YA 20 D (7% CRE DL

Dans le cas où la cause qui a produit et qui entretient la perturbation est une fonction sinusoïdale du temps de pulsation 6 — 2 rf, v et z sont aussi, en régime permanent, des fonctions sinusoidales du temps et en utilisant la notation imaginaire, on a

dt Le 20 ; AE — Se OO CRM ERNEST

Les équations (2) s’écrivent

20 ; ee 2x (R + 7Lw) — = (G + Cu) 6 d’où l’on tire 2° j . a .

3 — (R + Lu) (G + jCu) v = 0 2° RE N'a (R + jLo) (G + 7Cw) » — 0

équations qui s’intègrent immédiatement. La quantité

ViR + JLo) (G + Co)

est appelée la constante de propagation, soit P. La quantité ve + JLo G + 7Cw

est l’impédance Caractéristique, soit Z,. On a

b—=v, Ch Pr — Zi, Sh Px

: : o (3) VE ICRP TRES TT Le LEUR

où v, ete, sont les valeurs de o et de à pour x — o. Un cas particulier intéressant est celui où ur est négligeable devant Lu et G devant Co. On a alors

DE LIQUIDES POLAIRES : Al —

CEE 7/7 1 P = Jù VLC

ou en posant

Ho ÉTAT V — 0, COS = X — Ji, Sin — X

V V L i cos à 70 in © = N Fe ROSE t AT 0 Z. V

# et z sont des functions sinusoiïdales de Pabscisse et le phénomène se propage avec la vitesse V. La théorie et l’expérience montrent que cette vitesse est la même que la vitesse de propagation de la lumière. Si la longueur d’onde est x, on a :

ARS 2% NUE R d’où :

ae SERRE à 0 — ÿ, COS 27 — — JL, sin 27 — A \ À \ | (4) : 9 Ÿ HR TAN OSELTE £ STORE TE 2 À J ZL É À

Rappelons le principe de la mesure des longueurs d'onde. Un appareil indicateur (généralement un thermo-élément et un galvanomètre) permet de repérer l’intensité du courant à .une extrémité de la ligne. Un pont réfléchissant P peut être déplacé le long des fils. Si x désigne la distance du pont à l'extrémité des fils, comme en ce point —o, on a

v, étant supposé constant et égal à la f.e. m. induite par l’émetteur d'ondes entretenues, &, sera maximum lorsque tg 27 . sera maximum,

autrement dit pour x — 5 RUES La distance entre deux positions successives du pont P corres-

pondant à deux maxima de &, est égale à :-

Première méthode de Drude. — Supposons maintenant que les fils soient plongés dans un liquide diélectrique parfait de pouvoir inducteur spécifique :. La nouvelle vitesse de propagation V, sera donnée par :

« À et la nouvelle longueur d'onde à, — Le On aura donc en mesurant €

Avec des liquides non absorbants ou non conducteurs, cette

méthode donne des résultats très précis. Nous Pavons utilisée pour déterminer les constantes diélectriques des liquides devant nous servir pour la seconde méthode de Drude.

Avec des liquides absorbants ou conducteurs, il faut reprendre les équations générales (3). Pour déterminer la constante diélectrique complexe, la mesure des internœuds n’est plus suflisante. Puisqu’en réalité, il faut déterminer deux quantités, une autre série de mesures est nécessaire; on peut par exemple étudier la loi de décroissance des maxima du courant #,. Mais ces mesures deviennent très délicates et imprécises; notamment les réflexions sur les parois de la cuve contenant le liquide peuvent fausser les résultots. Enfin si l'absorption ou la conductivité deviennent trop fortes, les mesures sont impossibles.

Deuxième méthode de Drude. — Une extrémité des fils de Lecher étant fermée sur l’appareil indicateur de courant, l’autre extrémité est fermée sur une petite capacité contenant le liquide à étudier que nous supposerons d’abord diélectrique parfait. La longueur des fils est variable et le maximum de courant est obtenu pour une certaine longueur /. Les équations (4) donnent

NT NON = x ent re:

COS. 2r = — 7, Sn 2r = —/l6:|cos 2577 1 sin 2502) À Z: À À À

On voit que pour , constant, #, est maximum pour / donné par

OPTE"#, +'ey » Y étant ce que nous appellerons la capacité résiduelle et + la capacité active du condensateur. En posant :

PROD CA 4 PL, NUM = È k LU

on à :

Le calcul de : suppose la connaissance de >, et de 3 que l’on peut déterminer à l’aide de deux milieux de constantes diélectriques connues, un de ces milieux pouvant étre l’air. On peut aussi à l’aide de liquides de constantes diélectriques connues tracer la courbe : — f (l) et inversement de / déduire &.

Cas d'un liquide absorbant : courbe de résonance. — Supposons maintenant le liquide absorbant ou conducteur. Comme nous l'avons déjà dit plus haut, la détermination de la constante diéletrique complexe de ce liquide nécessite la mesure de nr et de », ou encore de £' et de :”. Drude (4) avait fait une évaluation approchée de l’absorption en appréciant l’éclat du tube lumineux qui lui servait à déterminer les ventres de tension. D’autres expérimentateurs (44) ont utilisé dans ce but des liquides de comparaison conducteurs dont ils connaissaient la constante diélectrique et la conductivité. En réalité, ils prenaient pour valeur de la conductivité celle qui avait été déterminée pour des fréquences beaucoup plus basses.

