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pour la probabilité que le premier des événements E, F, G, arrivera m fois, le second n fois, le troisième o fois. On aura, en même temps,

P -i- q + r z= 1, 7« + 7i + o = /ti;

et la probabilité dont il s'agit sera le terme général du développement du trinôme p -\- q -{- r élevé à la puissance ^.

Ce cas est celui d'une urne qui renfermerait des boules de trois couleurs différentes, dans les proportions marquées par les fractions /), q, r, et où les événements E , F, G, seraient les extractions de ces trois sortes de boules, en remettant à chaque fois dans l'urne la boule qui en est sortie.

En prenant dans le développement de(p -{- q-^- r)'" , la somme des termes qui renferment une puissance de /?, égale ou supérieure à m, on aura la probabilité que E arrivera au moins un nombre m de fois dans un nombre /* d'épreuves. Quel que soit le nombre des événements E , F, G , etc. , parmi lesquels un seul arrivera à chaque épreuve , on peut aussi déduire immédiatement cette probabilité, de l'expression précédente de P. En effet, représentons toujours par p, q, r, etc., les chances constantes de E, F, G, etc.; à chaque épreuve, l'arrivée (de l'un ou l'autre des événements E, F, G, etc., peut être considérée

comme un événemenl composé, que j'appellerai F'; en désignant par q' sa probabilité, on aura

7' = 7 + '■ + etc. , p -\- q' = \',

E et F' seront alors deux événements contraires, dont un seul aura lieu à chaque épreuve; par conséquent, la probabilité que E arrivera au moins m fois, dans une série de fx, épreuves, s'obtiendra en mettant ç' au lieu de q dans l'expression de P.

Pour donner un exemple de cette règle fondée sur le développement delà puissance d'un polynôme, je suppose qu'une urne A re*iferme un nombre m de boules portant les n*" i , 2, 3, ... m; on tire [/. fois de suite une boule de cette urne , en y remettant à chaque fois la boule sortie; la chance, à chaque tirage, de l'arrivée d'une boule portant un numéro déterminé , est la même pour toutes les boules ,

constante pendant les épreuves, et égale à — j cela étant, désignons

par ?^, «., 7ii,... n„, des nombres donnés qui peuvent être zéro, égaux, inégaux, pourvu qu'on ait toujours

et soit U la probabilité qu'on amènera, dans un ordre quelconque, «, fois le n° I , n, fois le n° 2,. . .n„ fois le n° /n : si l'on fait

et que l'on développe 6 suivant les puissances et les produits des indéterminées i, , t^, <3,... t^, la valeur de Usera le ternie de ce

développement , contenant le produit i. ' /, * #3 ^ . . . ^„ ", dans lequel on fera toutes ces indéterminées égales à — . En représentant par N le coefficient numérique de ce produit , nous aurons donc

m'* N étant un nombre entier, qui dépendra de /* et des nombres «,, «,,

n,, «„, savoir,

i.2.3...n, .i.2.3...na...i.2.3.

où l'on prendra l'unité pour le produit i.2.3. . .n,, quand n, sera zéro, et de même pour chacun des produits semblables.

Cela posé, soit s la somme des numéros sortis dans les (/, tirages , on aura

s z=. n^ -{- 21}^ + 3«3 + . . . + mn,„.

Par conséquent, si s est un nombre donné; que l'on prenne successivement pour n, , u^, n^,. . . Ji„, tous les nombres entiers ou zéro qui satisfont à cette équation et dont la somme est égale à //.; et que l'on désigne par N', N", N'", etc., les valeurs correspondantes de N, et par V la somme de celles de U, il en l'ésultera

V = — (N' H- N' + N"'+ etc.),

pour la probabilité d'avoir, dans un nombre ^ de tirages, une somme de numéros donnée et égale à s.

On calculera plus aisément la valeur de V en changeant dans 6 les indéterminées t,, t^, U,... t^, dans les puissances t, t*, t^ . . . r, d'une même quantité t : si l'on désigne par T ce que G deviendra , on aura

et il est aisé de voir que la somme N'+N"+N"'-|-etc. ne sera autre chose que le coellicient numérique de ;!' dans le développement de T; par conséquent , si l'on représente ce coefficient par M, , il en résultera

Ce coefficient M, dépendra des nombres donnés fÂ,,m, s , el s'obtiendra facilement dans chaque exemple.

