu'ils transmirent aux astronomes du moyen âge, arabes, byzantins ou occidentaux. Au v^ siècle de notre ère, Proclus, dans ses Hypolyposes, le décrit absolument

(1) En montant deux pinnules pareilles sur le cercle B, le système des deux cercles A, B permettait de mesurer directement les hauteurs méridiennes. Pour l'observation du soleil, on pouvait se servir de pinnules pleines, en amenant sur la plus basse l'ombre de la plus haute,

comme l'auteur de la Syntaxe. Il lui donne d'ailleurs déjà le nom ahus\( à' astrolabe, mais en ajoutant la désignation 5 G-.i tûv ïrr.x y.jxAwv, l'astrolabe des sept cercles. Il nous apprend de plus que les observatoires possédaient, sous le nom de méléoroscope, un instrument encore plus compliqué, comportant neuf cercles et permettant, en outre de toutes les mesures possibles avec Xorganon de Ptolémée, d'autres déterminations qu'il ne précise pas. Sans chercher, pour le moment, à restituer ce méiéoruscope, il nous suffit de constater qu'il devait être fondé sur les mêmes principes que Vorganon, c'est-à-dire représenter également une sphère armillaire, mais un peu plus complète. Il est aisé de concevoir comment il pouvait servir à déterminer non seulement les longitudes et latitudes célestes, ou les hauteurs méridiennes que donnait déjà Xorganon, mais encore les déclinaisons et les ascensions droites.

Je remarque que, tandis que Ptolémée semble revendiquer la construction de son organon, il parle, dans sa Géographie, du météoroscope comme d'un instrument déjà usité avant lui. Nous arriverions donc à cette conclusion qu Hipparque a dû employer un appareil plus compliqué de fait que celui de Ptolémée, une véritable sphère armillaire complète et disposée pour l'observation.

15. Le fait peut paraître singulier, mais il rentre sous cette loi empirique, si souvent vérifiée historiquement, que l'homme épuise ce qui est compliqué avant d'arriver à ce qui est simple. Un des plus grands progrès réalisés par les modernes pour obtenir la précision des observations a été incontestablement d'affecter chaque instrument à un seul usage, de simplifier par là autant que possible les conditions qu'il doit remplir, sauf à les exiger avec plus de rigueur. Après Tycho-Brahé, Xorganon de Ptolémée, qui avait quatorze siècles de services, ne fut plus qu une inutile vieillerie; mais lui-même avait été, à l'origine, une heureuse simplification pratique que ses avantages incontestables firent adopter et maintenir jusqu'à l'époque où l'on constata que le progrès exigeait de simplifier encore.

Le point de départ avait été tout autre. Dès le moment où la technique de la construction des appareils fut suffisamment développée, on se proposa un instrument universel. Il n'y a pas de doute que, dès le temps d'Archimède, c'est-à-dire un siècle avant Hipparque, les conditions d'exécution étaient remplies. Le géomètre de Syracuse n'a-t-il pas surmonté des difficultés bien plus grandes, en imitant dans une sphère artificielle, dont il prit soin d'ailleurs d'expliquer la construction ('), les mouvements des planètes en même temps que ceux des fixes?

L'idée de construire une sphère armillaire, dans un simple but de démonstration, ne constitue certainement pas un trait de génie, pas plus que celle de disposer une pareille sphère en vue d'observations astronomiques. La difficulté ne s'élevait pas au delà de l'ordre pratique. La gloire d'Hipparque a surtout été de savoir se servir d'un instrument sans doute conçu et exécuté au siècle précédent, c'a été d'en tirer tout le parti possible.

Si nous nous trouvons encore ici sur le terrain des conjectures, il ne faut pas oublier qu'aucun texte n'attribue à Hipparque l'invention de ses instruments d'observation, à part la d/op/re spéciale dont nous avons parlé plus haut (II, 19). La première idée de la sphère armillaire n'est d'ailleurs revendiquée en faveur d'aucun personnage de l'antiquité; elle doit être laissée au fonds commun de l'humanité.

16. Mais, avant que l'on fût arrivé à faire des sphères armillaires complètes assez parfaites pour se prêter à des observations relativement précises, ce qui ne dut avoir lieu, en tout cas, que deux ou trois générations avant Hipparque, il y eut une période oii des mesures astronomiques furent déterminées à l'aide d'instruments certainement plus grossiers et probablement beaucoup moins ambitieux. Ptolémée nous a conservé trois séries d'observations antérieures à Hipparque :

(i) Cette Sphéropée d'Archimède, malheureusement perdue, fut d'ailleurs le seul écrit qu'il consacra à ses ouvrages de mécanique .

