ST
'dx
pour la probabilité de E' après l'observation de E. Le nombre K a disparu de cette formule; la valeur qu'on y mettra pour K', sera
jr , 1 . 2 . 3 . . . m' -f- «'
Si E' était l'arrivée de m! et «' événements G et H dans un ordre déterminé , il faudrait remplacer K' par l'unité.
Lorsque avant l'observation de E, on n'aura aucune raison de croire aucune des valeurs de x plus probable qu'une autre, on prendra l'unité pour la quantité Y. Au moyen de l'intégration par partie, on a d'ailleurs
o ^ ' m -{• i .m-^ 7..m -\- 'i, . .tn-\- n.m -^ n -{-i ^
ou , plus simplement ,
en faisant, pour abréger,
pour un nombre quelconque /. On aura de même
r y,m-^ml ^, ^ x)*-*-''dx
et à cause de
il en résultera, dans le cas dont il s'agit,
__/ __ "ml+ni "m.\.mt "n^n' "m+n-t-i ~~" p p p p p
Afin que cette formule comprenne les cas où l'un des nombres m, n, m', n', est zéro , il y faudra faire P„ = i . Cela étant, si l'on a /i=o et ra' = o , on aura simplement
ce qui exprimera la probabilité que G arrivera m' fois sans interruption, après être déjà arrivé m fois sans que l'événement contraire H ait eu lieu.
Pour m' = I et «' = o, la valeur de «œt' relative à Y = i , se réduira à
et pour wi' = o et 7i' = i , elle devient
La somme de ces deux fractions est l'unité; ce qui doit être effectivement, puisque la première exprime la probabilité qu'après /« -f- « épreuves, G arrivera à l'épreuve suivante, et la seconde la probabilité que cet événement n'arrivera pas. La première est plus grande ou moindre que la seconde, selon qu'on a 77i > n ou m<«, c'est-à-dire selon que dans Ks ni -\- h premières épreuves, G est arrivé plus souvent ou moins souvent que l'événement contraire H : elles sont égales entre elles et à j, comme avant les épreuves, quand ces deux événements ont eu lieu le même nombre de fois. Mais il n'en sera plus de même, en général, lorsque l'on saura à priori^ soit par la nature de l'événement G, soit par ie résultat d'épreuves antérieures à l'événement E, que les valeurs de la chance inconnue de G ne sont pas toutes également probables , de telle soi'te que l'on n'ait pas Y = i : non-seulement dans ce cas , la fraction y du numéro précédent que l'on devra prendi-e pour la chance de G avant les m -j- n nouvelles épreuves ne sera point \ , mais à l'épreuve suivante , la probabilité de G pourra être moindre que y , quoique G soit arrivé plus souvent que l'événement contraire H , ou plus grande, quoique ce soit G qui aura eu lien le moindre nombre de fois; c'est ce que l'on verra dans l'exemple suivant.
(47). Je suppose qu'il soit très probable , à priori, que la chance de G s'écarte fort peu , en plus ou en moins , d'une certaine fraction /', de sorte qu'en faisant
la quantité Y soit une fonction de :;, qui n'a de valeurs sensibles que pour de très petites valeurs de cette variable, positives ou négatives. La courbe plane dont a* et Y sont les coordonnées courantes, ne s'écarlera sensiblement de l'axe des abscisses x, que dans un très petit intervalle, de part et d'autre de l'ordonnée qui répond h x = r; le centre de gravité de l'aire de cette course tombera donc dans cet intervalle; par conséquent l'abscisse de ce point diflérera très peu de r; et en négligeant celte diCférence, r sera la valeur de la quantité y du n° 45.
Cela posé, les limites des intégrales relatives à z seront les valeurs := — ret z =: i — r, qui répondent à o" = o et j: = i ; si donc on fait m' = I , n' = o, dx^ dz , dans la première expression de <^' du numéro précédent, il en résultera
r '\x^^* { 1 —xydz r~'^Yx'"{i —xydz
pour la probabilité que G arrivera une fois, après avoir eu lieu m fois, et l'événement contraire n fois, dans m + n épreuves. Mais, par la nature du facteur Y compris sous les sijjnes/, on peut, si l'on veut, borner ces intégrales à des valeurs très petites de z. Alors, en développant les autres facteurs en séries ordonnées suivant les puissances de z; ces séries seront généralement très convergentes : il n'y aurait d'exception que si roxi i — /'était aussi une très petite fraction; dans tout autre cas, il nous suflira d'en conserver les premiers termes; et en négligeant le carré dez, nous aurons
x" ( I — a;)" = r" ( 1 — 0" + ['«''"■"' ( i — '')" — "'" ( ' — '')""']- +i[m(m—i)r'"-*(i — r)''—27ww'"—(i—r)"-'-f«(7z—i)/"'(i — /■)"-'>»;
d'où l'on déduira la valeur de j:""*"' (i — x)" , en y mettant m + i au lieu de m.
Je substitue ces valeurs de a?" (i — x)" et de a:'"'*"' (i — x)" dans l'expression de «ar' ; j'observe que l'on a
fj/^dz = 1, fl'/Yzdz = o;
et je fais, pour abréger,
dz = h.
En négligeant le carré de h, qui ne pourra être qu'une très petite fraction, il vient
ce qui montre que la probabilité -zjt' de l'arrivée de G après lesm-\-n épreuves, est plus petite ou plus grande que la fraction rouy , que l'on aurait dû prendre pour la chance de G avant ces épreuves : plus
grande, quand — surpasse ; plus petite, dans le cas contraire.
S'il était certain que r fût la chance de G , et que m et n fussent de grands nombres, G et H seraient très pi'obablement arrivés proportionnellement à leurs chances respectives ret i — r, et l'égalité des l'ap-
ports — et rendrait la probabilité «za-' égale à la chance r, comme
cela devrait être.
(48). En faisant m= i et « = o dans la valeur précédente dcnr', il vient
<nr'—r+ -,
pour la probabilité que G ayant eu lieu dans une première épreuve, arrivera encore dans la suivante; et comme r était la probabilité de l'arrivée de cet événement à la pi'emière épreuve, le produit de r et de <ro-', ou r* + h, exprimera la probabilité de sa répétition dans les deux épreuves. En y mettant i — rà place de r, on aura (1 — ry-\-h pour la probabilité de la répétition de l'événement contraire ; et si l'on ajoute cette quantité à r'-f- h, il en résultera
1 — 2r + ar* -f- zh,
pour la probabilité de la similitude des résultats dans les deux épreuves.
Si l'on fait m = o et n = i dans la valeur de «w' du numéro précédent, on aura
pour la probabilité que G n'ayant pas eu lieu à la première épreuve, ce sera cetévénement qui arrivera à la seconde ; le produit r (i-^/) — h de celte valeur de fîtr' et de i — r, exprimera donc la probabilité de la succession des deux événements contraires G et H; et en la doublant, on aura
ar — ir* — ih,
pour la probabilité de la dissimilitude des résultats dans les deux . épreuves, que l'on déduit aussi de celle de la similitude, en retranchant celle-ci de l'unité.
L'excès de la probabilité de la similitude sur celle de la dissimilitude sera donc
où l'on voit que cet excès se trouve augmenté par la circonstance que r n'est pas précisément la chance de G, et que l'on sait seulement que celte chance s'écarte très peu de r; de telle sorte que si l'on savait aussi que r fût j , il y aurait encore de l'avantage à parier un contre un pour la similitude. C'est ce qui a lieu au jeu de croix et pile où l'on emploie une pièce de monnaie pour la première fois : l'égalité de chance pour les deux faces de cette pièce est physiquement impossible ; mais d'après le mode de sa fabrication , il est très probable que la chance de chaque face s'écarte très peu de j.
(49). Je vais énoncer dès à présent un théorème dont la démonstration sera donnée dans le chapitre suivant , et qui servira à déterminer, par l'expérience, non pas avec certitude et rigoureusement, la chance d'un événement, mais avec une très grande probabilité, une valeur de cette chance , aussi très approchée.
Soit g la chance connue ou inconnue d'un événement G, c'est-àdire le rapport du nombre de cas favorables à cet événement et éga-
i5o RECHERCHES
lement possibles, au nombre de tous les cas qui peuvent avoir lieu et sont aussi également possibles. Supposons que l'on fasse un nombre fj. d épreuves, pendant lesquelles cette chance propre de G et distincte de sa probabilité (n° i), demeurera constante. Soit r le rapport du nombre de fois que G arrivera dans cette série d'épreuves, à leur nombre total fjt,. Tant que fx ne sera pas très considérable, le rapport r variera avec fJL, et pourra différer beaucoup de g , en plus ou en moins; mais quand jjl, sera devenu un grand nombre, la différence ;• — g diminuera de plus en plus , abstraction faite du signe , à mesure que |U augmentera encore davantage; de telle sorte que si /x pouvait devenir infini, on aurait rigoureusement;- — g ■= o , et qu'en désignant par € une fraction aussi petite qu'on voudra, on pourra toujours atteindre un nombre ix assez grand pour que la probabilité de r — g moindre que «, approche autant qu'on voudra de la certitude. Nous donnerons par la suite l'expression de la probabilité de r — g ■< €, en fonction de ix, et de é.
Ainsi l'urne A renfermant a boules blanches et b boules noires; si l'on en extrait successivement un très grand nombre fx de boules , en i-emettant dans A la boule extraite à chaque fois, et si dans ce nombre jx de boules extraites, a. est celui des boules blanches et ê le nombre des boules noires, on aura
a+C a-j-6' ct + C a-Jfb' C b'
avec d'autant plus d'exactitude et de probabilité que ^, ou a -f- ^ > sera un plus grand nombre. Réciproquement, si le rapport du nombre de boules blanches au nombre de boules noires contenues dans A, est inconnu , et que dans un très grand nombre d'épreuves pendant lesquelles ce rapport n'ait pas varié, il soit sorti de cette urne, a. boules blanches et & boules noii'es, on pourra prendre, avec une très grande probabilité , pour les valeurs approchées de ce rapport inconnu et de la chance inconnue de l'extraction d'une boule blanche ,
les quantités s et — v>> quel que soit d'ailleurs le nombre de boules
contenues dans A. Toutefois, on doit remarquer que si le nombre de boules blanches a que cette uroe renferme, est très petit par rapport au
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i3i
au nombre b de boules noires, a. sera aussi très petit par rapport à ê, et réciproquement; mais le rapport de Tune des fractions g et^ à l'autre, pourra différer beaucoup de l'unité, à moins que la série des épreuves n'ait été poussée excessivement loin : quand la chance connue ou inconnue de l'extraction d'une boule blanche est très faible, l'équation approchée ^ = v signifie seulement que 3 et 7 sont l'une et
l'autre de très petites fractions,
La règle que l'on vient d'énoncer convient également aux chances de diverses causes, qui s'excluent mutuellement et auxquelles on peut attribuer un événement E, observé un très grand nombre de fois. Si y est la chance counue ou inconnue de l'une de ces causes C, le
rapport —^^ — sera, avec une grande appi-oximation et une grande
probabilité, celui du nombre de fois que E est efléctivement arrivé en vertu de. C, au nombre de fois qu'il aura été produit par toute autre cause; ce qui fera connaître le rapport de ces deux nombres, quand la chance y sera connue à priori, ou la valeur de cette chance, si l'on parvenait à déterminer ce rapport par l'expérience.
