VV

-.Dtgitizefi ûjfGoggle "

ia4 RECHERCHES

soit par celle de l'événement contraire , qui sont toutes deux également probables.

En comparant f ou £ (i -f- £), à la probabilité £(i -f- /•) de la

similitude, que nous avons trouvée dans le n* 27 , on aura ef t= —

Lors donc qu’à priori nous n’avons aucune donnée sur la chance d’un événement G, de sorte que nous puissions supposer également à x toutes les valeurs possibles , la probabilité de la similitude dans deux épreuves consécutives, est la même que s’il y avait, entre les

chances de G et de l’événement contraire, une différence -4=, sans

que l’on connût la chance la plus favorable. Nous déterminerons tout à l’heure la probabilité de la similitude dans les cas où l’on sait à priori que toutes les valeurs possibles de x, au lieu d’être également possibles, s’écartent très probablement fort peu d’une fraction connue ou inconnue.

(46). Maintenant, l’événement simple dont la chance est inconnue, étant toujours désigné par G , appelons H l’évéuement contraire dont la chance sera l’unité diminuée de celle de G, et supposons : 1 ' , que l’événement observé E soit l’arrivée de G un nombre m de fois et de H un nombre n de fois , dans un ordre quelconque; a*, que l’événement futur E' soit l’arrivée de G un nombre m ' de fois et de H un nombre n' de fois, aussi dans un ordre quelconque. t

Pour la valeur x de la chance de G et 1 — x de celle de H , les probabilités X et X' de E et E' seront (n* 1 4)

X = Kx- (1 — x)*, TL'z=K'x~'{i — x/;

K et K' désignant des nombres indépendants de x. On aura donc

K' f' Yx" + *'(i— x) ,+ *'àx - ' J 0

• J Yx“ (1 — x)'dx

pour la probabilité de E' après l’observation de E. Le nombre K a disparu de cette formule; la valeur qu’on y mettra pour K', sera

i .3.3. .. m' . i .3.3. . . ri’’

Si E' était l’arrivée de m' et n' événements G et H dans un ordre déterminé , il faudrait remplacer K' par l’unité.

Lorsque avant l'observation de E, on n’aura aucune raison de croire aucune des valeurs de x plus probable qu’une autre, on prendra l’unité pour la quantité Y. Au moyen de l’intégration par partie, on a d’ailleurs

— X)c1x m j , , m -|- 2 , m + 3. ..m + n.m-fn+i ’

ou , plus simplement ,

/ , pp

( •**(» — x)*dx = » .) ;ïa. .'.j.ÿi-

' a . ’» IV, k,:i. >»iJ

en faisant, pour abréger, ,.v . ,

i.a.3... i — î.rsPi,

»'• • '• -• ~'U : f f , «■:. >Y - :: ...•Kw s W» 5 m Vi**

pour un nombre quelconque i. On aura de même

r*— ' (i - x'r“dx= p ^ p tr . ;

et à cause de * ^

il en résultera, dans le cas dont il sagit, ; ^ ... (

vf* 4, < ' , • , ¥ \ ' * - ’v*

Aûn que cette formule comprenne les cas où l’un des nombres m , n, m', n', est zéro , il y faudra faire P. = i . Cela étant , si l’on a n =o et n' = o, on aura simplement

n6 RECHERCHES

ce qui exprimera la probabilité que G arrivera m' fois sans interruption , après être déjà arrivé m fois sans que Févénement contraire H ait eu lieu.

Pour m' = i et ri = o, la valeur de <ar' relative à Y = 1 , se ré* du ira à

et pour m' = o et n' = i , elle devient

'x ss — : — .

La somme de ces deux fractions est l’unité; ce qui doit être effectivement, puisque la première exprime la probabilité qa’après m -f- n épreuves, G arrivera à l’épreuve suivante, et la seconde la probabilité que cet événement n’arrivera pas. La première est plus grande ou moindre que la seconde, selon qu’on a m>n ou m<n, c'est-à-dire . selon que dans les m -f- n premières épreuves, G est arrivé plus souvent ou moins souvent que l’événement contraire H ; elles sont égales entre elles et à comme avant les épreuves, quand ces deux événements ont eu lieu le même nombre de fois. Mais il n’en sera plus de mente, en général, lorsque l'on sanra à priori , soit par la nature de l’événement G, soit par le résultat d’épreuves antérieures à l’événement E, que les valeurs de la chance inconnue de G ne sont pas tontes également probables, de telle sorte que l’on n’ait pas Y = 1 : non-seulement dans ce cas , la fraction y du numéro précédent que l'on devra prendre pour la chance de G avant les m 4- n nouvelles épreuves ne sera point;, mais à l’épreuve suivante, la probabilité de G pourra être moindre que y , quoique G soit arrivé plus souvent que . l’événement contraire H, ou plus grande, quoique ce soit G qui aura eu lien le moindre nombre de fois; c’est ce que l’on verra dans ,

l’exemple suivant. • ’

(47). Je suppose qu’il soit très probable, à priori, que la chance de G s’écarte fort peu , en plus ou eu moins , d’une certaine fraction /•, de sorte qu’eri faisant t . * , '

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. irf

la quantité Y soit une fonction de z, qui n'a de valeurs sensibles que pour de très petites valeurs de cette variable, positives ou négatives. La courbe plane dont x et Y sont les coordonnées courantes, ne s’écartera sensiblement de l’axe des abscisses x, que dans un très petit intervalle, de part et d’autre de l’ordonnée qui répond à x = r; le centre de gravité de l’aire de cette course tombera donc dans cet intervalle; par conséquent l'abscisse de ce point différera très peu de r; et en négligeant cette différence, r sera la valeur de la quantité y du n* 45.

Cela posé, les limites des intégrales relatives à z seront les valeurs s = — i ct s = 1 — r , qui répondent à x — o et x = 1 ; si donc on fait ni' = 1 , n! = o, dx = dz , dans la première expression de <sr' du numéro précédent, il en résultera

»t» kqfUitt'i f{ J<j t»| àtiA 1

■Tïï' =

•J** *A StflfesST* w

f r 'Y *-*- 1 ( 1 —xfdz f' ' Yx"(i — xY<k

dYlr.

pour la probabilité que G arrivera une fois, après avoir eu lieu m fois, et l’événemènt contraire n fois, dans m -f- n épreuves. Mais, par la nature du facteur Y compris sous les signes f, ou peut , si l’on veut , borner ces intégrales à des valeurs très petites de 2. Alors, en développant les autres facteurs en séries ordonnées suivant les puissances de s; ces séries seront généralement très convergentes : il n’y aurait d’exception que si rou 1 — rélait aussi une très petite fraction; dans tout autre cas, il 1 nous suffira d’en conserver les premiers termes ; et en négligeant le carré de a, nous aurons

. -éuof al nshtoiti ai a .

d’où l’on déduira, lifvaleur de x**' 1 (1 x)*, en y mettant m -f- 1

,b heu dé m. ’

, Je substitue ces valeurs de x" (t — xf et de se**’ (1 — x}* dans l'expression de j’observe que l’on a

f' r Xdz = 1 , f' ' \idz = o ; \ .

et je fais, pour abréger,

f'~'Yz'ds=zk.

En négligeant le carré de h, qui ne pourra être qu’une très petite fraction, il vient

ce qui montre que la probabilité <w’ de l’arrivée de G après les wi-j-n épreuves, est plus petite ou plus grande que la fraction r ou y , que l'on aurait dû prendre pour la chance de G avant ces épreuves : plus

grande, quand ™ surpasse p-2— j plus petite, dans le cas contraire.

S’il était certain quer fût la chance de G, et que m et n fussent de grands nombres, G et H seraient très probablement arrivés proportionnellement à leurs chances respectives r et 1 — r, et l’égalité des rapports ™ et rendrait la probabilité <ar' égale à la chance r , comme cela devrait être.

(48). En faisant m = 1 et n = o dans la valeur précédente de «•', il vient

pour la probabilité que G ayant eu lieu dans une première épreuve, arrivera encore dans la suivante ; et comme r était la probabilité de l’arrivée de cet événement à la première épreuve, le produit de r et de <ar', on r* + h, exprimera la probabilité de sa répétition dans les deux. épreuves. En y mettant *1 — r à place de r, on aura (t — r)*-f-û pour la probabilité de la répétition de l’événement contraire ; et si l’on ajoute cette quantité à r* •+• h , il en résultera '

1 — - ar -f- ar* + 2k, '

pour la probabilité de la similitude des résultats dans tes deux épreuves. . * . . ,

Digitizëd by Goôgle

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. • ia g

Si l’on fait m = o et n — i dans la valeur de ‘sr , du numéro précédent, on aura

pour la probabilité que G n’ayant pas eu lieu à la première épreuve, ce sera cet événement qui arrivera à la seconde ; le produit r ( 1 — r) — h de cette valeur de et de i — r, exprimera donc la probabilité de la succession des deux événements contraires G et H; et en la doublant, on aura

ir — ar* — a h,

pour la probabilité de la dissimilitude des résultats dans les deux épreuves, (jue l’on déduit aussi de celle de la similitude, en retranchant celle-ci de l’unité.