La première est celle d'Arislylle et Timocharis, pour lesquelles les dates les plus éloignées qu'il indique correspondent au 21 décembre 296 et au 15 octobre 272 avant Jésus-Christ (^).

La seconde série est datée suivant une ère spéciale, désignée par le nom de Dionysios, entre le 18 janvier 272 et le 4 septembre 241 . L'observateur peut être ce Dionysios lui-même, qui a dû vivre à Alexandrie sous Ptolémée Philadelphe.

La troisième enfin (entre le 19 novembre 244 et le 1" mars 229) est dalée a suivant les Ghaldéens » en mois macédoniques de rère des Séleucides. Ces observations doivent avoir été faites à Babylone.

De ces observations, Ptolémée déduit des longitudes d'étoiles et des déclinaisons C^).

A cette époque, d'autre part, on rapporte la construction d'armilles de grande dimension installées dans le Muséum d'Alexandrie, et Ton suppose que ces armilles, l'une méridienne, l'autre équatoriale, formaient comme l'embryon d'une sphère complète.

17. Cette dernière hypothèse est contraire à l'opinion que nous avons émise sur l'origine de la sphère armillaire. Nous allons montrer, en premier lieu, qu'elle ne s'appuie pas sur les textes.

La mention de ces armilles anciennes se trouve en deux endroits de la Syntaxe (III, 2, pages 153, 155 de l'édition do Halma). Mais le traducteur français de Ptolémée n a pas remarqué que ces mentions appartiennent toutes deux à de longues citations textuelles empruntées à l'écrit d'Hipparque Sur la mélaptose des points tropiques et équinoxiaiix . L'erreur de Halma, aggravée

(}) Sauf la dernière, exprimée suivant le mode égyptien ordinaire à Ptolémée, ces dates sont données en mois attiques de la période Callippique. On peut supposer que l'exception provient d'une transcription.

(') Si Ptolémée ne cite pas d'observations plus récentes avant celles d'Hipparque, il ne faut pas en conclure que l'on ait cessé d'observer le ciel pendant un siècle avant l'astronome de Nicée. D'après le but qu'il poursuit, il doit rechercher les mesures les plus anciennes, déjà prises par Hipparque comme terme de comparaison.

par ce qu'il dit à ce sujet page 56 de sa préface, a entraîné celle de tous ceux qui l'ont consulté.

Hipparque parle en premier lieu (p. 153) d'un cercle de cuivre placé à Alexandrie dans le portique appelé carrée et qui était regardé (par les savants alexandrins) comme désignant le moment de l'équinoxe alors que sa surface concave reconmiençait à être éclairée. Il ajoute (p. 154) que l'observation faite à Alexandrie avec cette] armille équinoxiale (le 21 mars 146) a donné cinq heures de différence avec celle qu'il faisait de son côté (à Rhodes). Il parle enfin (p. 155) de deux armilles de cuivre dans la palestre r.xp 'y;[mv (chez nous), c'est-à-dire à Rhodes, qui avaient été établies à des dates différentes (la plus grande étant la plus ancienne) avec fixation détinitive, sans moyen de correction à chaque observation, et dont il a constaté le dérangement.

Hipparque ne dit nullement, dans l'ensemble de ces passages, comment il observait lui-même l'équinoxe; nous pouvons très bien admettre que c'était avec son instrument universel, c'est-àdire une sphère armillaire dans laquelle la situation du cercle équatorial pouvait précisément être corrigée. Il n'indique pas clairement ce qui en était à cet égard pour le cercle du portique carré d'Alexandrie, dont il parle sur la fui d'autrui, mais dans lequel il ne semble pas témoigner une grande confiance.

18. En tout cas, cet important passage nous apprend qu'il y avait, longtemps avant Hipparque, des armilles équatpriales installées non seulement à Alexandrie, mais encore dans les grandes villes qui se piquaient de rivaliser avec elle. Leur objet semble avoir été exclusivement la détermination des équinoxes, car rien n'indique qu'elles aient servi à un autre usage. Ces installations étaient destinées moins à des observations astronomiques proprement dites, qu'à des constatations d'ordre civil ou d'intérêt général. Elles ne différaient pas à cet égard de celles des gnomons pour marquer les solstices dans les villes de l'Hellade.