L'événement E étant, par exemple , la sortie d'une boule blanche qui a pu être extraite d'une urne A contenant a boules blanches et a' boules noires, ou d'une urne B renfermant b boules blanches et b' boules noires ; la chance y de A, d'avoir été la cause de E ou l'urne d'où l'on a extrait la boule blanche, a pour valeur, d'après la règle du n° 28,
et la chance contraire, ou celle qui se rapporte à B, est de même
Or, si l'on a tiré un très grand nombre ix de boules blanches, de l'une ou de l'autre des deux urnes , en remettant à chaque épreuve , dans l'urne dont elle est sortie, la boule blanche ou noire qui en a été extraite, le rapport du nombre de- boules blanches sorties de A à celui
i32 RECHERCHES
des boules blanches extraites de B, s'ëcartera très probablement fort peu du rapport de ^ à i — y, de sorte qu'en appelant f le premier de ces deux rapports , on pourra prendre
Cette valeur de p se réduit à r, lorsque les nombres a + a' et è + b'
de boules blanches ou noires, sont égaux dans A et dans B. Dans ce cas, on peut réunir toutes ces boules dans une même urne D (n° îo), sans changer le rapport du nombre de boules blanches provenant de A au nombre de boule?: blanches provenant de B, qui seront extraites de D : sur une très grande quantité de boules de cette couleur, le premier de ces deux nombres sera donc à très peu près au second, commet estàZ»; ainsi qu'on pourrait le vérifier en faisant ime marque particulière aux boules provenant de A ou de B, et remettant après chaque tirage dans D, la boule blanche ou noire qui en aura été extraite.
(5o). On trouve dans les œuvres de BufTon (*) les résultats numériques d'une expérience sur le jeu de croix et pile ^ qui nous fourniront un exemple et une vérification de la règle précédente.
A ce jeu, la chance d'amener l'une ou l'autre des deux faces de la pièce dépend de sa constitution physique qui ne nous est pas bien connue; et quand bien même nous la connaîtrions, ce serait un problème de mécanique que personne ne pourrait résoudre, d'en conclure la chance de croia: ou de pile. C'est donc de l'expérience que la valeur approchée de cette chance doit être déduite pour chaque pièce en particulier; de sorte que si dans un très grand nombre u d'épreuves,
croix est arrivée un nombre m de fois, le rapport — devra être pris pour
la chance de croix. Ce sera aussi la probabilité ou la raison de croii'e que cette face arrivera dans une nouvelle épreuve faite avec la même pièce; et, d'après le résultat de cette série d'épreuves , on
(■•') Arithmétique morale , article XVIII.
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMEiNTS. i35
pourra parier à jeu égal, m contre /a — m pour l'arrivée de croix. C'est
aussi au moyen de cette probabilité — de l'événement simple que l'on
devra calculer les probabilités des événements composés , du moins quand elles ne seront pas très faibles par la nature de ces événements.
Cela étant, supposons que l'on ait fait un très grand nombre m de séries d'épreuves, en continuant chaque série, comme dans l'expérience citée, jusqu'à ce que croix ait eu lieu. Soient «, , a^, a^, etc., les nombres de fois que croix estarrivée au premier coup, au deuxième, au troisième, etc. Le nombre total (jl des coups ou des épreuves, sera
fjL = a^ -\- aa, + 5^3 + etc. ;
le nombre iti des arrivées de croix sera , en même temps ,
m == rt, + a, -f- «3 + etc. ;
et si l'on appelle p la chance de cette face , on aura
avec d'autant plus d'approximation et d'exactitude que u sera un plus grand nombre.
Les probabilités de croix au premier coup, au deuxième coup sans avoir eu lieu au premier, au troisième coup sans être arrivée aux deux premiers, etc., seront p, p(i — p), p(i — p)*, etc. Or, les nombres de fois que ces événements ont eu lieu étant par hypothèse (ii> <?»> «3? etc., dans un nombre m de séries d'épreuves, on devra donc avoir, à très peu pi'ès.
si ce nombre est très grand, et lorsque ces probabilités ne seront pas devenues de très petites fractions. En divisant chacune de ces équations par la précédente , on en conclut différentes valeurs de i — p, et, par suite ,
i54 RECHERCHES ^
a, flj «s .
B = — , p=i , P=i , etc.
Ces valeurs de p, ou du moins un certain nombre des premières, différeront d'autant moins entre elles et du rapport —, que m et jx seront
déplus grands nombres : pour qu'elles fussent nécessairement égales, il faudrait que ces nombres fussent infinis. En employant pour p, la moyenne de ces fractions très peu inégales, ou bien en faisant usage de
la valeur — de p, résultante de l'ensemble des épreuves, on aura
, = mp, «. = nip{i — p), «3 = mp{i — p)' , etc.
pour les valeurs calculées des nombres a, , «, , «3, etc. , qui devront très peu s'écarter des nombres observés, du moins dans les premiers termes de cette progression géométrique décroissante.
Dans l'expérience de Buffon , le nombre m des séries d'épreuves était
On peut conclure de la manière dont elle est rapportée par l'auteur , que l'on a eu
rt, = 1061, a^ = 494> ^3 = 232, a* = iSy, 05 = 56, «8 == 2g, a, = 25, cti c:^ 8, a^ = 6.
Les nombres a„, a„, etc., n'ont point eu beu, c'est-à-dire que le nombre m des séries d'épreuves n'a pas été assez grand pour que croix n'arrivât pas dans une ou plusieurs séries. Ce nombre est la somme des valeurs de a, , a,, «3, etc.; on en déduit aussi
et, par conséquent,
Au moyen de cette valeur de/?, on trouve
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS i55
fl, = io58, rt, =: 5i2, «3 = 262, a^ r= 124, as = 61 , «5 = 3o, rt, = i5, fl, = 7, «3 = 4» «.0= I,
en négligeant les fractions : les nombres suivants a„,a,^, etc., seraient au-dessous de l'unité. Or, si l'on compare cette série des valeurs calculées, à celles des nombres a, , cr», a,, etc., qui résultent de l'observation , on voit qu'elles s'écartent peu l'une de l'autre dans leurs premiers termes. Les écarts sont plus grands dans les termes suivants; par exemple , la valeur calculée de a, n'est que les trois cinquièmes de la valeur observée; mais ce nombre a^ répond à un événement dont la probabilité est au-dessous d'un centième. En s'arrétant aux trois premiers termes de la série des nombres observés, on en déduit
quantités qui diffèrent très peu entre elles, et dont la moyenne, ou le tiers de leur somme, est
qui diffère à peine de 0,02, de la valeur — de p, résultante de l'ensemble des épreuves.
J'ai choisi cette expérience à cause du nom de l'auteur, et parce que l'ouvrage où elle se trouve, la rend authentique. Chacun en peut faire beaucoup d'autres de la même espèce , soit avec une pièce de monnaie, soit avec un flfeàsix faces. Dans ce dernier cas, le nombre de fois que chaque face arrivera, sur un très grand nombre d'épreuves, sera à très peu près un sixième de celui-ci , à moins que le dé ne soit faux ou mal construit.
(5i). Le théorème sur lequel est fondée la règle précédente est dû à Jacques Bernouilli, qui en avait médité la démonstration pendant vingt années. Celle qu'il a donnée se déduit de la formule du binôme au moyen des propositions suivantes.
Soient, à chaque épreuve, p et q les chances données des deux événements contraires E et Fj soient aussi g, h, k, des nombres entiers.
i56 RECHERCHES
teis que l'on ait
désignons par m, n, ix, d'autres nombres entiers, liés à g, h, k, par les équations
ni
= gk,^ n = hk, /j. = m-{-n = (g+h) k,
de manière que les chances p et q soient entre elles comme les nombres m et n, que l'on pourra rendre aussi grands qu'on voudra en augmentant convenablement g, h, k, sans changer leur rapport. Cela posé :
1°. Dans le développement de (/? -}- q^, le terme le plus grand sera celui qui répond au produit p"'q'', et comme ce terme est la probabilité de l'arrivée de m t'ois E et de n fois F (n° i4)> '^ s'ensuit que cet événement composé, c'est-à-dire, l'arrivée des événements en raison directe de leurs chances respectives , est le plus probable de tous les événements composés qui peuvent avoir lieu dans un nombre quelconque fx. d'épreuves.
2°. Si ce nombre /ut, est très grand, le rapport du plus grand terme du développement de (/^ + ?)'' à la somme de tous les termes, ou à l'unité , sera une très petite fraction , qui diminuera indéfiniment à mesure que ^ augmentera encore davantage; par conséquent, dans une longue série d épreuves , l'événement composé le plus probable, le sera cependant très peu, et de moins ea moins à mesure que les épreuves seront plus long-temps prolongées.
5°. Mais si l'on considère dans le développement de {p-^-qY, non plus grand terme, les l termes qui le suivent et les l termes qui le précèdent , et si l'on désigne par A la somme de ces 2Z+ i termes consécutifs , on pourra toujours, sans changer ni p ni q , prendre ju, assez grand pour que la fraction A diffère de l'unité, d'aussi peu qu'on voudra; et à mesure que /j. augmentera encore davantage, A approchera de plus eu plus d'être égal à un. On conclut de là que dans une longue série d'épreuves, il y a toujours une grande probabilité A que lévéjiemenl E arrivera un nombre de fois compris entre les limites m'àzl ,
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. lâ?
et F un nombre de fois compris entre n::pl; de telle sorte que sans changer l'intervalle 2/ des limites de ces deux nombres, on pourra rendre le nombre ju des épreuves assez grand pour que la probabilité A soit aussi approchante qu'on voudra de la certitude. Si l'on prend les rapports de ces limites au nombre f/ des épreuves, que l'on ait égard aux équations précédentes, et qu'on fasse
ces rapports seront p' et q'; et comme la fraction ^ diminuera indéfiniment à mesure que yw. augmentera, il s'ensuit que ces rapports, variables avec /A, approcheront aussi indéfiniment, et avec une très grande probabilité, des chances /j et ^ de E et F ; ce qui est l'énonce du beau théorème de Jacques Bernouilli.
Nous renverrons pour la démonstration de ces propriétés des termes du développement de {p-^-qY aux ouvrages où elle est exposée (*). Celle du théorème même , que l'on trouvera dans le chapitre suivant, est fondée sur l'emploi du calcul intégral. En attendant, on ne doit pas perdre de vue que ce théorème suppose essentiellement linvariabilité des chances des événements simples E et F , pendant toute la durée des épreuves. Or, dans les applications du calcul des probabilités, soit à divers phénomènes physiques, soit à des choses morales, ces chances varient le plus souvent d'une épreuve à une autre, et le plus souvent aussi, d'une manière tout-à-fait irrégulière. Le théorème dont il s'agit ne suffirait donc pas dans ces sortes de questions; mais il existe d'autres propositions plus générales, qui ont lieu quelle que soit la variation des chances successives des événements, et sur lesquelles sont fondées les plus importantes applications delà théorie des probabilités. Elles seront également démontrées dans les chapitres suivants; on en va maintenant donner l'énoncé, et en déduire la loi des grands nombres, que l'on a considérée dans le préambule de cet ouvrage.
