fi l

.1.3 . . . m.i .1 .3. . . .n' jA"'

Quels que soient les nombres m et n, et leur somme ,u, on aur.i donc, d'après l'ëquation [5) ,

U = - / ' cos*" X cos [m — n) x dx,

dans le cas de/> = ^ = -, qu'il nous sufîira de considérer. Or, si fx. est un très grand nombre, et si, dans un calcul d'approximation, on le traite comme un nombre infini , le facteur cos ''x de dx sous le signe d'intégration , s'évanouira dès que la variable x aura une grandeur finie; et l'autre facteur cos {m — ' n) x ayant toujours une valeur finie, il s'ensuit qu'on pourra, sans altérer la valeur de l'intégrale, l'étendre seulement depuis or = o jusqu'à jr = a, en désignant par a une quantité infiniment petite et positive. Entre ces limites, on aura

cos a? = I x*. cos a: =r e a

et , par conséquent ,

cos {m — 7i) x dx.

■KJ 0

Mais actuellement, le facteur e ^ s'évanouissant pour toute valeur finie de j:, on peut aussi , sans altérer la valeur de cette nouvelle intégrale, l'étendre au-delà de J?= a, et si l'on veut jusqu'à jr = ce ; et comme on a , d'après une formule connue ,

/ e 2'"^ cos (m — n)xdx-= \/ — ^ ^

(*) Journal de V École Polytechnique , 19' cabier, page /(go.

i82 RECHERCHES

il en résultera

V TTU

g 3fA ■

Tfft

Cela posé, si l'on fait, comme plus haut,

m — nz=zgy/'^,

cette valeur de U coïncidera avec celle qui se déduit de la formule (6), seulement lorsque g sera un très petit nombre relativement à v//a; et pour d'autres valeurs de g-, le rapport de l'une à l'autre de ces deux valeurs de U différera beaucoup de l'unité , et pourra même devenir

un très grand nombre. En prenant, par exgmple , g= - \//(* ^^ m — nz=.~fjt,, la formule précédente donne

fT -8'' e

On déduit de la formule (6)

ou bien, à cause que le second facteur est à très peu près égal au troisième , il en résulte

«=(i)-'Vé- .

Or, ces deux valeurs de U s'accordent en ce sens qu'elles sont toutes deux très petites, et qu'elles montrent, en conséquence, que dans un très grand nombre jx d'épreuves, il y a une probabilité U extrêmement faible que les deux événements E et F, dont les chances sont égale^s,

arriveront des nombres de fois ^ /* et 7 /* , ou dont l'un sera triple

de l'autre. Mais si l'on divise la dernière valeur de U par la pre-

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i85

mière, on a

quantité qui croît indéfiniment avec;*, et surpasse déjà 800 pour ft =n 100.

(71). Supposons toujours les chances de E et F constantes, mais inconnues. On sait seulement que dans un nombre fx, ou m -\~ n d'épreuves, E et F sont arrivés m fois et n fois. On demande la probabilité que dans un nombre f/J ou m' -j- n' d'épreuves futures , E et F arriveront m' fois et ti' fois. En la représentant par U' ; désignant par P, le produit des i premiers nombres naturels , de sorte qu'on ait

et faisant , pour abréger ,

1 . 2 . 3 . . . . m' . 1 . 2 . 3 . . . . n' nous aurons ( n" 46 )

Quels que soient m' et «', si m et fi sont de très grands nombres, et que l'on réduise, comme plus haut, la formule (3) à son premier terme , nous aurons

27ni}

les valeurs des autres produits P„ + „,, P^^,, etc., se déduiront de celle de P„ en y mettant /i + w', ft+ 1 , etc., au lieu de «; et il en résultera

U' = HK (^+"'')'"'^'"'(>'4-^')"-^"(^-f ■)'"

i84 RECHERCHES

pour la valeur approchée de U', dans laquelle on a fait, pour abréger,

{m-^-7n')(n + n'){fc-hi) jr

mn{ft+fi'-{.j)

On peut aussi mettre cette expression de U' sous une autre forme : à cause de la grandeur de ^t, on a, à très peu près, par la formule du binôme,

et à cause de ju,' = m' + //, il en résulte

Si m et n' sont de très petits nombres par rapport à m et «, on aura, à très peu près,

soit par la formule du binôme (n° 8), soit par la considération des logarithmes; on aura également, à très peu près,

