I0O RECHERCHES
que la probabilité de la vérité de ce fait était déjà r, indépendamment de la seconde attestation, on en conclura que l'expression de / doit se déduire de celle de r, par le changement de p et q , en p' et r; ce qui donne
ou bien, en mettant pour r et 1 — r leurs valeurs ,
p = mL
qpp' + (•—?)(' — p) ( « — p' y
Si le second témoin atteste la fausseté du fait dont la- vérité a été affirmée par le premier, on remarquera qu’indépendamment du second témoignage, la probabilité que le fait est faux avait déjà i — r pour valeur, en désignant donc par r, la probabilité de la fausseté du fait, résultante des deux attestations contraires, l'expression de r, devra se déduire de celle de r du numéro précédent, par le changement de p et q, en p' et i — r, et de cette manière, on aura
ou, ce qui est la même chose,
Dans le cas de p=zp', cette valeur de r, se réduit à i — q ; et, en effet, les deux témoignages contraires et de même poids se détruisent, et la probabilité de la fausseté du fait doit demeurer la même qu’auparavant.
On déterminera de même, sans difficulté, la probabilité qu’un fait est vrai ou faux, lorsqu'il est attesté par des témoins et nié, par d'autres, en nombre quelconque. Si le fait est attesté par tous les témoins à la fois, l’expression de la probabilité qu’il est vrai prendra la forme suivante.
Soit toujours, antérieurement à tous les témoignages, q la probabilité que le fait est vrai; désignons por^, ce que devient cette proba-
bililé après que ie fait a été attesté par un nombre quelconque x de témoins;^,.., scra cette même probabilité, quand le fait est attesté seulement par un nombre x — 1 de témoins; et si l’on représente par P »vec un nombre x — : d’accents, c’est-à-dire par p** - ’ 5 , la probabilité que le témoin qui n’est pas compris dans ceux-ci , ne nous trompe pas, lorsqu’il atteste aussi la vérité du fait, l'expression de y» se déduira de celle de r du numéro précédent, en y mettant et y*—, au lieu de p et q, de sorte que l’on aura
■+• ( ' — /' C * '>)(!— Xr-,Y
La valeur dej. sera la probabilité primitive q-, et si l’on fait successivement x= i, =a, =3, etc., on déduira de cette formule
PI
y; fj ^
+ (• — />)(,— ?)’ • 7 ,— y'r. -t-c —p) (v — .r.)' clc ' ’
lüb.
d'où l'on conclura la valeur d e jr, par l'élimination def, , celle de y par l’élimination de jr„ et ainsi de suite. Mais, si l’on fait, pour abréger,
lcqfltlion précédente, aux différences finies du premier ordre, se changera en celle-ci :
dont l'intégrale complète est
en désignant par c la constance arbitraire. En mettant^ — i au lieu de x dans cette expression de y, , on en déduit effectivement
■ oa
et ces valeurs jointes à celle dey, rendent identique l'équation donnée. On déterminera la constante c au moyen d’une valeur particulière dey,, et, si l’on veut, au moyen de celle qui répond à x = o; en prenant alors l’unité pour le produit p,p,r . .p, , de x facteur, il en résultera y, = </ =c; et, pour un nombre quelconque x de témoins, nous aurons ensuite
?+('—?) hM*
Relativement au témoin qui répond à l’indice quelconque i, la quantité fi est le rapport de la probabilité qu’il nous trompe à la probabilité qu’il ne nous trompe pas, de sorte qu’ou a p,>i ou p,<i, selon que la première probabilité est supérieure ou inférieure à la seconde et p, = 1 quand elles sont égales. Si le nombre des témoins est très grand et considéré comme infini, et que p ; surpasse l'unité pour tous les témoins, la probabilité/, de la vérité du fait qu'ils attestent sera zéro à une exception près; et au contraire, dans ce cas de x infini, cette probabilité sera l’unité ou- la certitude, aussi à une exception près, lorsque p, sera moindre que l’unité pour tous les témoins. L’exception aura lieu, quand les quantités p, , p,, p 3 , etc., décroîtront ou croîtront continuellement, mais en s'approchant iudéfiuiment ddW'uiifté. Prenons, par exemple, pour leur terme général,
“ “ (ai — i)’* 1 ’
nt désignant le rapport de la circonférence au diamètre, et g une constante donnée qui ne surpassera pas l’unité , afin qu'aucune des quantités p, , p,, f 3 , etc., ne soit négative. Par une formule connue, leur produit sera égal à cosg; ori aura donc
» ? + (,— Ÿ)cnsg’
quantité qui différera beaucoup de l’unitc, quand g différera de
io5
même de - w. Si l’on fait g— h — ■ , la nouvelle constante h pourra
être plus petite ou plus grande que l’unité. En désignant par e la hase des logarithmes népériens, il en résultera
• r “ — iy + (i— q) (e‘ + <r-*)’
et si h ne surpasse pas l’unité, ou seulement si h n'est pas un très grand nombre , cette probabilité^ ne sera pas très petite. Toutefois, il sera facile de s'assurer que la première valeur du jr K , sera toujours supérieure à la probabilité q antérieure aux témoignages, et la seconde toujours inférieure.
Ces formules supposent que tous les témoignages soient directs ; nous examinerons tout à l’heure le cas ou un seul est direct, et tous les autres sont traditionnels.
(58). Quand un témoin ne se borne point a dire qu’une chose soit vraie ou fausse, mais qu’il atteste l’arrivée d un événement, dans un cas où il y en avait plusieurs qui fussent possibles; l'événement qu’il peut annoncer, quand il se trompe ou qu’il veut tromper, n’est point unique, et doit être seulement un de ceux qui n'ont point eu ou qu'il ne croit point avoir eu lieu; or, cette circonstance influe, comme on va le voir, sur la probabilité de l’événement apres le témoignage, indépendamment de celle qu’il avait auparavant.
