CHAPITRE H

Suite des règles générales; probabilités des causes et des événements futurs , déduites de l'observation des événements passés.

(27). Dans le chapitre précédent, les règles que nous avons considérées supposaient données les chances decertains événements, et avaient pour objet d'en déduire les probabilités d'autres événements composés des premiers. Dans celui-ci , on exposera les règles qui servent à calculer les probabilités des causes, d'après les événements observés, et, par suite, celles des événements futurs. Mais auparavant , il convient d'expliquer le sens précis que nous donnerons à ce mot cause , et qui n'est pas le même que celui qu'il a dans le langage ordinaire.

Quand on dit communément qu'une chose est la cause d'une autre, on attribue à la première le/)o;/fo//- de pi'oduire nécessairement la seconde, sans vouloir toutefois, exprimer par-là que l'on connaisse la nature de cette puissance, et comment elle s'exerce. Nous reviendrons à la fin de ce chapitre sur cette notion de la causalité. Il nous suffit, quant à présent, de dire que le mot cause a, dans le calcul des probabilités , une signification plus étendue : on y considère une cause C, relative à un événement quelconque E, comme étant la chose qui donne à l'arrivée de E, la chance déterminée qui lui est propre; dans l'acception ordinaire du mot , C serait la cause de cette chance, et non de l'événement même; et quand E arrive effectivement, c'est par le concours de C avec d'autres causes ou circonstances qui n'influent pas sur la chance propre de cet événement. Si /> est cette chance, connue ou inconnue, et distincte en général de la probabilité, C donne en même temps la chance 1 — p à l'événement contraire F : dans le cas de/j= i , la chose C produit nécessairement l'événement E, et en est la cause proprement dite; dans le cas de p=zo, elle est celle de F.

8o RECHERCHES

L'onsemble des causes qui concourent à la production d'un événement sans influer sur la grandeur de sa chance, c'est-à-dire, sur le rapport du nombre de cas favorables à son arrivée au nombre total des cas possibles , est ce qu'on doit entendre par le hasard. Ainsi , par exemple, aux jeux de dés, l'événement qui arrive à chaque coup, est la conséquence du nombre des iàces, des irrégularités de formes et de densité que le <^/e'peut présenter, et des agitations nombreuses qu'on lui fait subir dans \g cornet. Or, ces agitations sont des causes qui n'influent nullement sur la chance de l'arrivée d'une face déterminée ; elles ont pour objet de faire disparaître l'influence de la position du dé dans le cornet avant ces mouvements, dans la crainte que celte position initiale ne soit connue de l'un des joueurs ; et quand ce but est atteint, la chance relative à l'arrivée de chaque face, ne dépend plus que du nombre des faces, et des défauts du dé qui peuvent rendre les chances inégales pour les faces diflérentes. On dira qu'une chose est faite au hasard , lorsqu'elle est exécutée sans rien changer aux chances respectives des divers événements qui peuvent arriver. Une urne renfermant des boules blanches et des boules noires, on en tirera une boule au hasard, si l'on ne regarde pas leur disposition dans l'intérieur de l'urne avant d'y porter la main : en supposant toutes les boules d'un même diamètre, la chance d'amener une boule blanche ne pourra évidemment dépendre que du nombre de boules blanches et du nombre de boules noires; et l'on démontre qu'elle est égale au rapport du premier de ces deux nombres à leur somme.

La cause C peut être une chose physique ou une chose morale : au jeu de croix et pile, c'est la constitution physique de la pièce qui donne une chance généralement peu différente de \a. l'arrivée de croix ou à celle de pile; dans un jugement criminel, la chance de la vérité ou de l'erreur du vote de chaque juré est déterminée par sa moralité, en comprenant, dans cette cause, sa capacité et sa conscience. Quelquefois la cause C résulte du concours d'une chose morale et d'une chose physique: par exemple, dans chaque espèce de mesures ou d'observations, la chance d'une erreur de grandeur donnée, dépend de l'habileté de l'observateur et de la construction, plus ou moins parfaite, de l'instrument dont il fait usage. Mais, dans tous les cas, les diverses causes des événements sont considérées, dans le calcul des probabilités, indépen-