/m + m'Y" /mN,""' /n -f- n'\ /n\"'

et l'on pourra aussi remplacer le facteur K par l'unité dont il différera très peu. Par conséquent, nous aurons

et d'après la formule (5), nous voyons que cette expression de U' coïncide avec la probabilité que les événements E et F arriveront des nombres de fois m' et /?', dans un nombre d'cpreuves m' + n', lorsque les chances p et </ de E et F sont données à priori j et ont pour valeurs

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i85

certaines p = — et g = -. Dans le cas particulier de m'= i et n'= o ,

on a H = i et U'= — ; en sorte que la probabilité qu'un événement E

qui a eu lieu un nombre m de fois dans un très grand nombre ^ d épreuves, arrivera encore une fois dans une nouvelle épreuve, a pour valeur approchée le rapport de m à wj ce qui est conforme à la règle du n° 49»

Mais lorsque les nombres m' et n ont des grandeurs comparables à celles de m et n, la probabilité U' n'est plus la même que si les chances

de b et r étaient données a prion , et certamement égales a — et -.

Pour le faire voir par un exemple, je désigne par h un nombre entier, ou une fraction qui ne soit pas très petite, et je prends

m'=:mh, n'=nh, y!=^.h;

la quantité K est alors à très peu près égale à .■ ; et à cause de

iu. = m-j-n, la formule (7) se réduit à

En la comparant à la formule (5), et désignant par U, ce que devient celle-ci quand on y fait

et que l'on y met m' et n' au lieu de m et n, on en conclut

d'où il résulte que U' est moindre que U,, dans le rapport de l'unité à \/ï -\-h, et que, par conséquent, U' est une très faible probabilité, lorsque h est un très grand nombre.

Ainsi, il y a ime différence essentielle entre les probabilités /; et q des événements E et F, qui sont données par hypothèse, et leurs

i86 RECHERCHES

probabilités- et -, déduites des nombres de fols que E et F sont

arrivés dans un très grand nombre d'épreuves : la probabilité que E et F arriveront des nombres de fois donnée dans une autre série d'épreuves, est moindre dans le second cas que dans le premier; ditïérence qui tient à ce que les probabilités de E et F, conclues de l'observation, quelque grands que soient les nombres m et n sur lesquels elles sont fondées , ne sont cependant elles-mêmes que probables , tandis que les probabilités de E et F, données à priori^ ont des valeurs certaines. Si l'on sait, par exemple, qu'une urne A renferme des nombres égaux de boules blanches et de boules noires, il y aura une probabilité à très peu près égale à 0,07979 , comme on l'a vu plus haut, que dans 100 tirages successifs, et en remettant à chaque fois dans A la boule qui en est sortie, on amènera 5o boules de chaque couleur ; mais si la proportion des boules blanches et des boules noires contenues dans A n'est pas donnée, et que l'on sache seulement que dans 100 tirages il est arrivé 5o boules blanches et 5o boules noires, la probabilité que la même cho»e aura lieu dans 100 nouvelles épreuves ne sera plus que la fraction 0,07979, divisée par y/a , ou o,o5658 , en faisant h= 1 dans l'équation précédente.

(72). Pour donner un exemple du cas oii les chances des événements E et F varient pendant les épreuves, je suppose qu'une urne A contienne un nombre c de boules dont a boules blanches et b boules noires; qu'on en tire successivement un nombre fx de boules, sans remettre dans Aies boules qui en seront extraites; et j'appelle V la probabilité que dans f* tirages, on amènera, suivant un ordre quelconque, m boules blanches e\. n boules noires. D'après la formule du n° 18, en désignant par a' et b' les nombres de boules blanches et de boules noires qui resteront dans A après les tirages, et leur somme par c', de sorte qu'on ait

faisant, pour abréger,

et conservant la notation du numéro pre'cédent, nous aurons

Si a, b, m, n, sont de très grands nombres, les valeurs des six produits Pa, Pj, etc., seront données par la formule (5) j et en la réduisant à son premier terme, et observant qu'on a

fA, = m -^ n, c z=i a -\- h,

on en conclura

^=«'©'0'("ro"V

ah ,ft

mn.c'

pour la valeur approcliée de V; laquelle est exacte et égale à l'unité, dans le cas où l'on a

m zr: a , n = h , fji, = c,

et où l'on doit prendre, en conséquence , l'unité pour le facteur H' : elle exprime alors la probabilité que dans un nombre c d'épreuves, on tirera de A, les a boules blanches et les b boules noires que cette urne contenait; ce qui est la certitude.

Dans le cas où les nombres m et n sont entre eux comme aet b, on a aussi

et si l'on fait

l'expression de V devient

c fc'

En la comparant à la formule (5), et désignant par V la probabilité que * deux événements dont les chances seraient constantes et égales aux