Je suppose, pour fixer les idées, qu’une urne A renferme un nombre fi de boules , dont a, portent le n° i , a, le n° a, ... . a m le n* m , de sorte qu’on ait
et que m soit le nombre de numéros différents que cette urne renferme; si une boule en est sortie, on pourra aussi faire m hypothèses différentes C, , C., C,,...C„, sur le numéro de cette boule; leurs probabilités avant aucun témoignage, étant désignées par q„ q„ q,,... 7 „, on aura
et si un témoin annonce que la boule sortie de A porte le n° «, les probabilités de ces hypothèses prendront les valeurs <sr,, , ®-,, .
qu’il s’agira de déterminer par la règle du n” 54. Ici l'événement observé sera l’annonce, par le témoin, de la sortie du n' n; chacune des hypothèses donnera une certaine probabilité à cet événement, dont il faudra d’abord former l’expression ; on représentera par p„ p„ p„ .. .p m , ses probabilités résultantes des m hypothèses; et d’après ces diverses notations, C M q n '&,,p l , répondront à la sortie d’un numéro quelconque t, et, en particulier, C., ®-,, p,, à la sortie du n'n annoncé
par le témoin.
Je désigne par u la probabilité que ce témoin ne se trompe pas, et par v la probabilité qu’il ne veut pas tromper ; 1 — u sera la probabilité qu’il se trompe, et 1 — v qu’il veut tromper. Dans la n""' hypothèse, c'est-à-dire, dans la supposition que n est réellement le numéro extrait de A, le témoin annoncera la sortie de ce numéro, s’il ne trompe pas et s’il ne veut pas tromper, combinaison dont la probabilité est uv par la règle du n‘ 5 . S’il se trompe, il croira que la boule sortie de A porte un numéro quelconque n' différent de n\ et en même temps, s’il veut tromper, il annoncera un numéro différent de n', ou pris parmi les m — 1 autres numéros ; la chance qui en résultera pour le n* n'
d’être précisément celui que le témoin annoncera , sera donc — 1 — ,
en admettant, toutefois, que le témoin n’ait aucune prédilection pour un numéro plutôt que pour un autre; par conséquent, d’après la règle citée, la probabilité que ce numéro sera annoncé par un témoin qui se trompe et qui veut tromper, aura pour valeur le produit des trois fractions 1 — u, 1 — v, m — ■ ■ . Soit que le témoin se trompe et ne veuille
pas tromper, soit qu’il ne se trompe pas et veuille tromper, le témoin n’annoncera pas la sortie du n°n; car, dans le premier cas, il voudra annoncer le numéro qu’il croira sorti et qui ne sera pas le n“ n, et, dans le second, il saura que ce numéro est sorti et ne vondra pas l'annoncer. De toute cette discussion et d’après la règle du n“ 10, on conclut
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. io 5
pour la probabilité complète que l'hypothèse C., si elle était certaine, donnerait à l’événement observé.
Dans l’hypotbèse C,, correspondante à la sortie d’un n" i différent de n, le témoin n’annoncera pas le n* n, s’il ne se trompe pas et ne veut pas tromper. S’il ne se trompe pas et qu’il veuille tromper, il saura que le n* i est sorti, mais il annoncera la sortie de l’un des m — i autres numéros; et la chance pour que ce soit
le 11“ n, sera ; d’où il résulte pour la probabilité
que ce n“ n sera effectivement annoncé par le témoin. S’il se trompe et qu’il ne veuille pas tromper , cette probabilité sera égale à
* ! car le témoin pourra croire que le numéro sorti est un
des m — i numéros différents de i; il annoncera celui qu’il croira sorti; et m ■ sera la chance pour que n soit ce numéro. Enfin , si le témoin se trompe et qu’il veuille tromper, il faudra d’abord qu’il croie sorti de A , un desm — i numéros différents de celui qu’il annonce;
m '2 ■ sera donc la probabilité qu’il croira sorti un numéro déterminé n'; cette fraction exprimera aussi la probabilité qu’il annoncera le n ° n, parmi les m — i numéros différents de n ; on aura donc
— — - pour la probabilité que le témoin croira sorti le n c ri et qu’il annoncera la sortie de n. La chance qui en résultera pour ce n“ n d’être annoncé sera, par conséquent, la fraction t y multipliée
par le nombre des numéros tels que ri , que le témoin a pu croire sortis de A; lequel nombre est seulement m — a, puisque le témoin qui se trompe et qui veut tromper, ne peut croire sorti ni le n° i qui l’est réellement , ni le n* n qu’il annonce. D’un autre côté, la probabilité de cette double erreur est le produit ( i — u ) (i — v); la probabilité que le n° n sera effectivement annoncé par ce témoin, aura donc pour valeur le produit (i — u) (i — v)
multiplié par la chance ^ Je réunis les probabilités de cette
annonce dans les trois cas distincts où elle peut avoir lieu; il en résulte
. (” ~ a ) ( 1 ~ «) ('■ (ro— i )■
pour la probabilité complète de l’événement observé, dans une des m — i hypothèses contraires à la vérité de cet événement. Cette valeur de p, est d’ailleurs liée à celle de p, par l'équation
résultante de ce que la somme des probabilités que le témoin annoncera la sortie du n" n, correspondante aux m hypothèses C,, C„ Cj, .... C „ , doit être égale à l’unité.