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 8i

daniment de leurs nature particulière et sous le seul rapport de la grandeur des chances qu'elles produisent; et c'est pour cela que ce calcul s'applique également aux choses morales et aux choses physiques. Toutefois, dans la plupart des questions, la chance que détermine une cause donnée C n'est pas connue à priori , et la cause même d'un événement ou de sa chance est quelquefois inconnue : si la chance est constante, ou la détermine, comme on le verra par la suite, au moyen d'une série d'épreuves suflisamment prolongée ; mais dans le vote d'un juré, par exemple, la chance d'erreur varie d'un juré à un autre, et sans doute, pour un même juré, dans les différentes atïaires; et la répétition des épreuves . poi'.r chaque juré et chaque espèce d'affaires, étant impossible , ce n'est pas la chance d'erreur propre à un juré que l'on peut déduire de l'observation , mais bien , comme on le verra par la suite, une certaine probabilité, relative à l'ensemble des jurés de tout le ressort d'une cour d'assises, et qu'il lui suffira de connaître pour la solution des problèmes qui sont l'objet spécial de cet ouvrage, II y a souvent plusieurs causes différentes qui peuvent amener, en se combinant avec le hasard, un événement donné E ou l'événement contraire F ; avant que l'un ou l'autre de ces deux événements ait eu lieu, chacune de ces causes a une certaine probabilité, qui change après que E ou F a été observé; or. en supposant connue la chance que chacune des causes possibles donnerait, si elle était certaine, à l'arrivée de E ou de F, nous allons déterminer d'abord les probabilités de toutes ces causes après l'observation , et ensuite la probabilité de tout autre événement futur, dépendant des mêmes causes que E et F. (28). Soit donc E un événement observé. On suppose que son arrivée peut être attribuée à un nombre m de causes distinctes , que ces m causes sont les seules possibles, qu'elles s'excluent mutuellement, et qu'avant l'observation, elles étaient toutes également probables. L'arrivée de E a rendu ces causes hypothétiques inégalement probables; il s'agit de déterminer la probabilité de chacune d'elles, résultante de l'observation; ce qu'on fera au moyen du théorème suivant.

La probabilité de chacune des causes possibles d'un événement observé est égale à celle que cette cause donnerait à l'événement , si elle était certaine, divisée par la somme des probabilités de cet événement qui résulteraient pareillement de toutes les causes auquel on peut l'attribuer.

Ainsi , appelons

les m causes possibles de 1 événement E; soient

P,, P^- Pi,' • -Pn,- ■ -Pm,

les probabilités connues de son arrivée, relatives à ces diverses causes; de manière que p„ exprime la probabilité de E qui aurait lieu si la cause C„ était unique, ou, ce qui est la même chose, si elle était certaine, ce qui exclurait toutes les autres. Désignons ensuite par

les probabilités inconnues de ces mêmes causes; en sorte que 'sr, soit la probabilité de la cause C„, ou, autrement dit, la probabilité que c'est à cette cause qu'est due l'arrivée de E. 11 s'agira de prouver qu'on doit avoir

Pt+P^ +PS + ■ ■ ■ +Pn+ ■ ■ ■ +P<r

Or, quel que soit l'événement E, on peut l'assimiler, pour fixer les idées, à l'arrivée d'une boule blanche, extraite d'une urne qui contenait des boules de cette couleur et des boules noires. On supposera , pour cette assimilation, qu'il y avait un nombre m de semblables urnes

A,, Aj , A3, . . . A„ , . . . A„,

dont la boule blanche a pu sortir, et telles que dans l'urne quelconque A„, le rapport du nombre de boules blanches au nombre total de boules, soit égal à la fraction p^. Chacune de ces urnes sur lesquelles la main a pu se porter au hasard pour en extraire la boule blanche, représente une des causes de son arrivée ; l'urne A, répond à la cause C, ; et la question consiste à déterminer la probabilité que la boule blanche est sortie de A„.