{*) Ars conjeclandi ; pars quarta. Traité élémentaire des probabilités de M. Lafoix ; i" section.
i38 RECHERCHES
comme un fait général , résultant d'observations de toutes natures. (59.). Dans un très grand nombre jw d'épreuves consécutives, représentons la chance de l'événement E de nature quelconque, par p, à la première épreuve, par /J, à la seconde ,.. . parp^à la dernière. Soit aussi p' la moyenne de toutes ces chances , ou leur somme divisée par leur nombre, c'est-à-dire,
p' — '-(.p. + P^ + ih-h ■ ■ ■ + p^);
en même temps, la chance moyenne de l'événement contraire F sera la somme des fractions i — p,, i — /J», • • . i — fu, divisée par w; et en la désignant par q', on aura p' -\- q' = i. Cela étant, l'une des })ropositions générales que nous voulons considérer, consiste en ce que si l'on appelle m et « les nombres de fois que E et F arriveront ou sont arrivés pendant la série de ces épreuves, les rapports de m et H au nombre total /x ou m -^ n, seront , à très peu près et avec une très grande probabilité, les valeurs des chances moyennes p' et q', et
réciproquement, p' et q seront les valeurs approchées de — et -.
Lorsque ces rapports auront été déduits d'une longue série d'épreuves , ils feront donc connaître les chances moyennes /)' et q', de même qu'ils déterminent, par la règle du n° 4.9» les chances mêmes ^ et 9 de E et F , quand elles sont constantes. Mais pour que ces valeurs approchées de p' et q' puissent servir, aussi par approximation , à évaluer les nombres de fois que E et F arriveront dans une nouvelle série d'un grand nombre d'épreuves, il faut qu'il soit certain, ou du moins très probable, que les chances moyennes de E et F seront exactement, ou à fort peu près les mêmes, pour cette seconde série, et pour la première. Or, c'est ce qui a lieu effectivement en vertu d'une autre proposition générale dont voici l'énoncé.
Je suppose que par la nature des événements E et F, celui qui arrivera à chaque épreuve puisse être dû à l'une des causes C,, Cj, C3,...C,, dont y est le nombre, qui s'excluent mutuellement, et que je regarderai d'abord comme également possibles. Je désigne par Ci la chance que la cause quelconque C, donnera à l'arrivée de l'événement E; de manière qu'à une épreuve déterminée, à la pre-
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. iSg
mière, par exemple, la chance de E soil c, quand ce sera la cause C, qui interviendra, c, quand ce sera C,, etc. S'il n'y avait qu'une seule cause possible, la chance de E serait nécessairement la même à toutes les épreuves; mais dans notre hypothèse, elle sera susceptible, à chaque épreuve, d'un nombre v de valeurs également probables, et variera, en conséquence, d'une épreuve à une autre. Or, si l'on fait
la somme des chances que E aura eu , dans un très grand nombre d epreuves déjà eft'ectuées, ou que cet événement aura dans une longue série d'épreuves futures , divisée par leur nombre, sera, à très peu près et très probablement, égale à la fraction y, dont la grandeur est indépendante de ce nombre; par conséquent, la chance moyenne p' de E pourra être regardée comme étant la même dans deux ou plusieurs séries , dont chacune sera composée d'un très grand nombre d'épreuves.
En combinant cette seconde proposition générale avec la première , on en conclut que si m est le nombre de fois que l'événement E arrivera ou est arrivé dans un très grand nombre ^ d'épreuves, et m dans un autre très grand nombre /à,', on aura , à très peu près et très probablement ,
Ces deux rapports seraient rigoureusement égaux entre eux , et à la quantité inconnue y , si les nombres f/. et //,' pouvaient être infinis. Lorsque leurs valeurs données par l'observation différeront notablement l'une de l'autre, il y aura lieu dépenser que dans l'intervalle desdeux séries d'épreuves, quelques-unes des causes C,, C,, C3, etc., auront cessé d'être possibles, et que d'autres le seront devenues; ce qui aura changé les chances c,, c,, C3, etc., et par suite la valeur de y. Toutefois, ce changement ne sera pas certain, et nous donnerons dans la suite l'expression de sa probabilité, en fonction de la
différence observée — , et des nombres d'épreuves f^ et /^ ■
On fera renfi-er cette conséquence des deux propositions préceden-
i4o RECHERCHES
tes, dans le théorème même de Jacques Beinouilli , en observant que dans l'hypothèse sur laquelle la seconde est fondée, la fraction y est la chance de E, inconnue, mais constante pendant les deux séries depreuves. En effet, cet événement peut arriver à chaque épreuve, en vertu de chacune des causes C, , C., C3, etc. , qui ont toute une même
probabilité - : la chance de son arrivée en vertu de la cause quelcon-
que C,, sera le produit - c„ d'après la règle du n° 5; et d'après celle du
11° 10, sa chance complète aura pour valeur la somme des produits
-<?,,- c,, - C3, etc., égale à la quantité y.
Pour plus de simplicité , nous avons regardé toutes les causes C, , Cj, C3, etc., comme également possibles; mais ou peut supposer que chacune d'elles entre une ou plusieurs fois dans leur nombre total i' ; ce qui les rendra inégalement probables. On désignera alors par vyi le nombre de fois que la cause quelconque C, sera répétée dans ce nombre v; la fraction y.^ exprimera la probabilité de celte cause; et l'expression de y deviendra
y=y.c,-\-y^c^-\-y^Ci-\- — H-yc,.
On aura, en même temps,
puisque l'une des causes auxquelles ces probabilités se rapportent , devra avoir lieu certainement à chaque épreuve. Lorsque le nombre des cau^ses possibles sera infini , la probabilité de chacune d'elles deviendra infiniment petite; en représentant, dans ce cas, par x l'une des chances c, , c^, C3 ,. . . . c„ , dont la valeur pourra s'étendre depuis ori^o jusqu'à x= i , et par \dx , la probabilité de la cause qui donne cette chance quelconque x à l'événement E, on aura, comme dans le n° 45,
y=l ^xdx , 1 Ydx = I .
(55). Supposons actuellement qu'au lieu de deux événements possibles E et F, il y en ait un nombre donné À, dont un seul devra arriver à cha-
que épreuve. Ce cas est celui où Ion considère une chose A d'une nature quelconque, susceptible d'un nombre A de valeurs, connues ou inconnues, que je représenterai par a,, n^, a^,. . . . a^, et parmi lesquelles une seule devra avoir lieu à chaque épreuve, de sorte que celle qui sera arrivée ou qui arrivera sera, dans cette question, l'événement observé ou l'événement futur. Soit aussi c, „ la chance que la cause C, , si elle était certaine, donnerait à la valeur «j, de A. Les valeurs de c, ,-,, relatives aux divers indices ?'et /', depuis /=: i jusqu'à i = v et depuis i' = i jusqu'à i' == A, seront connues ou inconnues; mais pour chaque indice i' , on devra avoir
Ci, , H- Ci„ H- (j.j + + fix =1 ;
car si la cause C; était certaine, l'une des valeurs a,, «,, 03,. . . .ax arriverait certainement en vei'tu de cette cause. Désignons, en outre, par a.,,, la somme des chances de a,„ qui auront ou qui ont eu lieu dans un très grand nombre /* d'épreuves consécutives, divisée par ce nombre, c'est-à-dire, la chance moyenne de cette valeur Uj, de A, dans cette série d'expéi'iences. En considérant a,, comme un événement E, et l'ensemble des A — i autres valeurs de A comme l'événement contraire F, on pourra prendre , d'après la seconde proposition générale du numéro précédent,
«(' = y,c,,„ + y.c^,i, + y3C3,i, + + 5vC,,,v; ^
>i ' %> >3. • • - y^> étant toujours les probabilités des diverses causes, qui peuvent amener les événements pendant la série d'épreuves , ou autrement dit, qui peuvent produire les valeurs de A que l'on a observées ou que l'on observera. Cela posé, la troisième proposition générale qui nous reste à faire connaître, consiste en ce que la somme de cesyo. valeurs de A, divisée par leur nombre, ou la valeur moyenne de cette chose, différera très probablement fort peu de la somme de toutes ses valeurs possibles, nmltipliées respectivement par leurs chances moyennes. Ainsi, en appelant s la somme des valeurs eftéctives de A, on aura, à très peu près et avec une grande probabilité,
i42 RECHERCHES
de telle sorte que si l'on désigne par cT une fraction aussi petite que l'on voudra, on pourra toujours supposer le nombre /â. assez grand pour rendre aussi peu différente que l'on voudra de l'unité, la probabilité que la différence des deux membres de cette équation sera moindre que «T. Observons de plus que d'après l'expression précédente de «j,, et les valeurs de a, , a, ,«3, etc., qui s'en déduisent, le second membre est indépendant de fx; quand ce nombre est très grand, la somme s lui est donc sensiblement proportionnelle ; par conséquent, si l'on représente par / la somme des valeurs de A dans une autre série d'un très grand nombre [x! d'épreuves, la différence des rapports - et — sera très probablement fort petite ; et en la négligeant,
on aura
s s' fC it''
Dans la plupart des questions, le nombre A des valeurs possibles de A est infini ; elles croissent par degrés infiniment petits , et sont comprises entre des limites données; et la probabilité que la cause quelconque C, donne à chacune de ces valeurs devient, par conséquent, infiniment petite. En représentant ces limites par / et /', et par Zif?2 la chance que donnera C, à une valeur quelconque z, qui pourra s'étendre depuis z = Z jusqu'à z=.l' , on aura
'Zjflfz =; I
la chance totale de cette valeur z, ou à très peu près sa chance moyenne pendant la série des épreuves, sera Zdz, en faisant, pour abréger,
>iZ. -H >.Z. + >3Z3 H-..--h >.Z, = Z; et il en résultera
1= rzzdz..
fi j i
La quantité Z sera une fonction connue ou inconnue de z : mais la somme des fractions >-.,>,, >3 , etc. , étant l'unité, ainsi que chacune 'des intégrales flz,dz, T Z.r/z, j"^ Z^dz, etc., on aura toujours
i' Zdz = i,
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i45
soit qu'il n'y ait qu'un nombre limité ► de causes possibles, soit qu'il y en ait un nombre illimité, ou qu'on ail c = x .