Maintenant , par la règle du n* 34 , nous aurons
q.p.+zqp-’
? pi
les sommes 2 s’étendant à toutes les valeurs de l’indice i, depuis i — î jusqu’à » = m, excepté i = n. Et comme la quantité p, est indépendante de i, et que la somme des valeurs de q,, moins celle qui répond
- à i = n, est l’expression de tsr, deviendra
r(m— i) uv -f(i — u) (i -» v)] (m— i)o«
après qu’on y aura substitué les valeurs de p., q„ p„ q„'e t multiplié son numérateur et son dénominateur par ( u(m — x)*. Ce sera donc la probabilité que le numéro n annoncé par le témoin est réellement sorti de A ; la probabilité qu’il ne l’est pas aura i — er. pour valeur ; et , en particulier, celle de la sortie d’un tout autre numéro déterminé i se déduira de l'expression de i — <w\,, en la multipliant par le rapport * de q, p, à 2 q t p„ ou de a, à p. — fl.; en sorte que l'on aura
. On doit remarquer que pour obtenir ces résultats, nous avons admis que quand le témoin se trompe ou qu’il veut tromper, le numéro qu’il annonce est déterminé par le hasard seulement, et non par quelque cause particulière. Il n’en serait pas de même, lorsqu'il veut
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. xa-j
tromper, s’il avait une raison quelconque pour faire croire à l’arrivée .d'un numéro plutôt qu’à celle d’un autre, ni quand il se trompe, si son erreur était produite, par exemple, par la ressemblance du numéro qu’il croit sorti et qu’il annonce, avec le numéro réellement extrait de A. Ces circonstances difficiles à apprécier et dont nous avons fait abstraction pourraient influer beaucoup sur la probabilité de la sortie du numéro annoncé par le témoin.
Au lieu de boules portant un nombre m de numéros différents, l'umc A pourrait contenir des boules d’un pareil nombre de couleurs diverses. Si elle renferme seulement des boules blanches et des boules noires, les premières en nombre a et les secondes en nombre p — a, et que la sortie d’une boule blanche soit annoncée par le témoin , on fera m = a et a, = a, dans l’expression de nr m ; en désignant par r, ce quelle devient alors, on aura
[i/y -Ml — u) (■ — v)]a
*• ' [uy+(l — u) (l —.')]</ + [( l —y) u + 1,1— l/)y]>— a) ’
pour la probabilité qu’il est effectivement sorti une boule blanche *
de A.
On peut assimiler à ce cas particulier, celui d’un fait vrai ou faux , attesté par un témoin : on prendra pour ce fait l’extraction de la boule blanche; r sera la probabilité qu’il est vrai; et son expression devra coïncider avec celle du n° 36. Nous aurons d'abord
p = uv + (i — «)(i — v),
pour la probabilité que le témoin ne nous trompe pas ; car cela peut avoir lieu parce qu’il ne se trompe pas et ne veut pas tromper, ou bien aussi parce qu’il se trompe et veut tromper , c est-à-dire parce que entre les deux seules choses possibles , l’extraction d’une boule blanche et *.
celle d’une boule noire , représentant la vérité et la fausseté du fait attesté, le témoin croit le contraire de ce qui est, ou dit le contraire de ce qu’il croit. La probabilité qu'il nous trompe sera , en même temps ,
ce qui se déduit de la valeur de p, ou s’obtient directement eo obser-
io8 : RECHERCHES
vant que le témoin peut nous tromper, soit qu'il ne se trompe pas et veuille tromper, soit qu’il se trompe et ne veuille pas tromper. On, aura encore
pour les probabilités avant le témoignage , de la vérité et de la fausseté du fait que le témoin atteste. Ces diverses valeurs rendent, en effet, l’expression de r du n° 36 identique avec celle que l’on vient d’écrire.
Quand l’urne A ne renferme qu’une seule boule portant chaque numéro, depuis le n’ i jusqu’au n° m, on a a. = 1 et /ta = m; ce qui simplifie beaucoup l’expression générale de'zsr,, et la réduit à
®-„ = uv -f-
Cette probabilité que le n”/* annoncé par le témoin est réellement sorti de l’urne A , ne diffère pas , dans ce cas , de celle qui a été désignée plus haut par p,, c'est-à-dire de la probabilité que le témoin annoncera le n* n , dans la supposition de la sortie de ce numéro. Elle diminue à mesure que le nombre m des numéros contenus dans l’urne devient plus grand, et serait égale à la probabilité que le témoin ne se trompe ni ne veut tromper, si ce nombre pouvait devenir infini.
(39). 11 resterait à considérer le cas général où il existe plusieurs témoins dont les uns ont une connaissance directe du fait qu’ils attestent, etlesautres le connaissent seulement par tradition; mais pour ne pas donner une trop grande étendue à cette digression sur la probabilité des témoignages, nous nous bornerons à résoudre une question particulière de cette espèce.
Nous appellerons T, T,, T,,... T« lt T,, les témoins dont le nombre sera x + 1. Comme dans le problème précédent, une boule a été extraite de l’urne A, son uuméro est à la connaissance directe de T , chacun des autres témoins tient de celui qui le précède que cette boule portait le n" n ; en sorte que ce fait est transmis du premier témoin T au dernier T,, et de celui-ci à nous, par une chaîne traditionnelle, non interrompue. Le témoin T, étant doue le seul que nous ayons entendu, l’événement observé, dans cette question, est
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. iug
l’attestation, par ce témoin, qu’il tient de T,, que le n°«est sorti de A; et il s’agit de déterminer la probabilité que ce numéro soit effectivement celui qui a été extrait de cette urne.