L’excès de la probabilité de la similitude sur celle de la dissimilitude sera donc

où l’on voit que cet excès se trouve augmenté par la circonstance que r n’est pas précisément la chance de G, et que l’on sait seulement que cette chance s’écarte très peu de r; de telle sorte que si l’on savait aussi que r fût £, il y aurait encore de l’avantage à parier un contre un pour la similitude. C’est ce qni a lieu au jeu de croix et pile où l’on emploie une pièce de monnaie pour la première fois : l’égalité de chance pour les deux faces de cette pièce est physiquement impossible ; mais d’après le mode de sa fabrication , il est très probable que la chance de chaque face s’écarte très peu de

(49). Je vais énoncer dès à présent un théorème dont la démonstration sera donnée dans le chapitre suivant, et qui servira à déterminer, par l’expérience, non pas avec certitude et rigoureusement, la chance d’un événement, mais avec une très grande probabilité, une valeur de cette chance , aussi très approchée.

Soit g la chance connue ou inconnue d’un événement G, c’est-àdire lç rapport du nombre de cas favorables à cet événement et éga-

iJo - RECHERCHES

leraent possibles, aa nombre de tous les cas qui peuvent avoir lieu et sont aussi également possibles. Supposons que l’on fasse un nombre H d’épreuves, pendant lesquelles cette chance propre de G et distincte de sa probabilité (n* i), demeurera constante. Soit r le rapport du nombre de fois que G arrivera dans cette série d’épreuves , à leur nombre total fx.. Tant que fx ne sera pas très considérable, le rapport r variera avec /x., et pourra différer beaucoup de g , en plus ou en moins; mais quand fx, sera devenu un grand nombre , la différence r — g diminuera de plus en plus, abstraction faite du signe , à mesure que p augmentera encore davantage; de telle sorte que si /x. pouvait devenir infini, on aurait rigoureusement r — g = o, et qu’en désignant par c une fraction aussi petite qu’on voudra, on pourra toujours atteindre un nombre u. assez grand pour que la probabilité de r — g moindre que *, approche autant qu’on voudra de la certitude. Nous donnerons par la suite l’expression de la ^probabilité de r — g < «, en fonction de /x et de e.

Ainsi l'urne A renfermant a boules blanches et b boules noires; si l’on en extrait successivement un très grand nombre \x. de boules , en remettant dans A la boule extraite à chaque fois, et si dans ce nombre de boules extraites , a est celui des boules blanches et 6 le nombre des boules noires, on aura '

et a C b m a * .

avec d’autant plus d’exactitude et de probabilité que /x., ou a -f- £ , .

sera un plus grand nombre. Réciproquement, si le rapport du nom-

bre de boules blauchesau nombre de boules noires contenues dans A, est inconnu, et que dans un très grand nombre d’épreuves pendant Lesquelles ce rapport n’ait pas varié, il soit sorti de cette urne, a boules blanches et S boules noires, on pourra prendre, avec une très grande probabilité , pour les valeurs approchées de ce rapport inconnu et de la chance inconnue de l’extraction d’une boule blanche,

les quantités £ et q ue * que soit d’ailleurs le nombre de boules

contenues dans A. Toutefois, on doit remarquer que si le nombre de boules blanches «que cette urne renferme, est très petit par rapport au

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. . iïr ao nombre b de boules noires, a. sera aussi très petit par rapport à S, et réciproquement ; mais le rapport de l’une des fractions | et ^ à l’autre, pourra différer beaucoup de l'unité, à moins que la série des épreuves n’ait été poussée excessivement loin : quand la chance connue ou inconnue de l’extraction d’nne boule blanche est très faible , l’équation approchée £ sa | signifie seulement que “et° sont l’une et l'autre de très petites fractions.

La règle que l’on vient d’énoncer convient également aux chances de diverses causes, qui s’excluent mutuellement et auxquelles on peut attribuer un événement E, observé un très 'grand nombre de fois. Si y est la chance connue ou inconnue de l’une de ces causes C, le

rapport | y sera, avec une grande approximation et une grande

probabilité , celui du nombre de fois qne E est effectivement arrivé en vertu de C ; au nombre de fois qu’il aura été produit par toute autre Cause; ce qui fera connaître le rapport de ces deux nombres, quand la chance y sera connue à priori, ou la valeur de cette chance, si l'on parvenait à déterminer ce rapport par l'expérience.

L’événement E étant, par exemple, la sortie d’une boule blanche qui a pu être extraite d’une urne A contenant a boules blanches et a' boules noires, ou d’une urne B renfermant b boules blanches et b' boules noires; la chance y de A, d’avoir été la. cause de E ou l’urne d'où l’on a extrait la boule blanche, a pour valeur, d’après la règle du n* a8,

et la chance contraire, on celle qui se rapporte à B, est de même

Or, si l’on a tiré un très grand nombre m de bonles blanches, de l’une ou de l’autre des deux urnes , en remettant à chaque épreuve , dans l’urne dont elle est sortie, la boule blanche ou noire. qui en a été extraite , le rapport du nombre de boules blanches sorties de A à celui

' i3a . RECHERCHES

des boules blanches extraites de B, s’écartera très probablement fort peu du rapport de y à i — y ; de sorte qu’en appelant f le premier de ces deux rapports , on pourra prendre

Cette valeur de p se réduit à | , lorsque les nombres a -4- a' et b -4- b'

de boules blanches ou noires, sont égaux dans A et dans B. Dans ce cas, on peut réunir toutes ces boules dans une même urne D (n* to), sans changer le rapport du nombre de boules blanches provenant de A au nombre de boules blanches provenant de B, qui seront extraites de D : sur une très grande quantité de boules de cette couleur, le premier de ces deux nombres sera donc à très peu près au second , comme a est à b ; ainsi qu’on pourrait le vérifier en faisant une marque particulière aux boules provenant de A ou de B, et remettant après chaque tirage dans D, la boule blanche ou noire qui en aura été extraite.

(5o). On trouve dans les œuvres de BufTon (*) les résultats numériques d’une expérience sur le jeu de croix et pile , qui nous fourniront un exemple et une vérification de la règle précédente.

A ce jeu , la cbance d’amener l’une ou l’autre des deux faces de la pièce dépend de sa constitution physique qui ne nous est pas bien connue; et quand bien même nous la connaîtrions, ce serait un problème de mécanique que personne ne pourrait résoudre, d’en conclure la chance de croix on de pile. C’est donc de l’expérience que la valeur approchée de cette chance doit être déduite pour chaque pièce en particulier; de sorte que si dans un très grand nombre u d’épreuves,

croix est arrivée un nombre m de fois, le rapport — devra être pris pour

la chance de croix. Ce sera aussi la probabilité ou la raison de croire que cette face arrivera dans une nouvelle épreuve faite avec la même pièce ; et , d’après le résultat de cette série d’épreuves , on

(*) Arithmétique morale , article XVIII.

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i33 pourra parier à jeu égal, m contre p. — m pour l’arrivée de croix. C’est aussi au moyen de cette prohabilité — de l’événement simple que l’on

devra calculer les probabilités des événements composés ,' du moins quand elles ne seront pas très faibles par la nature de ces événements.

Cela étant, supposons que l’on ait fait un très grand nombre m de séries d’épreuves, en continuant chaque série, comme dans l’expérience citée, jusqu’à ce que croix ait eu lieu. Soient a , , a,, a„ etc., les nombres de fois que croix estarrivée au premier coup, au deuxième, au troisième , etc. Le nombre total p. des coups ou des épreuves , sera

p = a, -f. 2 a, -f- 3a, -f- etc. ; • le nombre m des arrivées de croix sera , en même temps , m =: a, a, -j- «j + etc. ; et si l’on appelle p la chance de cette face , on aura

avec d’autant plus d’approximation et d’exactitude que p sera un plus grand nombre. ' • . , , , ,

Les probabilités de croix .au premier coup, au deuxième coup 1 sans avoir eu lieu au premier, au troisième coup sans être arrivée aux deux premiers, etc., seront p, p(i—p), p(i— p)‘, etc. Or, les nombres de fois que ces événements ont eu lieu étant par hypothèse a,, fl,, a,, etc., dans un nombre m de séries d’épreuves, on devra donc avoir, à très peu près,

• p = £, ,(.-/>)=£, ,(■ -/0’=£ etc,

si ce nombre est très gra^l, et lorsque ces probabilités ne seront pas devenues de très petites fractions. En divisant chacune <|c ces équations par la précédente, on en conclut différentes valeurs de i — p , et, par suite , .

= 1 p = , - -.etc.

Ces valeurs de p, ou du moins un certain nombre des premières , différeront d’autant moins entre elles et du rapport que m et ^ seront

de plus grands nombres : pour qu’elles fussent nécessairement égales , il faudrait que ces nombres fussent infinis. En employant pour p, la moyenne de ces fractions très peu inégales, ou bien en faisant usage de

la valeur — de p, résultante de l’ensemble des épreuves, on aura

a, = mp, a, — mp( î — p), a , = mp{ i — p) m , etc.

pour les valeurs calculées des nombres a , , a, , Oj , etc. , qui devront très peu s’écarter des nombres observés, du moins dans les premiers termes de cette progression géométrique décroissante.

