n ' ce — i ,c — 2...C

La probabilité que sur le nombre /* de tirages il sortira de A au moins m boules blanches , sera la somme des n + i valeurs de n que l'on

(*) Après les f< tirages qui ont amené m boules blanches et «noires, lâchante d'amener une blanche dans un nouveau tirage, de'pend de ces nombres m et n, et est

égale à — . Mais pour une personne qui saurait seulement qu'on a tiré de l'urne un

nombre (t de boules, et qui ignorerait la proportion des blanches et des noires qui en sont sorties, la probabilité de l'arrivée d'une boule blanche, dans un nou-

veau tirage, serait très différente de cette chance — ; et d'après une note que vient de m'adresser M. Emile Mondésir, ancien élève de l'École Polytechnique, la probabilité dont il s'agit est indépendante des nombres m et u , et égale à ,- comme

avant les tirages.

Pour vérifier cette proposition sur un exemple, supposons qu'on ait

Relativement aux nombres m et n, il y aura trois cas possibles, mais inégalement probables, savoir m =2 et n=o, m = i et n =; I, r7z = o et « = 2. Les probabilités de ces trois cas différents, déduites de l'expression de n, seront respec-

2^1 tivement -, -, -; dans ces mêmes cas , les chances de l'arrivée d'une blanche

dans un tirage subséquent, auront pour valeurs ^, ■=, ï; d'après les règles des

n°' 5 et 10, la probabilité complète de l'extraction d'une boule blanche, sera donc

la somme des produits de - et •=, - et =, - et ^: laquelle somme est effeclive-

ment égale à -, ou à - . Je renverrai, pour la démonstration générale, à la note de 7 c

M. Mondésir, qu'il se propose d'insérer dans le journal de M. Liouville.

La proposition est évidente quand on a. a^b; car dans ce cas, pour une personne qui ne connaît pas les boules extraites de l'urne, il n'y a pas plus de raison de croire, après comme avant cette extraction, à l'arrivée d'une boule blanche qu'à

obtient , eu mettant successivement au lieu de m et « dans cette dernière formule , f/, et zéro , jx — i et i , /a — 2 et 2 , . . . fi — ra et «. En désignant cette probabilité par P, nous aurons, de cette manière,

P.c.c — i.c — 2...C — /A+ 1 = a.a — \.a — 2... a — A*+ • -\- fxb.a.a — i .a — 2. ..a — /a+2