i = n' \/27rn , et par conséquent

\m / \n y V iTrmn '

pour la valeur approchée de U.

Il est facile d'en conclure que l'événement composé le plus probable, ou celui pour lequel cette valeur de U sera la plus grande, répondra au cas où le rapport des nombres ni et ii approchera le plus possible d'être égal au rapport des deux probabilités p et q. En effet, si l'on considère, au contraire, m et n comme des nombres donnés et p et ^ comme des variables dont la somme est l'unité , mais qui peuvent croître par degrés infiniment petits, depuis zéro jusqu'à l'unité, on trouvera, par la règle ordinaire, que le maximum

de U répond h p =z — et q = -. Mais vu le grand nombre des

autres événements composés,, moins probables que celui-là , sa probabilité sera néanmoins peu considérable et diminuera à mesure que le nombre (jl des épreuves, que l'on suppose très grand, augmentera encore davantage. Par exemple, si l'on a p = q =z-, et que pt. soit un nombre pair, l'événement composé le plus probable répondra à ;w z= 7î = - ; et d'après la formule (6), sa probabilité U aura

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i 79

pour valeur

V ■irfi

laquelle décroîtra, comme oa voit, ea raison inverse de la racine carrée du nombre /x. En prenant yu. = 100. on aura

en sorte qu'on pourra parier un peu plus de 92 contre 8 , que dans 100 épreuves, les événements contraires E et F, tous les deux également probables, n'arriveront pas néanmoins un même nombre de fois. Si l'on eût conservé le second terme de la formule (5) . cette der-

nière expression de U se trouvM'al^ multipliée par i — j- ; ce qui diminuerait U d'un 4oO' de sa valeur , dans le cas de^t =: 100.

(70). Non-seulement l'événement composé pour lequel les nombres m et n approchent, le plus d'être entre eux comme les fractions p et q, est toujours le plus probable, mais dans un nombre /t d'épreuves, donné et supposé très grand , les probabilités des autres événements composés ne commencent à décroître rapidement que quand le rapport — s'écarte de -, en plus ou en moins, au-delà d'une certaine limite dont l'étendue est en raison inverse de ^i*.

En effet, prenons encore pour exemple le cas de /» = ^ = -; soit

g une quantité donnée, positive ou négative, et moindre que \/f*> ^^^' traction faite du signe ; si nous faisons , dans la formule (6),

nous en déduirons

«=('-?) "(-^/'''(-^ifr'"V=S

i8o RECHERCHES

Or, si g est une fraction ou un nombre très petit par rapport à y^' ? on aura, par la formule du binôme (n° 8), à très peu près,

et en prenant sous le radical , iju au lieu de fi — g', il en résultera

V îr^K

pour la loi du décroissement de la (probabilité U, dans une petite étendue, de part et d'autre de son irmxîmum. En faisant, par exemple,

on en conclura que dans 200 épreuves , la probabilité que les événements E et F, dont les chances sont égales, auront lieu le premier )o5 fois et le second g5 fois, est à la probabilité qu'ils arriveront clia-

cun 100 fois, comme e 4 est à l'unité, ou à peu près, comme 5 est à 4. La formule (6) suppose que chacun des trois nombres fjL, m, n,

est très grand; cette condition étant remplie, et si le lapport —

s'écarte beaucoup de - , cette formule donne pour U une valeur très

petite i-elativement à son maximum; mais il est bon d'obsei'ver que si l'on suivait une autre méthode d'approximation, la valeur toujours très

petite de U que l'on trouverait , lorsque la différence ^ est une

très petite fraction, pourrait ne pas coïncider avec celle qui se déduit de la formule (6) , de telle sorte que le rapport de l'une de ces valeurs approchées à l'autre pourrait différer beaucoup de l'unité.

Pour le faire voir, j'observe qu'en vertu d'une formule qui se trouve

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i8i

dans l'un de mes mémoii'es sur les intégrales définies (*), on a

- / ■* cos'' X cos (/« — //) X dx :