Soient jr, la probabilité de l’événement observé, dans l'hypothèse C. de la sortie du n"n de A, ety„ dans l'hypothèse C, de l’extraction d’un autre n° i. En désignant toujours par a, et n x les nombres de boules n* n et n* i contenus dans A , et par p le nombre total de boules que
cette urne renferme, la fraction — sera, à priori , la chance de la sor-
tie du n* n, et ^ celle de la sortie du n* i. Par la règle du n* 34 , nous
pour la probabilité de l’hypothèse C.; la somme 2 s’étendant à tous les indices i,depuis<= i jusqu’à i= m, excepté i=n. On verra tout à l’heure que l’expression dey, est indépendante de i ; et la somme des valeurs de a,, excepté n. , étant p — a,, cette valeur de <nr» est la même chose que
a.y,+<r —‘ oJrY
On en déduira la probabilité «r, de toute autre hypothèse Q, en multipliant i — 'sr. par le rapport de a t a p — a,.
Le problème se réduit donc à la détermination des inconnues j'» et y', en fonctions de x. Pour cela, je représente par A, la probabilité que le témoin T, ne nous trompe pas, de sorte que i — k, soit la probabilité qu’il nous trompe, involontairement ou à dessein. Le témoin T, annoncera la sortie du n* n de A , s’il ne nous trompe pas et que T,, ait aussi annoncé l’extraction de ce n”; combinaison dont la probabilité cstle produit dans l’hypothèse C„, en observant que
exprime à l’égard de T,, , ce que ^représente relativement à T,. 11 pourra encore annoncer la sortie du il* n, s’il nous trompe , et qu’en même temps T,, ait annoncé celle d’un autre numéro; dans l’hypothèse C s , la probabilité de cette combinaison est le produit (i — A x )(i— y,,); mais la chance que/* sera le numéro qu’annoncera T,
parmi les m — i numéros qu’il ne croit pas annoncés par T,, , étant seulement — - — , cette considération réduira à la pro-
habilité de l’annonce dn n* n. Enfin, le témoin T, n'annoncera pas la sortie de ce numéro, soit quand il nous trompera et que T„, l’aura annoncé, soit quand il ne nous trompera pas et que T,., aura annoncé la sortie d’un autre numéro. Nous aurons donc
pour la probabilité complète de l’événement observé, dans l’hypothèse C„. On trouvera de même
pour cette probabilité dans toute autre hypothèse C, ; en sorte que les deux inconnues/, et/', dépendront d’une même équation aux différences finies du premier ordre, et ne différeront l’une de l’autre que par la constante arbitraire.
En considérant/, et désignant cette constante par c, l’intégrale complète de l’équation donnée sera
c{mk, — I ) (m/-, — i) — i) (m l,— j)
car en y mettant x — i au lieu de x, on en déduit
> . c(mk, — 1) (m*. — i — i)
m — i c{mi, — î) (m*. — i) — i)
et ces valeurs jointes à celle de /, rendent identique l’équation donnée. Pour déterminer la constante c, je fais x = o dans l’intégrale , et j’observe que la probabilité /, qui se rapporte au témoin direct T, doit être celle que l’on a désignée par p. dans le numéro précédent. En prenant, dans ce cas de x = o, l’unité pour le produit des facteurs que l’intégrale renferme, on aura donc
Pour une valeur quelconque de x , on aura donc ensuite
I‘ = 4 [i + (mp.— 0 X L
où loua fait, pour abréger,
(mi , — i)(mi , — i)....(mi t — 0 v
En observant que la probabilité y m relative au témoin direct T, dans une hypothèse quelconque C, différente de C. , doit aussi être celle que l'on a exprimée par p, dans le numéro précédent, nous aurons de même
quantité indépendante de », puisque p, ne dépend pas de ce nombre. Je substitue ces valeurs dans celle de <ar,; il en résulte
[■ ■+■ <)XK
[i + (»»/>•— i)Xjà„ [i +(mpi— l)X](^t — o„)’
pour la probabilité que le n° « annoncé par Je dernier témoin T, est réellement sorti de l’urne A ; ce qu’il s’agissait de déterminer.
Le produit représenté par X peut être remplacé par celui-ci :
en faisant , pour abréger ,
Le nombre m étant toujours plus grand que un, et k x désignaul une fraction positive qui ne peut pas surpasser l’unité, il s’ensuit que chacun des facteurs de X pourra être positif ou négatif, sans sortir jamais des limites =fc ■ . Lorsque le nombre x des facteurs sera très grand , ce produit sera insensible , et tout-à-fait nul , si ce nombre était infini , en
lia RECHERCHES
exceptant toutefois les cas particuliers où les facteurs h , , h t , h t , etc.» formeront une se'rie de fractions continuellement convergentes vers l’unité. Cela étant, si l’on néglige dans l'expression de >ar, , les
ternies qui contiennent X, elle se réduira à d’où il résulte qu’en
général» la probabilité d’un événement qui nous est transmis par une chaîne traditionnelle d’un très grand nombre de témoins, ne diffère pas sensiblement de la chance propre de cet événement, ou indépendante du témoignage ; tandis que l’attestation d’un grand nombre de témoins directs d’un événement rend sa probabilité très approchante de la certitude , lorsqu’il y a pour chacun de ces témoins plus d’un contre un à parier qu’il ne nous trompe pas (n* 57).
Dans le cas particulier où l’urne A ne contient qu’une seule boule de chaque numéro , et où l’on a, en conséquence, a. — 1 et p — m, la valeur de «a-, se réduit à
*■»= ^[' +( m P — OX],
en vertu de l’équation du numéro précédent
Cette probabilité coïncide donc alors avec*/», c’est-à-dire, avec la probabilité de l'annonce du n° « par le témoin T», dans l’hypothèse C« que ce numéro est réellement celui qui a été extrait de A. Mais on ne pouvait pas, comme dans la solution que Laplace a donnée de ce problème (*), prendre à priori l’une pour l’autre , ces deux probabilités y. et <w. , qui ne sont d'ailleurs identiques que quand le rapport de p — a. à a» est égal à celui de m — 1 à l’unité.