Dans l’expérience de BufTon , le nombre m des séries d'épreuves était

On peut conclure de la manière dont elle est rapportée par l’auteur , que l’on a eu

a x — 1061 , a, — 49 4 , aj = a33, a* — i 3 7, a, = 56 ,

Les nombres a„, a„, etc., n’ont point eu lieu, c’est-à-dire que le nombre m des séries d’épreuves n’a pas été assez grand pour que croix n’arrivât pas dans une ou plusieurs séries. Ce nombre est la somme des valeurs de a,, a,, a,, etc.; on en déduit aussi

et, par conséquent ,

Au moyen de cette valeur de p, on trouve

a, = io 38 , a, = 5 ia, a, = a 5 a, = 134, a, = 61 , a t = 5o, a, = 1 5, = 7 » s i = 4, a la = i,

en négligeant les fractions : les nombres suivants a„,a„, etc., seraient au-dessous de l'unité. Or, si l’on compare cette série des valeurs calculées, à celles des nombres a,, a,, a„ etc., qui résultent de l’observation , on voit qu’elles s’écartent peu l’une de l’autre dans leurs premiers termes. Les écarts sont plus grands dans les termes suivants; par exemple , la valeur calculée de a, n’est que les trois cinquièmes de la valeur observée; mais ce nombre a, répond à un événement dont la probabilité est au-dessous d’un centième. En s’arrêtant aux trois premiers termes de la série des nombres observés, on en déduit

quantités qui diffèrent très peu entre elles, et dont la moyenne, on le tiers de leur somme, est

qui diffère à peine de o^>a, de la valeur ” de p, résultante de l’ensemble des épreuves.

J’ai choisi cette expérience à cause du nom de l'auteur, et parce que l’ouvrage où elle se trouve, la rend authentique. Chacun en peut faire ' beaucoup d’autres de la même espèce , soit avec une pièce de monnaie, soit avec un dé à six faces. Dans ce dernier cas, le nombre de fois que chaque face arrivera, sur un très grand nombre d’épreuves, sera à très peu près nn sixième de celui-ci , à moins que le dé ne soit faux ou mal construit.

( 5 i). Le théorème sur lequel est fondée la règle précédente est dû à Jacques Bernouilli, qui en avait médité la démonstration pendant vingt années. Celle qu’il a donnée se déduit de la formule du binôme au moyen des propositions suivantes.

Soient, à chaque épreuve, pe t y les chances données des deux événements contraires E et F; soient aussi g, h, k , des nombres entier»,

Digltized

i b^oogle

>36 . ‘ RECIIERCHK ' )] ’

tels que l’on ait •

désignons par m, n, p, d'autres nombres entiers, liés à g, h, k, 4 >ar les équations

m = gk, n = hk, p = m + n = (g+h)k,

de manière que les chances p et q soient entre elles comme les nombres mets, que l’on pourra rendre aussi grands qu’on voudra en augmentant convenablement g, h, k, sans changer leur rapport. Cela posé

i". Dans le développement de ( p -f- qY, le terme le plus grand sera celui qui répond au produit p m q', et comme ce terme est la probabilité de l’arrivée de m fois E et de n fois F (n° 14 ), il s’ensuit que cet événement composé, c’est-à-dire, l'arrivée des événements en raison directe de leurs chances respectives , est le plus probable de tous lés événements composés qui peuvent avoir lieu dans un nombre quelconque p. d’épreuves.

a*. Si ce nombre p. est très grand, le rapport du plus grand terme du développement de (p -+■ q Y à la somme de tous les termes, ou à l’unité, sera une très petite fraction, qui diminuera indéfiniment à mesure que p augmentera encore davantage; par conséquent, dans une lougue série d’épreuves , l’événement composé le plus probable, le sera cependant très peu , et de moins en moins à mesure que les épreuves seront plus long-temps prolongées.

5*. Mais si l’on considère dans le développement de (p-{-qY,*oa plus grand terme , les l termes qui le suivent et les l termes qui le précèdent , et si l’on désigne par A la somme de ces a l + 1 termes consécutifs , on pourra toujours, sans changer ni pmq, prendre p assez grand pour que la fraction A diffère de l’unité, d’aussi peu qu’on voudra; et à mesure que p. augmentera encore davantage, A approchera de plus en plus d'être égal à un. On conclut de là que dans une longue série d’épreuves, il y a toujours une grande probabilité A que l'événement E arrivera un nombre de fois compris entre les limites nvàplj

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. . i3 7

el F un nombre «le fois compris entre nqpl; de telle sorte que saDs changer I intervalle ni des limites de ces deux nombres, on pourra rendre le nombre p des épreuves assez grand pour que la probabilité A soit aussi approchante qu'on voudra de la certitude. Si l’on prend les rapports de ces limites au nombre p des épreuves, que l'on ait égard aux équations précédentes, et qu’on fusse

* = pz±J'=p',.<]=F<r = <]',

'Ces rapports seront p' et q'; et comme la fraction j' diminuera indéfiniment à mesure que p. augmentera, il s’ensuit que ces rapports, variables avec p, approcheront aussi indéfiniment, et avec une très grande probabilité, des chances p et q de E et F ; ce qui est l’énoncé du beau théorème de Jacques Bernouilli.

Nous renverrons pour la démonstration de ces propriétés des termes du développement de [p + qY aux ouvrages où elle est exposée (*).

Celle du théorème même , que l’on trouvera dans le chapitre suivant, est fondée sur l’emploi du calcul intégral. En attendant, on ne, • doit pas perdre de vue que ce théorème suppose essentiellement l’in- . variabilité des chances des événements simples U et F, pendant toute la durée des épreuves. Or, dans les applications du calcul des probabi— , * •

lités, soit a divers phénomènes physiques, soit à des choses morales, . .

ces chances varient le plus souvent d’une épreuve à une autre, el le plus souvent aussi, d’une manière tout-à-fait irrégulière. Le théorème .. ", ‘ . *

dont il s agit ne suffirait donc pas dans ces sortes de questions; mais il '

existe d autres propositions plus générales, qui ont lieu quelle que soit ■ ■' .

«•la variation des chances successives des événements, et sur lesquelles sont fondées les plus importantes applications de la théorie des probabilités. Elles seront également démontrées dans les chapitres suivants;

on en va maintenant donner l’énoncé, et en déduire la loi des grands nombres, que l’on a considérée dans le préambule de cet ouvrage,

'*) conjeelamii ; pars quarts. 7 rai té élémentaire des jnobabiKtét de M. • .

croix; r” section. i

iS 8 . • RECHERCHES ' ' .

comme un fait général , résultant d’observations de toutes natures.

( 5 a). Dans un très grand nombre p. d’épreuves consécutives, représentons la chance de l’événement E de nature quelconque, par p, a la première épreuve , par p, à la seconde , . . . par p p à la dernière. Soit aussi p' la moyenne de toutes ces chances , ou leur somme divisée par .leur nombre, ç’est-à-dire,

P ft ='~ (/»•+/'. ‘i+fji /

en même temps, la cliance moyenne do l’événement contraire F séra

la somme des fractions i — p,, i — p,,. . . i — p divisée par p; et* en la désignant par q', on aura p'-\-q' =? I. Cela étant, l’une des propositions générales que nous voulons considérer, consiste en ce que si l’on appelle m et n les nombres de fois que E et F arriveront ou sont arrivés pendant, la série de ces épreuves, les rapports de m ■ et n au nombre total p. ou m n , seront , à très peu près et avec une très grande probabilité, les valeurs des chances moyennes p' et q', et

réciproquement, p’ et q' seront les valeurs approchées de — et -.

Lorsque ces rapports auront été déduits d’une longue série d’épreuves , ils feront donc connaître les chances moyennes p' et q', de. -même qu’ils déterminent, par la règle du n* 49, les chances mêmes p et q de E et F , quand elles sont constantes. Mais pour que ces valeurs approchées de // et q 1 puissent servir, aussi par approximation , à évaluer les nombres de fois que E et F arriveront dans une nouvelle série d’un grand nombre d’épreuves, il faut qu’il soit certain, ou du moins très probable, que les chances moyennes de E et F seront exactement, ou à fort peu près les mêmes, pour cette seconde série et pour la première. Or, c’est ce qui a lieu effectivement en vertu d’une autre proposition générale dont voici l’énoncé.

'* Je suppose que par la nature des événements E et F, celui qui arrivera à chaque épreuve puisse être dû à l’une des causes C„ C., Cj,...C,, dont r est le nombre, qui s’excluent mutuellement, et que je regarderai d’abord comme également possibles. Je désigne ^>ar c, la chance que la cause quelconque C, donnera à l’arrivée de L’événement E; de manière qu’à une épreuve déterminée, à la pre-

SITR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i5g

inière, par exemple, la chance de E soit c, quand ce sera la cause C, qui interviendra, c. quand ce sera C,, etc. S’il n’y avait qu’une seule cause possible, la chauce de E serait nécessairement la même à toutes les épreuves; mais dans notre hypothèse, elle sera susceptible, à chaque épreuve, d'un nombre v de valeurs également probables, et variera, en conséquence, d'une épreuve à une autre. Or, si l’on fait

la somme des chances que E aura eu, dans un très grand nombre d’épreuves déjà effectuées, ou que cet événement aura dans uoe longue série d’épreuves futures , divisée par leur nombre, sera, à très peu près et très probablement, égale à la fraction y, dont la grandeur est indépendante de ce nombre; par conséquent, la chance moyenne p' de E pourra être regardée comme étant la même dans deux ou plusieurs séries , dont chacune sera composée d’un très grand nombre d’épreuves. • * .

