CHAPITRE III

Calcul des probabilités qui dépendent de très grands nombres.

(66). Lorsqu'on veut calculer le rapport des puissances très élevées de deux nombres donnés, on le peut toujours, sans difficulté, au moyen des tables logarithmiques, en employant, s'il est nécessaire, des logarithmes qui contiennent plus de décimales , que ceux dont on fait usage ordinairement. Si a et è sont ces deux nombres, et m et n leurs puissances, on aura

j a" wî.log.a

"'6" 11. log. 6'

les produits m.\og.a , n.\o^.b , et leur rapport s'obtiendront aisément; et ce rapport étant le logarithme de celui qu'on demande, on trouvera ensuite celui-ci dans les tables. Mais il n'en est plus de même, lorsqu'il s'agit du rapport de deux protjuits dont chacun est composé d'untrès grand nombre de facteurs inégaux , tel que ^P

les deux nombres m et n étant très grands, l'addition des logarithmes de a,, a^, a^, etc., et de ceux de b,, b^, b^, etc., deviendrait très pénible , et même impraticable, ainsi que le calcul de ce rapport. On est obligé alors de recourir à des méthodes d'approximation . dont Sirling a donné le premier exemple, et qui ont cela de très remarquable qu'elles introduisent, dans les valeurs approchées des rapports que l'on considère , la circonférence du cercle et d'autres quantités transcendantes . quoique leurs valeurs exactes soient des nombres en-

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. lyS

tiers, ou des fractions qui ont des nonil)res entiers pour numérateurs et pour dénominateurs.

Ces rapports de produits d'un très grand nombre de facteurs, et les sommes de nombres aussi très grands de semblables rapports, se présentent dans la plupart des applications les plus importantes du calcul des probabilités; ce qui rendrait les règles exposées dans les deux chapitres précédents, bien qu'elles soient complètes, très peu utiles ou tout-à-fait illusoires, sans le secours des formules propres à en calculer les valeurs numériques avec une approximation sulTisanle. Ce sont ces formules dont nous allons maintenant nous occuper.

(67). Considérons d'abord le produit i.2.3...«, des « premiers nombres naturels.

Ici et dans tout ce chapitre, la lettre e sera employée pour repré- ' senter la base des logarithmes népériens. Par le procédé de l'intégration par partie, on trouvera

e~''x''dx =i.3.3...«. (i)

Le coefficient e~'x" de dx, sous cette intégrale, s'évanouit pour x=.o et pour .x =: 00 ; entre ces deux limites, il ne devient jamais infini, et ne passe que par un seul maximum que l'on déterminera en égalant sa différentielle à zéro : en appelant H sa valeur maxima, et h la valeur correspondante de a:, on aura

Cela étant , on pourra poser

e-'x" = He-'" ;

t désignant une Nouvelle variable que l'on fera croître depuis i= — 00 jusqu'à ^ = 00 , et dont les valeurs particulières t = — oo^ <=^o, i = co , répondront respectivement à x = o, x = h, x = oo . En regardant x comme une fonction de t, nous aurons alors

e-'x'dx = H / e-"^dt.

0 J —X, dl

On aura aussi

log.e~'x" = log.H — t'j et si l'on fait

et qu'on de'veloppe suivant les puissances de x', il en résultera

en observant que la différentielle première de log.H est égale à zéro, et où l'on fera h = n après les diffère ntiations. La valeur àex' que l'on tirera de cette équation pourra être représentée par une série de la forme

x' = h!t + ;^"i* + h"'t^ + etc. ;

h', 11!', h'", etc., étant des coefficients indépendants de t, que l'on déterminera, les uns au moyen des autres, en substituant cette valeur dans cette équation , et égalant ensuite à zéro la somme des coefficients de chaque puissance de t dans son premier membre. On aura , de cette manière ,

rfMog^ A" . ' dWo^.-a ,,. \ (2)

dh^ " ^ 6 d¥ « — o , /

etc. /

En désignant par i un nombre entier et positif, on a

f"" e-'' t"-*-'dt= o,

J —ta

On a aussi, comme on sait,

TT désignant toujours le rapport de la circonférence au diamètre. Donc, à cause de

^ = ^ = /^' + 2;^"^ + 5/i"'<' + etc. ,

dt dt ' ' ' '

nous aurons

/r» ^"^"^^ = H \^^ {]''+ '-T ^"'+ '~J^ ^' + ^~ A"'H-etc,).