( 4 o). On peut, si l’on veut, exprimer chacune des quantités k, , k,, Aj, etc., au moyen du nombre m et des probabilités que lé témoin auquel elle se rapporte, ne se trompe pas et ne veut pas tromper. J'appellerai u„ la probabilité que le témoin quelconque T», appartenant à la chaîne traditionnelle , ne s’est pas trompé , et v,. la probabilité
(*) Théorie analytique des probabilités ; page 4^7.
qu'il n'a pas voulu tromper. Si ces deux circonstances ont concouru le témoin n aura pas trompe; il aura pu aussi ne pas tromper, s’il s’est
Irompé et qu’il ait voulu tromper; mais dans ce second cas, est
la chance qu’il aura annoncé le n- n, parmi les m — . numéTos qu’il ne croyait pas sortis de A; etccs deux cas étant les seuls où il n’aura pas trompé, en annonçant ce numéro, la valeur complète de k'„ sera
pour ar' = o, elle coïncide avec la valeur de p.da numéro précédent en prenant u, et u, pour les quantités u et vque celle-ci renferme, ette quantité est la probabilité qu’on doit attacher au témoignage . ,° U ,a va,eai ;' de ce témoignage, considéré en lui-même, c’est-
a-dire, la raison qu on a de croire à la sortie d’un n* n, d’nne urne A qui peut contenir un nombre m d’espèces de numéros différents, lors^ que I on sait seulement que cette sortie est attestée par un témoin T , pour lequel u„ et sont les probabilités qu’il ne se trompe pas e*t qui ne veut pas tromper. Si l’on est certain que T., se trompe et veut tromper, on aura «., = 0 et «V=0, et la probabilité k„ qVe le n n est sorti, résultante de son témoignage, sera néanmoins égale à
m‘ , • Ce sera la certitude, dans le cas de m = a ; et, en effet, le témoin annonçant celui des deux numéros qu’il ne croit pas sorti, et croyant sorti le numéro qui ne l’est pas, se trouvera avoir annoncé nécessairement la vérité. Dans le cas de m = 5 , il y aura un contre un à P»r.er pour la sortie de celui des trois numéros que le témoin aura annonce; ce quon vérifiera aisément par l’énumération de toutes les combinaisons possibles; et l’on vérifiera de même la valeur — I de •’ ,1a probabilité k„ relatives un nombre quelconque m ” '
On ne doit pas confondre le cas d’un témoin qui se trompe et veut certamemcnt tromper, avec celui où la chaîne traditionnelle est inerrompue, de manière que le témoin T„, qui précède T., n’existe pas.
! CerU ' n 2 Ualors ,e T„ veut tromper, puisqu’il supiSL
existence de T.,, ; on a donc v x/ = 0 } mais la probabilité que T^ne
se trompe pas, n’est point nnlle : ce témoin n’ayant, dans ce cas, aucune notion sur l’événement arrivé, la prubabilité qu’il annonce le
•rj»méro réellement sorti, est^; par la même raison, c’est aussi la voleur de son témoignage; et en effet, si l’on fait ^ et
•«*,, = o, dans la formule précédente , il vient k„ = Cette valeur de k,, rend nul le facteur h„ de X, et réduit, par conséquent, la probabilité <ar. de la sortie du n* n à c’est-à-dire, à la chance propro de
cet événement, comme cela doit être évidemment.
( 40 - Au moyen de la règle relative à la probabilité des causes, nous pouvons actuellement compléter ce qui a été dit à la fin du n® 7, sur la tendance de notre esprit à 11e pas douter que certains événements n'aient une cause spéciale, indépendante du hasard.
Lorsque uousavons observé un événement qui avait enlui-mémeune très faible probabilité ; s’il présente quelque symétrie, ou quelque autre chose de remarquable, nous sommes naturellement portés à penser qu'il n'est pas l’effet du hasard, ou plus généralement de la cause unique qui lui donnerait cette faible chance, mais qu’il est dû à une cause plus puissante, telle que la volonté de quelqu’un qui aurait eu un but particulier en le produisant. Si , par exemple, nous trouvons sur une table, en caractères d'imprimerie, les 26 lettres de l’alphabet, rangées dans l’ordre naturel a, b, Cj . . . . x, y, i, nous ne faisons aucun doute que quelqu’un ne les ait ainsi disposées par un acte de sa volonté ; cependant cet arrangement n’est pas en lui-même plus improbable que tout autre qui ne nous présenterai t rien de remarquable, et que pou r cette raison nous n’hésiterions pas à attribuer au seul hasard. Si ces 26 let- . tjçs devaient être tirées successivement et au hasard, d'une urne où elles seraient renfermées, il y aurait la même chance qu’ellesarriveraient dans l'ordre naturel, ou dans un ordre déterminé d’avance, comme celui-ci b, p, w,.. . y, a, t, que je choisis arbitrairement : cette chance •serait aussi petite, mais pas moindre, pour le premier arrangement que pour le second. De meme, si une urne renferme, en nombres égaux , des boules blanches et des boules noires, et qu’on en doive extraire successivement 3 o boules, en y remettant à chaque fois la
boule extraite, la probabilité que ces 5o boules seront blanches , aura pour valeur la 3o' puissance de c’est-à-dire, à peu près l’unité divisée par un milliard. Mais la probabilité de la sortie de 3o boules, les unes blanches et les autres noires, dans tel ordre et dans telle proportion que l’on voudra assigner d’avance, ne sera ni plus grande ni plus petite que celle de l'extraction de 5o boules blanches; et il y aura également environ un milliard à parier contre un que cet autre arrangement déterminé n’arrivera pas. Cependant, si nous voyons sortir de l’urne 5o fois de suite une boule blanche, nous ne pourrons pas croire que cet événement soit dû au hasard, taudis que nous lui attribuerons sans difficulté l’arrivée de 5o boules qui ne nous offrira rien de régulier et de remarquable.