En combinant cette seconde proposition générale avec la première , on en conclut que si m~ est le nombre de fois que l’événement E arrivera ou est arrivé dans un très grand nombre p d’épreuves, et m' dans un autre très grand nombre p', on aura , à très peu près et très probablement ,

Ces deux rapports seraient rigoureusement égaux entre eux , et à la quantité inconnue y, si les nombres p et p' pouvaient être infinis. Lorsque leurs valeurs données par l’observation différeront notablement l’une de l’autre, il y aura lieu de penser que dans l’intervalle des deux séries d’épreuves, quelques-unes des causes C,, C,, C,, etc., auront cessé d’être possibles, et que d’autres le seront devenues; ce qui aura changé les chances c,, c,, c,, etc., et par suite la valeur de y. Toutefois, ce changement ne sera pas certain , et nous donnerons dans la suite l’expression de sa probabilité , en fonction de la '

différence observée ^ et des nombres d’épreuves p et p'.

On fera rentrer cette conséquence des deux propositions précéden-

, >4o ' . v % RECHERCHES '•* ' ; . . .

tes, dans le: théorème même de Jacques Bemouilli , en observant que dans l’hypothèse sur laquelle la seconde est fondée, la fraction est la chance de E, inconnue, mais constante pendant les deux séries d’épreuves. En effet, cet événement peut arriver à chaque épreuve, en vertu de chacune des causes C, , C., C Jt etc. , qui ont toute une même

probabilité - ; la chance de son arrivée en vertu de la cause quelcon-

que C,, sera le produit ^ c„ d'après la règle du n° 5; et d'après celle du u* jo, sa chance complète aura pour valeur la somme des produits

^ c.; c», etc., égale à la quantité y. .• . . .

Pour plus de simplicité , nous avons regardé toutes les causes C, ,'C,, Cj, etc., comme également possibles; mais on peut supposer qqe chacune d’elles entre une ou plusieurs fois dans leur nombre total y ; ce qui les rendra inégalement probables. Ou désignera alors par vyi le nombre de fois que la cause quelconque C, sera répétée dans ce nombre v; la traction y. exprimera la probabilité de cette cause; et l'expression de y deviendra

y=y,c, + y*c. + ?tC)-h —

On aura , en môme temps , '

puisque l’uue des causes auxquelles ces probabilités se rapportcut, devra avoir lieu certainement à chaque épreuve. Lorsque le nombre des causes possibles sera infini , la probabilité de chacune d’elles deviendra infiniment petite ; en représentant, dans ce cas, par x l’une des chances c,, c tJ c, ,. . ; . c, , dont la valeur pourra s’étendre depuis x = o jusqu’à x= i , et par Y dx, la probabilité de la cause qui donne cette chance quelconque x à l’événement E, on aura, comme dans Je n' 45,

• . f p \dx=i. *

(53). Supposons actuellement qu’au lieu de deux événements possibles E et F, il y en ait un nombre donné A, dont uti seul devra arriver à cba-

que épreuve. Ce cas est celui où l'on considère une chose A d’une nature quelconque, susceptible d’un nombre A de valeurs, connues ou inconnues, que je représenterai par a,, a,, a s , « k , et parmi les-

' quelles une seule devra avoir lieu à chaque épreuve, de sorte que celle qui sera arrivée ou qui arrivera sera, dans cette question, l’événement observé ou l’événement futur. Soit aussi c (i „ la chance que la cause C,, si elle était certaine, donnerait à la valeur a„ de A. Las valeurs de c,„, relatives aux divers indices i et f, depuis iss 1 jusqu’à • ‘ = ‘ et depuis 1 = 1 jusqu'à f s= A, seront connues ou inconnues; * mais pour chaque indice 1', on devra avoir

c i., -h Ci,, 4- O.i + • • • .-}-c i>k = 1 ;

car si la cause C, était certaine, l’une des valeurs a,, a,, . . .a,,

arriverait certainement en vertu de cette cause. Désignons, en outre, par a„, la somme des chances de a„, qui auront ou qui ont eu lieu dans un très grand nombre fJL dcprcuves consécutives, divisée parce nombre, c’est-à-dire, la chance moyenne de cette valeur a,, de A, dans cette série d’expériences. En considérant a „ comme un événement E, et l’ensemble des A — 1 autres valeurs de A comme l’événement contraire F, on pourra prendre, d’après la seconde proposition générale du numéro précédent,

a " = y> c '.v 4 - y,c,.u + 7&t,v 4 - 4 - 7 ,c tJ ,;

>..>.»>«> • • • y,, étant toujours les probabilités des diverses causes qui peuvent amener les événements pendant la série d’épreuves, ou autrement dit, qui peuvent produire les valeurs de A que l’on a ob-’’ servées ou que l’on observera. Cela posé, la troisième proposition gé- ' • nérale qui nous reste à faire connaître, consiste en ce qne la somme ’ de ces fi valeurs de A, divisée par leur nombre, ou la valeur moyenne de cette chose, différera très probablement fort peu de la* somme de toutes scs valeurs possibles, multipliées respectivement par leurs chari- . ces moyennes. Ainsi, en appelant s la somme des valeurs effectives de A, on aura, à très peu près et avec une grande probabilité,

de telle sorte que si l'on désigné par J' une traction aussi petite que l’on voudra, on pourra toujours supposer le nombre /jl assez grand pour rendre aussi peu différente que l’on voudra de l’unité, la probabilité que la différence des deux membres de cette équation sera , moindre que J'. Observons de plus que d'après l'expression précédente de a„, et les valeurs de a,, a,, a,, etc., qui s’en déduisent, le second membre est indépendant de n; quand ce nombre est très grand, * la somme s lui est donc sensiblement proportionnelle ; par conséquent, si l’od représente par s’ la somme des valeurs de A dans une autre série d’un très grand nombre d’épreuves, la différence des rapports s - et sera très probablement fort petite; et en la négligeant,

Dans la plupart des questions, le nombre A des valeurs possibles de A est infini; elles croissent par degrés infiniment petits, et sont comprises entre des limites données; et la probabilité que la cause quelconque C, donne à chacune de ces valeurs devient , par conséquent, infiniment petite. En représentant ces limites par l et F, et par Z fl* la chance que donnera C, à une valeur quelconque 2, qui pourra s’étendre depuis z=zl jusqu’à 2 = F , on aura

la chance totale de cette valeurs, ou à très peu près sa chance moyenne pendant la série des épreuves, sera Zdz , en faisant, pour abréger,

y, Z, + >.Z, -f- >jZ, y, T a, = Z;

et il en résultera

- = Zidz.

La quantité Z sera une fonction connue ou inconnue de z ; mais la somme des fractions y,, y., y,, etc. , étant l'unité, ainsi que chacune

des intégrales f - Z ,di, Ijlz , ^ ZJx , etc., on aura toujours

; . f\ Uz = V ; . , ' . " *

. soit qu'il U y ail qu’nn nombre limité t de canses possibles, soit qu'il y en ail un nombre illimité, ou qu’on ait » = 00 .

■ (54). Maintenant , la loi des grands nombre réside dans ces deux équations

m rt%' s s

applicables à tous les cas d’éventualité des choses physiques et des choses morales. Elle a deux significations différentes dont chacune répond à 1 une de ces équations, et qui se vérifient constamment l’une et 1 autre, comme on a pu le voir par les exemples variés que j’ai cités dans le préambule de cet ouvrage. Ces exemples «le tonte espèce ne pouvaient laisser aucun doute sur sa généralité et son exactitude; mais il était bon, à cause de l’importance de cette loi, quelle fût dé-, montrée tt priori ; car elle est la base nécessaire des applications du calcul des probabilités, qui nous intéressent le plus; et d’ailleurs sa démonstration, foudée surles propositionsdesdeux numéros précédents, a 1 avantage de nous faire connaître la raison meme de son existence.

