b.b — i.rt. a — 1 .a — 2. . .a — /tA

b.b — \..b — 2.fl.a — \.a — 7.... a — ft-|-4

C-i Cr 1 j: — .b .b-\...b-n-\-\ .a.a.-\...a-m-\-\. I .2.3. . .n

Dans le cas de m = o et ra = yu, , on devra avoir P = 1 ; on en conclut donc

ce— \.c — 2...C — At+ I =a.a — i.a — 2...rt— a^H-i ■i- (^.b.a.a — i .a — 2. . .a — fi -|- 2

i.è — i.a.a — i.rt — 2...« — jM-f- 3

^.^ — i -fi — 2 1.2.3

+ l^.b.b-^ \.b — 2. . .b — ft-f-2.a ~\- b.b — 1 .b — 2. . .b — /x-f-i;

celle d'une boule noire; et par conse'quent, la probabilité d'amener une boule blanche, reste toujours e'gale à | . On peut aussi remarquer que cette proposition s'accorde, dans le cas où les nombres a et i sont infinis, avec uneautre qui sera démontrée dans la suite de cet ouvrage, et suivant laquelle il est certain que les nombres m et n seront entre eux comme aet b; alors, on est donc assuré que les nombres a'et 6', des boules restantes dans l'urne sont encore entre eux comme aet 6; en sorte que la chance et la probabilité de l'arrivée d'une nouvelle boule blanche, ne sont

plus distinctes l'une de l'autre, et ont pour valeur le rapport -7 égal à -.

ce qni coïncide avec une formule connue et analogue à celle du binôme. Dans cette formule et dans toutes celles de ce genre, chaque quantité telle que a. a — i .a — 2... a — m -\- i ; est un produit de m facteurs pour lequel on doit prendre l'unité quand m = o; d'où il résulte que cette formule ne convient pas au cas de ;* = o j exception qui a lieu également pour la formule du binôme appliquée à la puissance zéro.

(19). Au lieu de faire ^ tirages successifs sans remettre les boules sorties de A, il est évident que la probabilité d'amener m boules blanches et ti boules noires serait encore la même, si l'on tirait en une seule fois m-{- n ou u boules de cette urne. C'est effectivement ce qu'on peut vérifier de la manière suivante.

Je désigne généralement par G^ le nombre de groupes composés chacun de /-t boules , que l'on peut formef avec les c boules contenues dans A. On aura

„ ce I.C 2. . .c (W -4- '

^f — rTa.s...^ ■

En effet, pour former tous ces groupes au moyen de ceux de /^ — i boules, il faudra combiner chacun de ceux-ci avec les c — j" + i boules qu'il ne contient pas; ce qui donnerait un nombre (c — ;a-j-i)G^i de groupes de (* boules; mais comme il y a un nombre ju de groupes de fÀ. — I boules qui donnent un même groupe de f/. boules; on devra diviser ce produit (c — /j. -{- i ) G^ , par ,« pour avoir le nombre de groupes différents, composés de fx boules. On aura donc

or, pour (ti= I, on a évidemment G, =c; si donc on fait successivement iW = 2, =5, =4, etc., il en résultera

ce — I .c - 1.2.3

ce — I .c ■

et enfin l'expression de G^ qu'il s'agissait de démontrer.

En représentant ce que devient G„ par G'„, lorsqu'on y change c et f/. en a et m, et part G"„, quand on y fait le changement de c et /* en b et ti , nous aurons de même

Le produit de G'„ et G"„ sera le nombre de groupes de m-f-" ou ^ boules que l'on peut former avec les a + ^ ou c boules contenues dans A, et dont chacun renfermera m boules blanches et n boules noires; la probabilité d'amener un de ces groupes en tirant à la fois ;tt boules de l'urne A , est d'ailleurs égale à leur nombre divisé par celui de tous les groupes de yit boules que A renferme , c'est-à-dire à ce prodTiit G'mG*„, divisé par G^j en la désignant par n, on aura donc

j-| G mG"„

Ofi

ce qui coïncide avec la valeur de fl du numéro précédent. L'expression de P du même numéro est aussi la probabilité d'amener au moins m boules blanches en tirant à la fois fx, boules de l'urne A.

(20). Dans l'exemple de ce n° 18, la chance de l'événement E variait pendant les épreuves, parce qu'à chaque nouvelle épreuve, elle dépendait des nombres de fois que E et l'événement contraire F avaient eu lieu précédemment; mais il y a d'autres questions dans lesquelles ces deux événements , d'une nature quelconque , ont des chances propres, indépendantes à chaque épreuve, de ce qui est ari'îvé jusque là, et qui varient d'une épreuve à une autre.

Généralement, dans une série de [x épreuves que l'on va faire ou qui ont eu lieu, soient /?. et ^, les chances de E et F à la première épreuve^ p^ et q^ à la seconde. ... /j^ et j^ à la dernière, de sorte qu'on ait

Pour obtenir la probabilité que E arrivera ou est arrivé un nombre m (le fois et F un nombre ti ou ix — m, dans un ordre quelconque, je désigne par P„ le produit d'un nombre m des fractions/?,, p^. p^,. . .p^, et par Q» celui d'un nombre n des fractions ^, , q^, ([3,. . . .q^, qui n'entrent dans aucune des équations précédentes, avec l'une des fractions comprises dans P„, , de manière que si P^ renferme la fraction quelconque p,, la fraction correspondante q, n'entrera pas dansQ„, et que si P„, ne contient pas p^, la fraction (jr, entrei'a dans Q^. Je multiplie ensuite ces deux produits P„ et Q, l'un par l'autre, puis je fais la somme de toutes les quantités possibles PmQ, , ainsi formées, et dont le nombre sera celui que l'on a désigné par K dans le n" j4 •' cette somme exprimera la probabilité demandée.

On peut énoncer cette règle d'une autre manière qui nous sera utile dans la suite.

Soient u et v deux quantités indéterminées; faisons

R = {up, + vq, ) (up, + f<7 J ( up3 + 1-73) ( "P^ + ^'(Jm ) »

de manière que R exprime un produit de fJt, ou m-\-n facteurs. Si l'on effectue ce produit, on aura un polynôme de ,a-f- 1 termes, ordonné suivant les puissances de u et de v. Or, le coefficient de u^i'" dans ce polynôme sera la probabilité que nous considérons, de l'arrivée m fois de E et n fois de F, dans un ordre quelconque. Prenons , par exemple, mz=.ô. Nous aurons

R = ii^P^P^Pz + u^'v (p,p,q3+p,p3<'lc. ■+■ P.M' )

Le coefficient de 11^ est évidemment la probabilité de l'arrivée de trois fois E; le coefficient de u'v est celle de l'arrivée de deux fois E et une fois F, ce qui peut avoir -lieu parce que E arrive aux deux premières épreuves et F à la dernière, F à la seconde épreuve et E aux deux autres, F à la première épreuve et E aux deux dernières ; le coefficient de uv* exprime de même la probabilité de l'arrivée de deux fois F et d'une fois E; enfin, celui de i'^ est évidemment la probabilité de l'arrivée de trois fois F.

Si à chaque épreuve, E peut avoir lieu de plusieurs manières également possibles, on prendra pour la chance de E à cette épreuve, con-