AB BG CA

sinia, b) ~~ <in(b, c) ~~ ^in(c, a )

Pour démontrer ciîlte proposition, il sufIQt d'assigner aux côtés du triangle une direction déterminée : on vérifie facilement l'exactitude des formules ci-dessus. On peut remarquer maintenant que Ton peut, sans qu'elles cessent d'être exactes, prendre un côté quelconque dans un sens inverse à celui que Ton considérait tout d'abord.

Supposons, par exemple, que l'on change le sens de la direction a^ BC changera alors de signe, ainsi que sin(a, £) et sin(c, à) ; les autres quantités ne subissant aucun changement, on voit que, dans la série d'égalités précédentes, chaque terme aura changé de signe : l'égalité ne sera donc pas troublée.

4. La proposition précédente étant établie en toute rigueur, je m'en servirai pour démontrer la relation qui existe entre le rapport anharmonique d'un faisceau de quatre droites et le rapport anharmonique des quatre points où ce faisceau est coupé par une transversale quelconque.

M. Chasles [(réoniétrie supérieure y § XIII), pour établir cette relation, emploie aussi la proposition précédente-, mais comme, pour lui, elle ne comporte pas l'emploi de la règle des signes, il démontre d'abord par son moyen que les deux rapports anharmoniques ont la même valeur absolue^ il prouve ensuite, par une considération directe, qu'ils ont le même signe.

11 est facile de voir que le théorème de la proportionnalité des côtés aux sinus suffit pour la démonstration de Tégalité des deux rapports.

Soit un faisceau de quatre droites passant par un même point O; assignons à chacune de ces droites un sens positif arbitraire, et soient «, 6, c, d les quatre directions ainsi obtenues. Soient, de plus. A, R, C, D les points où

une transversale quelconque coupe les droites de ce faisceau; donnons à celte transversale un sens positif pris arbitrairement, et appelons wla direction de celte transversale. Cela posé, en appliquant au triangle OAB la proposition énoncée ci-dessus, il viendra

AB sin(^, a) ^

OA ^ sin((o, 6)'

de même le triangle OAB donnera

AD sïn(d, a) OA sïn(u),d) d*oà

AB sin(6, c) s'in(io,d) ^

AD sin(w,6) sin(fi^, a)'

on aurait de même

CB sin( h. r) sin((o, d) CD sin((o, 6) sin(G?, c) d'où enfin

AB ^ CB sin(a, b) ^ sin(c, b) AD * CD sin(a, ûf) * sin(c, û?)

égalité qui, ainsi que la proposition dont j*étais parti, comporte la règle des signes.

Il est à remarquer que la valeur du rapport anharmonîque du faisceau de quatre droites donnée dans le second membre est indépendante du sens positif que Ton a assigné à ces droites; car, si Ton prend en sens contraire Tune de ces directions, la direction a par exemple, sin(a, è) et sin(a, d) changeant à la fois de signe, leur rapport reste invariable.

S. Sans multiplier davantage les exemples, j'énoncerai la conclusion suivante :

« Lorsqu'un théorème relatif à des segments et à des angles situés d'une facoji quelconque dans un plan est

(6) coïiuanablenient et complètement énoncé, 11 doit toujours comporter la règle des signes. »

Les divers théorèmes se distribuent en deux classes bien distinctes. Pour les uns, on peut choisir d'une façon arJjitraire le sens dans lequel est prise la direction positive d'un certain nombre de droites, et alors le sens dans lequel on doit prendre les autres droites de la figure est déterminé par les théorèmes eux-mêmes, et cette détermination en est un élément essentiel : la façon dont elle

Ni

est faite doit faire partie de Ténoncé lui-même de ces théorèmes.

Pour les autres, et ce sont les plus nombreux, le sens positif que Ton doit attribuer aux diverses droites de la figure est complètement arbitraire^ et si les théorèmes sont convenablement énoncés, ils doivent être vérifiés quelle que soit la façon dont on fasse cette attribution.

Les considérations qui précèdent ne sont pas sans doute de nature à trouver place dans renseignement élémentaire •, leur introduction compliquerait souvent et inutilement les questions 5 néanmoins, comme elles tiennent à un point de doctrine souvent controversé, j'ai cru qu'il n'était pas inutile de les présenter.

Transformations par semi-droites réciproque^..

6. Une droite étant donnée, on peut supposer qu'elle soit décrite dans un certain sens par un point mobile; une telle droite, déterminée ainsi par sa position et le sens dans lequel elle est décrite, est désignée sous le nom de semi-droite ; ce sens est indiqué sur la figure par une flèche placée près de la droite {fig- i).

Kig. I.

Une même droite pouvant être décrite dans deux sens différents détermine deux semi-droites distinctes, que Ton appelle semi-droites opposées,

7. Un cercle étant donné, on peut supposer également qu*il soit décrit dans un certain sens par un point mobile; un tel cercle, déterminé ainsi par sa position et le sens dans lequel il est décrit, est désigné sous le nom de cjcle ; ce sens est indiqué sur la figure par une flèche placée près de la circonférence du cycle.

Un même cercle pouvant être décrit dans deux sens différents détermine deux cycles distincts que Ton appelle cycles opposés.