(54). Maintenant, la Joi des grands nombre réside dans ces deux équations
TK m s s
applicables à tous les cas d'éventualité des choses physiques et des choses morales. Elle a deux significations différentes dont chacune répond à l'une de ces équations, et qui se vérifient constamment l'une et l'autre, comme on a pu le voir par les exemples variés que j'ai cités dans le préambule de cet ouvrage. Ces exemples de toute espèce ne pouvaient laisser aucun doute sur sa généralité et sou exactitude; mais il était bon , à cause de l'importance de cette loi , qu'elle fût démontrée à priori; car elle est la base nécessaire des applications du calcul des probabilités, qui nous intéressent le plus; et d'ailleurs sa dénioustration, fondée surles propositionsdesdcux numéros précédents, a l'avantage de nous faire connaître la raison même de son existence. En vertu de la première équation, le nombre m de fois qu'an événement E, de nature quelconque, a lieu dans un très grand nombre wd'épreuves, peut être regardé comme proportionnel à ix. Pour chaque
nature de chose, le rapport — a une valeur spéciale^, qu'il atteindrait
rigoureusement, si a pouvait devenir infini; et la théorie nous montre que cette valeur est la somme des chances possibles de E à chaque épreuve, multipliées respectivement par les probabilités des causes qui leur correspondent. Ce qui caractérise l'ensemble de ces causes, c'est la relation qui existe pour chacune d'elles entre sa probabilité et la chance qu'elle donnerait , si elle était certaine, à l'arrivée de E. Tant que cette loi de probabilité ne change pas, nous observons la permanence du rapport —, dans diverses séries composées d'un grand nombre
d'épreuves; si, au contraire, entre deux séries d'épreuves, cette loi a changé , et qu'il en soit résulté dans la chance moyenne y , un changement notable , nous en serons avertis par un changement semblable
dans la valeur de — : lorsque , dans l'intervalle de deux séries d'ob-
i44 RECHERCHES
nervations , des circonstances quelconques auront rendu plus probables les causes , physiques ou morales, qui donnent les plus grandes chances à l'arrivée de E, il en résultera une augmentition de la valeur de y
dans cet intervalle, et le rapport — se trouvera plus grand dans la seconde série qu'il n'était dans la première ; le contraire arrivera , quand les circonstances auront augmenté les probabilités des causes qui donnent les moindres, chances à l'arrivée de E. Par la nature de cet événement, si toutes ses causes possibles sont également probables, on aura Y = i et^ = j; et très probablement, le nombre de fois que E arrivera dans une longue série d'épreuves s'écartera très peu de la moitié de leur nombre. De même , si les causes de E ont des probabilités proportionnelles aux chances que ces causes donnent à son arrivée, et que leur nombre soit encore infini, on aura Y = ax; pour
que l'intégrale / Xdx soit l'unité, il faudra que l'on aitn=2 ; il en résultera donc >=f ; par conséquent dans une longue série d'épreuves, il y aura une probabilité très approchante delà certitude, que le nombre des arrivées de E seraà très peu prèsdouWe de celui des arrivées del'événement contraire. Mais dans la plupart des questions, la loi de probabilité des causes nous est inconnue , la chance moyenne y ne peut être calculée à priori , et c'est l'expérience qui en donne la valeur approchée et très probable , en prolongeant la série des épreuves assez loin
pour que le rapport — devienne sensiblement invariable, et prenant
alors ce rapport pour cette valeur.
L'invariabilité presque parfaite de ce rapport - pour chaque nature
d'événements, est un fait bien digne de remarque, si l'on considère toutes les variations des chances pendant une longue séries d'épreuves. On serait tenté de l'attribuer à l'intervention d'une puissance occulte, distincte des causes physiques ou morales des événements, et agissant dans quelque vue d'ordre et de conservation; mais la théorie nous montre que cette permanence a lieu nécessairement tant que la loi de probabilité des causes , relative à chaque espèce d'événements , ne vient point à changer; en sorte qu'on doit la regarder, dans chaque cas, comme étant l'état naturel des choses, qui subsiste de lui-même
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i45
sans le secours d'aucune cause étrangère, et aurait, au contraire, besoin d'une pareille cause pour éprouver un notable changement. On peut le comparer à l'état de repos des corps , qui subsiste en vertu de la seule inertie de la matière tant qu'aucune cause étrangère ue vient le troubler.
(55). Avant de considérer la seconde des deux équations précédentes, il est bon de donner quelques exemples relatifs à la première, et propres à éclairer la question.
Supposons qu'on ait un nombre » d'urnes C,, C», Cj, . . . C,, contenant des boules blanches et des boules noires. Désignons par c„, la chance d'amener une boule blanche en tirant dans l'urne quelconque C^; laquelle chance pourra être la même pour plusieurs de ces urnes. On prend au hasard une de ces urnes que l'on remplace par une urue semblable; on en prend ensuite une seconde, aussi au hasard et que l'on remplace également par une semblable; puis une troisième que l'on remplace de même ; et ainsi de suite , de manière que l'ensemble des urnes C, , C,, C3, etc., demeure toujours le même. On forme ainsi une série d'urnes B, , Bj, B3, etc., indéfiniment prolongée, qui ne renferme que les urnes données C, , Q, C3, etc., plus ou moins répétées. Désignons la chance d'extraire une boule blanche de B, par b,, de B, par b^, de B3 par ^3, etc. , de sorte que la série indéfinie h,, è„ ^3, etc., ne contienne aussi que les chances données c,,c,, C3,etc., qui pourront y être répétées. Cela étant, on tire une boule de B,, une de B,, une de B3, etc., jusqu'à l'urne B^ inclusivement. En appelant € la chance moyenne de l'extraction d'une boule blanche dans ces m tirages successifs, on aura
Or, les urnes C, , Cj, C3, etc. , représentent les v seules causes possibles de l'arrivée d'une boule blanche à chaque épreuve; par conséquent, si f{ est un très grand nombre, que l'on fasse , comme plus haut,
i46 RECHERCHES
et que l'on désigne par m le nombre de boules blanches qui seront extraites, on aura, d'après ce qui précède,
- = e, e = 7, m z=z ixy,
à très peu près et avec une grande probabilité. Ainsi le nombre m ne changera pas sensiblement si l'on répète les tirages sur les mêmes urnes B, , B^, B3, , . . B^, ou sur un nombre jjl d'autres urnes consécutives, et si on les effectue sur un autre très grand nombre jw' d'urnes, le
nombre de boules blanches qui arriveront aura '^- — pour valeur approchée et très probable.
Si l'on extrait }x fois de suite au hasard , une boule de l'ensemble des urnes C, , C, , C3, etc. , en remettant à chaque fois la boule extraite dans l'urne dont elle est sortie, la chance d'extraire une boule blanche .sera la même à toutes les épreuves, et égale à y d'après la règle du n° to; lorsque leur nombre sera très grand, celui des boules blanches que l'on amènera sera donc , eu vertu de la règle du n° 49» ^ très peu près et très probablement égal au produit iJ.y , comme dans la question précédente; mais ces deux questions sont es.sentiellement distinctes; et les deux résultats ne coïncident que dans le cas où /a est un très grand nombre. Quand il ne l'est pas , la chance d'amener un nombre donné m de boules blanches dépend , dans la première question, nonseulement du système des urnes données C,, C„C3, etc., mais aussi du système des urnes B, , B,, B3, etc. , que l'on en a déduit au hasard. Je réduis , par exemple , les urnes données à trois C, , Cj, C3, et je prends ;* = 2 et 7?i = 1 , de sorte qu'il s'agisse de savoir quelle est la chance de tirer une boule blanche de l'une des deux urnes B, etBj, et une boule noire de l'autre. Relativement à ces deux urnes, il peut arriver neuf combinaisons différentes que j'indiquerai de cette manière ;
B. — C, etB, = C, B. = C, etB, = C3, B. = C, et B,= C3,
B, = 0, etB,= C, B, = C3etB, =C., B.= C3etB,= C,.
Pour chacune de ces neuf combinaisons , la chance demandée aura une
valeur déterminée; ses neuf valeurs possibles selon la combinaison qui aura eu lieu, seront
2C,(l--C,), 2C.(l — C,), 2^3(1— Cj),
pour les trois premières;
pour les trois intermédiaires; et les mêmes que celles-ci, pour les trois dernières. Il est aisé de voir que la valeur moyenne de ces neuf chances, ou leur somme divisée par neuf, doit être la chance d'amener une blanche et une noire , en tirant une première fois au hasard dans le groupe des trois urnes C, , C,, Cj , puis une seconde fois après avoir remis la première boule extraite dans l'urne d'où elle serait sortie. Et, en eflet, cette chance serait le double du produit de ^^(c'. + c.-t-Cs) et de I — 5 (^i + <^a H-Cs)> quantité égale au neuvièifie de la somme des neuf chances précédentes.
Avant que le système des urnes B, , B^, B3, etc., soit formé et déduit du système des urnes données, nous n'aurions aucune raison de croire que la n"'"" urne B„ sera plutôt l'une que l'autre des urnes C, , Q, C3, etc.; pour nous, la probabilité de l'extraction d'une boule blanche au n"'"" tirage serait donc la somme des chances c, , c^, C3,ctc., divisée par leur nombre, c'est-à-dire la quantité y; mais quoique elle soit la même pour tous les tirages, et que leur nombre |tt fût aussi grand qu'on voudra , nous ne serions pas autorisés à en conclure , en vertu de la seule règle du n° 49, que le nombre m des extractions de boules blanches, des urnes B,, B,, B3, etc., devra secartcr très probablement fort peu du produit /j.y; car on ne doit pas perdre de vue que cette règle est fondée sur la chance propre de l'événement que l'on considère , et non sur sa probabilité, ou la raison que nous pouvons avoir de croire qu il arrivera.
(56). Pour second exemple, je suppose que l'on ait un très grand nombre de pièces de cinq francs, que j'appellerai A,, A., A3, etc., et dont chacune présentera une de ses deux faces, en retombant à terre après avoir été projetée en l'air. Relativement à la pièce quelconque Aj, je désignerai par a, la chance de l'arrivée de tête, qui dépen-
i48 RECHERCHES
dra de la constitutioa physique de cette pièce. La valeur de a, sera inconnue à priori; on la déterminera par l'expérience en projetant A/ un très grand nombre de fois m ; et comme cette chance demeurera constante pendant celte série d'épreuves, si tête arrive un nombre n^ de fois, on pourra prendre, par la règle du n" 49,
pour sa valeur approchée et très probable. On s'en servira ensuite pour calculer les probabilités des divers événements futurs, relatifs à la projection de la même pièce A, : on pourra parier à jeu égal , m contre m — tii que tête arrivera dans une nouvelle épreuve, ;?i' contre m'' — n," qu'il arrivera deux fois dans deux épreuves successives, 27^; ( m — Tii ) contre m* — 2/?, {m — m ) que têts aura lieu une fois seulement dans ces deux épreuves , etc. Dans une nouvelle série d'un très grand nombre m' cl'épreuves, le nombre de fois 7?/ que ïefe arrivera , aura, à très peu près et avec une grande probabilité, le produit m'a, pour
valeur, toujours d'après la règle du n° 49; les deux rapports — et—, ,
devront donc s'écarter très peu l'un de l'autre; mais, toutefois à raison de ce que celte valeur de a, donnée par l'expérience, est seulement très probable et non pas certaine, la probabilité du peu de différence de ces deux rapports ne sera pas si grande, comme on le verra par la suite , que si la valeur de cette chance Ui était certaine et donnée à priori.