Quels qu'aient été les perfectionnements apportés en dernier

lieu à ces armilles, les plus anciennes avaient été posées à demeure, sans possibilité de correction ultérieure, ce qui explique comment on a pu être amené à les multiplier dans le même endroit, à doubler par exemple la première armille installée dans la palestre de Rhodes.

Le langage d'Hipparque semble exclure absolument l'idée que ces armilles équatoriales fussent montées avec des armilles méridiennes ou solsticiales (^). L'idée qu'il en était ainsi provient exclusivement de ce fait que le moyen le meilleur pour monter rigoureusement une armille équatoriale et pour vérifier sa position consiste évidemment à la combiner avec une armille méridienne. .Mais, comme ce moyen est loin d'être indispensable et qu'il exige même un travail plus considérable que bien d'autres qu'il est aisé d'imaginer, nous n'avons aucune raison de conclure qu'il a dû être employé à l'époque dont il s'agit, c'est-à-dire dans la première moitié du lu^ siècle avant Jésus-Christ.

19. Revenons aux observations astronomiquesde cette époque. Quoique Ptolémée en ait déduit des longitudes, elles ne comportent aucune détermination directe de ce genre. Nous n'y trouvons en effet, en dehors de mesures de déclinaisons, que des observations d'appulses ou d'occultations d'étoiles par les planètes ou la lune.

Ces observations ne nécessitent aucun instrument (^); nous ne pouvons d'ailleurs douter qu'elles aient été poursuivies, depuis une date excessivement reculée, par les Chaldéens, et qu'elles aient eu, primitivement, un but appartenant exclusivement à l'astrologie judiciaire. Ce n'est qu'après une longue suite de temps qu'on a reconnu qu'on pouvait s'en servir pour la détermination

(•) Il est constant, paV Cléornède, qu'Eratosthène observait les solstices, non pas avec une arnnille, mais avec le gnomon perfectionné par Aristarque de Samos, c'est-à-dire la scaphé.

(*) Si cependant on veut déterminer les rapprochements maxima, dans le cas où l'occultation n'est pas exacte, comme elle lest pour les observations rapportées par Ptolémée, on peut être conduit à l'emploi d'un appareil propre à la mesure des petites distances angulaires. (Comparez II, 21, 2'2.)

des mouvements moyens et, après correction des anomalies, pour celle des longitudes.

Cependant ce progrès appartient déjà, semble-t-il, à la science chaldéenne, et sur ce point les Grecs n'ont été que des imitateurs.

J'ai déjà indiqué plus haut (II, 14) comment les pratiques de l'astrologie judiciaire, en concentrant l'attention sur les phénomènes du zodiaque, au lieu de la porter sur l'observation de la zone équatoriale, avaient influé sur la découverte de la précession des équinoxes. Il est suffisamment clair, je crois, dès maintenant que, si ce n'eût pas été une habitude antérieure à Hipparque de rapporter les étoiles à l'écliptique plutôt qu'à Téqualeur, il lui eût été bien difficile de reconnaître que les différences de longitude sont invariables et de soupçonner dès lors que si les déclinaisons variaient, les latitudes devaient rester constantes.

20. Il est, au reste, parfaitement possible qu'Hipparque ait eu le premier l'idée de mesurer systématiquement les latitudes; si les Ghaldéens avaient dû, sans aucun doute, considérer les digressions en latitude des planètes et de la lune, ils s'étaient bornés, très probablement, à les estimer d'après les hauteurs méridiennes, et nous ne trouvons rien de plus dans les observations de Timocharis et d'Aristylle. Car si Ptolémée rapporte, d'après eux, des déterminations de déclinaisons, comme il emprunte à Hipparque ses données sur ces déterminations, il est parfaitement permis de croire que l'astronome de Nicée les aura déduites de mesures de hauteurs méridiennes et de la connaissance de la latitude d'Alexandrie.

Gomment Aristylle et Timocharis ont-ils mesuré ces hauteurs méridiennes, quel matériel avaient-ils pour cela, nous n'en savons absolument rien, si ce n'est qu'Hipparque semble le considérer comme ayant été assez grossier. Le champ reste ouvert aux conjectures.

Une question aussi obscure est celle de savoir quelle unité de mesure employaient ces premiers observateurs alexandrins. Les déclinaisons que Ptolémée donne d'après eux, sont exprimées en

dearrés, avec les fractions suivantes : â' -,' y ? et les combinaisons ® ' 2 J 4 5

de ces fractions. iMais on n'a nullement le droit de conclure immédiatement de là quelle était la graduation dont ils se servaient.