Pour cela, supposons que l'on réduise les fi-actions /),,/;,, /J3, etc., au même dénominateur, et que l'on ait ensuite

IX et les numérateurs a,, a,, etc. , étant des nombres entiers. On ne changera rien à la chance de tirer une boule blanche de l'urne A„, en y remplaçant les bcules qu'elle contient , par un nombre a„ de boules blanches et un nombre jw de boules, tant blanches que noires; et de même pour toutes les autres urnes. Le nombre total des boules étant actuellement le même dans toutes ces urnes, il résulte du lemme du n° lo, que si on les réunit dans une même urne A, et que l'on donne le n° i à celles qui proviennent de A,, le n° 2 aux boules provenant de A^, etc., la probabilité m^ qu'une boule blanche extraite de l'ensemble de ces urnes A,, A,, A3, etc . provient de A„, est la même que la probabilité qu'une boule blanche sortie de A, portera le n* n ; laquelle a pour va leur le rapport de a, à la somme des m. quantités a,, a», c^-s, etc., puisque cette sonmie est le nombre total des boules blanches qui seront contenues dans A, et que dans cette somme, il j en aura un nombre a, qui portera le n° n. On aura donc aussi

<ar„ =

quantité qui coïncide, en vertu des équations précédentes", avec l'expression de -ît, qu'il s'agissait de démontrer.

(29). En calculant les probabilités de plusieurs événements successifs, il faut non-seulement tenir compte de l'influence que peut avoir l'arrivée de l'un d'eux sur la chance de celui qui le suit (n° g) ; mais on doit aussi quelquefois avoir égard . dans l'évaluation de cette chance , aux probabilités des diverses causes de l'événement précédent, ou des différentes manières dont il a pu avoir lieu. C'est ce qu'on verra, par exemple, dans le problème suivant.

Je suppose qu'où ait un nombre m d'urnes A, B, C, D, etc., contenant des boules blanches et des boules noires, et que les chances dextraire une boule blanche soient a , de l'urne A, b àeB, c de C, etc. On tire ail hasard une première boule de l'une de ces urnes, puis une seconde boule de l'une des urnes d'où la première n'est pas sortie, puis une troisième de l'une des urnes d'où les deux premières ne sont pas sorties, etc., c'est-à-dire, qu'après chaque tirage, on supprime 1 urne d'où la boule a été extraite. On demande la probabilité d'amener, de

cette manière, un nombre n de boules blanches, dans un pareil nombre de tirages; n étant moindre que m ou égal à m. Faisons, pour abréger,

'a-\-b-\-c-\-d+e\.c.=St,

ab -\- ac -^ ad -\- bc -{- bd -\- cd -^ etc. = s^ ,

abc-\^abd-\-bcd-\-e\c. =3^,

ahcd + etc. = s^ ,

etc.;

de sorte que s, soit la somme des fractions a, b, c, d, etc., que s^ représente la somme de leurs produits deux à deux dont le nombre est

— — — , que ^3 désigne la somme de leurs produits trois a trois dont

le nombre est — ^ ^ , etc. La probabilité d'amener une boule

blanche au premier tirage, sera — s,. Si la boule blanche ou noire, extraite à ce tirage , est sortie de A, la probabilité d'amener une boule blanche au second tirage aura —^^ (j, — «) pour valeur; cette probabilité sera — — ^ (s, — b), si la première boule est sortie de B; elle sera — — — (s, — c), si la première boule a été extraite de C; et ainsi de suite. De là et des règles des n" g et lo, on conclut

pour la probabilité complète de l'arrivée d'une boule blanche au second tirajje; a étant la probabilité que la boule extraite au premier est sortie de A, ë la probabilité qu'elle est sortie de B, y qu'elle est sortie de C, etc. Or, ces probabilités a, Ç, y, etc., ne sont point égales entre elles (*) : d'après ce qu'on a vu dans le numéro précédent , on a

ctz=-, e = -, >=-,etc.;

(*) Faille d'avoir eu égard à celte circonstance, la solution de ce problème qui se trouve dans le n° 1 7 de mou mémoire sur \a. proj?ortion des naissances des deux sexes , est inexacte, et j'en ai déduit une fausse conséquence.

