A LA THÉORIE DES CAUSTIQUES ET DES AWTICAUSTIQUES

Sur la règle des signes en Géométrie.

i. Lorsque, dans une figure, Ton a à eonsîdérer des segments comptés sur une même droite, ou des angles ayant même sommet, tous les géomètres ont reconnu Tutilité et la nécessité d'aflecter un signe à ces segments et à ces angles^ le Coûtas de Géométrie supérieure àa M. Chasles oflre un exemple des nombreux avantages que l'emploi de la règle des signes a ainsi introduits dans la Science.

Mais, lorsque Ton considère des segments comptés sur des droites différentes ou des angles n'ayant pas le même sommet, il semble généralement admis que la règle des signes n'est plus applicable. M. Chasles, dans la Préface de son Cours, exprime formellement cette idée :

« Si Ton ne démontre ordinairement, dit-il (Préface de la Géométrie supérieure, p. ix), une formule ou une relation que par une certaine figure, et non dans l'état d'abstraction et de généralité qui permettrait, au moyen des signes -h et — affectés aux segments et aux angles, pour marquer leur direction, de l'adapter à tous les états L. I

(le la iigurc, il est facile d'eu recoiiiiailre la raison. C'est que les propositions qui forment le plus ordinairement les éléments de démonstration, dans la Géométrie ancienne, ne comportent pas l'application du principe des signes. Telles sont la proportionnalité des cotés homologues dans les triangles semblables, celle encore de la proportionnalité y dans tout triangle^ des côtés aux sinus des angles opposés, La règle des signes ne s'applique point à ces propositions, puisque les segments que Von j considère sont formés sur des lignes différentes, et les angles autour de sommets différents. »

Je me propose de faire voir, dans cette Note, que, contrairement à ridée émise par l'illustre géomètre, la règle des signes s'applique à tous les théorèmes de Géométrie sans exception.

Je me bornerai à examiner, sous ce point de vue, la dernière des propositions mentionnées dans la citation que j'ai reproduite ci-dessus. Les considérations très simples qui, dans ce cas, résolvent la question, s'étendent d'elles-mêmes à toutes les autres propositions^ ce théorème, d'ailleurs, est l'un de ceux dont l'usage est le plus fréquent pour établir les relations qui existent entre des segments comptés sur des droites différentes, en sorte qu'il suffit presque d'établir, relativement à ce théorème, la règle des signes pour légitimer d'une façon générale l'emploi de cette règle.

2. Etant donnés un certain nombre de points situés sur une même droite, on peut assigner à cette droite un certain sens positif, en admettant qu'un point mobile, qui se mouvrait dans ce cas sur la droite, parcourt des longueurs positives. Cette assignation pourra, dans la plupart des cas, être faite arbitrairement; dans d'autres cas,^ au contraire, elle devra être faite d'une manière déter-

.3 , minée, en sorte que cette détcruûuatiou elle-iuèine sera une partie essentielle de la proposition de Géométrie que l'on aura à considérer.

Quoi qu^il en soit, cette assignation une fois faite, pour éviter toute confusion, je désignerai une droite sur laquelle ou aura fixé le sens positif sous le nom de direction. Deux points A et B, se trouvant sur une direction donnée d^ le segment AB a un signe parfaitement déterminé, et il est clair que ce sigue change quand on change la direction de d.

Etant données deux directions a et £, l'angle (/i, &) que fait la direction a avec la direction h est 1 angle dont il faut faire tourner a autour de rinlerseclion des deux droites jusqu'à ce que les deux directions s'appliquent l'une sur l'autre et soient dirigées dans le même sens. Cet angle, on le voit, est déterminé, à un multiple près d'une circonférence entière; son sinus et son cosinus sont donc aussi parfaitement déterminés.

Etant donné l'angle (a? &) de deux directions, si l'une de ces directions change de sens, l'angle est augmenté d'une demi-circonférence; par conséquent, le sinus el le cosinus de cet angle changent de sigue.

3. Cela posé, nous pourrons énoncer de la façon suivante la proposition relative «i la proportionnalité des côtés d'un triangle aux sinus des angles opposés.

Propositiow. — Etant donné un triangle ABC, si l'on assigne arbitrairement un sens positifaux trois droites qui forment les côtés de ce triangle, et si l'on désigne par a, bj c les trois directions ainsi obtenues, a étant la direction qui renferme les cotés B e^ C, etc., on a les relations suivantes, qui comportent la règle des signes :