En vertu de la première équation, le nombre m de fois qn un événement E, de nature quelconque , a lieu dans un très grand nombre p d’épreuves, peut être regardé comme proportionnel à p. Pour chaque

nature de chose, le rapport — a une valeur spéciale y t qu’d atteindrait

rigoureusement, si p pouvait devenir infini ; et la théorie nous montre que cette valeur est la somme des chances possibles de E à chaque épreuve, multipliées respectivement par les probabilités des causes qui leur correspondent. Ce qui caractérise l’ensemble de ces causes, c’eRt la relation qui existe pour chacune d’elles entre sa probabilité et la chance quelle donnerait , si elle était certaiuc, à l’arrivée de E. Tant que cette loi de probabilité ne change pas, nous observons la permanence du rapport ”, dans diverses séries composées d’nn grand nombre

d’épreuves; si, an contraire, entre deux séries d’épreuves, celte loi a changé, et qu’il en soit résulté dans la chance moyenne^, un changement notable , nous en serons avertis par un changement semblable

dans la valeur de — : lorsque , dans l’intervalle de deux séries d’ob—

servatioos , des circonstances quelconques auront rendu plus probables les causes, physiques ou morales, qui donnent les plus grandes chances à l’arrivée de E , il en résultera une augmentation de la valeur de y

dans cet intervalle , et le rapport ^ se trouvera plus grand dans la seconde série qu’i( n’était dans la première ; le contraire arrivera , quand . les circonstances auront augmenté les probabilités des causes qui • donnent les moindres chances à l’arrivée de E. Par la nature de cet événement, si toutes ses causes possibles sont également probables, on * .

aura Y = i ef^ = f; et très probablement, le nombre de Cois que E’ arrivera dans une longue série d’épreuves s’écartera très peu de la moitié de leur nombre. De même , si les causes de E ont des probabilités proportionnelles aux chances que ces causes donnent à son arrivée , et que leur nombre soit encore infini, on aura Y = pour

que l'intégrale f Y dx soit l’uuité, il faudra que l’on ait < 7=2 ; il en résultera donc >=f ; par conséquent dans une longue série d’épreuves, il y aura une probabilité très approchai! te delà certitude, que le nombre des arrivéesde E serai très peu près double de celui des arrivées de levéneinent contraire. Mais dans la plupart des questions, la loi de probabilité des causes nous est inconnue , la chance moyenne y ne peut être calculée à priori , et c’est l'expérience qui en donne la valeur approchée et très probable , en prolongeant la série des épreuves assez loip

pour que le rapport — devienne sensiblement invariable, et prenant alors ce rapport pour celte valeur.

L’invariabilité presque parfaite de ce rapport ™ pour chaque nature

' d’événements, est un fait bien digne de remarque, si l’on considère ■ toutes les variations des chances pendant une longue séries d’épreuves.

On serait tenté de l'attribuer à l'intervention d’une paissance occulte, . distincte des causes physiques ou morales des événements, et agissant dans, quelque vue d’ordre et de conservation; mais la théorie nous J montre que cette permanence a lieu nécessairement tant que la loi de probabilité des causai , relative à iliaque espèce d’événements, ne vient point à changer; en sorte qu’on dort la regarder, dans chaque cas, comme élaut l'état naturel des choses, qui subsiste de iui-méme t

sans le secours d’aucune cause étrangère, et aurait, au contraire, besoin d’une pareille cause pour éprouver un notable changement. On peut le comparer à l’état de repos des corps , qui subsiste en Vertu de la seule inertie de la matière tant qu’aucune cause étrangère ne vient le troubler.

(55). Avant de considérer la seconde des deux équations précédentes, il est bon de donner quelques exemples relatifs à la première , et propres à éclairer la question.

Supposons qu’on ait un nombre r d’urne&C,, C„ C», . . .C r , contenant des boules blanches et des boules noires. Désignons par c„ la chance d’amener une boule blanche en tirant dans l’urne quelconque €«; laquelle chance pourra être la même pour plusieurs de ces urnes. On prend au hasard une de ces urnes que l’on remplace par une urne semblable ; on en prend ensuite une seconde f aussi au hasard et que l’on remplace également par une semblable ; puis une troisième que l'on remplace de même ; et ainsi' de suite , de manière que l’ensemble des urnes C, , C,, C,, etc., demeure toujours le même. On formé ainsi une série d’urnes B,, B,, B,, etc., indéfiuiment prolongée} qui ne renferme que les urnes données C, , C, , C J( etc., plus ou moins répétées. Désignons la chance d’extraire une boule blanche de B, par b,, de B, par b,, de B, par b it etc. , de sorte que la série indéfinie b „ b„ b„ etc., ne contienne aussi que les chances données c,,c„ c„etc., qui pourront y être répétées. Cela étant, on. tire une boule de B, , une de B,, une de B,, etc., jusqu’à l’urne B,, inclusivement. En appelant S la chance moyenne de l’extraction d’une boule blanche ns ces rn tirages successifs, on aura „

.■< M #. <d âp'vÿl >- - - v « » ». m * '«• -* • Mi

I 5 ’ *n#*OtnrtîsirO# *. tWf

Or, les urnes C,, C,, C,, etc. , représentent les v seules causes possibles de l’arrivée d’une bonle blanche à chaque épreuve; par conséquent, si fi est un très grand nombre, que l’on fasse, comme plus haut,

. . . Tiv*. Ta*rers s

et que l’on désigne par m le nombre de boules blanches qui seront extraites, on aura, d’après ce qui précède, -• ■

- = 6, S = y, fn — ny, •

à très peu près et arec une grande probabilité. Ainsi le nombre m ne changera pas sensiblement si l’on répète les tirages sur les mêmes urnes B, , B. , B,,. . . B,,, ou sur un nombre pt d’autres urnes consécutives, et si on les effectue sur un autre très grand nombre fi d’urnes, le

nombre de boules blanches qui arriveront aura pour valeur approchée et très probable.

Si l’on extrait pi fois de suite au hasard , une boule de l’ensemble des urnes C, , C. , C, , etc. , en remettant à chaque fois la boule extraite dans l'orne dont elle est sortie, la chance d’extraire une boule blanche sera la même à toutes. les épreuves, et égale à y d’après la règle du n° io; lorsque leur nombre sera très grand, celui des boules blanches que l’on amènera sera donc , en vertu de la règle du n* 49, à très peu près et très probablement égal au produit py , comme dans la question précédente; mais ces deux questions sont essentiellement distinctes; et les deux résultats ne coïncident que dans le cas où pi est un très grand uopibre. Quand il ne l’est pas , la chance d’amener un nombre donné m déboulés blanches dépend , dans la première question, nonseulement du système des urnes données C,, C,,C„ etc., mais aussi du système des ufhes B, , B,, Bj, etc. , que l’on en a déduit au hasard. Je réduis , par exemple , les urnes données à trois C, , C. , C,, et je prends pi — a et m = i , de sorte qu’il s’agisse de savoir quelle est la chance de tirer une boule blanche de l'une des deux urnes B, et B,, et une boule noire de l’autre. Relativement à ces deux urnes, il peut arriver neuf combinaisons différentes que j’indiquerai de cette manière :

B, = B» = C|> B, =B,= C,, B,=B,=Cj,

B, = C, et B. = C., B, = C, et B, = C s , B, = C, et B, = C„

B, = C, et B, = C, , B, = Cj et B, = C, , B. = C, et B, = C,.

Pour chacnuede ces neuf combinaisons, la chance demandée aura une

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i4 7

valeur déterminée; ses neuf valeurs possibles selon la combinaison qui aura eu lieu, seront

2C, ( I — C,), 3C.( I — C,), 2Cj ( I Cj) ,

pour les trois premières;

c,(i— c,), c,(i— Cj)-K,(i— c,), C.(|—

pour les trois intermédiaires; et les mêmes que celles-ci, pour les trois dernières. Il est aisé de voir que la valeur moyenne de ces neuf chances, ou leur somme divisée par neuf, doit être la chance d'amener une blanche et une noire, en tirant une première fojg au hasard dans le groupe des trois urnes C t , C, , C, , puis une seconde fois après avoir remis la première boule extraite dans l’urne d'où elle serait sortie. Et, en effet, cette chance serait le double du produit de v(c,-f-e,-t-c,) et de. i — 3 (ç, -+* c, quantité égale au neuvième de la somme des

neuf chances précédentes.

Avant que le système des urnes B,, B„ B,, etc., soit formé et déduit du système des urnes données, nous n’aurions aucune raison de croire que la n"”' urne B, sera plutôt l’une que l’autre des urnes C, , C, , € 3 , etc.; pour nous, la probabilité de l’extraction d’une boule blanche au n"*' tirage serait donc la somme des chances c, , c„ c J( etc., dryisée par leur nombre, c'est-à-dire la quantité y; mais quoique elle soit la même pour tous les tirages , et que leur nombre fi fût aussi grand qu’on voudra, nous ne serions pas autorisés à Sx conclure, en vertu de la seule règle du n* 49 , que le nombre m des extractions de boules blanches, des urnes B„ B„ B„ etc., devra s’écarter très probablement fort peu du produit juy; car on ne doit pas perdre de vue que cette règle est fondée sur la chance propre de l’événement que l’on considère , et non sur sa probabilité, ou la raison que nous pouvons avoir de croire qu’il arrivera. .

( 56 ). Pour second exemple, je suppose que l’on ait un très grand nombre de pièces de cinq francs, que fappellerai A,, A., A,, etc., et dont chacune présentera une de ses deux faces, en retombant à terre après avoir été projetée en l’air. Relativement à la pièce quelconque Ai, je désignerai par a, la chance de l’arrivée de /été, qni dépen-

(ira de la constitution physique de cette pièce. La valeur de a, sera inconnue à priori; on la déterminera par l’expérience en projetant Ai un très grand nombre de fois m; et comme cette chance demeurera constante pendant cette série d’épreuves, si tête arrive un nombre rt, de fois, on pourra prendre, par la règle du n* 49,

pour sa valeur approchée et très probable. On s’eu servira ensuite pour calculer les probabilités des divers événements futurs, relatifs à la projection de la même pièce A, : on pourra parier à jeu égal , m contre m- — n, que télg arrivera dans une nouvelle épreuve , m * contre m * — n,* qu’il arrivera deux fois dans deux épreuves successives, a», ( m — n, ) contre m*— an, (m—m ) que tête aura lieu une fois seulement dans ces deûx épreuves, etc. Dans une nouvelle série d’un très grand nombre m' d'épreuves , le nombre de fois n,' que tête arrivera , aura, à très peu près et avec une grande probabilité, le produit m'/i, pour

valeur, toujours d’après la règle du n* 49; les deux rapports ^ et ^ ,

devront donc s'écarter très peu l'un de l'autre; mais, toutefois à raison de ce que celte valeur'sde o, donnée par l’expérience , est seulement très probable et non pas certaine, la probabilité du peu de diflefènee de ces deux rapports ne sera pas si grande-, comme on le verra par la suite , que si la valeur de cette chance a, était certaine et donnée à priori.