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMEiNTS. 85

on a aussi, identiquement ,

a (^s, — a) -\- b {s, — b) -\- c{s^ — t:)-^ etc. = 2 a,;

la probabilité d'amener une boule blanche au second tirage deviendra

donC; — '^^- — . De même, la probabilité d'amener une boule blanche (m— i)^, ' t^

au troisième tirage sera — — - {s^ — a — b), si les deux boules blanches

ou noires, extraites dans les deux premiers tirages, sont sorties de A

et B: cette probabilité sera (s, — a — c), si ces deux boules ont

été extraites de A et C ; et ainsi de suite. Donc la probabilité d'amener iiue boule blanche au troisième tirage , aura pour valeur complète

g, h, k, etc., désignant les probabilités que les boules extraites dans les deux premiers tirages sont sorties de A et B, de A et C, de B et C, etc. ; lesquelles probabilités sont, d'après le numéro précédent,

ab 1 ac j bc g= — , «=7-' A = — ,etc. ;

et comme ou a identiquement

ab (s, — a — b)-]-ac {s, — a — c) + bc(s, — b — c) + etc. = 5^3,

la probabilité de l'arrivée d'une boule blanche au troisième tirage deviendra ^

(m — 3 ) îa'

On continuera sans difficulté ce raisonnement autant qu'on voudra. 11 en résultera

«, 2^2 3,J3 ns„

m' (m— t)s,' (to — 2)yj''"'(m — n-^- 1) s„,'

pour les probabilités d'amener des boules blanches à chacun des n premiers tirages; la probabilité demandée sera donc le produit de ces n

'^6 RECHERCFIES

fractions (n» 5), qui se réduit à - s„, en faisant

de sorte que //, soit le nombre des produits n a n des m lettres a, h, c, d, etc. , desquels s. est la somme.

On vérifie cette valeur - .y„, en observant que chacun de ces produits est la probabilité de tirer ?i boules blanches de ti urnes déterminées, prises parmi A, B, C, D, etc., et que, par conséquent , la somme de tous ces produits divisée par leur nombre est la probabilité d'extraire « boules blanches de ii de ces urnes, prises au hasard; laquelle probabilité est évidemment la même que celle qu'il s'agissait d'obtenir. Dans le cas de « = m, on a /a = i, et cette probabilité est s,,,, ce qui résulte immédiatement de la règle du n° 5.

(3o). Maintenant, soit E' un autre événement, différent de E, mais dépendant des mêmes causes que l'on a désignées par C,, C,, C3, etc. Représentons par

les chances de E' relatives à ces diverses causes, de sorte quep'„ soit la probabilité donnée que E' arriverait si la cause C„ était certaine; cette cause étant seulement probable, et sa probabilité ayant été représentée par <zjr„ , l'arrivée de E' en vertu de cette cause, sera un événement composé dont la chance aura pour expression le produit de ces deux probabilités (n° 5). De plus, la probabilité complète de E' sera la somme des chances relatives aux m manières différentes dont cet événement peut avoir lieu (n" 10), c'est-à-dire, la somme des valeurs àep'^ '^n qui se rapportent aux m, causes possibles C,, C», €3, etc., de E et de E'. En désignant par tsr' cette probabilité complète de E' , nous aurons donc

'sr'=^p' ,'sr, +p\^^ + . • . +p'n '^A- • . • +p'm'Sr„,, ou bien, en mettant pourts-, , <3r^, etc., leurs valeurs,

/ P^p'i -t- 1>2P\ 4- • • • + Pnp'n + ■ • • +Pmp'm

Telle est la formule qui sert à calculer la probabilité des événements futurs, d'après l'observation des événements passés. On parvient aussi à la même expression, sans l'intermédiaire des causes communes à E et E', en les considérant comme deux événements composés qui dépendent d'un même événement simple; les raisonnements qui nous y ont conduits, s'appliqueraient également à celte autre manière d'envisager la question; mais on peut, si l'on veut, la faire rentrer immédiatement dans la précédente.

En efl'et, si E et E' sont deux événements composés d'un même événement G, et que G soit susceptible de différentes chances

<T rr . tr rr

tji f oa> • • • On> • • • ftm >

toutes également probables avant que l'événeaicnt E ait été observé, on pourra les considérer comme autant de causes distinctes de E et de E'; en prenant donc g^ pour la cause que l'on a appelée précédemment C„ , la probabilité de g„ sera la valeur de <w„ que nous avons trouvée, c'est-à-dire que '5r„ sera la probabilité que la chance de G est égale à g^ : l'expression précédente de t!r' sera ensuite la probabilité de l'arrivée de E', résultante de m valeurs possibles de la chance de G. Dans cette formule, p, etp\ exprimeront les probabilités données des arrivées de E et E', si g„ était certainement la chance de G.