Il suffira donc de déterminer les coefficients h', h'", k^, etc., de rangs impairs; or au moyen des équations (2), on trouve

h' = \/2n , h"'= ■^— , h'= Q -, etc.; ^ ' ion ' lobon' '

par conséquent, en ayant égard à l'équation (i) et à la valeur de H . on aura finalement

i.2.5...n=n"e-" \/2^i (i + —-\- oô , H-etc.\ (5)

(68). La série contenue entre les parenthèses sera d'autant plus con- ,

vergente dans ses premiers termes, qu'il s'agira d'un plus grand nom- /C /i»*^' ''^'^ bre n. Toutefois,/ elle esl^du genre des séries qui finissent par devenir ^ ,...... ^ ^i- 1,,

divergentes, en les prolongeant convenablement; mais eu réduisant cette série à sa partie convergente, on pourra toujours faire usage de la formule (3) pour calculer une valeur approchée du produit des n premiers nombres naturels; et il ne sera pas même nécessaire que n soit fort considérable pour que l'approximation soit très grande. En prenant, par exemple , ?î :=: lo, la formule réduite à ses trois premiers termes, donne 5628800 à moins d'une unité près, et ce nombre entier se trouve être aussi la valeur exacte du produit des 10 premiers nombres naturels.

En mettant in au lieu de n dans la formule (3) , il vient

T. a. 3. ..an — i.2«=2(2n)"e~*" vVnl T+-7 — | p f-etc):

^ ' \ 24" Il San" /

uW

mais on a identiquement

on aura, par conséquent,

i.2.5.,.«.i.3.5...2?î — I =2"-^'n"e— " v/^Ti-f-^ + etcV

et en divisant cette équation membre à membre par l'équation (3), oiï en conclut

,.3.5.,.2«-i = (270"e-V2(i-^ + n-5^, + elc.); (4)

en sorte que l'expression en série du produit des nombres impairs ne renferme plus la quantité \/'7t , qui se trouve dans celle du produit des nombres pairs et impairs.

Si l'on fait n = 1 dans cette équation et dans la formule (5), on en déduit

-T= ='-+-- + :7i« + etc.

Par le calcul direct, on a

2\/2 yZTT

et ces séries réduites à leurs trois premiers termes , donnent o,g5gao et 1,08680; ce qui diffère très peu des valeurs exactes. Ces exemples numériques, joints au précédent, montrent quel degré d'approximation on peut attendre des formules de ce genre, dont on fera un continuel usage dans ce chapitre.

En multipliant par 2" les deux membres de l'équation (5) , les élevant ensuite au carré, et les divisant par in, il vient

2.2.4-4-6-r)...2/i — 2.2« — 2.2/î=7r(2«y"e-"fl+-^ h "o^, + ctc. ) ;

en élevant les deux membres de l'équation (4) au carré, et supprimruit dans le premier un facteur égal à l'unité , on a de même

1 .5.3.5.5.. . 2«— 1 .2n— 1=2 (2«)"e-''" f 1 4- -i- -l 1 1- etc.^ .

De cette manière, les premiers membres de ces deux équations sont des produits composés d un même nombre de facteurs , égal à in — i ; et si l'on divise ces équations membre à membre, on en conclut

1 ^(, L I ctc W "^ '^"'^'^ 2n — 2.2n — 2.2n

résultat qui coïncide dans le cas de n infini , avec la formule connue de Wallis , savoir :

C'est à Laplace que l'analyse est redevable de la méthode que nous venons d'employer pour réduire les intégrales en séries convergentes dans leurs premiers termes , et propres à en calculer des valeurs approchées, lorsque les quantités soumises à l'intégration sont affectées de très grands exposants. Nous en verrons dans la suite une autre application.

(69). Maintenant, soient E et F deux événements contraires, de nature quelconque, dont un seul arrivera à chaque épreuve j désignons par p et q leurs probabilités que nous supposerons constantes; appelons U la probabilité que dans un nombre /^ d'épreuves, E arrivera un nombre m de fois, et F un nombie n de fois; nous aurons (n° 14)