Ce que nous appelons hasard (n° 37 ), produit, pour ainsi dire, ayecla même facilité, un événement que nous trouvous remarquable et celui qui ne l’est pas. Les événements de la première espèce sont beaucoupplusraresqucceux de la seconde, lorsque tous les événements également possibles sont très nombreux. Pour cette raison, l’arrivée des premiers frappe davantage notre esprit; ce qui nous porte à leur chercher une cause spéciale. L’existence de cette cause est, eu effet, ^très probable; mais sa grande probabilité ne résulte pas de la rareté des événements remarquables : elle est fondée sur un autre principeauquel nous allons appliquer les règles précédemment démontrées.
(4a). Appelons E, , E,, E s , etc., les événements remarquables qui peuvent avoir lieu, et F,, F,, F,, etc., les événements non remarquables. Lorsqu’il s’agira, par exemple, de 3o boules extraites d’une urne qui contient des nombres égaux de boules blanc lies et de boules noires, les événements E, , E,, Ej, etc., seront l'arrivée de 3o boules de la même couleur, celle de 3o boules alternativement blanches et noires, celle de i5 boules d’une couleur suivies de i5 boules de l'autre couleur, etc. Dans le cas d’une trentaine de caractères d’imprimerie, raugés à la suite l'un de l’autre, les événements E„ E., E„ etc., seront ceux où ces lettres se trouveront disposées, soit dans l'ordre alphabétique, soit dans l’ordre inverse , ou bien ceux où elles formeront une phrase de la langue française, ou d’une autre langue. Dans lous les cas, désignons par m leur nombre, et par n celai des autres événements F,,
n6 ' RECHERCHES
F»> E, , etc.; supposons qu’ils soient tous également possibles, lorsqu ils sont dus uniquement au hasard ; de sorte qu’en représentant alors par p la probabilité de chacun d’eux , on ait *
aussi bien quand il appartient à la première série , que quand il fait partie de la seconde. U n’en sera plus de même, si ces événements doivent être produits par une cause particulière C, indépendante de la probabilité p, et qui sera, pour fixer les idées, la volonté d'une personne et le choix qu elle fera de l’un d'entre eux. Nous admettrons que ce choix sera déterminé par les diverses circonstances qui rendent remarquable une partie des événements possibles. Ainsi, il y aura une certaine probabil itép,, que le choix de cette personne se portera sur E,, une autre probabilité p, qu’il se portera sur E, , etc.; il n’y aura aucune probabilité qu il doive se porter sur un des événements F,, Ÿ,, Fj, etc.; et ces divers événements étant les seuls possibles, il faudra qu'on ait
PT + P« ■+■ p* H- etc. = i. •
Si les probabilitésp,, p., p„ etc., sont toutes égales, leur valeur com^ munc sera — , et, par conséquent , très grande relativement à p, quand
le nombre total m -f- n des cas possibles sera très grand en lui-mème et par rapport au nombre m des cas remarquables. Généralement, ces probabilités .pourront être fort inégales; nous n’avons aucun moyen de les connaître ; mais il nous suffira qu’elles soient très grandes eu égard à la probabilité p; ce qui ne peut manquer d’avoir lieu, lorsque celle-ci est extrêmement petite, ou le nombre m-\-n excessivement grand , comme dans les exemples qu’on vient de citer.
Tel est le principe dont nous partirons pour -déterminer la probabilité de la cause C, d’après l’observation de l’un des événements E, , E», Ej, etc., F,, F,, F,, etc., ou, du moins, pour faire voir qu’elle est très grande, quand l’événement observé appartient à la première série. ’
Supposons que E, soit cet événement. On pourra faire deux hypothèses, la première qu’il est dû à la cause C, la seconde qu’il est le ré-
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ti 7 sultat du hasard. Si la première hypothèse était certaine, p, serait la probabilité de l’arrivée de E,; si c'était la seconde qui le fût, cette probabilité aurait p pour valeur; en appelant donc r la probabilité de la première hypothèse après l’observation, et regardant les deux hypothèses comme également probables à priori, nous aurons, parla règle du n* 28,
. Or, il suffît que la probabilité p, soit très grande eu égard à la très petite chance p, pour que cette valeur de r diffère très peu de l’unité ou de la certitud^Dans l’un des exemples précédents, où le nombre des événements possibles surpassait un milliard, et où p était au-dessous de l’uoité divisée par mille millions; si l’on suppose que 1000 soit le nombre des événements assez remarquables pour déterminer une personne à choisir l’un d’entre eux, et si l’on prend l’unité divisée par ce nombre pour la valeurde p,, celle der différera de l’unité, de moins d’un millionième, et de beaucoup moins encore, si , comme on peut le croire, la probabilité p, est au-dessus d’un millième. Lors donc que l’un de ces événements remarquables, aura été observé, par exemple, l’extraotion de 3 o boules d’une même couleur, tirées d’une urne qui conjienf, en égale proportion , des boules de deux couleurs différentes, on devra l’attribuer, sans aucun scrupule, comme on le fait naturellement, à la . volonté de quelqu’un, ou à toute autre cause spéciale, et ne pas le considérer comme un simple effet du hasard.