Nous avons utilisé une méthode entièrement différente basée sur la forme de la « courbe de résonance » dont voici le principe.

Écrivons l'équation (5), mais dans l’expression de [", remplaçons

e par e/— 7<"; nous tirons alors :

ù ! 02 NS to yes La Ep + re IE (o) + 5 mi 7

et en passant aux valeurs absolues :

[0] S ou Lt O2 a y (9e) RO A RAS

CR RSR EM : Ge ne 8

d’où Une a t 2 62 tg” 27 * + 2A tg 2r HR SD RP Ÿ ee re ; ÿ5 °'afAË; + B°) tg 2x + — 2À 8 2x 5 + ‘1

v, peut être considérée comme la tension alternative constante induite par l’oscillateur dans les fils de Lecher. Comme d’autre part les déviations données par le galvanomètre associé au thermo-élément sont proportionnelles aux carrés des intensités, on voit que

la fonction

donnera, à un facteur constant près, l'équation de la courbe des déviations 4 du galvanomètre en fonction de la longueur x. C’est cette courbe que nous avons appelée « courbe de résonance » et que nous allons étudier. Posons, toujours pour simplifier l'écriture,

La fonction + (z) présente un maximum pour la racine positive de Péquation

Az? + (A? + Br — 1)z — A — 0 (6) et ce maximum 5, est égal à = To Gr A (7)

,Z(1 — Az,)

où 2, est cette racine à laquelle correspond la valeur x, de x. Faisons le changemeñt de variable

= TN ETAT OUI Fr = on obtient :

DNA ps Az) Te oz, 2AZz, + At pe “(ei + 247, + AH B]z? + (AT Bi — 2Ac, F1 re GRR %

Var ane es |

RER ROBE ARR EI ee CR x i 2 Ù 3 ;

par rapport à «'. C'est ce que l'expérience vérifie; la courbe 4 (x) a la forme donnée par la figure 4. Voyons maintenant comment de

la connaissance de la courbe 4{x) relevée expérimentalement, on peut déduire A et B, et par suite <! et <”. x, étant connu, on calcule

z, = tg 2x — et on a une première relation donnée par (6). Soit À

d’autre part +! la déviation obtenue pour x = x, + x'. On a :

12 al.

20 + (1 — ma, — m2? —= 0

équation d’où l’on tire «,.

On a en fin de compte le système

Az + (A? + B?— 1)z, — À — 0

d'où l’on tire AVN ES (CZ 1j Ù nn — FRS UE DE Va TRUE.

De la valeur de À, on déduit celle de z/, à l’aide de liquides de

constantes diélectriques connues comme nous l’avons montré ei-

B dessus. D’autre part, on a &"/e! — ——— A — 5 , 0 Très souvent, 3, est négligeable devant <>, et on a simplement ei B * = Ne Cas où l’on tient compte de la résistance de la ligne. — Dans

certains cas, on ne peut plus négliger la résistance de la ligne et de l'appareil de mesure. Pour ce dernier, on peut comme nous le verrons au paragraphe suivant, le placer dans un circuit couplé aux fils de Lecher. D'autre part on peut avoir un ordre de grandeur de la résistance de la ligne pour les courants à très haute fréquence en appliquant les formules classiques d'effet de peau. Et on peut alors constater, lorsque la longueur d’onde n’est plus très grande par rapport à l’écart des fils, que cette valeur de résistance n'est pas suffisamment élevée pour expliquer l’étalement

de la courbe de résonance, la ligne étant ou court-circuitée à son extrémité arrière, ou ouverte ou encore fermée sur un condensateur contenant un diélectrique pratiquement parfait. On constate encore que cette courbe de résonance ne varie pas très sensiblement, autrement dit que la résistance de la ligne reste pratiquement constante, quand on fait varier la longueur des fils de une ou plusieurs demi-longueurs d'onde. Il faut introduire alors la résistance de rayonnement R'. Les calculs de cette grandeur dans le cas d’une longueur quelconque des fils sont très compliqués; pour fixer les idées, on peut se borner au cas où cette longueur / est égale à un nombre entier de 1/2. On trouve alors (24).

R'— 60 [e + Log (2 mi) — Gi (2m) — 2 Ci (mk) +

+ Ci m (VE + B + 1) + Ci m (VA + B — 1) | ohms

où < est la constante d'Euler, m» — TC 1 — multiple entier de À

u COS X k distance entre les fils et Cx (. = f# PNG TD

Si on applique cette formule à un cas concret À — 17 cm, m2 et k — 1 cm (valeurs correspondant à un de nos dispositifs expérimentaux), on voit que R’ atteint quelques ohms et reste sensiblement constant quand / varie de une ou plusieurs demilongueurs d'onde. Dans le cas considéré, Æ est très petit devant x, et la formule ci-dessus se réduit très sensiblement à