Au lieu de projeter la même pièce un très grand nombre de fois, supposons que l'on emploie successivement un très grand nombre //, de pièces de cinq francs , prises au hasard parmi celles qui proviennent d'un même mode de fabrication, et soit n le nombre de fois que tête arrivera. Appelons a la chance moyenne de l'arrivée de tête, non pas seulement pour toutes les pièces dont on aura fait usage, mais pour toutes les pièces de la même espèce et provenant delà même fabrication. En vertu des deux propositons générales du n" 62, nous aurons, à très peu près et très probablement,
comme si les cliances inconnues a,, a^, «3, etc., étaient toutes égales entre elles.
Selon que l'on trouvera - > ^ ou - < j, on en conclura que dans
les pièces de cinq francs de cette fabrication, la chance de l'arrivée de tête est généralement plus grande ou moindre que celle de l'arrivée de la face opposée. A l'égard d'une pièce A,- en particulier, la chance
a, étant différente de a, il pourra arriver que l'on ait — < ^ en même
temps que - ]>î, ou bien — <î en même temps que- >• \.
Si l'on projette de nouveau les mêmes pièces de cinq francs, ou, plus généralement , un très grand nombre fjJ d'autres pièces de la même espèce, provenant de la même fabrication, et à la même effigie, la quantité a, telle qu'elle a été définie, ne changera pas; par conséquent , n étant le nombre de fois que tête arrivera dans cette nouvelle série d'épreuves, on devra avoir
de même que l'on a
pour une même pièce A( dans deux séries d'épreuves différentes. Mais ces rapports - et —, seront inégaux en général, lorsque les pièces employées dans les deux séries d'épreuves ne seront pas d'une même espèce, ou proviendront d'une fabrication différente, de même
que le rapport -- varie d'une pièce Ai à une autre.
(57). Quoique les chances constantes et les chances moyennes des événements se déterminent de la même manière et avec la même prohabilité par l'expérience , il y a cependant des différences essentielles dans les usages que l'on en peut faire. La chance moyenne comme Ja chance constante fait connaître immédiatement la probabilité de l'arrivée, dans une nouvelle épreuve isnlép, do l'cvenement que l'on con-
ri
Tti
.5o RECHERCHES
sidère; mais il n'eu est pas toujours de même , quand il s'agit de l'arrivée d'un événement composé de celui-là.
Je prends pour exemple la similitude des résultats dans deux projections successives d'une pièce de cinq francs. 11 y aura alors deux cas différents à examiner. On pourra supposer que ce couple d'épreuves aura lieu avec deux pièces, différentes ou non, prises au hasard parmi toutes les pièces A, , A^, A3, etc., d'une même fabrication et dont je désignerai par A le nombre total , ou bien avec une même pièce prise également au hasard ; dans le premier cas , la probabilité de la similitude ne dépendra que de la quantité a du numéro précédent, et sera la même que s'il s'agissait de chances constantes; dans le second cas, elle dépendra, en ou-tre, d'une autre quantité inconnue, par laquelle elle différera de sa valeur relative à des chances invariables.
Pour le faire voir, j'observe que relativement à deux pièces quelconques Aj et A,,, la probabilité de la similitude des résultats dans deux épreuves consécutives, a pour valeur
rt<«iv -1- (l «0 (l «!')•
Dans le premier des deux cas que nous voulons considérer, chacune des pièces A, , A^, A3, etc., pouvant être combinée avec elle-même et avec toutes les autres, le nombre de ces combinaisons également possibles sera le carré de A, et en désignant par s la probabilité complète de la similitude, nous aurons , d'après la règle du n° 10,
les sommes 2 s'étendent depuis i=i et f^i jusqu'à / = A et i'=A. Je fais
a = i(i-j-A), a, = i (i + A- + J^O. «„ = T(i + A+cr.v);
k) ^i> t^iff k-i-S'i, A-f-eT;,, désignant des fractions positives ou négatives, dont la première se déduira du rapport - du numéro précédent , donné par robservailon , et les autres varieront d'une pièce à une
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i5i
autre, de telle sorte que l'on ait
ScTj ^ o, 2J^., = o.
On aura , en même temps,
I — fl, = ^ (i — A- — J^,), , û„ = i(i A- — cT.,);
au moyen des équations précédentes, les sommes 2 qui entrent dans l'expression de s se réduiront à
2a. = 4A(i + A), 2fl„ = ^A(i + A); 2(i — a,) = iA(i — A), 2(1 - a,) = {X(i — A);.
et il en résultera
quantité qui ne dépend que de A, ou de la chance moyenne a de l'arrivée de tête, et nullement des inégalités de chances cT,, cf^, J'j, etc. Si l'on répèle la projection de deux pièces prises au hasard, un très grand nombre a de fois, s sera aussi la chance moyenne de la similitude dans cette série d'épreuves doubles ; en désignant par b le nombre de fois que la similitude arrivera , on aura donc approximativement , d'à près le n" 02 ,
b := as;
ce qu'on pourra vérifier par l'expérience.
Dans le second cas, où chaque couple d'épreuves doit être fait avec une même pièce ;, la probabilité de la similitude relativement à la pièce quelconque A,, aura pour expression
«,' H- (i —ai)';
et si l'on appelle s' la probabilité complète de la similitude, on en conclura
/ = ^ 2fli*+ i2'(î — ai'y;
i52 RECHERCHES
équation qui se réduit à '
i' = i (i + /t' + A»), en ayant égard à l'expression de a,, et faisant, pour abréger,
Or, on voit que cette probabilité 5' surpasse la probabilité s qui avait lieu dans le premier cas, et qu'elle dépend d'une nouvelle inconnue h, dépendante elle-même des inégalités ^,, cf», «Ta, etc.
Si l'on répète uu très grand nombre de fois a', la projection deux fois de suite d'une même pièce prise au hasard, / exprimera la probabilité de la similitude dans cette série d'épreuves doubles ; en représentant par b' le nombre de fois que la similitude arrivera, nous aurons donc à très peu près ,
ce qui servira à déterminer la valeur de h, celle de k étant déjà connue.
(58). Je ferai remarquer que si l'on projette trois fois de suite une même pièce prise au hasard parmi A, , A, , A3 , etc., la probabilité de la similitude des trois résultats s'exprimera au moyen de la probabilité précédente /, et sera connue, par conséquent, sans recourir à de nouvelles expériences. En effet, relativement à la pièce quelconque A,-, cette probabilité sera
«1' -+- (i — itif;
en appelant s' sa valeur complète , on aura donc •
^" = ISfl,^ + ^2(1 — a,y; et d'après les notations précédentes , il en résultera ^
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i53
ou, ce qui est la même chose,
Cette quantité s" sera aussi la chance moyenne de la similitude dans une très longue série de triples épreuves; si donc on désigne par n" leur nombre , et par b" le nombre de fois que la similitude arrivera , nous aurons
En mettant -r et —, au lieu de s' et s" dans l'équation précédente, on en a a ^ '
déduii'a celte relation
rt'rt" = 5b'd' — 2b' a' ,
entre les nombres a' , a" , b' , V , qui sera d'autant plus approchée et d'autant plus pi'obable qu'ils seront plus grands.
Puisqu'elle est indépendante de la loi des quantités a, , a^, a^, etc., elle subsistera également quand elles seront toutes les mêmes, c'est-àdire, lorsqu'au lieu de changer de pièce à chaque épreuve double et à chaque épreuve triple, ou emploiera toujours la même; par conséquent, si l'on projette une même pièce un très grand nombre de fois que je représenterai par 6c; que l'on partage cette série d'épreuves simples, en épreuves doubles composées de la première épreuve simple et de la seconde , delà troisième et delà quatrième, et ainsi de suite; qu'on la divise aussi en épreuves triples, composées de la première, la deuxième, la troisième, épreuves simples , de la quatrième, la cinquième, la sixième, et ainsi de suite; et qu'on applique l'équation précédente à ces deux séries d'épreuves doubles et triples, on aura
rt' =: 3c , rt" = 2C ,
ce qui réduira cette équation à celle-ci
qui signifie que le nombre des similitudes doubles moins celui des similitudes triples , sera égal au sixième du nombre total des épreuves simples.
i54 RECHERCHES
On obtiendrait des relations analogues entre les nombres de ces similitudes et de celles qui seraient composées de plus de deux ou trois épreuves simples.
(69). Ces considérations s'appliquent immédiatement aux naissances masculines et féminines; il suffit, pour cela, de remplacer les pièces A, , A,, A3, etc., parautaut de mariages différents, et de prendre poura,, la chance de la naissance d'un garçon dans le mariage quelconque désigné par A;.
En France, le nombre des naissances des deux sexes s'élève annuellement à près d'un million; et dans ce nombre total, l'observation montre que le rapport des naissances masculines aux naissances féminines excède l'unité d'environ un quinzième ; pendant les dix années écoulées depuis 181 7 jusqu'à {826, sa valeur moyenne a été de i,o656, dont ses valeurs extrêmes se sont à peine écartées d'im demi-centième, en plus ou en moins. C'est sur les observations de cet intervalle de temps que sont fondés les résultats de mon mémoire sur la proportion des naissances des deux sexes (*). De 181 7 à i853 inclusivement, le rapport moyen a été i,o6ig; ce qui ne diffère pas non plus d'un demi-centième de sa valeur pendant les dix premières de ces dix-sept années.
La cause de la prépondérance des naissances masculines nous est inconnue; il y a lieu de croire qu'elle varie beaucoup d'un mariage à un autre, et que les chances «,, a„ a^, etc., sont très inégales, de telle sorte que beaucoup d'entre elles s'abaissent, sans doute, au-dessous de \. Cependant, comme on voit, la proportion des naissances annuelles des deux sexes a très peu varié pendant une période de dix-sept ans; ce qui présente une vérification remarquable de la loi des grands nombres.
En prenant ^ pour le rapport d'un grand nombre de naissances masculines au nombre correspondant des naissances des deux sexes, ce rapport sera aussi la chance moyenne de la naissance d'un garçon, et l'on
aura 5- pour la valeur de la quantité k du n" 57. Nous ignorons si la
chance d'une naissance masculine restera la même à chaque enfant qui naitrad'un même mariage, ou bien si elle variera, par exemple, comme
(*) Mémoires de V Académie des Sciences , tome IX.
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i55
elle variera d'un mariage à un autre. Dans le second cas, la chanci' moyenne de la similitude du sexe des deux premiers nés sera ^ (i-l-A-'), et n'excédera ^ que d'à peu près un demi- millième. Par conséquent, le nombre de fois que cette similitude aura lieu, dans un très grand nombre découplés de premiers nc's, surpassera d'un dcmi-miilicme la moitié de celui-ci. Dans le premier cas, le premier de ces deux nombres pourra surpasser de beaucoup plus la moitié du second, à raison de la quantité inconnue A que renfermera alors l'expression | (i+A:*+^'') de la chance moyenne de la similitude. La relation du numéro précédent aura toujours lieu entre les nombres des similitudes de sexe des deux premiers-nés et des trois premiers-nés , observées dans un très grand nombre de mariages.