21. J'ai déjà indiqué (II, 20) que la division abstraite du cercle en MO" ne paraît pas antérieure à Hipparque. En dehors des preuves que j'ai apportées à l'appui de cette opinion, je dois insister sur celle que l'on doit tirer de la célèbre détermination de l'obliquité de l'écliptique par Ératoslhène.

Il a estimé l'arc du méridien entre les cercles tropiques aux

— T de la circonférence. Delambre considère cette singulière déter-

mination comme une transformation numérique d'une mesure qui, d'après lui, n'a pu être effectuée que sur un cercle ayant une

graduation sexagésimale.

Au moins cette transformation numérique prouverait-elle qu'au temps d'Ératosthène, celte graduation n'était pas d'un usage bien répandu pour le méridien.

Si, d'autre part, on peut admettre l'existence, dès cette époque, de cercles présentant une division sexagésimale, il se peut très bien aussi que pour une mesure aussi importante que celle qu'il entreprenait, Ératoslhène ne se soit pas fié à l'exactitude de pareilles divisions. Il pouvait considérer comme préférable, après avoir déterminé sur un cercle non gradué les extrémités de l'arc à mesurer, de chercher graphiquement, suivant le procédé classique, la plus grande commune mesure entre cet arc et la circonférence. Ce procédé l'aura conduit naturellement à un rapport tel que celui qu'il a donné :

Quoi qu'il en soit, on ne peut guère mettre en doute qu'Aristylle et Timocharis se soient servis d'une graduation sexagésimale. Il

ne me semble pas cependant qu'ils aient déjà employé, pour le méridien, la division en 360 degrés, car comme elle a, très certainement, été appliquée en premier lieu à Técliptique, il deviendrait inconcevable comment elle ne serait pas devenue générale dès la première moitié du iii^ siècle avant notre ère. J'incline à penser qu'ils divisaient plutôt le méridien en 180 coudées de ^4 doigts chacune (U, 22), mode qui, nous l'avons vu, s'est perpétué longtemps après eux, ot qui était d'ailleurs sans doute un de ceux que suivaient les Chaldéens.

Si l'on admet, d'autre part, qu'ils firent leurs observations avec un cercle méridien,' on peut révoquer en doute qu'ils aient employé l'alidade (dioptre) mobile autour du centre; celle-ci semble en effet avoir été, dans les instruments astronomiques de l'antiquité, exclusivement usitée sur la première face de l'astrolabe (II, 44). Ils avaient plutôt le système de Yorganon de Ptolémée, les deux cercles concentriques, dont l'un glisse à l'intérieur de l'autre.

22. En résumé, pour ce qui concerne les observations astronomiques, l'âge de la science alexandrine avant Hipparque semble devoir se diviser en deux périodes.

Dans la première, les observateurs suivent de fait la tradition chaldéenne, révélée aux Hellènes depuis les conquêtes d'Alexandre. Us s'attachent aux occultations des fixes par les planètes, s'occupent de mesures de hauteurs méridiennes, dans le but de reconnaître les mouvements moyens en longitude et en latitude; ils essaient les diverses graduations sexagésimales, et se servent probablement d'instruments dont ils empruntent également le principe aux Chaldéens. En un mot, les astronomes grecs s'assimilent les procédés de la science orientale.

Dans la seconde période, qui correspond à la suprême floraison du génie mathématique grec (c'est l'époque d'Apollonius de Perge), l'originalité de ce génie commence à apparaître pour l'étude du ciel : on entrevoit le moyen de coordonner le chaos des connaissances déjà acquises. Tandis que de nouvelles théories géomélri-

— Biques et cinématiques sont constituées, que de nouveaux procédés de calcul sont élaborés, on conçoit et on exécute deux instruments qui, comme principe, représentent le dernier mot de la technique ancienne : l'astrolabe, pour la détcrn)ination de l'heure; la sphère armillaire, instrument universel pour les mesures d'angles astronomiques.

Mais ce puissant essor semble tout d'abord rester infécond; l'attention se porte sur une question préalable; pour utiliser le trésor des observations chaldéennes que l'on a recueillies, il faut résoudre avant tout le problème de leur réduction, il faut constituer la géographie mathématique. Ce fut l'œuvre d'Eratosthène, et il sut y déployer un talent plus surprenant encore pour les opérations pratiques que pour la théorie.

Désormais tous les matériaux sont préparés pour élever l'édifice de l'astronomie scientifique; les circonstances politiques entravent sa construction à Alexandrie même; mais Hipparque naît et Rhodes lui réserve un asile.