TO-I- I

Dans le second cas, le nombre de boules blanches et le nombre total de boules que B renferme, étant diminués d'une unité à la seconde épreuve, on aura

•^»>^»— mC^-,)--'^^'

on aura toujours

^Pn ^\{m + i),

et à cause de

{m — 1) m{rn-\- i)

on en conclura

La probabilité d'extraire une boule blanche d'une urne , d'où il est déjà sorti une boule de cette couleur que l'on n'y a pas remise, est donc indépendante du nombre m, de boules blanches ou noires que l'urne renfermait, et toujours égale à \. La valeur de fur' relative au premier cas se réduit aussi à cette fraction \, comme cela devait être, lorsque m est un nombre très grand et qu'on le considère comme infini.

Sur un nombre quelconque m de boules blanches ou noires que B renfermait primitivement, si l'on savait qu'il en a été extrait m — i

boules blanches , il y aurait la probabilité — x"" > ^^ ^^ boule restante est aussi blanche. On ne pourrait faire alors que deux hypothèses C,

et C, , savoir : la supposition C, que les m boules étaient blanches, et la supposition C, qu'il y avait une seule boule noire. Dans la première hypothèse, la probabilité de l'événement observé est la certitude; dans la seconde , cette probabilité, c'est-à-dire la chance d'extraire de B les m — i boules blanches est la même que celle d'y laisser la boule noire; et comme, à priori , la boule restante peut être également chacune des m boules contenues dans B, la probabilité que c'est la

boule noire a — pour valeur. On a donc

d'où il résulte

pour la probabilité de la première hypothèse , ou , ce qui est la même

chose , pour la probabilité que la boule restante dans l'urne soit blanche

comme toutes celles qui en ont été extraites.' Le cas de m = i n'est ^"^

pas compris dans cette valeur de ns-,, non plus que dans la seconde des '^^ ^1

deux valeurs précédentes de -sr'y '*'' '-*'•' ''^ "^ >''*

(55). Voici encore une application immédiate des formules précédentes, dans laquelle on ne connaît pas le nombre total de boules blanches ou noires que l'urne B renferme; on sait seulement, par exemple, que ce nombre ne peut pas excéder trois. L'événement observé E est la sortie de x boules blanches , dans une série de ji tirages où l'on a remis à chaque fois dans B, la boule blanche ou noire qui en était soi'tie. Si x n'est ni zéro, ni égal à «, on ne pourra faire sur les boules contenues dansB que trois hypothèses, savoir : 1 hypothèse C, d'une boule blanche et d'une noire , C, de deux boules blanches et d'une noire, C3 de deux boules noires et d'une blanche. Les probabilités de E qui répondent à ces trois causes distinctes, seront

ou , ce qui est la même chose ,

en faisant pour abréger,

on aura donc

pour les piobabilite's-de C,, C., C3. En prenant pour 1 événement futur E', l'extraction d'une nouvelle boule blanche, les probabilités de E' relatives à ces trois hypothèses seront

par conséquent, sa probabilité complète ■■w' aura pour valeur

fuy zzn : -• — ;

Dans le cas de n = 2JC , on aura

La valeur de ■sr'est |, comme cela devait être; caries boules blanches et noires étant sorties en même nombre de li , il n'y a pas de raison pour croire plutôt à l'arrivée d'une boule blanche qu'à celle d'une boule noire dans un nouveau tirage. Néanmoins, il faudra que 9^ surpasse le double de 8^, ou que jc soit plus grand que cinq, pour que l'on puisse parier plus d'un contre un, que le nombre de boules blanches est le même que celui des boules noires dans B, ou que celte urne renferme une boule blanche et une boule noire. La probabilité «ar, de cette hypothèse diffère très peu de la cei'tilude , lorsque Jc est un très grand nombre.