(60). En vertu de la seconde équation du n" 54, si A est une chose quelconque, qui soit susceptible de différentes valeurs à chaque épreuve, la somme de ses valeurs que l'on observera dans une longue série d'épreuves, sera à très peu près et très probablement, proportionnelle à leur nombre. Le rapport de cette somme à ce nombre, pour une chose déterminée A, convergera indéfiniment, à mesure que ce nombre augmentera encore davantage, vers une valeur spéciale qu'il atteindrait si ce nombre pouvait devenir infini, et qui dépend de la loi de probabilité des diverses valeurs possibles de A. On fera sur ce rapport des remarques semblables à celles que nous avons faites dans le n° 54» eu considérant la première équation de ce numéro.
La seconde équation , ou plutôt celle-ci
= / Zzdz,
donnera lieu comme la première, à de nombreuses et utiles applications. Je suppose, par exemple, que a soit un angle que Ion veut mesurer. Cet angle existe; sa grandeur est unique et déterminée; mais l'angle que l'on mesure à chaque opération, est une chose susceptible d'un nombre Infini de valeurs différentes, à raison des erreurs inévitables et variables des observations. Je prends cet angle , qui sera mesuré successivement un grand nombre de fois, pour la chose A, de sorte q^ue Zdz exprime la chance d'une valeur quelconque z dp A, résultante de la construction de l'instrument et de l'adresse de l'observateur. Soit A-
l'abscisse du centre de gravité de l'aire d'une courbe plane, dont . et Z sont labscisse et l'ordonnée, et qui s'étend depuis z=l jusqu'à z= l' en désignant , comme dans le n« 53, par / et V les limites des valeur^ possibles de A. Faisons
z^k-\-cc, i~i,^h^ l' = k-i-h';
et représentons par X ce que Z devient quand on y met >fe+^ au lieu de z; nous aurons
f'zdz= f^'' X^o: = , , f'' Xxdx = o, et par conséquent , à très peu près ,
en vertu de l'équalion citée, dans laquelle i' est la somme des valeurs de A que l'on obtiendra dans un grand nombre /a d'épreuves. C'est donc vers
la constante k que sa valeur moyenne - convergera de plus en plus, à
mesure que f/, augmentera davantage; mais lors même que ce rapport sera devenu sensiblement constant, c'est-à-dire, lorsqu'il sera sensiblement le même dans plusieurs séries d'autres grands nombres de mesures, il pourra quelquefois arriver que cette moyenne dififère beaucoup de 1 angle a qu'on veut déterminer : elle sera toujours la valeur approchée de la constante y qui peut ne point coïncider avec cet angle. En effet , soit
s = a + M, l = et + g, l' z= et + g';
appelons U ce que devient Z quand on y met a -f-w au lieu de 2 ; nous aurons
I Zdz = / \]du = I, k=a.-{-( Vudu.
La ^différence u, enxic l'angle et et une valeur possible z de l'angle mesuré A, est l'une des erreurs possibles de l'instrument et de l'obser-
valeur; elle peut être positive ou négative, et s'étendre depuis u:=zg jusqu'à u = g' ; sa probabilité infiniment petite est U^/«. Or, s'il n'y a dans la construction de l'instrument aucune cause qui donne aux erreurs positives de plus grandes cliances qu'aux erreurs négatives , ou réciproquement , et qu'il en soit de même pour la manière d'opérer de l'observateur, les limites g et g' seront égales et de signes contraires, la fonction U sera égale pour des valeurs de la variable u égales et de signes contraires, et il en résultera
Uudu ^ u. k =z et.
Dans ce cas, qui est le plus commun, le rapport - sera donc la va-
leur approchée de a. Mais, si l'instrument par sa construction, ou l'observateur par sa manière de viser, donne quelque prépondérance, soit aux chances des erreurs positives, soit à celles des erreurs négatives , l'intégrale précédente ne sera plus nulle, les constantes a et k diflereront
l'une de l'autre, et le rapport- s'écartera notablement, en général,
de la véritable valeur de et. Ou ne pourra s'apercevoir de cette circonstance, qu'en mesurant le même angle, soit avec d'autres instruments, soit par d'autres observateurs. Je me bornerai ici à indiquer cette application du calcul des probabilités : en ce qui concerne les erreurs des observations , et les méthodes de calcul propres à en diminuer et évaluer l'influence, je renverrai à la Théoiie analytique des probabilités et aux mémoires sur ce sujet que j'ai insérés dans la Connaissance des teins (*).
(61). Pour second exemple de l'équation citée au commencement du numéro précédent, supposons que les causes désignées par C, , Q, C3, etc. , soient toutes celles qui déterminent les chances de durée de la vie humaine dans un pays et à une époque déterminés. Ces causes sont, entre autres, les diverses constitutions physiques des enfants qui naissent, le bien-être des habitants, les maladies qui abrègent celte
(*) Années 182'j et iHàT..
durée , et sans doute aussi quelques causes résultantes de la vie ellemême , qui l'empêchent de se prolonger au-delà de limites qu'elles n'a jamais dépassées : il y a lieu de croire, en effet, que si les maladies étaient les seules causes de mort, et qu'elle fut, pour ainsi dire, accidentelle, quelques-uns des hommes pai'mi le nombre immense de ceux qui ont vécu, auraient échappé à ces dangers pendant plus de deux siècles; ce qu'on n'a jamais observé. La chose A sera alors le temps que vivra un enfant qui vient de naître; z exprimera une valeur possible de A , et Zdz la chance de z résultante de toutes les causes, quelles qu'elles soient, qui peuvent la déterminer, non pas pour un enfant en particulier, mais pour l'espèce humaine, dans le lieu et à l'époque que l'on considère. Ainsi , concevons qu'une certaine constitution physique en naissant , donne une chance Z'dz de vivre précisément un temps égal à z, qu'une îiutre constitution donne une chance ZV" de vivre jusqu'au même âge, etc.; soient aussi ^', Ç*, etc., les probabilités de ces diverses constitutions : à raison de ces causes, la fonction Z sera la somme Ç'Z' -f- ^"Z"-|- etc., étendue à toutes les constitutions possibles ; et si ce nombre est infini, Z se changera en une intégrale définie, qui aura une valeur inconnue, mais déterminée. Dans le pays oîi les hommes naissent le plus forts ouïe mieux constitués, cette intégrale aura sans doute la plus grande valeur; dans chaque pays, elle pourra n'être pas la même pour les deux sexes; sans doute aussi les valeurs de Z', Z", Z'", etc., dépendront d'ailleurs des maladies possibles et du bienêtre des habitants : la fonction Z sera différente, et par suite, l'intégrale de Zz<iz le sera aussi, à deux époques éloignées l'une de l'autre, si dans l'intervalle quelque maladie a disparu, ou que le bien-être du peuple ait augmenté par le progrès de la société. On pourra , si l'on veut, prendre zéro et l'infini pour les limites / et /' de cette intégrale, en considérant Z comme une fonction qui s'évanouit au-delà d'une valeur de z, inconnue aussi bien que la forme de Z. Cela étant , les valeui's obsei'vées de A seront les âges auxquels sont morts en très grand nombre (ji. d'individus nés dans un même pays et vers la même épociue; et en appelant i^ la somme de ces âges^ on aura, à très peu près et très probablement.
= J^^ Zzdz;
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. iSg
par conséquent, ce rapport -, ou ce qu'on appelle la vie moyenne, de-
meurera constant pour chaque pays, tant qu'aucune des causes C, , C., C3, etc., connues ou inconnues, n'éprouvera pas un changement notable.
En France, on suppose la vie moyenne d'environ 29 ans; mais cette évaluation est fondée sur des observations antérieures à l'usage de la vaccine, et déjà très anciennes; elle doit être aujourd'hui sensiblement plus longue; et il serait à désirer qu'on la déterminât de nouveau, séparément pour les hommes et pour les femmes, pour les différents étals, et pour les diverses parties du royaume. On considère aussi la vie moyenne à partir d'un âge donné : s est alors le nombre des années qu'ont vécu au-delà de cet âge , un très grand nombre /U
d'individus; le rapport - est la vie moyenne relative à cef âge , avec
lequel elle varie, en demeurant constante pour lui même âge : on suppose qu'elle atteint son maximum entre 4 et 5 ans, et qu'elle s'élève alors à 43 ans. Les tables de mortalité ont un autre objet : sur un très grand nombre fx d'individus nés dans un même paj s et à la même époque, elle font connaître les nombres de ceux qui vivent encore au bout d'unau,dedeux ans, de troisans, etc., jusqu'à ce qu'aucun n'existe plus. En désignant par m. le nombre des vivants qui ont un âge donné, c'est en
vertu de la première équation du n" 54, que le rapport — est sensiblement invariable, du moins tant qu'il ne s'agit pas d'un âge très avancé, et que 7«n'est pas devenu un nombre très petit : vers cent ans, par exemple,
cette invariabilité consiste en ce que le rapport — est toujours une très petite fraction.
Dans l'intégrale f Zzdz, au lieu de faire varier z par degrés infiniment petits , si l'on fait croître cette variable par des intervalles très petits; que l'on prenne, pour fixer les idées, chacun de ces intervalles de temps pour unité; et que l'on désigne par A., h^, fis, etc., la série des valeurs de z, et par H, , H,, H3 , etc., les valeurs correspondantes de Z, la somme des produits H,^, , H^A, , li,K, etc., sera, comme on sait, la valeur opprocko'o de cctre intégrale. En désignant
)6o RECHERCHES
par t- la vie moyenne, à partir de la naissance, on aura donc aussi
i' = U,h, + EJi, + HjA, + etc.
Or, H„ exprimant ici la cha nce de mourir à un âge h„, il s'ensuit que relativement à la durée de la vie humaine, on peut considérer la vie moyenne i> comme l'espérance malliématique (n" 25) d'un enfant qui vient de naître, et dont la constitution physique nous est inconnue; mais d'après les tables de mortalité, sur un très grand nombre d'enfants, plus de la moitié meurt avant d'avoir atteint cet âge V.
(62). Supposons, pour dernier exemple, que pour un lieu donné et pour un jour de l'année aussi donné, on ait calculé l'excès de la haute sur la basse mer qui aurait lieu en vertu des actions simultanées du soleil et de la lune. Prenons pour la chose A, la différence entre cet excès calculé et celui qui est observé dans le même lieu et à la même époque de chaque année. Les valeurs de A varieront d'une année à une autre, à raison des vents qui peuvent souffler en ce lieu et à cette époque, et qui déterminent les chances de ces diverses valeurs. Or, si l'on considère toutes les directions et les intensités possibles de ces vents, leurs probabilhés respectives, et les chances que ces causes donnent à une valeur
quelconque z de A, l'intégrale / Zzdz aura une valeur inconnue, mais déterminée, et qui demeurera constante, tant que la loi de probabilité de chaque vent possible ne changera pas. Le rapport - sera donc aussi à très peu près invariable; s étant la somme des valeurs de A , observées pendant une longue suite d'années.