Au lieu d'une seule urne V, on peut supposeï' qu'on ait un nombre /A d'urnes A„ A^, Aj,. . .A^, dont chacune contienne m boules numérotées i, 2, 5,... m, et tirer en même temps une boule de chacune de ces urnes. On peut aussi i-emplacer ces urnes par un pareil nombre de dés : s'il s'agit de dés ordinaires, à six faces, portant les n" 1, 2, 5, 4? 5, 6, ou aura m = 6, et V exprimera la probabilité qu'en projetant simultanément un nombre ^tt de dés , on amènera une

somme de numéros e'gale à s. Soit, par exemple, f/. = 3. et conséquemment

T = ^3(i +« + «*+ ^3 |. ^4 -\.'ty, ^ = h ^''

L e développement de T se composera de seize termes ; les coefficients des termes également éloignés des extrêmes, tels que M3 et M,8. M^ et M,;, . . .M.oetM,,, seront égaux; la somme de tous les coeflicientsaura pour valeur celle de Tqui répond at=zj. ou 6'; la somme des huit premiers coefficients M3 , M^ . . . , M,, , sera égale à i 6^ ainsi que la somme des huit derniers M„. M„. . . M,,; d'où l'on conclut qu'en projetant trois désala fois, la probabilité d'amener 10 ou un nombre moindre est \, comme celle d'amener 11 ou un nombre plus grand; en sorte qu'o n peut parier à jeu égal, ou un contre un. que la somme des trois numéros qui arriveront passera ou ne passera pas le nombre dix. C'est sur ce résultat qu'est fondé le jeu qu'on appelle \e passe-dix. Sans le secours d'aucun calcul, on s'assure aisément de l'égalité de chance de chacun des deux joueurs, en observant que chaque couple de faces opposées d'un même dé , porte les numéros dont la somme est sept, tels que un et six, deux et cinq, trois et quatre. Il s'ensuit alors, que quand les trois (feV tombent sur le tapis ^ la somme des trois numéros supérieurs, jointe à celle des trois numéros inférieurs, forme toujours le nombre 21; par conséquent, si la première somme est au-dessus de dix. la seconde sera au-dessous et réciproquement. Les deux joueurs sont donc dans le même cas que si l'un pariait que ce sont les numéros supérieurs qui passeront dix, et l'autre que ce sont les numéros inférieurs. Or, il est évident que les chances de ces deux événements seront égales; car quels que soient les trois numéros qui arriveront au-dessus et ceux qui arriveront au-dessous, l'événement contraire, c'està-dire l'arrivée de ceux-ci au-dessus et de ceux-là au-dessous, sera également possible. Mais pour connaître les chances des diverses valeurs de s , depuis s = 5 jusqu'à s=: 18 , il est nécessaire de recourir au développement de T. On trouve , en l'effectuant

M3 = M„ = i, M,=M„=3, M,z=M,s=6, Me=M,5='o, M, = M„=i5, M8=M,3=2i. Mg=M„=25, M,.=M.,= 27,

6o RECHERCHES

pour les nombres des combinaisons de trois nume'ros qui peuvent amener les sommes 3 ou i8, 4 ou i'j,...ïo ou 1 1 : en les divisant par 6' ou 216, on aura les chances de ces diverses sommes.

(18). Lorsque la chance de 1 événement E varie pendant la dure'e des épreuves, la probabilité de sa répétition un nombre de fois donné, dépend de la loi de cette variation. Supposons, comme dans le n° g, que E soit l'extraction d'une boule blanche, tirée d'une urne A qui contient des boules de cette couleur et des boules noires, et dans laquelle on ne remet pas la boule sortie à chaque tirage. Soient a et h les nombres de boules blanches et de boules noires que A renfermait avant les épreuves, ^t le nombre des tirages, eifsrXa. probabilité qu'il sortira m boules blanches et. n boules noires, dans un ordre déterminé; la valeur de /zù sera donnée par la formule du numéro cité; et cette valeur étant indépendante de l'ordre suivant lequel les boules des deux couleurs se succéderont, si nous désignons par n la probabilité qu'elles arriveront dans un ordre quelconque , nous aurons

n = K-jsr;

K étant le même nombre que dans le n° 14 5 et en faisant toujours

in-\-n = lÂ, a -j- b ^c.

Faisons aussi

en sorte que a', b', c', soient ce que deviennent, après les tirages, les nombres de boules des deux couleurs et leur somme, qui étaient primitivement a, b, c. En ayant égard aux expressions de K et de '-ûr, celle de n pourra s'écrire ainsi

„ i.2.3...jK.i.2.3...a.i.2.3...6.i.2.3...c'

ce qui permettra d'étendre facilement cette expression au cas où A renfermerait des boules de trois ou d'un plus grand nombre de couleurs différentes.

SUR LA PROBABILITE DES JUGEMENTS. 6i

En supprimant des facteurs communs au numérateur et au dénominateur, cette formule devient plus simplement (*)

J-. ft.fi — \.fi — 2....ft — n-\-i a. a — i.a — i...a — m-\-i.b.b — l.b — i....b — n-\-i