Toutefois , la probabilité r de la cause C serait beaucoup diminuée , si avant l’observation, son existence et sa non-existence n’étaient pas également possibles, comme le suppose la formule précédente, et que ce soit sa non-existeuce qui fût primitivement la plus probable. C'est ce qui aura lieu dans l’exemple qu’on vient de citer, lorsqu’on aura pris, avant le tirage, beaucoup de précautions pour soustraire l'extraclion des boules à l’influence d'aucune volonté. En ayant égard h cette circonstance, antérieure h l’observation, la règle du n* 34 rendra sensible la diminution de la valeur de r. Cette probabilité sera aussi augmentée ou diminuée, quelquefois dans de très grands rapports, quand tous les . événements E,, E., E s , etc., F,, F,, F f , etc., ne seront point égale-
ment possibles : augmentée, si la chauce propre de chaque événement est plus petite pour ceux de la première série que pour les événements de la seconde série; diminuée, dans le cas contraire.
L'harmonie que nous observons dans la nature n’est] sans doute pas l'effet du hasard ; mais par un examen attentif et long-temps prolongé. ^ on est parvenu, pour un très grand nombre de phénomènes, à en dé > couvrir lesdfeses physiques qui donnent à leur arrivée, sinon une certitude a^Wue, du moins une probabilité très approchante de l’unité. En les regardant comme des choses E, , E, ; E, , etc., qui présentent des circonstances remarquables, ce serait le cas où ces choses ont par elles-mêmes une assez forte probabilité, pour rendre très improbable et tout-à-fait inutile à considérer, l'intervention de la rause que nous avoas appelée C. Quant aux phénomènes physiquAPSont les causes nous sont encore inconuucs, il est raisonuable de les attribuer a des causes analogues à celles que nous connaissons, et soumises aux mêmes lois. Leur nombre diminue au reste de jour en jour, par le progrès des sciences : aujourd’hui, par exemple , nous savons ce qui produit la foudre, et comment les planètes sont retenues dans leurs orbites, connaissances que n’avaient pas nos prédécesseurs; et ceux qui viendront après nous, connaîtront les causes d’autres phénomènes, actuellement inconnues. ■» .
(4§J. Lorsque le nombre de causes distinctes auxquelles on peut attribuer un événement observé E est infini, leurs probabilités, soit avant, soit après l’arrivée de E, deviennent infiniment petites, et les sommes X contenues dans les formules des n" 3a et 34, se changent en des intégrales définies.
Pour effectuer cette transformation, supposons que l’événement observé E soit l’extraction d’une boule blauche, d’une urne A qui contenait une infiuité de boules blanches ou noires. On pourra faire sur le rapport inconnu du nombre de boules blanches au nombre total des l>oules, une infinité d’hypothèses que l’on prendra pour autant de . causes distinctes de l’arrivée de E, et exclusives les unes des autres. Désignons ce rapport par x, de sorte que x soit une quantité susceptible de toutes les valeurs croissantes par degrés infiniment petits, et comprises depuis x infiniment petit , qui répond au cas où la boule extraite serait la seule boute blanche que A renfermait, jusqu’à x=i,
qui répond à l’autre cas extrême où cette urne ne contiendrait que des boules blanches.
Représentons aussi par X la probabilité que ce rapport, si sa valeur x était certaine, donnerait à l’arrivée de E, de manière que X soit, fjans chaque question, une fonction connue de x. En considérant donc cette valeur comme une des causes possibles de E, il s’agira de déterminer la probabilité infiniment petite de x, soit quand toutes ces causes sont également probables avant l'observation, soitquand elles ont, A priori, des chances différentes.
Dans le premier cas, la probabilité demandée se déduira de la quantité <v, du n» a8, en y supposant m infini, et y mettant pour p,, P., Pi, etc., les valeurs de x relatives à toutes celles de X.
En faisant d’abord usage du signe 2 , comme dans le n° 3a , et appelant tb- la probabilité de x, nous aurons donc
Mais, d’après le théorème fondamental des intégrales définies, on aura :iu^i
XXdx =; J' Xdx ;
par conséquent, si l’on suppose constante la différentielle dx, et qu’on nftltiplie par dx les deux termes de la fraction précédente, il en résultera
Xdx
Xdx
En même temps, si l’on désigne par X' la probabilité correspondante a x, d’un événement filur E' qui dépend des mêmes causes que E, et par «■' la probabilité complète del’jrrivée de E', on aura, d’après la règle du n* 5o,
RECHERCHES ou , ce qui est la même chose ,
f o ‘ XX'rfr
nr s=
Xdx
en substituant pour ta- sa valeur precedente, et changeant la somme 2 en une intégrale. La quantité X' sera dans chaque exemple une fonction donnée de x.
Dans le cas où les diverses valeurs de x seront inégalement probables avant l’observation de E, on désignera par Y dx la probabilité infiniment petite et antérieure à cette observation, de la chance x de E ; et en mettant \dx au lieu de q, dans les formules du n* 54, on en conclura
XY dx •
XY dx
pour la probabilité de cette chance x après l’arrivée de E, et
f'XXTidx
XY dx
pour la probabilité de l’arrivée future de E.