Au lieu de projeter la même pièce un très grand nombre de fois, supposons que l’on emploie successivement un très grand nombre p. de pièces de cinq francs, prises au hasard parmi celles qui proviennent d’un même mode de fabrication, et soit n le nombre de fois que tête arrivera. Appelons a la chance moyenne de l'arrivée de tête, non pas seulement pour toutes les pièces dont on aura fait usage, mais pour toutes les pièces delà même espèce et provenant delà même fabrication. En vertu des deux propositons générales du n° 5 a, nous aurons, à très peu près et très probablement.

comme si les chances inconnues a , , a,, a it etc.,, étaient toutes égales entre elles.

Selon que l’on trouvera ; ou - < J, on en conclura que dans

les pièces de cinq francs de cette fabrication, la chance de l’arrivée de tête est généralement plus grande Ou moindre que celle de l’arrivée de la face opposée. A l’égard d’une pièce A, en particulier, la chance

a , étant différente de a, il pourra arriver que l’on ait ^ < î en même

temps que ^ >i, ou bien en même temps qyc^ > j.

Si l’on projette de nouveau les mêmes pièces de cinq francs, ou, plus généralement , un très grand nombre p' d'autres pièces de la même espèce, provenant de la même fabrication, et à la même effigie, la quantité « , telle quelle a été définie , ne changera pas ; par conséquent, «' étant le nombre de fois que tête arrivera dans cette nou-velle série d’épreuves, on devra avoir

de même que l’on a

pour une même pièce A, dans deux séries d’épreuves différentes. Mais

ces rapports - et ^ » seront inégaux en général, lorsque les pièces emt* r

ployécs dans les deux séries d’épreuves ne seront pas d’une même espèce, ou proviendront d’une fabrication différente, de même

que le rapport ^ varie d’une pièce A. à une autre.

(57). Quoique les chances constantes et les chances moyennes des événements se déterminent de la même manière et avec la même probabilité par l’expérience , il y a cependant des différences essentielles dans les usages que l’on en peut faire. I a chance moyenne comme la chance constante fait connaître immédiatement la probabilité de l’arrivée, dans une nouvelle épreuve isolée, de l’événement que l’on con-

sidère; mais il n’en est pas toujours de même , quand il s'agit de l’arrivée d’un événement composé de celui-là.

. Je prends pour exemple la similitude des résultats dans deux projections successives d’une pièce de cinq francs. Il y aura alors deux cas différents à examiner. On pourra supposer que ce couple d’épreuves aura lieu avec deux pièces, différentes ou non, prises au hasard parmi toutes les pièces A, , A,, A,, etc. , d’une même fabrication et dont je désignerai par A le nombre total , ou bien avec une même pièce prise également au hasard; dans le premier cas, la probabilité de la similitude ne dépendra que de la quantité * du numéro précédent, et sera la même que s’il s’agissait de chances constantes; dans le second cas, elle dépendra, eu outre, d’uue autre quantité inconnue, par laquelle elle différera de sa valeur relative à des chances invariables.

Pour le faire voir, j’observe que relativement à deux pièces quelconques A, et A,,, la probabilité de la similitude des résultats dans deux épreuves consécutives, a pour valeur

a,a„ + (i — a,) ( i — fl„).

Dans le premier des deux cas que nous voulons considérer, chacune des pièces A, , A,, A,, etc., pouvant être combinée avec elle-même et avec toutes les autres, le nombre de ces combinaisons également possibles sera le carré de A, et en désignant par s la probabilité complète de la similitude, nous aurons , d’après la règle du n* io,

les sommes 2 s’étendent depuis i= i et i*= i jusqu’à i = A et i’ = A. Je fais

a = ±(t. •+• k); fl, = K 1 + k + <?,), a, = +

k, if), J', , k -f- d', , k -f- S'i,, désignant des fractions positives ou négatives,- dont la première se déduira du rapport^ du numéro précédent, donné par l’observation, et les autres varieront d’une pièce à une

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i5t autre, de telle sorte que l'on ait

On aura , en même temps,

» — «. J= ï ( i — * — J'.), « — a u = i(i — * — JV); .

au moyen des équations précédentes , les sommes 2 qui entrent dans l'expression de r se réduiront à

2«i = iA(i+Â), 2a,=iA(. +*)j S (t -r- «,) =* ïA (1 — k), 2 ( i -fl„) = iA(i — k)-,

et il eû résultera ■ •

quantité qui ne dépend que de A:, ou de la chance moyenne a de l’arrivée de tête, et nullement des inégalités dechances J 1 ,, J 1 ,, etc.

Si l’on répété la projection de deux pièces prises au hasard, un très grand nombre a de fois, s sera aussi la chance moyenne de la similitude dans cetfe série d 'épreuves doubles ; en désignant par b le nombre de fbis*que la similitude arrivera, on aura donc approximativement, d’après len* 5a,

b — as ;

ce qu’on pourra vérifier par l’expérience.

Dans le second cas , où chaque couple d’épreuves doit être fait aveé une même pièce, la probabilité de la similitude relativement à la pièce quelconque A;, aura pour expression

et si l’on appelle s 1 ja probabilité complète de la similitude, on en conclura

y = isd<*+isc« - a,r.

équation qui se réduit à

en ayant égard à l’expression de a,, et faisant, pour abréger,

Or, on voit que cette probabilité s' surpasse la probabilité s qui avait lieu dans le premier cas, et qu’elle dépend d’une nouvelle inconnue h, dépendante elle-même des inégalités J,, J~,, etc.

Si l’on répète un très grand nombre de fois a', la projection deux fois de suite d’une même pièce prise au hasard, / exprimera la probabilité de la similitude dans cette série d’épreuves doubles; en représentant par b' le Dorabre de fois que la similitude arrivera, nous aurons donc à très pen près,

ce qui servira à déterminer la valeur de h, celle de h étant déjà connue. • . ‘ .

{58)., Je ferai remarquer que si l’on projette trois fois de suite tue même pièce prise au hasard parmi A, , A, , A, , etc., la. probabilité de la similitude des trois résultats s’exprimera au moyen de la probabilité précédente s' , et sera connue, par conséquent, sans recourir à de nouvelles expériences. En effet, relativement à la pièce quelconque A j cette probabilité sera . • ’ .

en appelant s‘ sa valeur complète , on aura doue

et d’après les notations précédentes, il en résultera ’

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i53

ou, ce qui est la même chose,

Cette quantité f" sera aussi la chance moyenne de la similitude dans une très longue série de triples épreuves ; si donc on désigne par ci' leur nombre , et par b" le nombre de fois que la similitude arrivera , nous aurons

b" = aY.

En mettant —, et —. au lieu de s' et s" dans l'équation précédente, on en déduira cette relation

a' a" = 3 h' a" — ib'a' ,

entre les nombres a', ci, b’ , b’ , qui sera d’autant plus approchée et d'autant plus probable qu'ils seront plus grands.

Puisqu’elle est indépendante de la loi des quantités a, , a,, a,, etc., elle subsistera également quand elles seront toutes les mêmes, c’est-àdire, lorsqu’au lieu de changer de pièce à chaque épreuve double et à chaque épreuve triple, ou emploiera toujours la même; par conséquent, si l’on projette une même pièce un très grand nombre de fois que je représenterai par 6c; que l’on partage cette série d’épreuves simples, en épreuves doubles composées de la première épreuve simple et de la seconde, de la troisième et de la quatrième, et ainsi de suite; qu’on la divise aussi en épreuves triples, composées de la première, la deuxième, la troisième, épreuves simples, de la quatrième, la cinquième, la sixième, et ainsi de suite; et qu’on applique l’équation précédente à ces deux séries d’épreuves doubles et triples , on aura

ci — 3é , ci' = a<? ,

. • * ks.'o

ce qui réduira cette équation à celle-ci

MW'..

qui signifie que le nombre des similitudes doubles moins celui des similitudes triples, sera égal au sixième du nombre total des épreuves simples.

ao

On obtiendrait des relations analogues entre les nombres de ces similitudes et de celles qui seraient composées de plus de deux ou trois épreuves simples. ,

(üg). Ces considérations s’appliquent immédiatement aux naissances masculines et féminines; il suffit , pour cela, de remplacer les pièces A,, A„ Aj, etc., parautaut de mariages différents, et de prendre pourn,, - la chance de la naissance d'un garçou dans le mariage quelconque désigné par A,.