(5i). On ne doit pas confondre cette détermination de la probabilité de E', d'après l'observation de E, avec une influence quelconque de l'arrivée des événements passés sur celle des événements futurs, qu'il serait absurde de supposer. Si je suis sûr , par exemple, qu'une urne A renferme trois boules blanches et une boule noire, il est certain pour moi que la chance de l'extraction d'une

boule blanche est -; par conséquent, si E' est la sortie de deux bou-

les blanches tirées de A, en y remettant la première boule qui sera extraite , la chance de E' sera le carré de y ou -S^fquel que soit l'événement E que j'aurai pu observer ; et en supposant que E soit la sortie d'un certain nombre de houles blanches, et d'un certain nombre de boules noires, exti'aites successivement de A et remises à chaque fois dans cette urne, je devrai toujours, sans avoir égard à la proportion

de ces deux nombres, parier 9 contre 7 pour l'ai'rivé de E'. Mais lorsque la chance de l'événement simple G ne m'est pas connue, et que je sais seulement qu'elle n'est susceptible que de certaines valeurs, l'observation de E me fait connaître la probabilité de chacune d'elles, d'où je conclus ensuite la probabilité de E'. Cette observation augmente ou diminue la raison que j'avais de croire à l'arrivée de E', sans influer aucunement sur cet événement futur, ou sur la chance qui lui est propre ; de telle sorte que pour quelqu'un qui aurait observé un autre événement E, , dépendant du même événement simple G, la raison de croire à l'arrivée de E' pourrait être beaucoup plus forte ou beaucoup moindre que pour moi; ce qui ne changeraitrienà la chance propre de E'. Relativement à ce cas de deux personnes, dont l'une a observé un événement E, et l'autre un événement E, , composés tous les deux d'un même événement G, il ne faut pas oublier que si E, comprend E et quelque chose de plus, l'opinion de la seconde personne sur l'arrivée d'un nouvel événement E', dépendant aussi de G , sera plus éclairée que celle de la première personne, et devra être adoptée préférablement ( n° t ). En supposant que l'observation de E, ait conduit à une probabilité k de l'événement futur E', et celle de E à une probabilité h du même événement , la seconde personne, sera plus fondée à parier Acontre i — A que la première 7^ contre t — h, pour l'arrivée deE'; quelles

que soient d'ailleurs les fractions h et A-, plus grandes ou moindres que -,

et la diftërence A— A, positive ou négative.

(52). Il est bon, avant d'aller plus loin, de donner quelques exemples simples de l'usage des expressions précédentes de fur^ et fsr'. que nous mettrons d'abord sous la forme abrégée :

^ Pn , ^Pnp\

2p« ^Pn '

la caractéristique 2 indiquant une somme qui s'étend aux m valeurs de l'indice /z, depuis «= i jusqu'à nz=.m.

On sait qu'une urne B renferme m boules blanches ou noires: on en a tiré une blanche; et l'on demande la probabilité qu'elle contenait un nombre n de boules de cette couleur.

Nous pouvons faire sur les nombres de boules blanches que l'urne

contenait, m hypothèses diftérentes qui consistent à supposer successivement qu'elle renfermait m boules blanches, m — i boules blanches et une noire, m — 2 boules blanches et deux noires, . . . une boule blanche et /« — 1 noires. Toutes ces hypothèses étant également possibles et s'excluant mutuellement, ou peut les prendre pour les m causes C, , C,, C3, etc., de l'événement E, qui est ici l'extraction d'une boule blanche, sortie de B. Or, dans la supposition que parmi les m boules contenues dans B, il y avait « boules blanches, la probabilité de cette extraction serait le rapport de 11 à m, on a donc

d'où l'on conclut

et, par conséquent,

^ZT.

pour la probabilité que B contenait effectivement Ji boules blanches. Elle ne peut être \ que quand on a m = n-=:'5. En général, la probabilité que B ne contienne que des boules blanches, ou qu'on ait

ji=m, après qu'on en a vu sortir une boule de cette couleur, aura — r—

pour valeur.

Si E' est l'extraction d'une nouvelle boule blanche de B, sa probabilité '2«r' sera différente, selon que la boule blanche déjà sortie aura été ou n'aura pas été remise dans cette urne.

Dans le premier cas, on aura

mais on a, comme on sait,

ra(/i4. I) m{m + i){m + 7.) m (m+i ) .

d'où l'on déduit

et, en conséquence,