Si / est un nombre entier, et qu'on ait x = 21 et ?i = 3/, il en ré-

sultera

tff'

' {lit + (32)' 4- ('e)'

quantité qui différera très peu de \ , lorsque / sera très grand. En même temps, la probabilité 'sr, que B renferme deux boules blanches et une boule noire, différera aussi très peu de la certitude.

Supposons encore que l'on ait n = 2x. La valeur correspondaute de fsr' deviendra

., Ha?)" -l-f( ■6)^+1(32)" .

lorsque X sera très grand , elle se réduira à très peu près à 4 > ^' ^^ probabilité -ara que B renfermera une boule blanche et deux boules noires, sera aussi à très peu près la certitude.

Dans les trois cas oii le nombre de tirages a été supposé très grand, on voit que la probabilité ts-' de l'arrivée d'une nouvelle boule blanclie a ou pour valeur très approchée, le rapport du nombre des boules blanches sorties de B au nombre total des épreuves , et que , dans chaque cas, ce rapport a aussi été, avec une probabilité très approchante de la certitude, celui du nombre de boules blanches au nombre total de boules contenues dans B, c'est-à-dire la chance propre de l'extraction d'une boule blanche de cette urne. On vei'ra effectivement, dans la suite, que quand un événement, d'une nature quelconque, a été observé un certain nombre de fois, dans un très grand nombre d'épreuves, le rapport du premier nombre au second est la valeur très probable et très approchée de la chance connue ou inconnue de cet événement. Dans l'exemple que nous considérons, cette chance

ne pouvant être que-, ^, :r, il s'ensuit que les valeurs - = -, =2» = 3»

sont aussi les seules qu'on doive supposer, avec vraisemblance , quand X et n sont de très grands nombres.

(34). Nous avons supposé, dans ce qui précède, qu'avant l'ai-rivée de E toutes les causes C,, C^. C3, etc., auxquelles on peut attribuer cet événement étaient également possibles j mais si l'on avait à priori

quelque raison de croire plutôt à l'existence de l'une de ces catises qu'à celle d'une autre, il serait nécessaire d'avoir e'gard a cette inégalité des chances de C, , C^, C3, etc., antérieures à l'observation, dans l'évaluation des probabilités que ces diverses causes ont acquises après l'arrivée de E. Cette nécessité est un point important de la théorie des probabilités, surtout dans la question l'elative aux jugements des tribunaux, ainsi qu'on l'a expliqué dans le préambule de cet ouvrage. La démonstration du n" 28 est d'ailleurs facile à étendre au cas général où les causes de E avaient , antérieurement à l'observation, des probabilités quelconques dont les valeurs sont données.

En effet, comme dans ce numéro, remplaçons l'événement E par l'extraction d'une boule blanche qui a pu sortir de l'une des urnes A, , A,, As, etc., et supposons d'abord que la sortie de chacune d'elles a été également possible pour toutes. La probabilité qu'elle est sortie de

l'urne A, sera ~- , en désignant toujours par/>„ le rapport du nombre

de boules blanches au nombre total de boules contenues dans A„, et étendant la somme 2 à toutes les urnes A,, A^, A3, etc. Pour d'autres urnes A„,, A„'^, etc., comprises parmi celles-là, cette probabilité sera de

même — , — , etc. ; d'après la règle du n" 10, la probabilité que la

boule blanche est sortie de l'une des urnes A„ , A„, , A,„ , etc., sera la somme

Tp„ ^ Xf„ ^ Xp„^

qui se réduira à l'une de ces fractions multipliée par leur nombre, lorsque les quantités /?„, p„, , p„„ , etc., seront égales entre elles.

Cela étant, concevons que les urnes A, , A,, A3, etc., se composent d'un nombre a, d'urnes A, dans chacune desquelles/), soit le rapport de la quantité de boules blanches à celle des boules blanches ou noires , d'un nombre a, d'urnes A, dans lesquelles ce rapport soit p,. . . . et enfin d'un nombre a, d'urnes A, où ce même rapport soit />; ; de manière que i exprime le nombre de ces groupes d'urnes semblables , et qu'en appelant s le nombre de toutes les urnes , nous ayons

j = a, -f- rt, -j- a3 -f- .... -f- a,.