(44). Si l’on est certaio, à priori, que la valeur de x ne peut jils s’étendre depuis x=o j usqu’à x = i , et quelle doit être comprise entre des limites données, on prendra ces limites pour celles des intégrales définies que ces formules renferment, ou bien, si l’on veut conserver leurs limites zéro et l’unité, on supposera que Y soit une fonction discontinue de x, qui sera nulle en dehors des limites données de cette variable. Soit que x soit susceptible de toutes les valeurs depuis zéro jusqu’à l’unité, soit que cette variable cjpive être reufermée entre des limites données; si l’on appelle A la probabilité que sa valeur inconnue est effectivement comprise, d’après l’événement observé E, entre d’autres limites plus resserrées que les premières, x sera la somme des valeurs de nr relatives à celles de x qui sont contenues entre ces
* > «abk
jÿ
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. iai
autres limites; en sorte qu’en désignant celles-ci par a et 6, on aura
// XY dx
/; Wdx
Dans un calcul d'approximation, on pourra employer cette for- ^mule, lorsque le nombre de causes auxquelles l’événement E peut être attribué, au lieu d’étre inlini, sera seulement très considérable. Supposons, par exemple, que E soit la sortie de n boules blanches, tirées successivement et sans interruption , d'une urne B qui contient un très grand nombre de boules, tant blanches que noires, et dans laquelle , on remet à chaque fois la boule qui en a été extraite. La probabilité X deE, correspondante à un rapport x du nombre de boules blanches au nombre total de boules contenues dans B, sera la puissance n de ce rapport. Si l’on demande la probabilité que le nombèe ^ de boules blanches quelle renferme excède celui des boules noires, on prendra * = jetÇ=i, dans l’expression de cette probabilité *. Si , de plus, toutes les valeurs possibles de x étaient également probables avant les tirages, Y ne variera pas aveex, et disparaîtra, en conséquence, de cette expression. On aura donc
. ■ , Sfi"? i Y" 57 V - ,
X=x\ r Xrir = -LL- , r Xdx=-L- (,+. -U)
et, par conséquent ,
avec d autant plus d’exactitude que B contiendra un plus grand nombre de boules noires ou blanches. Avant les tirages, il y avait un contre un à parier que le nombre des blanches excédait celui des noires ; il suffira qu’en tirant une boule de B, elle soit blanche pour qu'on ait > = l, ou qu’il y ait trois à parier contre un pour la supériorité du nombre de ' boules de cette couleur; et quand on aura tire de B un nombre un peu considérable de boules blanches, sans en amener de noires, la probabilité A que les blanches y sont en plus grand nombre que les noires, approchera beaucoup de la certitude. ’ <
• VSI
Digitizccfb^iqogîl
12a RECHERCHES
( 45 ). Ainsi que je l'ai déjà dit (n“ 3 o), on peut considérer Eet E' comme des événements composés d'un même événement simple G , et liés l’un à l'autre par leur dépendance commune de cet événement.
La chance de G est inconnue; la probabilité qu’elle a x pour valeur '• est Y dx avant l’arrivée de E, et y après cette arrivée ; et comme cette chance a certainement une des valeurs comprises depuis x=o jusqu’à x = 1 , il faut que la somme des valeurs correspondantes de Y dx soit l’unité, comme cela a déjà lieu pour la somme des valeurs de «y. La fonction donnée Y de x, quelle quelle soit d’ailleurs, continue ou discontinue , devra donc toujours satisfaire à la condition ' > - * . —
/Y dx — 1 .
D'après la règle de l’espérance mathématique (n* a 5 ), appliquée à la cbauce de G, on devra prendre pour sa valeur, avant l'observation deE, la somme de toutes ses valeurs possibles, multipliées par leurs probabilités respectives, c’est-à-dire, la somme de tous les produits de x et de Y dx, depuis x =0 jusqu a x = i.En désignant par y, cette ' chaucc de G, ou, plus exactement, ce qu’on doit prendre pour sa valeur inconnue, avant que E ait été observé, on aura donc
xY dx;
et l'on peut remarquer que si l’on considère x et Y comme l’abscisse et l'ordonnée d'une courbe plane, et si l’on observe que l'aire entière de cette courbe, ou l’intégrale fXdx est l’unité, y sera l’abscisse du centre de gravité de cette même aire. C’est d’après cette valeur de y prise pour la chance de G, que l’on devrait parier pour une première arrivée de cet événement, mais non pas pour plusieurs arrivées successives; car selon que G aura eu lieu ou n’aura pas eu lieu dans une première épreuve, la probabilité de son arrivée sera augmentée ou diminuée dans les épreuves suivantes.
Si, par exemple, toutes les valeurs de x sont également probables à priori , la quantité Y devra être indépendante de x; d’après les deux équations précédentes , on aura donc r
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ia 5
et, en effet, nous n’avons alors aucune raison de croire, dans une première épreuve, à l’arrivée de G plutôt qu’à celle de l'événement contraire. Mais si l’on prend pour chacun des événements E et E' l’événement simple G, auquel cas on aura,
il en résultera
arisP* : <n>J
,hw ,£» VWrfüMÎ
pour la probabilité que G étant arrivé une première fois, arrivera encore une seconde fois , de manière que la probabilité de son arrivée , aura augmenté de j, de la première à la seconde épreuve. Elle diminuera delà même fraction, et se réduira à ± — j , ou £, à la seconde épreuve, lorsque l’événement contraire aura eu lieu à la première; car en prenant celui-ci pour E, et toujours G pour E r , c’est-à-dire en faisant
«VÙ* »oao*fci af
JNip . .. ay V: , r • ‘jb »
y ' " /si:, t m O il) •j-.-iiiK'l tiei 4.1!
on en conclura
f[ (1 — x)xdx
fl (1 x)dx
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tt m
pour la probabilité que G n’ayant point eu lieu la première fois, arrivera à la seconde épreuve.
•sP' -i.
premicic lui», ci ue 1 a prouamnie j quêtant arrive cette tois-là, il arrivera encore à la seconde épreuve; elle sera donc j, au lieu de j, qui serait sa valeur si la probabilité de G était i à la seconde épreuve comme à la première. La similitude des deux événements qui arriveront dans les deux premières épreuves, aura une probabilité double ou égale à $ ; car cette similitude aura lieu, soit par la répétition de G, T • 16..