En France, le nombre des naissances des deux sexes s'élève annuellement à près d’uu million ; et dans ce nombre total, l'observation montre que le rapport des naissances masculines aux naissances féminines excède l’unité d’environ un quinzième ;.pendant les dix années écoulées depuis i8i7jusqu’à i8a6, sa valeur moyenne a été de i,o 656 , dont ses valeurs extrêmes se sont à peine écartées d’un demi-centième, en plus ou en moins. C’est sur les observations de cet intervalle de temps que sont fondés les résultats de nnïli mémoire sur la proportion des naissances des deux sexes (*). De 1817 à i 855 inclusivement, le rapport moyen a été 1,061 g; ce qui ne diffère pas non plus d’un demi-centième de sa valeur pendant les dix premières de ces dix-sept années.

La cause de la prépondérance des naissances masculines nous est inconnue; il y a lieu de croire qu’elle varie beaucoup d’un mariage à un autre, et que les chances a,, a„ a„ etc., sont très inégales, de telle sorte que beaucoup d’entre elles s’abaissent, sans doute, au-dessous de 7. Cependant, comme on voit, la proportion des naissances annuelles des deux sexes a très peu varié pendant une période de dix-sept ans; ce qui présente une vérilication remarquable de la loi des grands nombres.

En prenant pour le rapport d’un grand nombre de naissances masculines an nombre correspondant des naissances des deux sexes, ce rapport sera aussi la chance moyenne de la naissance d’un garçon , et l’on

aura ^ pour la valeur de la quantité k du n* 57. Nous ignorons si la

chance d’une naissance masculine restera la même à chaque enfant qui naîtra d’un même mariage, ou bien si elle variera, par exemple, comme

(*) Mémoires de t Académie des Sciences , touie IX.

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i5J

elle variera d'un mariage à un aulre. Dans le second cas, la chance moyenne de la similitude du sexe des deux premiers nés sera j (i-4-J-*), et n’excédera j que d'à peu près un demi-millième. Par conséquent, le nombre de foisquecettesimilitudcanralicu,dansun très grand nombre de couples de premiers nés, surpassera d’un demi-miilième la moitié de celui-ci. Dans le premier cas, le premier de ces deux nombres pourra surpasser de beaucoup plus la moitié du second, à raison de la quantité inconnue A que renfermera alors l’expression j (i-f-A*-+-A*) de la chance moyenne de la similitude. La relation du numéro précédent aura toujours lieu entre les nombres des similitudes de sexe des deux premiers-nés et des trois prèmiers-nés , observées dans un très grand nombre de mariages.

(Go). En vertu de la seconde équation du n° 54, si A est une chose quelconque, qui soit susceptible de différentes valeurs à chaque épreuve, la somme de ses valeurs que l’on observera dans une longue série d’épreuves, sera à très peu près et très probablement, proportionnelle à leur nombre. Le rapport de celte somme à ce nombre, pour une chose déterminée A, convergera indéfiniment, à mesure que ce nombre augmentera encore davantage, vers une valeur spéciale qu’il atteindrait si ce nombre pouvait devenir infini, et qui dépend de la loi de probabilité des diverses valeurs possibles de A. Ou fera sur ce rapport des remarques semblables h celles que nous avons faites dans le n° 54, eu considérant la première équation de ce numéro.

La seconde équation, ou plutôt celle-ci

’-^J'Zzdz,

donnera lieu comme la première, à de nombreuses et utilesapplications.

Je suppose, par exemple, que «soit un angle que l’on veut mesurer. Cet angle existe; sa grandeur est unique et déterminée; mais l’angle que l’on mesure à chaque opération, est une chose susceptible d’un nombre infini de valeurs différentes, à raison des erreurs inévitables et variables des oltservatîons. Je prends cet angle , qui sera mesuré successivement un grand nombre de fois, pour la chose A, de sorte que Zdz exprime la chance d’une valeur quelconque z de A, résultante de la construction de l’instrument et de l’adresse de l’observateur. Soit k

i56 RECHERCHES

l'abscisse du centre de gravité de l’aire d’une courbe plane, dont z et Z sont 1 abscisse et l’ordonnée, et qui s’étend depuis z = / jusqu’à s= t , en désignant, comme dans le n* 53, par l et l ' les limites des valeurs possibles de A. Faisons

z= k + x, lssk + h t t = k + h'-,

et représentons par X ce que Z devient quand on y met k- f-x au Heu de z ; nous aurons

Z dz s= ^ \dx =i, f \xdx — o, et par conséquent, à très peu près,

en vertu de l’équation citée, dans laquelle s est la somme des valeurs de A que l’on obtiendra dans un grand nombre d’épreuves. C’est donc vers

la constante k que sa valeur moyenne ^ convergera de plus en plus, à

mesure que ft augmentera davantage ; mais lors même que ce rapport sera devenu sensiblement constant, c’est-à-dire, lorsqu’il sera sensiblement le même dans plusieurs séries d’autres grands nombres de mesures, il pourra quelquefois arriver que cette moyenne diffère beaucoup de l’angle a. qu’on veut déterminer : elle sera toujours la valeur approchée de la constante y qui peut ne point coïncider avec cet angle. En effet , soit

appelons U ce que devient Z quand on y met » -f -u au lieu de a ; nous aurons

J~ r Zciz = f*Vdu = i, hzHL+ff Vudu.

La différence u, entre l’angle * et une valeur possible z de l’angle mesuré A, est l’une des erreurs possibles de l’instrument et de l’obser-

SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i 5 7

valeur; elle peut être positive ou négative, et s’étendre depuis jusqu’à u = g l ; sa probabilité infiniment petite est U du. Or, s’il n’y a dans la construction de l’instrument aucune cause qui donne aux erreurs positives de plus grandes chances qu’aux erreurs négatives , ou réciproquement , et qu’il en soit de même pour la manière d’opérer de l’observateur, les limites g et g 1 seront égales et de signes contraires , la fonction U sera égale pour des valeurs de la variable u égales et de signes contraires, et il en résultera

Dans ce cas, qui est le plus commun, le rapport s - sera donc la valeur approchée de et. Mais, si l'instrument par sa construction, ou l’observateur par sa manière de viser, donne quelque prépondérance, soit aux chances des erreurs positives, soit à celles des erreurs négatives, l’intégrale précédente ne sera plus nulle, les constantes et et A - différeront

‘l’une de l’autre, et le rapport - s’écartera notablement, en général,

de la véritable valeur de et. On ne pourra s’apercevoir de cette circonstance, qu’en mesurant le même angle, soit avec d’autres instruments, soit par d'autres observateurs. Je me bornerai ici à indiquer cette application du calcul des probabilités : en ce qui concerne les erreurs des observations, et les méthodes de calcul propres à en diminuer et évaluer l’influence, je renverrai à la Théorie analytique des probabilités et aux mémoires sur ce sujet que j’ai insérés dans la Connaissance des teins (*).

(61). Pour second exemple de l’équation citée au commencement du numéro précédent, supposons que les causes désignées par C,, C,, C,, etc. , soient toutes celles qui déterminent les chances de durée de la vie humainêdans un pays et à uneépoque déterminés. Ces causes sont, entre autres, les diverses constitutions physiques des enfants qui naissent, le bien-être des habitants, les maladies qui abrègent cette

(*) Années 1819 et i 83 a.

durc’c , et sans doute aussi quelques causes résultantes de la vie ellemême. qui l’empêchent de se prolonger au-delà de limites quelles n’a jamais dépassées : il y a lieu de croire, en effet, que si les maladies étaient les seules causes de mort, et quelle fi.1t, pour ainsi dire, accidentelle, quelques-uns des hommes parmi le nombre immense de ceux qui ont vécu, auraient échappé à ces dangers pendant plus de deux siècles; ce qu’on n’a jamais observé. La chose A sera alors le temps que vivra un enfant qui vient de naître; s exprimera une valeur possible de A , et Zdz la chance de z résultante de toutes les causes, quelles quelles soient, qui peuvent la déterminer, non pas pour un enfant en particulier, mais pour l’espèce humaine, dans le lieu et à l'époque que l’on considère. Ainsi , concevons qu’une certaine constitution physique en naissant , donne une chance Z'dz de vivre précisément un temps égal à :, qu’une autre constitution donne une chance Z'dz de vivre jusqu’au même âge, etc.; soient aussi £', Ç*, etc. , les probabilités de ces diverses constitutions : à raison de ces causes, la fonction Z sera la somme Ç'Z' + £"Z’ r -f- etc., étendue à toutes les constitutions possibles ; et si ce nombre est infini, Z se changera en une intégrale définie,' qui aura une valeur inconnue, mais déterminée. Dans le pays où les hommes naissent le plus forts ou le mieux constitués, cette intégrale aura sans doute la plus grande valeur; dans chaque pays, elle pourra n’ètre pas la même pour les deux sexes; sans doute aussi les valeurs de Z', Z", Z m , etc., dépendront d’ailleurs des maladies possibles et du biehètre des habitants : la fonction Z sera différente, et par suite, l’intégrale de Zuh le sera aussi, à deux époques éloignées l’une de l’autre, si dans l’intervalle quelque maladie a disparu, ou que le bien-être du peuple ait augmenté par le progrès de la société. On pourra , si l’on veut, prendre zéro et l’infini pour les limites / et f de cette intégrale , en considérant Z comme une fonction qui s’évanouit au-delà d’une valeur de z, inconnue aussi bien que la formelle Z. Cela étant, les valeurs observées de A seront les âges auxquels sont morts en très grand nombre fz d’individus nés dans -un même pays et vers la même époque; et en appelants- la somme de ces âges, on aura, à très peu près et très probablement,

SUR U A PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i5g

par conséquent, ce rapport - , ou ce qu’on appelle la vie moyenne, demeurera constant pour chaque pays, tant qu'aucune des causes C, , C„ Uj, etc., connues ou inconnues, n’éprouvera pas un changement notable.