La somme 2/7„ étendue à toutes les urnes pouria être remplacée par celle ci 2<7„p„ qui s'étendra à tous les groupes, ou à toutes les valeurs de l'indice n , depuis n = 1 jusqu'à n= /. Si donc les urnes A, , A,- , A„.., etc,, forment un des gi-oupes et sont en nombre rt,, la probabilité que la boule blanche extraite de l'une des s urnes , soit sortie de ce

groupe, aura pour valeur le rapport :^ — , multiplié par rt„; en sorte qu'en la désignant par 'ZJr„, nous aurons

OnPn flff

Mais avant l'observation, la probabilité que la boule blanche ou noire qui serait extraite, sortirait de ce même groupe , était évidemment — ; en la représentant par (/„ . on aura donc

?«=7, a,=sq.;

et si l'on substitue cette valeur de a, dans celle de 'â-„, et que l'on supprime le facteur s qui sera commun au numérateur et au dénominateur, il en résultera

Cela posé, les diftërents groupes d'urnes que nous venons de considérer, représentent toutes les causes possibles C,, Q, C3, etc., de l'événement E, dont le nombre est i . et qui étaient inégalement probables à priori. La fraction (j(„ exprime la probabilité, avant l'observation, que l'événement qui arriverait serait dû à la cause C,; api\s l'observation, <sr, exprime la probabilité que l'événement E qui a eu lieu , a été produit par cette même cause j et comme les causes C,. C,, C3, etc., s'excluent mutuellement . q^ et isr„ sont les probabilités, antérieure et postérieure à l'observation, de l'existence de cette cause - L'expression de <ar, montre donc que la probabilité de chacune des causes possibles d'un événement observé , est égale au produit de la probabilité q^ de cette cause avant l'observation et de la probabilité/;, quelle donnerait à cet événement, si elle était certaine, divisé par Ja

somme 2(/„jy„ des produits semblables , qui se rapportent à toutes les

causes auxquelles l'événement peut être attribué.

La probabilité ts-' de l'événement futur E' qui dépend des mêmes causes que E, aura, comme plus haut, If^ff^p'n po"i' valeur, en employant dans cette somme l'expression de ^sr^ que l'on vient de déterminer; ce qui donne

qJT .— —

^qnPn

Supposons que E' soit aussi observé après E. Soit E' un troisième événement dépendant toujours des mêmes causes ; et désignons par /)',, la chance que la cause C„, si elle était certaine, donnerait à l'arrivée future de E". La probabilité de cette cause était «zs-, après l'observation de E et avant celle de E'; par la règle précédente, elle est devenue

^^^. après l'observation de E'; en mettant dans sa valeur celle de '3r„, elle devient -^^"^; et en la multipliant par d"„ onauralapro-

habilité de l'arrivée de E", en vertu de la cause C„. Par conséquent, si nous désignons par 'ar" la probabilité complète de cette arrivée, nous aurons

,, tq„p„p\p\ , <ar __ — — ; — ,

^qnPnP n

expression qui se déduit aussi de celle de ^', par la substitution dep"„ au lieu de p\ et de /?„/)'„ à la place de p„. Et , en effet , relativement à la cause C„, ce produit p„p'„ est la chance de l'événement observé, c'est-à-dire, de la succession des événements E et E',