Nous ne savons pas à priori, si - est zéro ou une fraction qu'on
puisse négliger , c'est-à-dire , si l'influence des vents sur les lois générales des marées est insensible ; l'expérience seule peut nous faire connaître la valeur de ce rapport, et nous apprendre s'il varie aux diflérentes époques de l'année , et pour les lieux différents oii les observations sont faites, sur la côte, dans les ports, en pleine mer. Pour couuaUvo l'i'.iflnpnr*» Ap tel ou tel vent en par-
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i6i
ticulier, il faudrait n'employer que des valeurs de A observées sous cette influence; toutefois, afin de n'avoir pas besoin d'un trop grand nombre d'années d'observations, ces valeurs pourraient répondre à plusieurs jours consécutifs, pendant lesquels la direction du vent aurait peu changé. Plusieurs savants s'occupent maintenant de cet examen, qui exigera un long travail, et ne manquera pas de conduire à des résultats intéressants.
(65). L'exposition des règles du calcul des probabilités et de leurs conséquences générales, qui a été faite dans ce chapitre et dans le précédent, étant actuellement complète, je reviens sur la notion de cause et ^ effet , qui est seulement indiquée dans le n° 27.
La cause propre d'une chose E est. comme on l'a dit dans ce numéro, une autre chose C qui possède une puissance de produire nécessairement E, quelles que soit d'ailleurs la nature de ce pouvoir et la manière dont il s'exerce Ainsi, ce qu'on appelle l'attraction de la terre est une certaine chose qui a la puissance de faire tomber les corps situés à la surface du globe, dès qu'il ne sont pas soutenus; et de même, dans notre volonté , réside un pouvoir de produire, par l'intermédiaire des muscles et des nerfs, une partie de ces mouvements que l'on nomme, pour cette raison, mouvements volontaires. Quelquefois, dans la nature, la chose E n'a qu'une seule cause C qui puisse la produire, de sorte que l'observation de E suppose toujours l'intervention de C. Dans d'autres cas, cette chose peut être attribuée à plusieurs causes distinctes, qui concourent ensemble, ou qui s'excluent mutuellement de manière qu'une seule ait dû produire E.
Telles sont, en ce qui concerne le principe de la causalité, les idées les plus simples et que je crois généralement admises. Cependant l'illustre historien de l'Angleterre a émis sur ce point de 'métaphysique, une opinion différente qu'il convient d'examiner, et sur laquelle le calcul des probabilités peut jeter un grand jour.
Selon Hume (*), nous ne pouvons avoir d'autre idée de la causalité que celle d'un concours et non d'une connexion nécessaire entre
(*) Essais philosophiques sur V enlendement humain; septième essai : de Viàée de pouvoir ou de liaison nécessaire.
i62 RECHERCHES
ce que nous appelons cause et effet; et ce concours n'est pour nous qu'une forte présomption, résultant de ce que nous l'avons observé un grand nombre de fois : si nous l'eussions observé un nombre de fois peu considérable, ce serait juger de la nature sur un trop petit échantillon, que de présumer qu'il se reproduira désormais. D'autres ont partagé la même opinion, et l'ont appuyée sur les règles tle la probabilité des événements futurs, d'après l'observation des événements passés. Mais Hume va plus loin ; et sans même recourir h ces lois de probabilité, il pense que l'habitude de voir l'effet succéder à la cause, produit dans notre esprit une sorte d'association d'idées qui nous porte h croire que l'etïet va arriver quand la cause a eu lieuj ce qui peut être effectivement vrai pour la plupart des hommes, qui n'exa~ minent pas le principe de leur croyance et son degré de probabilité : pour eux, cette association d'idées doit être comparée à celle qui se fait dans notre esprit, entre le nom d'une chose et la chose môme, et qui est telle, que le nom nous rappelle la chose, indépendamment de notre réflexion et de notre volonté.
Un des exemples que l'auteur choisit pour expliquer son opinion est le choc d'un corps en mouvement contre un corps libre et en repos, et le mouvement de ce second corps à la suite de sa rencontre par le premier. Ce concours du choc et du mouvement du corps choqué est, en effet, un événement que nous avons observé un très grand nombre de fois, sans que l'événement contraire se soit jamais présenté; ce qui suffit, abstraction faite de toute autre considération, pour que nous ayons une forte raison de croire, ou, pour qu'il y ait une très grande probabilité que le concours dont il s'agit aura encore lieu désojjmais. Il en est de même de tous les concours de causes et d'efl'ets que nous observons joiu'nellement et sans exception : leur probabilité s'alimente , pour ainsi dire, par cette expérience continuelle, et la raison ou le calcul, d'accord avec l'habitude, nous donne une grande assurance qu'à l'avenir ces causes seront toujours suivies de leurs efléts. Mais dans le cas d'un phénomène que nous avons seulement observé un nombre de fois peu considérable, à la suite de la cause que nous lui assignons, il n'y aurait, d'après les règles précédemment exposées, qu'une proba- Ij^Uté qui ne serait pas très grande, pour le concours futur de cette cause ei de cet effet. Néanmoins, il arrive souvent que nous ne faisons
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i65
aucun cloute de la reproduction de ce phénomène, lorsque sa cause aura lieu de nouveau. Or, cctie assurance suppose que notre esprit attribue à la cause une puissance quelconque de produire son effet, et qu'il admet une liaison ue'cessaire «ntre ces deux choses, indépendamment du nombre, plus ou moins grand, de leurs concours observés. Ainsi, lorsque M. OErsted découvrit qu'en faisant communiquer les deux pôles d'une pile de Volta, au moyen d'un fil mélallique, il arrivait qu'une aiguille aimantée, suspendue librement dans le voisinage de ce circuit voltaique, déviait de sa direction naturelle; l'illustre physicien fut sans doute convaincu , après avoir répété un petit nombre de fois cette expérience capitale, que le phénomène ne manquerait pas de se reproduire constamment par la suite. Cependant ^ si notre raison de croire à cette reproduction était uniquement fondée sur le concours du circuit voltaïque et de la déviation de l'aiguille aimantée, observé une dixaine de fois, par exemple, la probabilité que le phénomène arriverait encore dans une nouvelle épreuve, ne serait que
— (n" 46) : dans une nouvelle série de i o épreuves, il y aurait à parier 1 1
contre i o, ou à peu près un contre un , que l'événement aurait encore lieu sans interruption ; et dans uqe plus longue série d'expériences futures, il deviendrait raisonnable de penser que le phénomène ne se reproduirait pas à toutes les épreuves.
Je, citerai encore pour exemple l'heureuse application à la composition chimique des corps, que M. Biot a faite récemment de la polarisation progressive de la lumière dans un sens déterminé, dont il avait depuis long-temps constaté l'existence dans des milieux homogènes et non cristallisés ( * ). Lorsque dans un nom-
(*) Le principe de cette application est expose' clairement et en peu de mots dans la note suivante que M. Biot a bien voulu me communiquer :
•< Un rayon lumineux de re'frangibilite' fixe a e'té polarisé par réflexion dans uu » certain plan. On l'analyse après sa réflexion, en lui laissant traverser un rhom- » boide de cbaux carbonatée rendu légèrement prismatique par sa face posté- » Heure; et l'on s'assure qu'il possède tous les caractères de la polarisation relati- » vement au plan dont il s'agit. Ainsi , lorsque la section principale du prisme » rhomboïilal est parallèle au plan de réflexion , le rayon passe simple e' subit » tout entier la réfraction ordinaire. Mais, si l'on tourne cette section, soit à
i64 RECHERCHES
bre peu considérable d'observations faites avec soin , on a reconna qu'une substance donnée , dévie le rajon polarisé à droite de l'obser-
» droite, soit à gauche, il se partage entre les deux réfractions, exactement » comme s'il avait d'ahord traversé un premier rhomboïde dont la section prin- » cipale serait parallèle au plan dans lequel la réflexion a eu lieu. Et généralement » toutes les propriétés du rayon polarisé sont symétriques autour de ce plan.
» Ceci reconnu, on interpose dans le trajet du rayon polarisé, un tube creux » terminé par des glaires minces, et successivement rempli de liquides divers, qui, n tous, se présentent ainsi au rayon sous l'incidence normale. Puis on analyse » de nouveau ce rayon après sou émergence; et l'on observe les phénomènes » suivants.
n L'eau, l'alcool, l'éther et beaucoup d'autres liquides ne troublent pas sensi- » blement la polarisation primitive da rayon. Car on lui retrouve toutes les pro- )) priétés physiques qui la caractérisaient.
.> Mais d'autres liquides, par exemple les essences de citron et de térébenthine, » certains corps solides non cristallisés, et même certaines vapeurs, troublent " cette polarisation. Car le rayon, qui les a traversés sous l'incidence normale , " donne des images doubles, dans les mêmes positions du prisme rliomboïdal où » il en donnait primitivement de simples. Alors, en tournant graduellement la » section principale du prisme vers la droite ou vers la gauche de l'observateur, u on trouve toujours une certaine position ou l'image extraordinaire disparaît. Et, » pour cette position, le rayon présente de nouveau tous les caractères d'une po- >i larisation complète. De sorte que le plan de polarisation primitif a été seule- '• ment dévié angulairement par l'action du corps interposé.
" Pour chaque substance, prise dans un même état physique, et agissaut sur un » même rayon , la quantité absolue de la déviation est proportionnelle à l'épais- » seur de matière traversée ; de sorte que le sens dans lequel elle croît , fait con- » naître de quel côté elle s'exerce. Certaines substances l'opèrent vers la droite, » d'autres vers la gauche de l'observateur, pour les mêmes rayons; et, si on les » mêle ensemble, sans qu'il s'exerce entre elles de réaction chimique qui les dé- II nature, la déviation résultante est toujours la somme des déviations partielles >> qui auraient été opérées isolément par les mêmes quantités pondérables de cha- >> fjue substance.
" Ces phénomènes de déviations progressivement croissantes, opérées dans un » sens propre , par des milieux homogènes agissant sous l'incidence normale , ont » été présentés à l'Institut le 28 octobre i8i5. Ce sont les premiers faits de ce 11 genre qui aient été découverts, et reconnus dans leur caractère progressif. La 11 dé'-ouverte de M. OErsted, qui présente un semblable caractère, leur est posté- » rieure de j^lusieurs années. "
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i65
vateur, pour fixer les idées, el que les déviations observées ont été assez grandes pour ne laisser aucune incertitude sur le sens dans lequel elles ont eu lieu, cela suffit pour que nous soyons assurés, comme on l'est d'une chose dont personne ne doute, que dorénavant la même substance fera toujours dévier la lumière à droite; et cependant le concours de cette substance et d'une déviation à droite, observé un nombre de fois qui n'est pas très grand, ne donnerait qu'une faible probabilité, et même une probabilité inférieure à - , que dans un pareil
nombre ou un nombre un peu plus grand d'épreuves nouvelles , aucune déviation à gauche n'aurait lieu.
Ces exemples et d'autres qne l'on imaginera aisément montrent, ce me semble, que la confiance de notre esprit dans le retour des effets à la suite de leurs causes ne peut avoir pour unique fondement l'observation antérieure de celte succession, plus ou moins répétée. On va voir, en effet, qu'indépendamment d'aucune habitude de notre esprit, la seule possibilité d'une certaine aptitude de la cause à produire nécessairement son effet , augmente de beaucoup la raison de croire à ce retour, et peut rendre sa probabilité très approchante de la certitude, quoique les observations antérieures soient en nombre peu considérable.