En France, on suppose la vie moyenne d’environ 29 ans; mais cette évaluation est fondée sur des observations antérieures à l'usage de la vaccine, et déjà très anciennes; elle doit être aujourd’hui sensiblement plus longue; et il serait à désirer qu’on la déterminât de nouveau, séparément pour les hommes et pour les femmes, pour les différents étals, et pour les diverses parties du royaume. On considère aussi la vie moyeune à partir d'un âge donné : s est alors le nombre des années qu’ont vécu au-delà de cet âge, un très grand nombre u

d'individus ; le rapport s - est la vie moyenne relative à cet âge , avec

lequel elle varie, en demeurant constante pour un même âge : on suppose qu’elle atteint son maximum entre 4 et 5 ans, et qu’elle s’élève alors à 45 ans. Les tables de mortalité ont un autre objet : sur un très grand nombre d'individus nés dans un même pays et à la même époque, elle font connaître les nombres de ceux qui vivent encore au bout d’un an.dedeux ans, de troisans, etc. , jusqu’à ce qu’aucun n’existe plus. En désignant par m le nombre des vivantsqui ont un âge donné, c’est en

vertu de la première équation du n° 54, que le rapport — est sensiblement invariable, du moins tant qu’il ne s’agit pas d'un âge très avance, etquemn’estpasdevenuun nombre très petit: vers cent ans, parexemple,

cette invariabilité consiste en ce que le rapport ^ est toujours une très petite fraction.

Dans l’intégrale J' Z zdz, au lieu de faire varier z par degrés infiniment petits, si l’on fait croître cette variable par des intervalles très petits ; que l’on prenne, pour fixer les idées, chacun de ces intervalles de temps pour unité; et que l’on désigne par A,, A,, A 3 , etc., la série des valeurs de z, et par H, , H,, H 9 , etc., les valeurs correspondantes de Z, la somme des produits H, A,, H.A, , H,Aj, etc., sera, comme on sait, la valeur approchée de cette intégrale. En désignant

par v la vie moyenne , à partir de la naissance, on aura donc aussi

v — H,A, -f- H,A, -4- Hj^j -f- etc.

Or, H, exprimant ici la cha nce de mourir à un âge //., il s’ensuit que relativement à la duree de la vie humaine, on peut considérer la vie moyenne v comme l’espérance mathématique (n* a 3 ) d’un enfant qui vient de naître et dont la constitution physique nous est inconnue; mais d’après les tables de mortalité, sur un très grand nombre d’enfants, plus de la moitié meurt avant d’avoir atteint cet âge v.

(6a). Supposoas, pour dernier exemple, que pour un lieu donné et pour un jour de l’année aussi donné, ou ait calculé l’excès de la haute sur la basse mer qui aurait lieu en vertu des actions simultanées du soleil et de la lune. Prenons pourlachose A, la différence entre cet excès calculé et celui qui est observé dans le même lieu et à la même époque de chaque année. Lesvaleurs.de A varieront d’une année à une autre, à raison des vents qui peuvent souffler en ce lieu et à cette époque, et qui déterminent les chances de ces diverses valeurs. Or, si l’on considère toutes les directions et les intensités possibles de ces vents, leurs probabilités respectives, et les chances que ces causes donnent à une valeur

quelconque z de A, l’intégrale J ( Z zdz aura une valeur inconnue, mais déterminée, et qui demeurera constante, tant que la loi de probabilité

de chaque vent possible i

à très peu près invariable; s étant la somme des valeurs de A , observées pendant une longue suite d’années.

Nous ne savons pas à priori, si ^ est zéro ou une fraction qu’on

puisse négliger, c’est-à-dire, si l’influence des vents sur les lois générales des marées est insensible ; l'expérience seule peut nous faire connaître la valeur de ce rapport, et nous apprendre s’il varie aux différentes époques de l’année , et pour les lieux différents où les observations sout faites, sur la côte, dans les ports, en pleine mer. Pour connaître l’influence de tel ou tel vent eu par-

lieu hcr, il faudrait n'employer que des valeurs de A observées sous ( '•

cette influence; toutefois, afin de n’avoir pas besoin d’un trop grand nombre d’annccs d’observations , ces valeurs pourraient répoudre à plusieurs jours consécutifs, pendant lesquels la direction du vent aurait peu changé. Plusieurs savants s’occupent maintenant de cet examen, qui exigera un long travail, et ne manquera pas de conduire . •

à des résultats intéressants. .

(63). L’exposition des règles du calcul des probabilités et de leurs conséquences générales, qui a été faite dans ce chapitre et dans le précédent , étant actuellement complète, je reviens sur la notion de cause et d 1 effet, qui est seulement indiquée dans le n® 27 .

La cause propre d'une chose E est , comme on l’a dit dans ce numéro, une autre chose C qui possède une puissance de produire nécessairement E, quelles que soit d'ailleucs la nature de ce pouvoir et la manière dont il s’exerce Ainsi, ce qu’on appelle l'attraction de la terre est une certaine chose qui a la puissance de faire tomber les corps situés à la surface du globe, dès qu’il ne sont pas soutenus; et de même, dans notre volonté , réside un pouvoir de produire , par l'intermédiaire des muscles et des nerfs, une partie de ces mouvements que l’on nomme, pour cette raison, mouvements volontaires. Quelquefois, dans la nature, la chose E n’a qu'une seule cause C qui puisse la produire, de sorte que l’observation de E suppose toujours l'intervention de C.

Daus d’autres cas, cette chose peut être attribuée à plusieurs causes distinctes, qui concourent ensemble, ou qui s'excluent mutuellement de •

manière qu’une seule ait dû produire E.

Telles sont , en ce qui concerne le principe de la causalité, les idées les plus simples et que je crois généralement admises. Cependant l’illustre historien de l’Angleterre a émis sur ce point de 'métaphysique, une opinion différente qu'il convient d'examiner, et sur laquelle le calcul des probabilités peut jeter un grand jour.

Selon Hume (*). nous ne pouvons avoir d'autre idée de la eau- m

salitd que celle d un concours et non d'une connexion nécessaire entre

(*) Estais philosophiques sur l' entendement humain ; septième essai : de l'idée de pouvoir ou 3e liaison nécessaire.

i6a RECHERCHES '

ce que nous appelons cause et effet; et ce concours n’est pour nous qu’une forte présomption-, résultant de ce que nous l’avons observé un grand nombre de fois : si nous l’eussions observé un nombre de fois peu considérjblc . ce serait juger de la nature sur un trop petit échantillon, que de présumer qu’il se reproduira désormais. D’autres ont partagera même opinion, et l’ont appuyée sur les règles de la probabilité des événements futurs, d’après l’observation des événements passés. Mais Hume va plus loin ; et sans même recourir à ces lois de probabilité, il pense que l’habitude de voir l’effet succéder h la cause, produit dans notre esprit une sorte d’association d’idces qui nous porte à croire que l’etfet va arriver quand la cause a eu lieu ; ce qui peut être effectivement vrai pour la plupart des hommes , qui n’examinent pas le principe de leur croyance et son degré de probabilité : pour eux. cette association d’idées doit être comparée à celle qui se fait dans notre esprit, entre le nom d’une chose et la chose même, et qui est tulle, que le nom nous rappelle la chose, indépendamment de notre réflexion et de notre volonté.

Un des exemples que l’auteur choisit pour expliquer son opinion est le choc d’un corps en mouvement contre un corps libre et en repos, et Je mouvement de ce second corps à la suite de sa rencontre par le premier. Ce concours du choc et du mouvement du corps choqué est, en effet, un événement que nous avons observé un très grand nombre de fois, sans que l’événement contraire se soit jamais présenté; ce qui suffit, abstraction faite de toute autre considération, pourque nous ayons une forte raison de croire, ou, pour qu’il y ait une très grande probabilité que le concours dont il s’ogil aura encore lieu désormais. Il en est de même de tous les concours de causes et d'effets que nous observons journellement et sans exception : leur probabilité s’alimente, pour ainsi dire, par cette expérience continuelle, et la raison ou le calcul, d’accord avec l’habitude, nous donne une grande assurance qu a l’a- - venir ces causes seront toujours suivies de leurs eficts. Mais dans le cas d’un phénomène que nous avons seulement observé iin nombre de fois peu considérable, à la suite de la cause que nous lui assignons, il n’y aurait, d’après les règles précédemment exposées, qu’une probabilité qui ne serait pas très grande, pour le concours futur de cette cause et de cet effet. Néanmoins, il arrive souvent que nous ne faisons