(55). Pour donner un exemple très simple de la règle précédente , <^ui pourra servir à en vérifier l'exactitude et la nécessité, je suppose que Von trouve sur une table deux cartes dont les couleurs sont inconnues, et qa'*;n en retournant une, on observe qu'elle est rouge. On ne pourra faire que deux hypothèses sur les couleurs de ces cartes : qu'elles sont toutes deux rouges, ou que l'une est rouge et l'autre noire. Si l'on ignore absolument d'où ces cartes proviennent , ces deux causes hypothétiques de l'événement observé seront également

probables à priori; et après l'observation , la probabilité de la première hypothèse aura 5 pour valeur, comme on l'a vu dans un des

exemples du n° Sa; en sorte que l'on pourrait parier deux contre un, que la carte non-relournée est rouge comme la carte retournée. Mais il n'en sera plus de même, si l'on sait, par exemple, que les deux cartes ont été prises au hasard dans un jeu de piquet, composé de seize cartes rouges et d'autant de cartes noires. Avant l'observation, on aura (n° 18)

^' — 31737' *?» — ^'sOF'

pour les probabilités de la première et de la seconde hypothèse; on a, en même temps ,

d'où l'on déduit

l'Px + q-^Pi 3i'

pour la probabilité de la première hypothèse , après l'observation ; de manière qu'au lieu de deux contre un, il y a, au contraire , moins de un contre un, et seulement i5 contre 16 à parier que la carte inconnue est rouge comme celle qui a été retournée. Cette valeur de 'Zïr, se vérifie immédiatement; car il est évident que la question est la même que si, après avoir tiré une carte rouge du jeu entier, on demandait la probabilité de tirer encore une carte rouge des 3i cartes restantes et qui n'en contiennent plus que i5 de cette couleur.

En général , si l'on a un tas de m cartes dont a rouges et h noires , que l'on y prenne au hasard un nombre n de cartes, et qu'en retournant un nombre n — i de celles-ci , ou en trouve o! rouges et h' noires , on obtiendra, par la règle précédente,

pour la probabilité m, que la «""" carte est rouge, et pour la probabi-

lité «ztTj qu'elle est noire. Cette valeur l'e ts-, est aussi, comme cela devait être, la probabilité de tirer une carte rouge du tas primitif, réduit à ?ii — 7i + I cartes, dont a — a' rouges, par l'extraction de a rouges et b' noires. La valeur de 'ZJTj se vérifie de même ; à cause de a-\-b'=in et a' -\-b' rz= n — i , on a d'ailleurs m,-{- tÂr^= i.

(56). La conséquence générale de la règle du n° 54 , est que si deux événements E et E' dépendent d'une même cause, la probabilité de l'événement futur É' ne résultera pas seulement de l'événement oIjservé E : on devra avoir égard dans son évaluation aux connaissances antérieures à l'observation que l'on pouvait avoir sur ce qui concerne la cause commune de E et E' ; de telle sorte que la probabilité de E' pourra être différente pour deux persoimes qui auront observé le même événement E, mais qui avaient auparavant des données différentes sur la question.

De même, dans les questions de doute ou de critique auxquelles s'applique aussi le calcul des probabilités (n" 5); lorsqu'il s'agira de savoir si un fait attesté par un témoin est vrai ou faux, on devra tenir compte , non-seulement de la chance d'erreur du témoin, mais encore de nos connaissances antérieures à son témoignage.

Ainsi, en représentant par yj la probabilité que le témoin ne nous trompe pas, involontairement ou à dessein, et par q la probabilité de la vérité du fait avant qu'il fût attesté par le témoin, sa probabilité après le témoignage dépendra de p et q , et se déterminera de la manière suivante.

L'événement observé est ici l'attestation d'un fait qui n'est point incontestable. Dans la supposition qu'il est vrai, le témoin ne nous trompe pas, etp est, par conséquent, la probabilité de l'événement. Sa probabilité est i — p dans l'hypothèse que le fait est faux, puisqu'alors le témoin nous trompe. Avant le témoignage, q était la probabilité de la première hypothèse et i — (/ celle de la seconde. En appelant 7" la probabilité de la première hypothèse, ou de la vérité du fait, après le témoignage qui l'atteste, on aura donc, par la règle du n° 34,