(64). Avant qu'un phénomène P ait été observé et qu'on sache s'il arrivera ou s'il n'arrivera pas dans toute une série d'expériences que l'on va faire , nous admettons donc que l'existence d'une cause C capable de le produire nécessairement ne soit pas impossible. Nous concevons aussi qu'avant ces expériences, l'existence d'une telle cause avait une certaine probabilité , lésultant de considérations particulières qui la rendaient plus ou moins vraisemblable . et que nous représenterons par p. Supposons ensuite que P soit observé à toutes ces expériences dont le nombre sera désigné par n. Après cette observation, la probabilité de l'existence de C aura changé; il s'agira de la déterminer, et nous la désignerons par tff.
Quelque soin que l'on ait mis à diminuer l'influence des causes autres que C, susceptibles de produire le phénomène Pà chaque épreuve, si C n'existait pas; on peut croire, néanmoins, que l'on n'a pas rendu cette influence tout-à-fait nulle. Supposons donc qu'il existe certaines causes
i66 RECHERCHES
15,, Bj,,... . B„, connues ou inconnues, qui ont pu aussi, à de'faut de C, donner naissance à ce phénomène en se combinant avec le hasard (n" 27), savoir : B, dans la première expérience, B^ dans la se conde , . . . . B„ dans la dernière. Soit généralement r, la probabilité de l'existence de B, , multipliée par la chance que cette cause, si elle était certaine, donnerait à l'arrivée de P. En faisant, pour abréger,
ce produit serait la probabilité de l'arrivée de ce phénomène dans toutes les Ji expériences, résultante de l'ensemble des causes B,, B, , B3, etc., et si la cause C n'existait pas; et comme i — p est la probabilité de la non-existence de C, il en résulte, dans l'hypothèse que C n'existe pas, ( I — p) p pour la probabilité de l'événement observé, qui est ici l'arrivée constante de P. Dans la supposition contraire, sa probabilité est p. c'est-à-dire, qu'elle n'est autre chose que celle de l'existence de C, antérieurement à l'observation, puisque cette cause produirait nécessairement l'arrivée de P à toutes les épreuves. Par conséquent, d'après la règle du n° 28, la probabilité de cette seconde hypothèse, ou de l'existence de C après l'observation, a pour valeur
existence
est
et celle de sa non
On parvient également h ce résultat, en ayant égard successivement
aux 71 expériences , au lieu de les considérer toutes à la fois , comme
nous venons de le faire. En effet, la probabilité de l'existence de C
étant p, par hypothèse, avant la première expérience, désignons ce
qu'elle devient successivement , par p' après cette expérience et avant
la seconde, par p" après la seconde et avant la troisième, etc. ; nous
aurons
elc. :
et en éliminant d'abord p' et i — p' des valeurs de p" et i — p", ensuite p" et I —p" des valeurs de /?'" et 1 — p'", etc., on obtiendra les expressions prëcédenles de tir et de i — «ar, pour les probabilités de l'existence et de la non-existence de C après la n'""' expérience.
Maintenant, soit <nr' la probabilité que le phénomène P arrivera, sans interruption, dans une nouvelle série de n' expériences. Quel que soit ce nonabre n\ la probabilité pour que cela ait lieu en vertu de la causeC, si elle était certaine, est la probabilité 'ZJt de l'existence de C, conclue des n premières expériences. A défaut de cette cause , l'arrivée de P pourra aussi être due à d'autres causes B',, B',,. . .. B'„, pareilles à celles que nous avons désignées tout à l'heure par B, , B,, . . . . B„, et dont on ne pourra pas éviter entièrement l'influence. Représentons, relativement à ces causes futures , par r',, r\ ,. . . ,r'„,, ce que deviennent les quantités précédentes /-, , r,, . . . . r„, de sorte que /', soit à l'égard de B',, ce que r, était par rapport à Bj Faisons aussi
La probabilité de l'arrivée de P dans les n' expériences futures, sera ( t — 'zr) />'. si la cause C n'existe pas. Nous en concluons donc
-ttr' = «ar -f- ( I — tsr) f' ,
pour l'expression complète de ts-' , ou bien , en mettant pour tir et I — tir leurs valeurs précédentes ,
Cela posé, ces expressions de tsr et tir' montrent comment la probabilité de l'existence de C, qui pouvait être très faible avant l'observation de P, a pu devenir très grande après que ce phénomène a été observé tin nombre de fois peu considérable , et donner ensuite une probabilité très approchante de la certitude , à l'arrivée constante de ce phénomène dans les expériences futures. Supposons, par exemple,
i68 RECHERCHES
que par des raisons quelconques, et, si l'on veut, par une prévention de notre esprit , la probabilité de C À priori , n'était qu'un centmillième ; admettons aussi que l'influence des causes accidentelles , malgré les précautions prises pour l'éviter , puisse encore être telle que chacune des quantités /', , r^ , r^ , etc. , soit un dixième , ou une fraction moindre; si P a été observé seulement dix fois sans interruption , on aura
p = 0,00001, /> </j (0,00001 ), et , en même temps ,
tir >
Par conséquent, la probabilité de l'existence de C, après l'observation, diflererait de l'unité , de moins d'un cent-millième, et la non-existence de cette cause sérail devenue moins probable que sou existence ne l'était auparavant. Quel que soit le nombre n' , la probabilité 'nr' que P aura lieu constamment dans une série de n' expériences futures, suipasserait encore celle de l'existence de C, ou ne pourrait pas être moindre.
(65). Dans cette application du calcul des probabilités , la cause C est considérée d'une manière abstraite, c'est-à-dire, indépendamment d'aucune théoine qui ramènerait le phénomène P à des lois plus générales , et en fournirait une explication exacte , d'après la cause qu'on lui attribue, ce qui augmenterait encore la probabilité de l'existence de celte cause. Nous con^dérons ce phénomène P comme ayant eu lieu sans interruption; et le calcul précédent a eu pour objet de montrer que notre croyance à sa reproduction future, quand il n'a été observé qu'un petit nombre de fois, ne peut être fondée que sur l'idée que nous avons d'une cause capable de produire nécessairement un phénomène de cette nature. Le calcul des probabilités ne peut d'ailleui's nous faire connaître quelle est cette cause efficace, ni déterminer quelle est la plus probable, parmi celles qui pourraient produire nécessairement le
phénomène, quand il y en a plusieurs auxquelles on pourrait l'attribuer.
Lorsque P n'a pas eu lieu dans une ou plusieurs épreuves, et que 1 on est certain, cependant, que la cause C capable de le produire nécessairement, si elle existait , aurait dû agir dans toutes ces expériences, il est évident que cette cause, ui aucune autre cause de cette espèce, n'existe pas. Mais outre les causes de cette nature, il en existe d'autres qui agissent à toutes les épreuves, et sont seulement capables de donner une certaine chance à l'arrivée d'un phénomène P (n° 27), en se combinant, soit avec le hasard, soit avec des causes variables, qui tantôt agissent et tantôt n'agissent pas. Ces causes variables et irrégulières, que l'on ne doit pourtant pas confondre avec le hasard, peuvent influer sur la chance moyenne de l'arrivée de P dans une longue suite d'expériences, et par suite (n° 62), sur le nombre de fois que P a eu lieu ou aura lieu , divisé par le nombre total des épreuves ; mais si l'on a pris soin de diminuer, autant qu'il est possible, l'influence des causes accidentelles, de sorte qu'on puisse la supposer sensiblement nulle, et si le phénomène P a été observé un nombre m de fois dans un très grand nombre /a d'épreuves, il y aura une très grande probabilité qu'il existe une cause permanente, favorable ou contraire à la production de ce phénomène, selon que m sera notablement plus grand ou plus petit que la moitié de //C.
Ainsi, en prenant pour exemple, le cas d'un corps à deux faces, projeté en l'air un très grand nombre de fois , l'existence d'une cause favorable ou contraire à l'arrivée d'une face déterminée , peut être regardée comme extrêmement probable, lorsque les nombres de fois que les deux faces sont arrivées diffèrent notablement l'un de l'autre, comme dans l'expérience de Buffon précédemment citée (n° 5o). Quelle est cette cause permanente? Le calcul des probabilités nous en montre seulement la nécessité, et ne peut nous en indiquer la nature. Ce sont les lois de la mécanique qui nous font voir qu'elle doit être la supériorité du poids dans une des parties du corps projeté, sans nous apprendre toutefois, à raison de la complication du problème, à déterminer les effets d'une pareille cause, et la chance qu'elle donne à l'arrivée de chacune des deux faces, qui ne peut être connue que par l'expérience.
C'est par un semblable procédé que l'on pourrait constater, ainsi que Laplace l'a proposé (*) , l'existence ou la non-existence de certaines causes occultes, qui ne sont pas absolument impossibles à priori, et n'ont pas, non plus, le pouvoir de produire nécessairement les phénomènes auxquels elles se rapportent. Pour cela, il faudrait de longues séries d'épreuves, en écartant, autant qu'il serait possible, l'influence deg causes accidentelles, et tenant compte, avec exactitude, du nombre de fois qu'un phénomène a été observé et du nombre de fois qu'il n'a pas eu lieu : si le rapport du premier de ces nombres au second surpassait notablement l'unité, l'existence d'une cause quelconque et la chance qu'elle donne à la production de ce phénomène auraient une très grande probabilité.
Si deux joueurs A et B ont joué l'un contre l'autre un très grand nombre fe de parties, que A en ait gagné un nombre m, et que le rapport — excède \, d'une fraction qui ne soit pas très petite; l'existence
d'une cause favorable à A peut être regardée comme à peu près certaine. Lorsqu'aucun des deux joueurs n'a fait un avantage à l'autre, cette
cause est la supériorité de A sur B, dont le rapport — donne, pour ainsi
dire, la mesure. A un jeu de cartes, au piquet par exemple, le résultat de chaque partie ne peut dépendre que de la différence d'habileté des deux joueurs et de la distribution des cartes entre eux. Si aucun des deux n'a triché , cette distribution est l'effet du hasard; elle peut influer sur la proportion des nombres de parties gagnées par les deux joueurs, quand ces nombres sont peu considérables : c'est ce qu'on peut appeler le bonheur ou le malheur, pourvu que l'on n'attache pas 1 idée de l'un ou de l'autre aux personnes qui jouent; car il serait absurde de supposer qu'il y eût un rapport quelconque enlre ces personnes et les cartes que le seul hasard leur a distribuées : à chaque coup, celles qui sont échues à l'un des joueurs auraient pu également échoir à l'autre. Mais dans une série de parties suffisamment prolongée, il n'y a plus que la différence d'habileté des joueurs qui puisse
(i) Essai philosophique sur les probabilités , page i33.
influer sur les chances du jeu : à la longue, les joueurs habiles sont les seuls heureux, e( réciproquement. Si A et B joue..t de nouveau un très grand nombre ^' de parties, il y aura une grande probabilité que le nombre de celles que A gagnera, différera très peu du produit ^' ^. de sorte que si cela ne se vérifiait pas, on serait fondé à penser que dans lintervalle des deux séries de parties, la supériorité de A sur B aurait augmenté ou diminué.
